2026-2027学年高一上学期期中数学培优练习题（二）

高一上学期数学培优练习题（二） 满分150分，用时120分钟. 注意事项：1．答卷前，考生务必在答题卡写上考生姓名、考生号、考场号、座位号等相关信息. 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答案涂在答题卡相应的位置上. 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内；如需改动的，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效. 4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 5.范围：必修一第一章至第三章 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.（26-27高一上·江苏苏州·阶段检测）已知集合，且集合中只含有一个元素，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 2.（26-27高一上·山东济南·阶段检测）使函数 的定义域是 的一个必要不充分条件是（　　） A． B． C． D． 3.（26-27高三上·云南昆明·阶段检测）设函数.若是的最小值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4.（26-27高一上·云南曲靖·阶段检测）已知，若使不等式能成立，则实数m的最小值是（    ） A．0 B．1 C．3 D．4 5.（26-27高一上·浙江·阶段检测）已知定义在上的函数满足，，当时，都有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 6.（26-27高一上·辽宁沈阳·阶段检测）定义符号函数，设函数，其中，.若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7.（26-27高一上·重庆渝中·阶段检测）给定函数，，．若，用表示，中的最小者，记为，若存在常数，使得成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8.（26-27高一上·河北石家庄·阶段检测）已知，且，记为的最大值，记为的最大值.已知，对任意，恒成立，则的最大值为（     ） A． B．1 C． D．2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.（26-27高一上·河北·阶段检测）已知函数，则（    ） A．的图象关于点对称 B．的图象关于直线对称 C．在上单调递减 D．当时，的值域为 10.（26-27高一上·广东深圳·阶段检测）已知，对任意实数，不等式恒成立，则（   ） A．的最大值为9 B．的最小值为6 C．的最小值为 D．的最小值为 11.（25-26高一上·山东泰安·期末）已知函数对任意，总有，当时，，若，则下列选项正确的是（   ） A． B．为奇函数 C． D．在上的最小值为-6 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.（26-27高三上·内蒙古赤峰·阶段检测）若命题“，”为假命题，则实数a的值为______． 13.（26-27高一上·上海浦东新·阶段检测）定义表示实数，中的较大值．若，，是正实数，则的最小值是__________． 14.（25-26高一上·广东广州·期中）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数是奇函数.已知函数.则函数图象的对称中心为____________ ；若函数关于点对称，且当时，.若对任意，总存在，使得，则实数的取值范围为__________________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（满分13分） （26-27高一上·河南漯河·阶段检测）已知，集合，集合． （1）若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围； （2）若命题“，”是真命题，求的取值范围； （3）若命题“，”是真命题，求的取值范围． 16.（满分15分） （26-27高一上·江苏镇江·阶段检测）设，，其中，记． （1）若，求的值域； （2）若的图象始终在的图象上方，求实数的取值范围； （3）若，记函数对任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围； 17.（满分15分） （26-27高一上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）设． （1）若对于，恒成立，求实数m的取值范围； （2）解关于x的不等式； （3）若，对于，成立，求的最大值． 18.（满分17分） （25-26高一上·安徽芜湖·期末）已知函数，其中为常数. （1）若是上的奇函数，求的值； （2）若，求在上的最大值； （3）若在上存在2026个不同的实数，使得，求实数的取值范围. 19.（满分17分） （25-26高一上·贵州黔南·期末）函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，它可以推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数. （1）求函数图象的对称中心. （2）若定义域为的函数的图象关于点成中心对称图形，且当时，. （i）求函数的解析式； （ii）若函数满足：当定义域为时，值域也为，则称区间为函数的保值区间.若函数在上存在保值区间，求实数的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一上学期数学培优练习题（二） 满分150分，用时120分钟. 注意事项：1．答卷前，考生务必在答题卡写上考生姓名、考生号、考场号、座位号等相关信息. 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答案涂在答题卡相应的位置上. 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内；如需改动的，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效. 4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 5.范围：必修一第一章至第三章 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.（26-27高一上·江苏苏州·阶段检测）已知集合，且集合中只含有一个元素，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【详解】，； 当，即时，，则，只含一个元素，符合题意； 当，即时，，由只含有一个元素，得，则，解得； 当，即时，，由只含有一个元素，得，则，解得；综上所述，.故选：A 2.（26-27高一上·山东济南·阶段检测）使函数 的定义域是 的一个必要不充分条件是（　　） A． B． C． D． 【详解】要使函数定义域为，需 对任意 恒成立． ①当 时， 恒成立，符合；②当 时，需 ，； ③当 时，二次函数开口向下，不可能恒正，舍去． 的定义域是的充要条件是 ，即 ．.取值范围相同，是充要条件；B.没有交集，既不充分也不必要条件; D.没有交集，既不充分也不必要条件；C.真包含， ，当时，推不出，充分性不成立，能推出，必要性成立，故是 的定义域是的必要不充分条件.故选：C 3.（26-27高三上·云南昆明·阶段检测）设函数.若是的最小值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】由题意得：，当时，，当且仅当时等号成立，即，当时，对称轴为，当时，即，因为是的最小值，所以，即，解得，所以，当时，即，所以，不满足题意，综上所述，.故选：D 4.（26-27高一上·云南曲靖·阶段检测）已知，若使不等式能成立，则实数m的最小值是（    ） A．0 B．1 C．3 D．4 【详解】由不等式，可得，解得，即，又由不等式，可得，解得，即，又由不等式，可得，因为使不等式能成立，即使不等式能成立，又因为，，可得，所以，设，令，当时，；当时，， 所以，所以实数的最小值为.故选：A 5.（26-27高一上·浙江·阶段检测）已知定义在上的函数满足，，当时，都有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【详解】由题设，即在R上为奇函数，令，在上，，所以，故在上单调递减，且，又，即在R上为奇函数，综上，在R上单调递减，由，则，所以，所以不等式的解集为.故选：D 6.（26-27高一上·辽宁沈阳·阶段检测）定义符号函数，设函数，其中，.若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】①当时，； ②当时，； ③当时，；综上所述，，其图象如图所示： 结合图象，由可得，当时，可得，解得；当时，，不满足题意；当时，可得，解得；综上所得，实数的取值范围是.故选：B 7.（26-27高一上·重庆渝中·阶段检测）给定函数，，．若，用表示，中的最小者，记为，若存在常数，使得成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】令.当时，，即，，无实根，故时，此时.当时，，即，解得或. 在同一个坐标系画出和 观察图象可得：当时，，； 当时，，；当时，，. 故，，故.又， 若，即时，，此时，不满足. 若，即时，.由得，整理得，解得.综上，的取值范围是.故选：A 8.（26-27高一上·河北石家庄·阶段检测）已知，且，记为的最大值，记为的最大值.已知，对任意，恒成立，则的最大值为（     ） A． B．1 C． D．2 【详解】因为，，所以，因为，所以，因为，所以，当且仅当时取等号，所以，当且仅当时取等号，故的最大值为1，即.因为，所以，所以，即，当且仅当时取等号，所以的最大值为2，即. 则对，恒成立，可化为对，恒成立.令，则，故.对，恒成立， 可化为对，恒成立.因为，所以，所以，此时，所以，当，，时，等号成立.此时成立，所以的最大值为.故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.（26-27高一上·河北·阶段检测）已知函数，则（    ） A．的图象关于点对称 B．的图象关于直线对称 C．在上单调递减 D．当时，的值域为 【详解】由题意可得，定义域为，将函数表达式进行变形， 对于A选项，可看成是由向左平移2个单位，再向下平移2个单位，所以对称中心由进行平移变换为，故A选项正确.对于B选项，直线对称，设上的任意一点， ，所以点也在图象上，所以的图象关于直线对称，故B选项正确.对于C选项，在上单调递减，在上单调递减，两个单调区间不能用并集符号连接，故C选项错误.对于D选项，当时，在上单调递减，所以当时，有最大值，即当时，有最小值，即所以的值域为，故D选项正确.故选：ABD 10.（26-27高一上·广东深圳·阶段检测）已知，对任意实数，不等式恒成立，则（   ） A．的最大值为9 B．的最小值为6 C．的最小值为 D．的最小值为 【详解】令可得；令可得，由不等式恒成立，则​，因，则，即， 故，所以，当且仅当，即取等号，所以A错误；因，则，即，故，即， 当且仅当，即取等号，所以B正确；由得，所以，故，当且仅当， 即取等号，所以C正确；由得，则，故当且仅当时，取最小值，所以D错误.故选：BC 11.（25-26高一上·山东泰安·期末）已知函数对任意，总有，当时，，若，则下列选项正确的是（   ） A． B．为奇函数 C． D．在上的最小值为-6 【详解】对于A，令，可得，可得， 令，可得，即， 因为，令，可得，所以，令，可得，所以，所以A错误；对于B，令，则，因为，所以， 所以函数为奇函数，即为奇函数，所以B正确； 对于C，令，可得，即（*）， 由，可得，将（*）代入上式，整理得（**），又由，可得， 将（**）代入上式，整理得，所以C正确；对于D，设且，则， 因为当时，，所以，又由， 则，即，所以函数在上为减函数，所以在上的最小值为，则 ，因为，所以，所以D正确.故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.（26-27高三上·内蒙古赤峰·阶段检测）若命题“，”为假命题，则实数a的值为______． 【详解】当时，不等式化为，解得，不等式有解，则原命题为真命题，不满足题意，令，（），由，得方程的根为，， 当时，二次函数开口向下，不等式一定有解，则原命题为真命题，不满足题意，当，且时，，二次函数开口向上， 则不等式一定有解，故原命题为真命题，不满足题意，当时，，不等式无解，则原命题为假命题，满足题意，综上所述，实数a的值为. 13.（26-27高一上·上海浦东新·阶段检测）定义表示实数，中的较大值．若，，是正实数，则的最小值是__________． 【详解】设， 当时，，已知是正实数，所以， 当且仅当，，时，等号成立；当时，，已知是正实数，所以， 若，则，，此时，与矛盾，所以等号无法取得． 则的最小值是． 14.（25-26高一上·广东广州·期中）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数是奇函数.已知函数.则函数图象的对称中心为____________ ；若函数关于点对称，且当时，.若对任意，总存在，使得，则实数的取值范围为__________________. 【详解】由可得，易知，即为奇函数，则的图象关于中心对称；易知在上单调递增，则时，有，根据题意可知时，的值域是的子集， 而，即过点， ①若，即，则在上单调递增，结合中心对称性，所以在上单调递增， 有，此时要满足题意需，解得 ②若，即，则在上单调递减，结合中心对称性，所以在上单调递减， 同上有，此时要满足题意需，解得 ③若，即，则在上单调递减，在上单调递增， 结合中心对称性，所以在上单调递减，在上单调递增， 则又，，要符合题意需，解之得，综上所述： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（满分13分） （26-27高一上·河南漯河·阶段检测）已知，集合，集合． （1）若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围； （2）若命题“，”是真命题，求的取值范围； （3）若命题“，”是真命题，求的取值范围． 【详解】（1）由，得，解得.所以集合. 集合.因为“”是“”的充分不必要条件， 所以且.因此，解得.所以实数的取值范围是. （2）因为命题“”是真命题，所以.因为，所以.由于，要满足，分两种情况： ①当时，则，解得； ②当时，则，解得.综上所述，实数的取值范围是或. （3）因为命题“”是真命题，所以.要使两集合有交集， 则，解得.所以实数的取值范围是. 16.（满分15分） （26-27高一上·江苏镇江·阶段检测）设，，其中，记． （1）若，求的值域； （2）若的图象始终在的图象上方，求实数的取值范围； （3）若，记函数对任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围； 【详解】（1）时，，故， ，当时，； 当时，，故的值域为. （2）的图象始终在的图象上方即为，故对任意恒成立，故，故，而，故. （3），因为对任意，总存在，使得成立， 故在上的值域为的子集，因为，故，故， 所以，解得. 17.（满分15分） （26-27高一上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）设． （1）若对于，恒成立，求实数m的取值范围； （2）解关于x的不等式； （3）若，对于，成立，求的最大值． 【详解】（1）函数，当时，， ，不等式恒成立，而，则， 所以实数m的取值范围是. （2）不等式， 当时，，，解得； 当时，恒成立，；当时，，而，不等式恒成立，； 当时，不等式为，解得；当时，，由，解得或， 所以当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或. （3）不等式 ，依题意，，，不等式恒成立，由，得函数在上单调递增，则，即对任意恒成立，令函数，因此二次函数在上的函数值恒小于等于0，则， 即，于是，当且仅当，即时取等号，当时，，对任意成立，所以的最大值为. 18.（满分17分） （25-26高一上·安徽芜湖·期末）已知函数，其中为常数. （1）若是上的奇函数，求的值； （2）若，求在上的最大值； （3）若在上存在2026个不同的实数，使得，求实数的取值范围. 【详解】（1）因为是上的奇函数，所以. 另一方面，当时：恒成立，所以是上的奇函数.所以： （2）时，所以在单调递增，在单调递减. 时，由， （i）时，有； （ii）时，有； （iii）时，有 （3）当时： （i）时：在上单调递增，所以 因为 所以； （ii）时：在上单调递增，同（i）可知 所以； （iii）时：在上递增，在上递减，在上递增，所以 所以不可能成立，舍去； （iv）时：在上递增，在上递减，所以 所以不可能成立，舍去.综上，的取值范围是：. 19.（满分17分） （25-26高一上·贵州黔南·期末）函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，它可以推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数. （1）求函数图象的对称中心. （2）若定义域为的函数的图象关于点成中心对称图形，且当时，. （i）求函数的解析式； （ii）若函数满足：当定义域为时，值域也为，则称区间为函数的保值区间.若函数在上存在保值区间，求实数的取值范围. 【详解】（1）设函数的图象关于点成中心对称图形，则令为奇函数，，即为奇函数， 解得∴函数图象的对称中心是. （2）（i）由函数的图象关于点成中心对称图形，令，则的图象关于点成中心对称图形，即为奇函数.当时，由，得. 当时，由，得.又， （ii）. ①当时，在上单调递增；当时，则即方程在上有两个不相等的根，即在上有两个不相等的根.令 .在上不可能有两个不相等的根； ②当时，在上单调递增，∴当时，则 即方程在上有两个不相等的根，即在上有两个不相等的根. 令， 则解得； ③当时，在上单调递增在上单调递增， 此时即 ，则易知在上单调递减， .又当时，，当且仅当，即时，等号成立，，此时无解.综上可知，的取值范围是. 1 学科网（北京）股份有限公司 $