专题05 函数的概念与性质（知识&考点&公式&13高频&3易错&7重难，期中知识清单）高一数学上学期苏教版必修第一册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题05函数的概念与性质 目 录 思维导图 知识清单(6类) 识记类 考点清单(9类) 公式清单(9类) 辨析清单(10类) 田 高频题型清单(13类) 由题型类 易错题型清单(3类) 重难题型清单（门类） 回答题类 答题技巧清单 识记类 思维导图 1.函数的三要素 定义域，对应关系，值域 函数的概念及其表示 2.函数的表示方法 解析式，列表法，图像法 函数概念与性质 3.分段函数 1.单调性 函数的性质 2.奇偶性 识记类 知识清单 1/35 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 知识点01函数的概念 1.一般地，设AB是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x,按照某种确定的对应关系 f,在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作 y-fx),x∈A. 其中，X叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函 数值的集合{fx)x∈A}叫做函数的值域.显然，值域是集合B的子集. 2.函数的三要素：定义域、对应关系和值域 1)定义域：使函数有意义的自变量组成的集合 2)对应关系：对应关系“”是函数的核心，它是对自变量x实施“对应操作”的“程序”或者“方法”· 按照这一“程序”或“方法”，从定义域A中任取一个x,可得到值域yy8),x∈A}中唯一的y与之对应， 同一“”可以“操作”不同形式的变量. 3)值域：自变量x按照对应关系f在定义域内取值时相应的函数值的集合.符号yx)表示“y是x的函 数”，指的是y为x在对应关系f下的对应值 知识点02函数的表示方法 函数的表示法：表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法 知识点03分段函数 1.定义：在函数的定义域中，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数通 常称为分段函数， 2.分段函数的图象：分段函数有几段，它的图象就由几条曲线组成在同一平面直角坐标系中，根 据每段函数的定义区间和表达式依次画出图象，要注意每段函数图象的端点是空心圈还是实心点，组 合到一起就得到整个分段函数的图象 知识点04增函数与减函数 1.增函数与减函数的定义 增函数 减函数 定义· 般地，设函数fx)的定义域为I,如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自 2/35 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 变量的值x1,x2 当x1<时，都有)≥ 当x1<3时，都有fx)≤，那么就说函数x)在区 x,那么就说函数fx)在 间D上是增函数 区间D上是减函数 y=fa) fx2) y/x) :fx) Fx)fx2) 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 2.函数的单调性与单调区间 如果函数y=x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y=x)在这一区间具有（严格的）单调性， 区间D叫做y=)的单调区间. 注意：(1)函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，所以单调区间的端点若属 于定义域，则该点处区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开， (2)单调区间Dc定义域I (3)遵循最简原则，单调区间应尽可能大， 知识点05函数的最大值与最小值 1最大值与最小值的定义 最大值 最小值 条件 一般地，设函数y=x)的定义域为D,如果存在实数M满足： Vx∈D,都有 fx)<M x)≥M 结论 M为函数y=x)的最大值 M为函数y=fx)的最小值 几何意义 )图像的最高点的纵坐标 x)图像的最底、低点的纵坐标 知识点06函数的奇偶性 1.函数奇偶性的定义 3/35 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 前提 定义域关于原点对称 定义 偶函数 般地，设函数)的定义域为D,如果VX∈D,都 有-X∈D且-x)=x),那么函数)就叫做偶函数。 奇函数 般地，设函数w)的定义域为D,如果HX∈D,都 有-x∈D且-w)=x),那么函数x)就叫做奇函数。 等价形式 若f(x)≠0， -x=-1一f(-x)+f(x)=0一f(x)是奇函 f(x) 数： 若fx)≠0， f-=1一f(-x)-f代(x)=0一f(x)是偶函数。 f(x) 2.奇、偶函数的图像特征 1)y=∫(x)是奇函数一它的图像关于原点对称： 2)y=f(x)是偶函数一它的图像关于y轴对称。 3.奇、偶函数的单调性 1)奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性， 可简记为“奇同偶异”，如图(a>0). -a ○ a a x 偶函数 奇函数 2)偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大（小）值，取最值时的自变量互为相反数：奇函数在关于 原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数.（函数在区间端点处有定义）。 识记类 考点清单 4/35 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 考点01同一个函数 考点内容：判断两个函数是不是同一个函数。 如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同， 那么这两个函数是同一个函数 考点02求函数的定义域 考点内容：已知函数的解析式求定义域；抽象函数求定义域， 1.求函数的定义域一般转化为解不等式（组）的问题，注意定义域是一个集合，结果必须用集合 或区间的形式表示 2.己知函数解析式求函数的定义域 1)如果函数解析式是整式，那么在没有指明定义域的情况下，它的定义域是实数集R. 2)如果函数解析式含分式或零次幂，那么函数的定义域是使分母或幂的底数不为零的实数的集 合 3)如果函数解析式含偶次方根，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集 合 4)如果函数解析式是由几部分式子构成，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义 5)函数yx)由实际问题给出时，定义域还受问题的实际意义的限制. 考点03求函数值 考点内容：己知函数的解析式求函数的值；抽象函数求函数的值. 1.已知函数的解析式求函数值，直接将自变量的值代人解析式中求解即可，如果自变量是以代 数式的形式出现的，那么将代数式看成一个整体，代替解析式中的自变量求解. 2.抽象函数的求值问题一般用赋值法. 3.与求值有关的含参问题，常利用方程思想求解 考点04求函数的解析式 考点内容：给出函数类型求函数的解析式；给出部分性质求函数的解析式 1.求函数的解析式需要注意的问题是求出解析式后要判断定义域，若定义域为，可以不用标注， 5/35 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 否则，要在解析式后标出来 2.待定系数法：当已知函数类型（如一次函数、二次函数、反比例函数等）时可用待定系数法求函 数解析式. 3.换元法与配凑法 1)换元法：已知fg(x)》是关于x的函数，求fx)的解析式，通常令g(x)t,由此能解出x=e(t),将 x=e()代人fg(x)》中，得到f)的解析式，再用x替换t,便可得到fx)的解析式. 2)配凑法：将所给函数的解析式(g(x)通过配方、凑项等方法，使之变形为关于g(x)的函数解析 式，然后用x代替gx),即得所求函数解析式，这里的g(x)可以是多项式、分式、根式等，注意 g(x)的范围，即fx)的定义域， 3.消元法（解方程组法） 对于含有f(x,f()k≠0)或f(x,f(x-aa为常数)形式的方程，求f(x)的解析式常用消元法 (也称解方程组法) 4.赋值法：一般取0,1，-1，x等。 考点05分段函数的应用 考点内容：分段函数求值；分段函数的解析式 1.根据分段函数求函数值fx, 判断Xo属于哪个区间，代人相应的解析式求fxo,当出现f(fx)的形式时，应由内 向外依次求值. 2.已知函数值求自变量的值，即已知fx=a,求x, 1)当x,∈A1时，由f1(x=a,求出x验证x是否属于A1,若是，则留下，若不是，则舍去： 2)当X∈A2时，由f2x)=a,求出X,验证x。是否属于A2,方法同上. 3.解不等式fx>a fx>a=xeA或xeA, f (x>a f,(x>a 4.生活正的分段函数 6/35 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 考点06函数的图像变换 考点内容：通过函数图形变换画出函数图形；通过函数解析式判断函数是由哪种函数变换的来. 1.函数图象的平移变换（对于自变量而言） 左加右减：函数y=f(x)的图象沿x轴方向向左(a>0)或向右(a<0)平移a个单位长度得到函数 y=f(x+a)的图象. 上加下减：函数y=fx)的图象沿y轴方向向上(b>0)或向下(b<0)平移b个单位长度得到 =f(x)+b. 2.函数图像的对称变换 1)y=f(x)的图像关于x轴对称y=-f(x)的图像 2)y=fx)的图像关于y轴对称y=f-x)的图像 3》y=f(x)的图像关于原点轴对称y=f-x)的图像 3.函数图像的翻折变换 1力y=f×的图俊保袋装物yc的西俊 保留y轴上及右边的图像 1)y=(x的图像把y勃方边的图像翻折到y抽左边V=f的图像 考点07常见函数单调性 考点内容：判断基本初等函数的单调性；根据函数的单调性求参数. 1.一次函数y=kx+b:k>0时，单调递增；k<0时，单调递减。 2.反比例函数y=水(k≠0)：k>0附，在(-0,0)，(0，+)上单调递减： k<0时，在(-∞，0)，(0，+∞)上单调递增。 3.二次函数y=ax+bx+ca≠0： a>0时，在(-，“2 b)上单凋递减，在(-b,+,)上单调递增. 2a a<0时，在(-0,2a )上单调递增，在(，+∞，）上单调递腿 7/35 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4.对勾函数f(x=x+9(a>0)在(-o,-/ā)，(a,+0)上单调递增 在(-Va,0),(0,Vā)上单调递减 5若函数f(x),gx)在区间1上具有单调性，则在区间1上具以下性质： 1)f(x)与f(x+C),fx)+C(C为常数)的增减趋势-致。 2)当a>0时，f(x)与af(x)具有相同的单调性；当a<0时，，fx)与af(x)具有相反的 单调性。 3》若新x恒为正值或恒为负值，则F(x)与X具有相反的单调性。 4)若f(x)≥0，则f(x)与Vfx具有相同的单调性。 5)当f(x),g(x)都是增（减）函数时，若两者都恒大于零，则fx)9(x)也是增（减）函数： 若两者都恒小于零，则fx)9x)也是减（增）函数。 考点08函数单调性的应用 考点内容：比较大小；解不等式；已知单调性求参数 1.比较大小 比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性求解， 2.解不等式 利用函数的单调性解不等式主要是利用单调性的定义将符号“”脱掉，使其转化为具体的不等 式来求解.此时应特别注意函数的定义域。 3.利用单调性求参数 利用单调性的定义，在单调区间内任取x1,x2且水1<x2,由f(x1)-f(x2)<0(或(x1)-f(x2)>0) 恒成立，结合一些特殊函数的特征列出关于参数的不等式组，求解即可。 考点09函数奇偶性 考点内容：判断函数的奇偶性；己知奇偶性求参数。 1.性质法：设fx),g(x)的定义域分别是D1,D2,那么在它们的公共定义域上有：奇+奇=奇，奇 x奇=偶，偶+偶=偶，偶x偶=偶，奇x偶=奇. 2.由函数奇偶性求函数值 8/35 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由函数的奇偶性求函数值时，若所给的函数具有奇偶性，则直接利用f(-x)=-f(x)或f(- x)=f(x)求解：若所给的函数不具有奇偶性，一般需利用所给的函数来构造一个奇函数或偶函数， 然后利用其奇偶性求值。 3.已知奇偶性求参数 己知函数的奇偶性求参数的三种思路： 1)若定义域中含有参数，则可由定义域关于原点对称，即区间端点值的和为0列方程求参数 2)一般化策略：对x取定义域内的任意一个值，利用f(-x)与f(x)的关系确定参数的值 3)特殊化策略：根据定义域内关于原点对称的特殊自变量对应的函数值的关系列方程求解，求出 结果后要代入检验. 识记类 公式清单 1抽象函数的定义域 1.求抽象函数的定义域，要明确以下几点： 1)函数fx)的定义域是指x的取值范围. 2)函数f(g()的定义域是指x的取值范围，而不是g(x)的取值范围. 3)f),fgx),fh(s)三个函数中的t,g8),h(s)在对应关系f下的取值范围相同. 2。抽象函数定义域的求解方法：· 1已知fx)的定义域为A,求fg(x)的定义域，实质是己知g(x)的取值范围为A,求x的取值范围 2已知fg(x)的定义域为B,求fx)的定义域，实质是已知x的取值范围为B,求g(8的取值范围，此范围就是 fx)的定义域 3已知fg(x)的定义域为C,求fh(x)的定义域，实质是己知gx)中的x的范围为C,求出g(x)的范围D,再 令h(s)的范为D,求出x的范围，此范围就是fh(x)的定义域。 2.二次函数解析式的三种形式 1.一般式：f(x)=ax2+bx+ca≠0，已知二次函数图象上三点的坐标时，常设一般式 2.顶点式：f(x)=ax-m/+na≠0，m,n)为图象的顶点坐标，已知二次函数图象的顶点坐标或对称 轴时，常设顶点式。 9/35 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.交点式：f(x)=a(x-x1(x-x2)(心2，X,x2是方程f(x=0的两个根，已知二次函数图象与x轴的 交点情况时，常设交点式解题时需根据题目条件灵活选择解析式形式。 3.函数单调性的性质 在公共定义域内，增+增=增，减+减=减，增-减=增，减增=减，“增-增，减-减，增+ 减"的单调性不能直接确定，要根据具体函数进行分析判断 4.复合函数单调性的判断方法 1.由函数u=g(x),y=f(u)复合而成的函数y=f(gx)的单调性的判断方法如下表： u=g(x) =f(u) y=f(g(x)) 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 简记为：同增异减 2.判断复合函数yfg(x)的单调性的步骤： 1确定函数的定义域； 2将复合函数分解成yfu)与u=g(x): 3分别确定这两个函数的单调性； 4用“同增异减”判断函数y=g(x)的单调性 10/35 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5函数最值（值域）的常用方法 1)单调性法：确定函数的单调性，进而求出最最值（值域） 2)配方法：主要适用于二次函数或可化为二次函数型的函数，要特别注意自变量的取值范围， 3)图象法：当所给的函数图象易作出时，可作出函数的图象，观察其最高点、最低点，求出最值（值 域). 4)基本不等式法：对解析式变形，使之具备“一正、二定、三相等”的条件后用基本不等式求出最值 (值域). 5)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，用换元法时一定要注意新元的取值范围. 可)分离常数法：主要适用于分式型函数，分离常数后转化为熟悉的函数. )判别式法：主要适用于分子或分母是关于自变量的二次式的分式型函数，通过转化为整式，利用判别 式非负求得函数的最值（值域）. 6.常见函数的奇偶性 1)一次函数fx)x+bk≠0)，当b=0时，是奇函数；当b≠0时，是非奇非偶函数. 2)二次函数fx)=ax+bx+ca≠0，当b=0时，是偶函数：当b≠0时，是非奇非偶函数 动反比例函数y=长(k≠0)是奇函数 X 4对勾函数y=X+(k>0)是奇函数 7对勾函数与飘带函数 函数 f(x)=x+0(a≠0)】 11/35 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 a的范 a>0对勾函数 a<0飘带函数 围 图像 y=x 2Na √a a -2a 定义域 xx≠0 值域 (-0,-2Va)U(2Va,+0) R 奇偶性 奇函数 奇函数 单调性 在(-o,-ā)和(Va,+o)上单 在(-∞，0)和(0，+∞）上单调递增 调递增，在(-Va,0)和(0，Va)上 单调递增 8.函数图像的对称性 1.函数y=f(x)的图象的对称性 1)函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称=f(x+a)=f(-x+a)=f(2a-x)=f(x). 2若y=fx),f(x+a=f(-x+b)恒成立，则y=f(x)的图象的对称轴是直线x=a也 2 8政y-fx附图象关于直线x-对格一 f(mx+a)=f(-mx+b)(m0)=f(-mx+a+b)=f(mx) 4若fx+a)+f(-x+a)=2b,则f(x)的图象关于点a,b)对称. 12/35 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5)若f(x)=-f-x+a,则函数y=f(x)的图象关于点（号，0对称 2.两个函数图象的对称性 1)函数y=fx)与函数y=f(-x)的图象关于直线x=0(即y轴)对称. 酒数y-fx+a与y=fb-X的图象关于直线x-6:对际 3)函数y=f(mx-a)(m≠0)与函数y=fb-mx)的图象关于直线x=g,+b 2m对称 9.抽象函数单调性方法 1.若给出的是“和型"(f(x+y)=)抽象函数，判断符号时的变形为 f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)+x1)-f(x1)或fx2)-fx1)=f(x2)-f(x1-x2)+x2: 若给出的是“积型”f(xy)=)抽象函数，判断符号时的变形为f(x)小f(x)=f(x)-f(x,义)或 f(x)-f(x)-f(x-x 识记类 辨析清单 辨析01函数f(x)的含义与乘法混淆 1)集合A,B是非空数集. 2)集合A中的任何一个元素在B中都有唯一确定的一个元素与它对应， 3)集合B中的个别元素有可能在A中没有与它对应的元素， 13/35 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4)符号y=f(x)表示函数，其中f表示对应关系，f(x)表示x对应的函数值，而不能理解为f乘x,有 时还可以用g(x),t(x,F(x)等来表示函数 辨析02f(x)与f(a)(a为常数)的区别与练习 f(a)表示当x=a时函数f(x)的值，是一个常量，而f(x)是自变量为x的函数，在一般情况下，它 是一个变量，f(a)是f(x)的一个特殊值，例如f(x)=3x表示函数，f(3)=9是一个常量： 辨析03分段函数作图的注意问题 1.根据函数的概念可知，在函数图象中，不能有两个或两个以上横坐标相同的点. 2区间端点是否包含在内，若包含端点，则用实心点表示；若不包含端点，则用空心圈表示。 3在画每一段函数图象时，可以先不管定义域的限制，用虚线作出其图象，再用实线保留其在该 段定义区间内的相应图象，即“分段作图”， 辨析04定义域书写的要求 若定义域不止一段，则用区间表示时，不能用“或”“，”连接，而用并集符号“U”连接。 辨析05在区间1上单调，对I的理解 1.区间I可以是整个定义域D,即I=D.例如：y=3x+1在整个定义域（∞，+∞）上是增函数，y=-3x-3在整个 定义域（∞，+∞）上是减函数. 2.区间I可以是定义域D的真子集，即ID.例如y=x2在（∞，+∞）上不具有单调性，但y=x2在(-∞，0)上单 调递减，在[0，+∞)上单调递增. 14/35 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.区间1一定是连续的. 辨析06对单调性定义的理解 1.定义中的X1,X2有三个特征： 1)任意性，“VX1,X2”中“V”不能去掉，不能以特殊代替一般； 2)有大小，通常规定X1<X2; 3)属于同一个单调区间. 2.树立定义域优先意识，“I二D”即“定义域内的某一区间I. 3.定义的等价形式：Hx1,X2∈[a,b],且x1≠x2. 1)fX-fX0=fx在a,b上单调递增，f,-fxL<0一fx[a,b]止单调递减 X1-X2 X1-X2 2(xx(f(x-fx)>0一f(x)在[a,b]止单调递增：(x-xfx-f(x)<0一f(x)在 [a,b上单调递减 辨析07函数单调性与单调区间的理解 1.并非所有的函数都具有单调性，如f(x=C(C为常数). 2.区间必为定义域D的子集，所以函数的单调性是函数的局部性质. 15/35 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.对于有定义的区间端点，由于它的函数值是唯一确定的常数，没有增减的变化，所以不存在单调性 问题，因此在写单调区间时，可以包括，也可以不包括当函数在区间端点处无定义时，单调区间就不 能包括这些端点例如，函数y=心，0上单调递减，但不能写成在心，01上单调递减，因为当 X X=0时，y=1无意义， X 辨析08函数最值的理解 1.最值是一个函数值，即存在一个自变量x,使得f(x等于最值. 2.对于定义域内的任意元素x,都有fx)≤f(x)(或f(x)≥fx),“任意”两个字不可省略. 3.使函数f(x)取得最大（小）值的自变量的值有时可能不止一个 4.不是所有函数都有最值，要根据给定区间进行确定， 5.闭区间上的连续函数一定存在最值，当函数在闭区间上单调时，最值一定在端点处取得. 辨析09函数最值和值域的区别与联系 1.联系：函数的最值和值域反映的都是函数的整体性质，针对的是整个定义域. 2.区别：1)函数的值域一定存在，而函数的最大（小）值不一定存在， 2)若函数的最值存在，则最值一定是值域中的元素，例如：函数f(x=x2对任意的X∈R:都有 fx≥-1'但是fx的最小值不是-1，因为1不在f(x的值域内. 16/35 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 辨析10函数奇偶性的深度理解 1.函数的奇偶性是相对于函数的定义域来说的，这与研究函数的单调性不同.从这个意义上说，单调性 是函数的“局部”性质，奇偶性是函数的“整体”性质，只有对函数f(x)定义域内的每一个X,都有 f-x)=-fx)(咸f(-x)=f(x山才能说函数f(x)是奇函数（或偶函数. 2.函数具有奇偶性的前提是定义域关于原点对称，否则这个函数既不是奇函数也不是偶函数 3.若奇函数f(x)在x=0处有定义，则f-0)=-f(0)从而f(0)=0,但要注意f(0)=0是fx)为奇函数的 既不充分也不必要条件. 4.若f(x)为偶函数，则f(x)=f（Ix): 题型类 高频题型清单 【题型一】函数关系的判断 【例1】(25-26高一上江苏期中)已知集合A={0,1,2,B={-1,1,3,下列对应关系中，从A到B的函数为 () A.f:x→y=x B.f:x-y=x2 C.f:x→y=2x-1 D.f:x→y=2x2-1 【变式1-1】(25-26高一上·江苏·期中)（多选）下列说法正确的是() A.式子y=x-1+-x-1可表示自变量为x、因变量为y的函数 17/35 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C.函数y=fx的图象与直线x=1最多有1个交点 D.若函数的值域只含有一个元素，则定义域也只含有一个元素 【变式1-2】(25-26高一上·江苏无锡新吴区江苏梅村高级中学空港分校·期中)（多选）下列对应为集合B到 C的函数是() A.B=0,+ool,C=R,xEB,f:x-y,y=x B.B=R,C=R,x∈B,f:x→y,y=xX C.B={2,4,5,C={4,6,8,10,x∈B,f:x→2x D.B=Z,C=Q,x∈B,f:x→y,y=5X 【变式1-3】(25-26高一上·江苏徐州树恩中学.期中)（多选）下列从集合A到集合B的对应关系中，y是x 的函数的是() A.A=B=R,对应关系f:x→y=x-2x+1 B.A=B=N,对应关系f:X一y-登 C.A=0,+o,B=R,对应关系f:x→y=x D.A=R,B={1,对应关系f:x→y=1 【变式1-4】(25-26高一上·江苏射阳县盘湾中学期中)函数y=fx的图象与直线x=4的交点的个数为 【题型二】函数的定义域 【例2,1】25,26商一上江苏扬州大学附属中学东部分校期中函数fX=出：的定义域为 3-x 【变式2-1】(25-26高一上江苏徐州第三十七中学期中)函数fx=1-x+ x+2的定义域为() A.-0o,1 B.-00,-2U-2,1 C.-00,-2U-2,+o D.-∞，-2U-2,1 【变式2-2】24-25高一上江苏泰州第三高级中学、田家炳中学期中已知函数fX=X+3X+4的定义 18/35 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 域为 【变式2-3】(24-25高一上·江苏徐州铜山区期中)已知集合A=乙，B=乙，且CRA二B,则实数m的取值范 围是() A.m>2 B.m≥2 C.m<-2 D.m≤-2 【题型三】同一个函数的判断 【例3】(25-26高一上江苏苏州常熟·期中)（多选）下列函数为同一函数的是() A.flx=x-1 x-g(x=(x-1P(x+1) B.flx)=x-1.x+1'g(x)=x2-1 C.flx)=91-x.1+x glx)=1-x2 D.flx)=x2-x+1'g(t)=t2-t+1 【变式3-1】(25-26高一上·江苏宿迁宿豫中学·期中)（多选）下列说法正确的是() A.函数y=x与函数y=x为同一函数 B若数fx=.则商数g-x-+2的定义城为L2u2,+o四 c.若fRx-1=x+x22则f江=5 D.若函数fx=X+1其值域为1,2,5 则这样的函数有4个 【变式3-2】(25-26高一上江苏常州北郊高级中学期中)下列四组函数中，fx与9x表示同一个函数的是 () A.flx)=x g(x)=x B.flx)=xP g(x=x c.fx刘=gx= X D.flx)=g(x=x 【变式3-3】(25-26高一上江苏江阴部分学校期中)下列各组函数表示相同函数的是() A.flx)=x+1.x-I'g(x]=x2-1 B.f(x)=1'g(x]=x 19/35 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 c.flx)=g(x=x D.fg=x x2+1 【题型四】函数值问题 【得155奇-上江奇就镜铁团收期Ef母若州2-《) B号 D.4 【变式4-1】Q5-26高-上江苏淮安调明)已知函数fX=ax2+x-8且f-2=10则f2=（） A.-10 B.26 c.-26 D.18 【变式4-2】(25-26高一上江苏南京七校联合体期申中)已知二次函数fx满足fx-1=X+x+2则f2= 【变式43】2526高一上江苏南通期中)已知f1=X+1,则f12=（） xx2-1 5 A.3 B.- C.3 【题型五】求函数的解析式 【例51】Q4-25高一上江苏扬州扬州大学附属中学东部分校期中)已知f(x)=X2+X-1'则f(x+1) 【变式5-1】(23-24高一上·江苏连云港海州区板浦高级中学·期中)(1)已知f(x)是二次函数，且 f(x+1)+f(x-1)=2x2-4x+4'求f(x)的解析式： (2)已知函数f(√x+1)=2x-1,求函数f(x)的解析式. 【变式5-2】(23-24高一上江苏南通肩东东南中学：期中(1)已知fRx+1=x+2x求fx； (2)已知fx为二次函数，且fx+1+fx-1=2X.4x求fx 20/35 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 已2f+f =xx∈R且x0》求fx的解析式. 【变式5-3】(23-24高一上·江苏天一中学·期中)已知定义在R上的函数fx满足： 3f2-x)-2f(x)=x2-2x (1①)求函数fx的解析式： (2)已知a∈R,解关于x的不等式f(x)+a>0. 【题型六】分段函数的图像与取值 【例6-1】(5-26商一上江苏扬州商邮期中)设函数fx=:若fxg=1则x,=（） A.0或2 B.0或3 C.2 D.0或2或3 【变式6-1】(25-26高一上·江苏盐城五校联考期中)已知实数t≠0，函数f(x)=乙若f(1+3t)=f(1-2t), 则t的值为() A男 C. D.1 【变式6-2】(24-25高一上江苏南京师范大学附属中学.期中)设函数f(x)=乙，则f-4=() A.-4 B.-2 c.0 D.2 【变式6-3】(24-25高一上·江苏南京外国语学校期中)已知函数fx=式，若fx=t有三个不同的解x1,X2, X3,则t的取值范围为 ,X1+X2+X3的取值范围为 【题型七】函数单调性的判断与证明 【例71】4-25高一上江苏无锡第一中学期中)(1)函数y=fx是一次函数，且ffx=9x+8:求 fx的解析式： ②已阳西fWX4的定义城为-22八月f位音防x的华调任，并用商敏华调性的定 x+4 义进行证明。 【变式7-1】(22-23高一上江苏镇江实验高级中学期中)已知函数fx=x+3x-1. 21/35 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)在坐标系中画出函数fx的图象： (2)判断函数fx在区间-2,1上的单调性，并用定义证明： 【变式7-2】(23-24高一上江苏常州北郊高级中学期中)已知函数x=X+3 x+1 ()当x∈1，+oo时，判断fx的单调性并证明： (2)已知条件p:1≤x≤3，条件q:x-ax+3-a>0,若p是q的充分条件，求实数a的取值范围. 【变式7-3】(23-24高一上·江苏南京外国语学校期中)已知函数y=f(x的定义域为(0，+∞)，且 f(y)=fx)+fy).当x∈(0,1)时，f(x)<0 (求f(1): (2)证明：函数y=f(x)在(0，+o)为增函数： 6如果f-1解不等武rx-fX2上3 【题型八】函数的单调区间 【例8-1】(25-26高一上江苏南京金陵中学期中)函数fx=2+x的单调减区间为 X 【变式8-1】(25-26高一上·江苏海安高级中学.期中)函数 y=VX+x-6 的单调递增区间为() B. 2,+0 C.-0o,-3 【变式8-2】Q526高一上江苏常州金坛区第一中学期中已知函数fX=X十x-1(-3≤x<3). 2 22/35 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 珠 3 -3:-2:-1O 12:3:4: -2 …3 (①)用分段函数的形式表示该函数： (2)画出该函数的图象： (3)写出该函数的单调区间（指明增减）、值域 【变式8-3】(24-25高一上·江苏南京师范大学附属实验学校·期中)已知函数fx是定义在R上的奇函数，且 当x≥0时，fx=xx-4. 543-2-11.2.3.4.5x -5 (1)作出函数fx的图象： (2)写出fx的单调递增区间和单调递减区间： 求fx在区同-5 1上的最值 【题型九】已知函数的单调性解不等式 【例9-1】25-26高一上江苏苏州实验中学期中)已知函数fx定义域为0，+o?Vx'X,∈0，+o0: xfx。-x,fd<0且f3=6fa2+2a>2a2+4a则实数g的取值范围是（） X1-X2 A.-∞，-2U0,+0o B.-00,-3U1,+o c.-3,1 D.-3,-2U0,1 23/35 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式9-1】(24-25高一上江苏连云港东海县期中)已知函数f引x=x+2+x-3,若fa>f3-2a,则实 数a的取值范围是() A.-∞，-2 B.-00,-1 C.(1,+oo D.3,+o 【变式9-2】(23-24高一上·江苏连云港赣榆区期中)已知函数fx= x-1,x∈l1,+ool (1)判断函数fx在1，+o∞上的单调性，并利用定义证明： (②)若f2a+1>fa+2,求实数a的取值范围. 【交式9312324商一上江苏南通奇交高级中学期中刊已知晒数fX=行。×∈22，满足条件 f0=0 f2 (1)求a,b的值： (2)用单调性定义证明：函数fx在区间-2,2上单调递增； (3)若fa+1-f2a-1>0,求实数a的取值范围. 【题型十】分段函数解不等式 【例10-1】25-26高一上·江苏苏州：期中)已知函数fx=乙，若gt-1>6,则实数t的取值范围为( A.-0,0 B.0,2 C.-o,0U2,+∞ D.2,+o 【变式10-1】0425高一上江苏苏州常熟期中)已知函数fx=乙则不等式f2x-4>fX2-3x的解集为 【变式10-2】21-22高一上江苏南京师范大学附属中学期中)已知函数f(x)=乙，且f引-1=-1. I)求ff2的值： (②)当x∈2,3时，求fx的值域： 24/35 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3)解不等式：fx+fx-2<-10, 【变式10-3】(25-26高一上·江苏盐城五校联考期中)已知函数fx=元. (1)若f(x)是R上的增函数，求实数a的取值范围： (②当a=2时，求不等式f(x+1)<X+1的解集： (3)当a=3时，判断函数G(x)=f(x)-二在区间4，+∞上的单调性并用定义证明 【题型十一】函数奇偶性的判断 【例11-1】(25-26高一上·江苏镇江·期中)下列函数为偶函数的是() A.flx)=x+2x B.fx=xx刘 C.fx=10-10 10*+10* D.fx=5+5 【变式11-1】(25-26高一上·江苏南通期中)x∈R,f(-x)=f(x)”是“fx)为R上的偶函数”的 () A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【变式11-2】(25-26高一上江苏南京金陵中学.期中)（多选）设函数fx,gx定义域均为R,则下列结 论正确的有() A.若fx,gx均为奇函数，则函数kx=fx+gx为奇函数 B.若fx,gx均为增函数，则函数hx=f引xgx为增函数 C.若fx'gx均为偶函数，则函数px=fgx内增函数 D.若fx,gx均为偶函数，则函数ox=fxgx为偶函数 【变式11-3】(24-25高一上·江苏南京外国语学校·期中)（多选）下列函数中，既是偶函数又在区间 0,+∞上为增函数的是() A.y=2-2x-x2 B.y=x2-5 C D.y=3x+1 25/35 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【题型十二】函数的奇偶性求解析式 【例12-1】已知函数fx,gx,hx的定义域都为R,其中fx为奇函数，gx为偶函数，且 fx=x+1hxgx=hx-x,则函数hlx= 【变式12-1】(25-26高一上江苏苏州苏州大学附属中学期中)已知y=fx是定义在-o0,0U(0,+o∞上的 奇函数，且当x∈0,0l时，fx=x--1,则当x∈0，+o时，fx=(） A.-x+1-1 B.x.1-1 X C.-x+÷+1 X D.x 【变式12-2】(25-26高一上江苏常州北郊高级中学期中)（多选）已知函数fx是定义在R上的奇函数， 当x>0时，fx=X+x-2 则下列结论正确的是() X+1 A.f0=-2 B.fx的单调递增区间为-1,0利1，+o0 C.当x<0时，fx=x+,2 1-X D.fx<0的解集为-1,0U0,1 【变式12-3】(25-26高一上·江苏无锡经开区太湖高级中学期中)已知函数fx=乙是定义在R上的偶函数. 珠 3 -4-3-2-1 1234x -1 1-2 (1)求函数f(x的解析式： (2)在下图所给的坐称系中画出f(x)的图象，并写出函数f(x(x∈R)的增区间. 26/35 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【题型十三】函数奇偶性求参数 【例13-1】(25-26高一上·江苏宿迁宿豫中学期中)若函数fx=乙是奇函数，则() A.a=1,b=1 B.a=1,b=-1 C.a=-1,b=1 D.a=-1,b=-1 【变式13-1】24：25高一上江苏锡山高级中学锡西分校期中)若函数fX=m+1X+m-1x+7是定义 在(-2n,3n-3)上的偶函数，则fn+fm=() A.34 B.25 C.16 D.9 【变式13-2】4-25高一上：江苏苏大附中期中)已知函数fx=VX+x+1a∈R)是偶函数，则函数 f(x)的单调递增区间为 【变式13-3】425高一上江苏无锡江阴成化高级中学期中)已知函数fX=aX+bx在其定义域内为偶 x2+1 =空14f+ff+f+f224于） 4047 4045 A.2024 B. C.2023 D. 2 题型类 易错题型清单 【题型一】抽象函数的定义域 【例1】(24-25高一上江苏盐城五校联盟期中)已知函数y=fx的定义域为-5,3，则函数y=f2x+1的 定义域为 易错警示 在帽子“”下括号内的取值范围是一样的 【变式1-1】(24-25高一上江苏南通如东、通州区期中)已知函数f(x-1)的定义域为(2,4)，则函数 f(x)+fx的定义域为() 27/35 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.(1,V2) B.(1,3 c.(1,4 D.(1,9】 【变式1-2】(25-26高一上·江苏南通海门中学·期中)已知函数fx+2的定义域为-3,4，则函数 gx= f(x+1) 9V3x-1 的定义域为 【题型二】抽象函数忽略赋值法 【例2】(25-26高一上·江苏宿迁·期中)已知函数fx为R上的增函数，对于任意x,y∈R都有 f(x+y]=f(x)+f(yl (1)求f0: (2)判断函数fx的奇偶性并证明； (3)已知a为实数，解关于x的不等式flax2>2fax+f2x-4 易错警示 抽象函数一般由方程（或不等式）确定，解决这类函数的单调性问题通常有两种方法：一种是“凑”，凑 定义或凑已知，从而使用定义或已知条件得出结论：另一种是“赋值”，给变量赋值要根据条件与结论 的关系，有时可能要进行多次尝试 【变式2-1】(25-26高一上江苏南通海门中学.期中)已知函数fx的定义域为R,对任意的x,y∈R都有 fxy=fxfy,且x<0时，f(x)<0,x>1时，f(x)>1 (1)求f1的值并判断函数fx的奇偶性： (2)讨论fx的单调性并证明： (3)若f4=16,fxfx+1-4fax+6≥0对任意的a∈0,1成立，求实数x的取值范围. 【变式2-2】(24-25高一上·江苏宿迁中学·期中)已知函数fx)的定义域为R,对任意实数x,y都有 fx+y)=f(x)+f(y)+1,当x>0时，f(x)>f(0】 ()求f(O)的值，并证明函数f(x)为R上的增函数； (2)求证：函数f(x)+1为奇函数： ③)若f1)=0解不等式f(x-x)-f2+x)<6 【变式2-3】(24-25高一上·江苏西交大附中纳米班·期中)已知定义在R上的函数f(x)满足 f(x+y+2)=f(x+1)+fy+1),当x>0时，f(x)>0. (1)若f(1)=2,求f(-4)的值 (2)证明：f(x)是奇函数且在R上为增函数. 28/35 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3)解关于x的不等式fx)-f{3x<f(ax)-f(3a 【题型三】奇偶性解不等式忽略偶函数的对称性 【例】5,25高-卡江苏盐城闭中学期即归热定义-山上的奇孟微fx-将且1)号 (1)求a,b的值，判断f(x)在0,1上的单调性，并用定义证明： (2)解关于实数t的不等式f(t-1)+f(t)<0 (3)若f(x)≤m2-2pm+对vx∈[-1,1]，Yp∈[-3,3]恒成立，求实数m的取值范围. 易错警示 奇函数与单调性的重要结论： 若奇函数f(x)在R上单调递增，则a+b≥0一f(a)+f(b）≥0，若奇函数f(x)在R上单调递减，则 a+b≥0=f(a)+fb)≤0. 偶函数的一个重要性质：f(Ix|)=f(x),它能使自变量化归到[0，+∞0)上，避免分类讨论 【变式3-1】25-26高一上·江苏无锡滨湖区辅仁高级中学期中)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且 在区间[0，+∞)上单调递减，则不等式f(2x)>f(x+1)的解集为 【变式3-2】(24-25高一上江苏锡山高级中学.期中)已知fx是定义在R上的偶函数，当X1<x2≤0时，都 有利x-xfx小-x<0,f-2=0,则不等式fx+2≥0解集是() A.【-4,+∞ B.-o,-4U0,+∞C.(0,+∞ D.-4,01U10,+oo 【变式3-3】Q425高-上江苏扬州高都期中)已知函数fX=X+a为-b-1,2b止的偶函数 bx2+4 (1)求实数a,b的值： (2)判断fx在0,2上的单调性，并用定义证明： (3)若f1-2m> ，求实数m的取值范围 题型类 重难题型清单 【题型一】函数的最值与值域 29/35 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【例1】(25-26高一上·江苏无锡经开区太湖高级中学期中)（多选）下列函数中，最小值为4的是() A.y=x+1+2 B.y=+,10<x<1 X x 1-x C.y=Vx2+3+4 D X2+3 y=V8-x+8+x 【变式1-1】(25-26高一上江苏常州北郊高级中学期中)fx=2x-1+3-x,x∈R,则f引x的最小值为 () A.2.5 B.5 C.3 D.4.5 【变式1-2】24-25高一上广东东莞东莞中学期中函数fx=x+43,4上的最小值是一 【变式1-3】5-26高一上江苏海安高级中学期中)给定函数fx=-X+1'gx=x-1,若 Mx=max(flx,gx:则Mx的值域为 【题型二】构造函数解不等式 【例2-1】(25-26高一上江苏苏州南京航空航天大学苏州附属中学.期中)已知函数y=fx定义在0，+oo 上，且对任意的x>0,X>0,X≠x都有fX-xfx>2,f131=8则不等式 X2-X1 fx2-2x≥2x2.4x+2的解集为 【变式2-1】(24-25高一上江苏宿迁中学.期中)已知函数fx的定义域为R,对任意的x1<X2,都有 fx小-fx>xx则不等式f2x+1-fx-1<x+2的解集是（) A.-1,+0∞ B.-2,+o C.-3,+o D.0,+o 【变式2-2】(24-25高一上·江苏常州第一中学·期中)若函数fx是定义域为R,且对Vx1,x2∈R,且 30/35 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x<x有fx-fx<2x-2x'不等式f -1引+2x>2的解集为 【变式2-3】4-25高一上江苏响水中学，清源高中：期中)已知函数fx满足对任意x,X∈0，+o0?当 x,<x,时，fx+Vx,>fx+x恒成立，若f16=16:则不等式f2x小</2x+12的解集为(） A.0,4 B.0,16 C.(16,+∞ D.(8,+0 【题型三】已知函数的单调性求参数 【例3】(25-26高一上：江苏准安高中协作体期中)已知函数fx=aX-a-3x-6若函数fx在区间2,5】 上单调递增，则实数a的取值范围为 【变式31】425高一上江苏宜兴期中若函数fx二，4在区间m,2m-1止单调递增，则实数心 的取值范围为 【变式3-2】24-25高一上江苏苏州中学期中)已知函数fx)=X.4X.5在(a,+o0单调递增，则α的取 值范围是() A.-00,-1 B.-00,2 C.2,+o D.5,+oo 【变式3-3】(23-24高一上江苏常州北郊高级中学期中)已知函数fx=1+ 1 x-1+a1 若对于任意 1<X<X,<2·都有fx-fx<0则的取值范国是() X1-X2 A.(-0o,-1]u[0,+oo) B.0,+∞ c.-1,0 D.-0,-1 【题型四】分段函数的单调性求参数 【例4】(25-26高一上·江苏宿迁沭阳县·期中)若函数fx=乙，在R上为增函数，则实数b的取值范围是 【变式4-1】(25-26高一上·江苏准安·调研如果函数fx=乙在R上是单调递减函数，则实数a的取值范围是 31/35 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 () A.2,4 B.2,+0∞ c.2,8 D.-00,-2 【变式4-2】(25-26高一上，江苏常州北郊高级中学.期中)函数fx=乙在R上是单调函数，则实数a的取值范 围是(). B.0,+0 c.(-o,31u3,+0 -00, U0,+o 【变式4-3】(25-26高一上·江苏南京七校联合体·期中)已知函数fx=乙是R上的减函数，则实数a的取值范 围是() 3 B.1,+0 3 D.1,+0 【题型五】分段函数的值域最值求参数 【例5】(25-26高一上江苏宿迁宿豫中学期中)设函数x=乙，若fx存在最小值，则a的最小值为 () A.-4 B.-3 C.-2 D.0 【变式5-1】(24-25高一上·江苏西交大附中.期中)（多选）已知fx=乙（常数k≠0），则() A.当k>0时，fx在R上是减函数 B.当k>-时，fx没有最小值 C.当k=-1时，fx的值域为0,1U1,+oo D.当k=-3时，Vx≥1，x,<1有fx+fx2=0 【变式5-2】(25-26高一上·江苏南京金陵中学.期中)若函数fx=乙的值域为R,则实数a的取值范围是 () 32 D.-00,2 【变式5-3】(25-26高一上江苏扬州扬州大学附属中学期中)(1)定义mina,b=乙.已知 32/35 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 fx=-x2+4,gx=2x-1-2 ①设hlx=minfx),gx求h1 ②画出hx的图象，并根据图象写出hx的单调增区间和最大值： 珠 4 3 2 -5:-4:-3-2-10 .12345x -2 -4 5 (2)已知函数FX=ax+2-X+aX-2‖a∈R的最大值为3，求实数。的值. 【题型六】奇偶性对称性的综合 【例6】(22-23高一上江苏常州金坛区期中)已知函数y=f(x)的定义域为(-o,-1)U(-1,+00),且 f(x-1)为奇函数，当x<-1时，f(x)=-2X-8x-7,则方程f(x=2的所有根之和等于（） 1 A.-4 B.-2 C.0 D.2 【变式6-1】(25-26高一上·江苏苏州常熟期中)设fx是定义在R上的函数，对任意x∈R,均有 fx+fx+2=0当1<x<1时，fx=X-1则当4k+1<x≤4k+3°k∈Z时·fx= 【变式62】55高一上江苏准安商中修作体期中已知画数fx=1文则 f1+f2+f3++f100+f A.199 2 B.100 C.100.5 D.101 【变式6-3】(25-26高一上·江苏苏州西安交通大学苏州附属中学.期中)已知函数fx的定义域为R,且 33/35 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 fx+2-2为奇函数，f3x+1为偶函数.若f1=0,则f1+f2+…+f102的值为 【变式6-4】(24-25高一上江苏无锡辅仁高级中学，期中)有同学发现：函数y=fx的图象关于点Pa,b成 中心对称图形的充要条件是函数y=fx+a-b为奇函数运用该结论解决以下问题： 0)直接写出函数fX=X的对称中心： (②证明：函数gx=X+3X的对称中心为-1,2 3)若函数hx=x2-ax2+3-2x 的对称中心为1，-4，求实数a、b的值 x-b 【题型七】恒成立问题 【倒7】36商-士江苏准安调明E加函数fx理是定义在R上的奇数 (1)求实数m的值： (2)判断函数f(x)在[-1,1]上的单调性，并用单调性定义给出证明： (x)=kx-k2+3若yx∈【-1,1Yx∈[0,1]都有f(x小sgx,恒成立，求实数k的取值范围. (3)设 【变式7-1】(25-26高一上江苏南苦高级中学：期中)已知二次函数fx=aX2+bx+c满足 f孔-1=-1，f1=3,对任意x∈R,都有fx24x-1恒成立. (①)求函数fx的解析式： 因若gx=d,对于实数-6≤t≤2记函数gX在区间t,0l止的最小值为ct,且ct≥t+1恒成立， 求实数入的取值范围。 【变式7-2】(24-25高一上江苏南京外国语学校期中)已知函数fx=x+X+a |x+1 (1)若函数fx是奇函数. ①用定义证明：函数fx在0，+o∞上是增函数； ②若函数gX=fx-父+1+1求不等式g+名 +2>5解集 2X-1 (2若fx≤x在-2,3上恒成立，求a的取值范围， 34/35 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式7-3】(24-25高一上江苏无锡期中)已知函数f(x)=-X+2xx-a+1(a∈R) (1)当a=-2时，求函数f(x)的单调区间（不需证明）： (2)当a=2时，求函数f(x)在区间0,3上的最大值和最小值： (3)当a>0时，函数f(x)在(m,n)上既有最大值又有最小值，是否存在正整数入，使n-m≤a恒成立？若存 在，请求出入的最小值；若不存在，请说明理由. 答题类 答题技巧清单 技巧 一句话要点 单调性运算关系 f(x)和r文均与f(x)的单调性相反 复合函数单调性结论 同增异减 奇偶函数倒数或相反数运算，奇偶性不变。 奇偶性结论 奇偶函数的绝对值运算，函数的奇偶性均为偶函数 1.fx)=a-1 x-b +12f(x)=a'-a3 f(x)=log 常见的奇函数 4.f(x)=g(x)-g(-x)5.f(x)=logx)f(x)=sinx 7.f(x)=tanx 对称性结论 内同表周期，内反表对称 图形平移变换 左加右减自变量，上加下减常数项。 零点转化思想 f(x)的零点一方程f(x)=0的根一f(x)图象与x轴交点横坐标. 单调性注意细节 单调区间：不可并。 解决函数问题要遵循 “定义域优先"原则 奇偶性的前提是 定义域关于原点对称 二次项系数带参要注意 讨论系数是否为0 图像平移或伸缩变换时要注意 要只针对自变量×本身进行直接变换 35/35 专题05 函数的概念与性质 目 录 识记类 思维导图 知识清单(6类) 考点清单(9类) 公式清单(9类) 辨析清单(10类) 题型类 高频题型清单(13类) 易错题型清单(3类) 重难题型清单(7类) 答题类 答题技巧清单 知识点01 函数的概念 1. 一般地，设A,B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x,按照某种确定的对应关系f,在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f:AB为从集合A到集合B的一个函数,记作y=f(x),x∈A. 其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A}叫做函数的值域.显然，值域是集合B的子集. 2.函数的三要素:定义域、对应关系和值域 1)定义域:使函数有意义的自变量组成的集合. 2)对应关系:对应关系“f”是函数的核心，它是对自变量x实施“对应操作”的“程序”或者“方法”.按照这一“程序”或“方法”，从定义域A中任取一个x,可得到值域{y|y=f(x)，x∈A}中唯一的y与之对应，同一“f”可以“操作”不同形式的变量. 3)值域:自变量x按照对应关系f在定义域内取值时相应的函数值的集合.符号y=f(x)表示“y是x的函数”,指的是y为x在对应关系f下的对应值. 知识点02 函数的表示方法 函数的表示法：表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法 知识点03 分段函数 1.定义:在函数的定义域中，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数通常称为分段函数. 2. 分段函数的图象：分段函数有几段，它的图象就由几条曲线组成.在同一平面直角坐标系中，根据每段函数的定义区间和表达式依次画出图象，要注意每段函数图象的端点是空心圈还是实心点，组合到一起就得到整个分段函数的图象. 知识点04 增函数与减函数 1.增函数与减函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2 当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数 当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 2.函数的单调性与单调区间 如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． 注意：(1)函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，所以单调区间的端点若属于定义域，则该点处区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开． (2)单调区间D⊆定义域I. (3)遵循最简原则，单调区间应尽可能大． 知识点05 函数的最大值与最小值 1.最大值与最小值的定义 最大值 最小值 条件 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D,如果存在实数M满足：都有 f(x)≤M f(x)≥M 结论 M为函数y＝f(x)的最大值 M为函数y＝f(x)的最小值 几何意义 f(x)图像的最高点的纵坐标 f(x)图像的最底、低点的纵坐标 知识点06 函数的奇偶性 1.函数奇偶性的定义 前提 定义域关于原点对称 定义 偶函数 一般地，设函数f(x)的定义域为D,如果都有-且f(-x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数。 奇函数 一般地，设函数f(x)的定义域为D,如果都有-且f(-x)＝-f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数。 等价形式 是奇函数； 是偶函数。 2.奇、偶函数的图像特征 1）y= 是奇函数它的图像关于原点对称； 2）y= 是偶函数它的图像关于y轴对称。 3.奇、偶函数的单调性 1)奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性，可简记为“奇同偶异”,如图(a>0). 2)偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数;奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数.(函数在区间端点处有定义)。 考点01 同一个函数 考点内容：判断两个函数是不是同一个函数． 常见考法： 如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数. 考点02 求函数的定义域 考点内容：已知函数的解析式求定义域；抽象函数求定义域． 常见考法： 1.求函数的定义域一般转化为解不等式(组)的问题，注意定义域是一个集合，结果必须用集合或区间的形式表示. 2.已知函数解析式求函数的定义域 1)如果函数解析式是整式，那么在没有指明定义域的情况下，它的定义域是实数集R. 2)如果函数解析式含分式或零次幂，那么函数的定义域是使分母或幂的底数不为零的实数的集合. 3)如果函数解析式含偶次方根，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合. 4)如果函数解析式是由几部分式子构成，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义 5）函数y=f(x)由实际问题给出时，定义域还受问题的实际意义的限制.． 考点03 求函数值 考点内容：已知函数的解析式求函数的值；抽象函数求函数的值． 常见考法： 1.已知函数的解析式求函数值，直接将自变量的值代人解析式中求解即可，如果自变量是以代数式的形式出现的，那么将代数式看成一个整体，代替解析式中的自变量求解. 2.抽象函数的求值问题一般用赋值法. 3.与求值有关的含参问题，常利用方程思想求解. 考点04 求函数的解析式 考点内容：给出函数类型求函数的解析式；给出部分性质求函数的解析式． 常见考法： 1.求函数的解析式需要注意的问题是求出解析式后要判断定义域，若定义域为R，可以不用标注，否则，要在解析式后标出来. 2.待定系数法：当已知函数类型(如一次函数、二次函数、反比例函数等)时可用待定系数法求函数解析式. 3.换元法与配凑法 1）换元法:已知f(g(x))是关于x的函数，求f(x)的解析式,通常令g(x)=t，由此能解出x=e(t),将x=e(t)代人f(g(x))中,得到f(t)的解析式,再用x替换t,便可得到f(x)的解析式. 2）配凑法:将所给函数的解析式f(g(x))通过配方、凑项等方法，使之变形为关于g(x)的函数解析式，然后用x代替g(x)，即得所求函数解析式,这里的g(x)可以是多项式、分式、根式等，注意g(x)的范围，即f(x)的定义域. 3.消元法(解方程组法) 对于含有,(k≠0)或, (为常数)形式的方程,求的解析式常用消元法(也称解方程组法). 4.赋值法：一般取0，1，-1，-x等。 考点05 分段函数的应用 考点内容：分段函数求值；分段函数的解析式． 常见考法： 1.根据分段函数求函数值 判断属于哪个区间，代人相应的解析式求，当出现f()的形式时，应由内 向外依次求值. 2.已知函数值求自变量的值，即已知，求 1)当时,由,求出验证是否属于，若是，则留下,若不是，则舍去; 2)当时，由,求出,验证。是否属于，方法同上. 3.解不等式 4.生活正的分段函数 考点06 函数的图像变换 考点内容：通过函数图形变换画出函数图形；通过函数解析式判断函数是由哪种函数变换的来． 常见考法： 1.函数图象的平移变换(对于自变量而言) 左加右减:函数的图象沿轴方向向左()或向右()平移个单位长度得到函数)的图象. 上加下减:函数的图象沿轴方向向上()或向下()平移个单位长度得到. 2.函数图像的对称变换 1）的图像的图像 2）的图像的图像 3）的图像的图像 3.函数图像的翻折变换 1）的图像的图像 1）的图像的图像 考点07 常见函数单调性 考点内容：判断基本初等函数的单调性；根据函数的单调性求参数． 常见考法： 1.一次函数 2.反比例函数; 3.二次函数 . . 4.对勾函数() , 5.若函数在区间I上具有单调性，则在区间I上具以下性质： 1），（为常数）的增减趋势一致。 2）当时， 具有相同的单调性；当时，， 具有相反的单调性。 3）若恒为正值或恒为负值，则具有相反的单调性。 4）若则具有相同的单调性。 5）当都是增（减）函数时，若两者都恒大于零，则也是增（减）函数；若两者都恒小于零，则也是减（增）函数。 考点08函数单调性的应用 考点内容：比较大小；解不等式；已知单调性求参数． 常见考法： 1.比较大小 比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性求解. 2.解不等式 利用函数的单调性解不等式主要是利用单调性的定义将符号“”脱掉，使其转化为具体的不等式来求解.此时应特别注意函数的定义域。 3.利用单调性求参数 利用单调性的定义，在单调区间内任取, 且<,由 <0 (或 >0)恒成立，结合一些特殊函数的特征列出关于参数的不等式组，求解即可。 考点09函数奇偶性 考点内容：判断函数的奇偶性；已知奇偶性求参数． 常见考法： 1.性质法:设, 的定义域分别是, ,那么在它们的公共定义域上有:奇+奇=奇，奇x奇=偶，偶+偶=偶，偶x偶=偶，奇x偶=奇. 2.由函数奇偶性求函数值 由函数的奇偶性求函数值时，若所给的函数具有奇偶性，则直接利用f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)求解;若所给的函数不具有奇偶性，一般需利用所给的函数来构造一个奇函数或偶函数，然后利用其奇偶性求值。 3.已知奇偶性求参数 已知函数的奇偶性求参数的三种思路: 1)若定义域中含有参数，则可由定义域关于原点对称，即区间端点值的和为0列方程求参数 2)一般化策略:对x取定义域内的任意一个值，利用f(-x)与f(x)的关系确定参数的值. 3)特殊化策略:根据定义域内关于原点对称的特殊自变量对应的函数值的关系列方程求解，求出结果后要代入检验. 1 抽象函数的定义域 1.求抽象函数的定义域，要明确以下几点: 1）函数f(x)的定义域是指x的取值范围. 2）函数f(g(x))的定义域是指x的取值范围，而不是g(x)的取值范围. 3)f(t)，f(g(x)),f(h(x))三个函数中的t，g(x),h(x)在对应关系f下的取值范围相同. 2。抽象函数定义域的求解方法: 1已知f(x)的定义域为A,求f(g(x))的定义域，实质是已知g(x)的取值范围为A，求x的取值范围. 2已知f(g(x))的定义域为B,求f(x)的定义域，实质是已知x的取值范围为B,求g(x)的取值范围，此范围就是f(x)的定义域. 3已知f(g(x))的定义域为C,求f(h(x))的定义域，实质是已知g(x)中的x的范围为C，求出g(x)的范围D，再令h(x) 的范为D，求出x的范围，此范围就是f(h(x)) 的定义域。 2.二次函数解析式的三种形式 1.一般式: ,已知二次函数图象上三点的坐标时，常设一般式. 2.顶点式: ,(m,n)为图象的顶点坐标，已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴时，常设顶点式. 3.交点式: (, , 是方程的两个根，已知二次函数图象与轴的交点情况时，常设交点式.解题时需根据题目条件灵活选择解析式形式. 3.函数单调性的性质 在公共定义域内，增+增=增，减+减=减，增-减=增，减-增=减，“增-增，减-减，增+ 减"的单调性不能直接确定，要根据具体函数进行分析判断.. 4.复合函数单调性的判断方法 1.由函数复合而成的函数y的单调性的判断方法如下表： y 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 简记为：同增异减 2.判断复合函数y=f(g(x))的单调性的步骤: 1确定函数的定义域; 2将复合函数分解成y=f(u)与u=g(x); 3分别确定这两个函数的单调性; 4用“同增异减”判断函数y=f(g(x))的单调性. 5.函数最值（值域）的常用方法 1)单调性法:确定函数的单调性，进而求出最最值(值域). 2)配方法:主要适用于二次函数或可化为二次函数型的函数,要特别注意自变量的取值范围. 3)图象法:当所给的函数图象易作出时，可作出函数的图象，观察其最高点、最低点，求出最值(值域). 4)基本不等式法:对解析式变形，使之具备“一正、二定、三相等”的条件后用基本不等式求出最值(值域). 5)换元法:对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，用换元法时一定要注意新元的取值范围. 6)分离常数法:主要适用于分式型函数，分离常数后转化为熟悉的函数. 7)判别式法:主要适用于分子或分母是关于自变量的二次式的分式型函数，通过转化为整式,利用判别式非负求得函数的最值(值域). 6.常见函数的奇偶性 1)一次函数f(x)=kx+b(k≠0),当b=0时,是奇函数；当b≠0时，是非奇非偶函数. 2)二次函数,当b=0时，是偶函数;当b≠0时，是非奇非偶函数. 3)反比例函数是奇函数. 4)对勾函数是奇函数. 7.对勾函数与飘带函数 函数 的范围 对勾函数 飘带函数 图像 定义域 值域 R 奇偶性 奇函数 奇函数 单调性 在和上单调递增，在（，0）和（0，）上单调递增 在和上单调递增 8.函数图像的对称性 1.函数的图象的对称性 1)函数的图象关于直线对称 2)若，恒成立,则的图象的对称轴是直线 3)函数的图象关于直线对称 4)若，则的图象关于点对称. 5)若，则函数的图象关于点对称 2.两个函数图象的对称性 1)函数与函数的图象关于直线 (即轴)对称. 2)函数与的图象关于直线对称 3)函数 与函数的图象关于直线对称. 9.抽象函数单调性方法 1. 若给出的是“和型"( ...)抽象函数，判断符号时的变形为或; 若给出的是“积型”(....)抽象函数，判断符号时的变形为或. 辨析01 函数f(x)的含义与乘法混淆 1)集合A,B是非空数集. 2)集合A中的任何一个元素在B中都有唯一确定的一个元素与它对应. 3)集合B中的个别元素有可能在A中没有与它对应的元素. 4)符号表示函数，其中表示对应关系，表示对应的函数值，而不能理解为乘,有时还可以用，, 等来表示函数. 辨析02 与的区别与练习 表示当时函数的值，是一个常量，而是自变量为的函数，在一般情况下，它是一个变量，是的一个特殊值，例如表示函数, 是一个常量． 辨析03分段函数作图的注意问题 1.根据函数的概念可知，在函数图象中，不能有两个或两个以上横坐标相同的点. 2.区间端点是否包含在内，若包含端点，则用实心点表示;若不包含端点，则用空心圈表示. 3.在画每一段函数图象时，可以先不管定义域的限制，用虚线作出其图象，再用实线保留其在该段定义区间内的相应图象，即“分段作图”. 辨析04 定义域书写的要求 若定义域不止一段，则用区间表示时，不能用“或”“,”连接,而用并集符号“U”连接. 辨析05在区间I上单调，对I的理解 1.区间可以是整个定义域D，即 =D.例如:y=3x+1在整个定义域(-∞，+∞)上是增函数，y=-3x-3在整个定义域(-∞，+∞)上是减函数. 2.区间可以是定义域D的真子集,即 ⫋D.例如:y=x2在(-∞，+∞)上不具有单调性，但y=x2在(-∞,0)上单调递减,在[0,+∞)上单调递增. 3.区间一定是连续的. 辨析06 对单调性定义的理解 1.定义中的有三个特征: 1)任意性,“, ”中“”不能去掉，不能以特殊代替一般; 2)有大小,通常规定; 3)属于同一个单调区间. 2.树立定义域优先意识,“”即“定义域内的某一区间. 3.定义的等价形式: , . 1）在,上单调递增; 在上单调递减. 2) 在上单调递增; 在上单调递减. 辨析07 函数单调性与单调区间的理解 1.并非所有的函数都具有单调性,如f(x)=C(C为常数). 2.区间必为定义域D的子集，所以函数的单调性是函数的局部性质. 3.对于有定义的区间端点，由于它的函数值是唯一确定的常数，没有增减的变化，所以不存在单调性问题，因此在写单调区间时，可以包括，也可以不包括.当函数在区间端点处无定义时，单调区间就不能包括这些端点.例如，函数在(-∞，0)上单调递减，但不能写成在(-∞，0]上单调递减，因为当时，无意义. 辨析08 函数最值的理解 1.最值是一个函数值，即存在一个自变量，使得等于最值. 2.对于定义域内的任意元素，都有 (或)，“任意”两个字不可省略. 3.使函数取得最大(小)值的自变量的值有时可能不止一个 4.不是所有函数都有最值，要根据给定区间进行确定. 5.闭区间上的连续函数一定存在最值，当函数在闭区间上单调时，最值一定在端点处取得. 辨析09 函数最值和值域的区别与联系 1.联系:函数的最值和值域反映的都是函数的整体性质，针对的是整个定义域. 2.区别:1）函数的值域一定存在，而函数的最大(小)值不一定存在; 2）若函数的最值存在，则最值一定是值域中的元素，例如:函数对任意的，都有，但是的最小值不是-1,因为-1不在的值域内. 辨析10 函数奇偶性的深度理解 1.函数的奇偶性是相对于函数的定义域来说的，这与研究函数的单调性不同.从这个意义上说，单调性是函数的“局部”性质，奇偶性是函数的“整体”性质，只有对函数定义域内的每一个,都有 (或),才能说函数是奇函数(或偶函数). 2.函数具有奇偶性的前提是定义域关于原点对称，否则这个函数既不是奇函数也不是偶函数 3.若奇函数在处有定义，则从而,但要注意是为奇函数的既不充分也不必要条件. 4.若为偶函数，则. 【题型一】函数关系的判断 【例1】(25-26高一上·江苏·期中)已知集合，下列对应关系中，从到的函数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的概念逐一判断即可. 【详解】对于A，当时，对应的不属于集合B，所以A错误； 对于B，当时，对应的不属于集合B，所以B错误； 对于C，当时，对应的分别为，所以C正确； 对于D，当时，对应的不属于集合B，所以D错误. 【变式1-1】(25-26高一上·江苏·期中)（多选）下列说法正确的是（     ） A．式子可表示自变量为、因变量为的函数 B．若，则 C．函数的图象与直线最多有1个交点 D．若函数的值域只含有一个元素，则定义域也只含有一个元素 【答案】BC 【分析】逐一分析各选项，利用函数定义、函数求值和函数性质判断对错． 【详解】解：对于A，有不等式组无解，故A错误； 对于B，因为，所以，故，故B正确； 对于C，根据函数的概念知，当函数在处无定义时，函数的图象与直线无交点，当函数在处有定义时，函数的图象与直线只有1个交点，所以函数的图象与直线最多有1个交点，故C正确； 对于D，取函数，其值域为，故D错误． 故选：BC． 【变式1-2】(25-26高一上·江苏无锡新吴区江苏梅村高级中学空港分校·期中)（多选）下列对应为集合B到C的函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】结合函数定义，逐项判断是否满足集合中每个元素，集合中都有唯一确定的元素与之对应即可得. 【详解】对A：令，则，集合中有两个元素与对应，不符，故A错误； 对B：任意元素，集合中都有唯一确定元素与之对应，符合，故B正确； 对C：时，集合有唯一元素与之对应， 时，集合有唯一元素与之对应， 时，集合有唯一元素与之对应， 故任意元素，集合中都有唯一确定元素与之对应，符合，故C正确； 对D：任意元素，则，又因为，有， 即集合中都有唯一确定元素与之对应，符合，故D正确； 故选：BCD. 【变式1-3】(25-26高一上·江苏徐州树恩中学·期中) （多选）下列从集合到集合的对应关系中，是的函数的是（   ） A．，对应关系： B．，对应关系： C．，对应关系： D．，对应关系： 【答案】AD 【分析】根据函数的定义逐一判断即可. 【详解】A：因为，所以对于中任何一个元素，在集合中都有相对应的一个元素，即是的函数，故A正确； B：因，但，即不是的函数，故B错误； C：当时，由，解得，即不是的函数，故C错误； D：当集合中任取一个元素时，集合中都有唯一元素与之对应，即是的函数，故D正确. 故选：AD. 【变式1-4】(25-26高一上·江苏射阳县盘湾中学·期中)函数的图象与直线的交点的个数为______. 【答案】或 【分析】根据题意，利用函数的定义，分析判断，即可求解. 【详解】根据函数定义知，对于任意一个，最多只有一个值与之相对应， 所以函数的图象与直线只有一个公共点或没有公共点， 所以函数的图象与直线的交点的个数为个或个. 故答案为：或. 【题型二】函数的定义域 【例2-1】(25-26高一上·江苏扬州大学附属中学东部分校·期中)函数的定义域为__________. 【答案】 【分析】由定义域的概念得到求解即可. 【详解】由解析式可得：，解得且， 所以定义域为， 故答案为： 【变式2-1】(25-26高一上·江苏徐州第三十七中学·期中)函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数定义域的求法列出不等式，求解即可. 【详解】由题意得，解得且， 所以函数定义域为. 故选：B 【变式2-2】(24-25高一上·江苏泰州第三高级中学、田家炳中学·期中)已知函数的定义域为______. 【答案】 【分析】由解析式列出不等式求解即可. 【详解】由题意得，即， 即，解得， ∴函数的定义域为. 故答案为：. 【变式2-3】(24-25高一上·江苏徐州铜山区·期中)已知集合，，且，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解不等式求得集合，进而求得，由，可求实数m的取值范围. 【详解】由，解得或，所以或， ，又，， 所以，所以实数m的取值范围是. 故选：B. 【题型三】同一个函数的判断 【例3】(25-26高一上·江苏苏州常熟·期中) （多选）下列函数为同一函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】ACD 【分析】定义域、对应法则相同的函数为同一函数即可判断各选项函数是否为同一函数. 【详解】对于A，的定义域为，且， 的定义域为，且，则两函数为同一函数，故A正确； 对于B，，由得，故的定义域为， ，由得或，故的定义域为， 则两函数不为同一函数，故B错误； 对于C，的定义域为，解得， 的定义域为，解得， 故两个函数的定义域均为，且， 则两函数为同一函数，故C正确； 对于D，的定义域为R，的定义域为R，且对应法则相同，值域也相同， 则两函数为同一函数，故D正确. 故选：ACD 【变式3-1】(25-26高一上·江苏宿迁宿豫中学·期中) （多选）下列说法正确的是（    ） A．函数与函数为同一函数 B．若函数，则函数的定义域为 C．若，则 D．若函数，其值域为，则这样的函数有4个 【答案】BC 【分析】根据函数的定义域、同一函数的判断，函数值的计算以及函数个数的确定，然后对每个选项逐一判断即可. 【详解】对于选项，函数的定义域为，函数的定义域为， 它们不是同一个函数，错误. 对于选项，函数，函数，函数定义域为，解得，正确. 对于选项，，故令，解得，把代入，得，正确. 对于选项，函数，其值域为， ，解得， ，解得 ，解得 则函数的定义域是由， 因此这样的函数有个，错误. 故选：. 【变式3-2】(25-26高一上·江苏常州北郊高级中学·期中)下列四组函数中，与表示同一个函数的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】利用同一函数的定义，逐项分析判断得解. 【详解】对于A，函数的定义域为R，值域为，函数的定义域、值域均为R，A不是同一函数； 对于B，函数的定义域为，的定义域为R，B不是同一函数； 对于C，函数与的定义域均为，且，C是同一函数； 对于D，函数的定义域、值域均为R，的定义域为R，值域为，D不是同一函数. 故选：C 【变式3-3】(25-26高一上·江苏江阴部分学校·期中)下列各组函数表示相同函数的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据相同函数的定义域和对应法则相同，依次判断各项中两个函数是否为相同函数即可. 【详解】对于A，的定义域为，的定义域为，不是相同函数，故A错误； 对于B，的定义域为，的定义域为，不是相同函数，故B错误； 对于C，的定义域为，的定义域为，不是相同函数，故C错误； 对于D，， 因为，所以，定义域为， 的定义域为，是相同函数，故D正确. 故选：D 【题型四】函数值问题 【例4-1】(25-26高一上·江苏盐城集团校·期中)已知，则（   ） A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】根据函数的表达式求得正确答案. 【详解】依题意，. 故选：A 【变式4-1】(25-26高一上·江苏淮安·调研)已知函数，且，则（   ） A． B．26 C． D．18 【答案】C 【分析】根据给定条件，代入计算即可得解. 【详解】函数，由，得，解得， 所以. 故选：C 【变式4-2】(25-26高一上·江苏南京七校联合体·期中)已知二次函数满足，则_____. 【答案】14 【分析】令，可得，代入运算即可. 【详解】令，可得， 所以. 故答案为：14. 【变式4-3】(25-26高一上·江苏南通·期中)已知，则（    ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】应用赋值法计算求解. 【详解】因为，令，则. 故选：B. 【题型五】求函数的解析式 【例5-1】(24-25高一上·江苏扬州扬州大学附属中学东部分校·期中)已知，则__________. 【答案】. 【分析】将代入原解析式整理化简可得. 【详解】由题设. 故答案为： 【变式5-1】(23-24高一上·江苏连云港海州区板浦高级中学·期中)（1）已知是二次函数，且，求的解析式； （2）已知函数，求函数的解析式. 【答案】（1）（2） 【分析】（1）设二次函数解析式，将分别代入化简计算，再用恒等思想既可计算得出结论； （2）用换元法，令代入计算即可. 【详解】（1）设 ， 则有： ， 所以 ， 所以 ， 所以 . （2） 令 ，则 ， 所以， 所以的解析式为. 【变式5-2】(23-24高一上·江苏南通启东东南中学·期中)（1）已知，求 （2）已知为二次函数，且，求． （3）已知且，求的解析式． 【答案】（1） （2） （3） 【分析】（1）利用换元法求解即可； （2）利用待定系数法求解即可； （3）利用方程组法求解即可． 【详解】（1）令， 则， 所以， 所以的解析式为． （2）设， 则 ， 所以所以 所以． （3）由题意可得， 解方程组，可知． 【变式5-3】(23-24高一上·江苏天一中学·期中)已知定义在上的函数满足：． (1)求函数的解析式； (2)已知，解关于x的不等式． 【答案】(1) (2)①，解集为R ， ②，解集为， ③，解集为或. 【分析】（1）换元法解出函数解析式即可； （2）根据判别式讨论的范围即可. 【详解】（1）因为定义在上的函数满足：①，将替代x入上式可得②， 联立①②可得 （2）即 ①，即，解集为R                          ②，即，解集为                            ③，即，解集为或 【题型六】分段函数的图像与取值 【例6-1】(25-26高一上·江苏扬州高邮·期中)设函数，若，则（   ） A．0或2 B．0或3 C．2 D．0或2或3 【答案】A 【分析】由和分别计算求解即可. 【详解】当时，，得， 当时，，得（舍去）或， 所以0或2， 故选：A 【变式6-1】(25-26高一上·江苏盐城五校联考·期中)已知实数，函数若，则的值为（ ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】根据给定的分段函数，按分段判断代入列式求解. 【详解】当时，，，由， 得，解得，则； 当时，，，由， 得，解得，矛盾，无解， 所以的值为. 故选：A 【变式6-2】(24-25高一上·江苏南京师范大学附属中学·期中)设函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合分段函数解析式求值即可. 【详解】因为， 所以， 故选：B. 【变式6-3】(24-25高一上·江苏南京外国语学校·期中)已知函数，若有三个不同的解，，，则的取值范围为__________，的取值范围为__________. 【答案】 【分析】原题意等价于与有3个交点，作出函数的图像，结合图象分析可知，且，即可得结果. 【详解】因为， 令，解得； 令，解得； 令，解得； 作出函数的图像，如图所示， 若有三个不同的解，不妨令， 等价于与有3个交点， 由图象可得：，且， 则， 所以的取值范围为；的取值范围为. 故答案为：；. 【题型七】函数单调性的判断与证明 【例7-1】(24-25高一上·江苏无锡第一中学·期中)（1）函数是一次函数，且，求的解析式； （2）已知函数的定义域为，且，判断的单调性，并用函数单调性的定义进行证明． 【答案】（1）或； （2）函数在区间上单调递增，证明如下： ，且， 有， 由于， 即， 所以函数在区间上单调递增． 【分析】（1）设，得到，从而对照系数，得到方程组，求出，得到解析式； （2）根据求出，得到，定义法求解函数单调性步骤，取点，作差，变形判号，下结论. 【详解】（1）设，则， ∴，∴，解得，或， ∴或； （2），即，故，故， 函数在区间上单调递增，证明略. 【变式7-1】(22-23高一上·江苏镇江实验高级中学·期中)已知函数． (1)在坐标系中画出函数的图象； (2)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明； 【答案】(1) (2) 函数在区间上单调递减，在区间上单调递增. 设， 则， 因为， ，， 所以， 所以函数在区间上单调递减； 设， 则， ，， 所以， 所以函数在区间上单调递增. 【分析】（1）由的范围去掉绝对值符号，将写成分段函数，画出图象即可； （2）函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，利用单调函数的定义证明即可. 【详解】（1）函数， 得， 得， 函数的图象如下： （2）略 【点睛】， 【变式7-2】(23-24高一上·江苏常州北郊高级中学·期中)已知函数 (1)当时，判断的单调性并证明； (2)已知条件，条件，若是的充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) 在上单调递增，证明如下： 任取且， 因为，所以 所以，即， 所以在上单调递增； (2) 【分析】（1）利用单调性的定义证明，任取且，然后化简变形，再判断其符号，从而可得结论； （2）将问题转化为在恒成立，再转化为在恒成立，然后根据的单调性可求得结果. 【详解】（1）略 （2）因为是的充分条件，所以若，则为真， 即在恒成立， 所以在恒成立； 由（1）知在上单调递增，所以在上单调递增， 所以，即 【变式7-3】(23-24高一上·江苏南京外国语学校·期中)已知函数的定义域为，且．当时，． (1)求； (2)证明：函数在为增函数； (3)如果，解不等式． 【答案】(1)0 (2)证明：由，可得， 则得，， 设，由， 因时，有，依题意，，即， 所以函数在为增函数； (3) 【分析】（1）对抽象等式进行字母赋值计算即得； （2）将抽象函数等式变形为，利用函数单调性定义，结合条件即可证明； （3）先推理得到，再利用结论化简，最后利用抽象函数的单调性即得. 【详解】（1）∵， 令，则， ∴； （2）略 （3）因，∴， 又由，则 ， 由可得， 即，即，因函数在为增函数 故可得，， 解得，即不等式的解集为. 【点睛】方法点睛：本题主要考查利用抽象函数等式探究函数性质以及解不等式上的应用，属于难题. 解题方法主要有： （1）赋值代入法；（将字母取值，计算函数值） （2）构造函数法：(如（2）题中，对于，构造，从而得用来证明函数单调性) （3）函数单调性应用：利用函数单调性，去掉函数符号，化抽象函数不等式为具体不等式求解. 【题型八】函数的单调区间 【例8-1】(25-26高一上·江苏南京金陵中学·期中)函数的单调减区间为______. 【答案】和 【分析】由反比例函数的单调性即可求解. 【详解】由题意得定义域为， ，由反比例函数的单调性可知： 函数的单调递减区间为. 故答案为：和 【变式8-1】(25-26高一上·江苏海安高级中学·期中)函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用复合函数的单调性求解即可. 【详解】令 ，则在上单调递增； ，因式分解得，解得定义域为或，即. 是开口向上的二次函数，对称轴为， 因此，在上单调递减；在上单调递增. 结合复合函数的单调性可得函数的单调递增区间为. 故选：B 【变式8-2】(25-26高一上·江苏常州金坛区第一中学·期中)已知函数 (1)用分段函数的形式表示该函数； (2)画出该函数的图象； (3)写出该函数的单调区间（指明增减）、值域. 【答案】(1) (2)图象： (3)单调递增区间为，函数的值域. 【分析】（1）对绝对值里面进行分类讨论，去掉绝对值符号即可；（2）运用描点法画图；（3）根据图像，直接写单调区间. 【详解】（1）由题意知 当时，      当时，       所以 （2）函数图象如图：    （3）由（2）知，函数的单调递增区间为，函数的值域. 【变式8-3】(24-25高一上·江苏南京师范大学附属实验学校·期中)已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，.    (1)作出函数的图象； (2)写出的单调递增区间和单调递减区间； (3)求在区间上的最值. 【答案】(1)   (2)单调递增区间为：和；单调递减区间为 (3)最大值为4，最小值为 【分析】（1）根据函数的解析式画出的图像，再根据奇函数图像关于原点对称，画出的图像； （2）根据（1）画出的函数图像分析单调性； （3）根据（2）由单调性确定最值. 【详解】（1）函数图象如图所示：    （2）由图可知，的单调递增区间为：和； 单调递减区间为； （3）由函数图象及（2），知在区间上递增，上递减， 所以当时，在区间上取得最大值4；           当时，； 当时，； 所以当时，在区间上取得最小值. 综上，在区间上的最大值为4，最小值为. 【题型九】已知函数的单调性解不等式 【例9-1】(25-26高一上·江苏苏州实验中学·期中)已知函数定义域为，，，，且，，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题可得在上递增，然后将化为，由单调性结合定义域可得答案. 【详解】由条件得，，，在上递增. 由得， 则或． 故选：B． 【变式9-1】(24-25高一上·江苏连云港东海县·期中)已知函数，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由绝对值的定义化简函数式，结合单调性求解． 【详解】， ，则，解得， 故选：C． 【变式9-2】(23-24高一上·江苏连云港赣榆区·期中)已知函数. (1)判断函数在上的单调性，并利用定义证明； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) 函数在区间上是单调递减函数. 证明：在区间上任取两个实数，且， 则 因为，所以，所以， 即，故在区间上是单调递减函数. (2) 【分析】（1）根据函数单调性的定义和判定方法，即可得证； （2）根据函数的单调性，把不等式转化为不等式组，即可求解. 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知在区间上是单调递减， 又，可得，解得， 所以实数的取值范围为. 【变式9-3】(23-24高一上·江苏南通海安高级中学·期中)已知函数，，满足条件，且. (1)求的值； (2)用单调性定义证明：函数在区间上单调递增； (3)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 由（1）得， ，且， 有， 由于，即， 所以函数在区间上单调递增. (3) 【分析】（1）利用待定系数法，即可得解； （2）利用单调性的定义，结合作差法即可证明； （3）变形得，再利用（2）中结论去掉即可得解. 【详解】（1）因为，，， 所以，解得， 所以. （2）略 （3）由得 又函数在区间上单调递增， 所以，解得，故， 所以实数的取值范围是. 【题型十】分段函数解不等式 【例10-1】(25-26高一上·江苏苏州·期中)已知函数 ，若 ，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先分析函数的性质，再根据与的关系，求解 时实数的取值范围． 【详解】当时，，则 ， 当时，，则 ， 当时， ，因此，是奇函数， 当时， ，是一个开口向上， 对称轴为的二次函数，在上单调递增，因为是奇函数， 所以在也单调递增，因此在上单调递增， 已知 ，则 可转化为 即， 因此 或 ， 又， ，即 或 ， 又在上单调递增， 所以或 ，解得或， 综上，实数的取值范围为． 【变式10-1】(24-25高一上·江苏苏州常熟·期中)已知函数，则不等式的解集为______. 【答案】 【分析】确定给定函数的单调性，再借助单调性脱去法则，进而求解不等式得答案. 【详解】当时，函数在上单调递增，， 当时，函数在上单调递增，， 因此函数在R上是增函数，不等式， 即，解得，所以原不等式的解集为. 故答案为： 【变式10-2】(21-22高一上·江苏南京师范大学附属中学·期中)已知函数，且． (1)求的值； (2)当时，求的值域； (3)解不等式：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题可得，即求； （2）分段求值域，再求并集即得； （3）分情况讨论，转化为不等式组，最后求并集即得. 【详解】（1）∵， ∴解得， ∴， ∴ （2）当时， 当时，， 故时，的值域为. （3）∵， ∴当时，不等式可化为，即， 由，解得， 当时，不等式可化为即， 由，解得， 当时，不等式可化为即， 由，解得， 综上所述，不等式的解集为. 【变式10-3】(25-26高一上·江苏盐城五校联考·期中)已知函数. (1)若是上的增函数，求实数的取值范围； (2)当时，求不等式的解集； (3)当时，判断函数在区间上的单调性并用定义证明. 【答案】(1) (2) (3) 函数在区间上单调递增，证明如下： 当时，在上，函数， 设， ， 由得， ，， 所以函数在区间上单调递增. 【分析】（1）根据分段函数单调性的判断方法，以及一次函数和二次函数的单调性以及临界值大小关系即可得到不等式组，解出即可； （2）代入，即可得到一元二次不等式，求出结果即可； （3）代入值，根据函数定义域，求出函数解析式，得，再根据定义法证明函数单调性. 【详解】（1）因为， 又是上的增函数，所以，解得， 所以实数的取值范围为； （2）当时，不等式， 当时，得，解得， 当时，得，解得， 综上所述原不等式解集为. （3）略 【题型十一】函数奇偶性的判断 【例11-1】(25-26高一上·江苏镇江·期中)下列函数为偶函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数奇偶性的定义逐项判断即可． 【详解】对于A，定义域为，，所以不恒成立，故A不符合题意； 对于B，定义域为，，，所以不恒成立，故B不符合题意； 对于C，定义域为，， 当时，所以不恒成立，故C不符合题意； 对于D，定义域为，， 则为偶函数，故D符合题意； 故选：D． 【变式11-1】(25-26高一上·江苏南通·期中)“，”是“为R上的偶函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】结合偶函数定义与充分条件及必要条件定义判断即可得. 【详解】若为R上的偶函数，则对，， 故，时，不一定为偶函数， 故“，”是“为R上的偶函数”的必要不充分条件. 故选：B. 【变式11-2】(25-26高一上·江苏南京金陵中学·期中) （多选）设函数，定义域均为，则下列结论正确的有（   ） A．若，均为奇函数，则函数为奇函数 B．若，均为增函数，则函数为增函数 C．若，均为偶函数，则函数为增函数 D．若，均为偶函数，则函数为偶函数 【答案】AD 【分析】通过定义分析奇偶性、举反例判断单调性得出结果. 【详解】选项A：由、均为奇函数，得， 故为奇函数，A正确. 选项B：取，（均为增函数），但在上不是增函数，B错误. 选项C：取，（均为偶函数），但在上不是增函数，C错误. 选项D：由、均为偶函数，得， 故为偶函数，D正确. 故选：AD 【变式11-3】(24-25高一上·江苏南京外国语学校·期中) （多选）下列函数中，既是偶函数又在区间上为增函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据函数奇偶性和单调性逐项分析判断即可. 【详解】对于选项A：当时，；当时，； 可知不为偶函数，故A错误； 对于选项B：因为的定义域为，且， 所以为偶函数， 由二次函数性质可知：在区间上为增函数，故B正确； 对于选项C：当时，；当时，； 可知在区间上不为增函数，故C错误； 对于选项D：因为的定义域为，且， 所以为偶函数， 当时，， 由一次函数性质可知：在区间上为增函数，故D正确； 故选：BD. 【题型十二】函数的奇偶性求解析式 【例12-1】已知函数，，的定义域都为，其中为奇函数，为偶函数，且，，则函数__________. 【答案】 【详解】根据函数的奇偶性列方程组，解方程组可得， 因为偶函数，所以，又， 得，即①， 又为奇函数，所以，又， 得②， 将①代入②得，， ，解得. 【变式12-1】(25-26高一上·江苏苏州苏州大学附属中学·期中)已知是定义在上的奇函数，且当时，，则当时，（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由奇偶性求解解析式，判断选项. 【详解】当时，，则, 由奇函数定义知, 所以 故选：D. 【变式12-2】(25-26高一上·江苏常州北郊高级中学·期中) （多选）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列结论正确的是（   ） A． B．的单调递增区间为和 C．当时， D．的解集为 【答案】BCD 【分析】由奇函数在处有定义，可得，可判断A；由的函数的解析式，结合奇函数的定义可得时的函数解析式，可判断C；判断时的的单调性，可得时的的单调性，不等式等价为且，且，结合，解不等式可判断D；由的图象与的图象特点，结合单调性可判断B. 【详解】对于A，函数是定义在R上的奇函数，可得，故A错误； 对于C，当时， ，设，则，， 又，所以时，，故C正确； 对于D，由时， ，可得， 又和在递增，可得在递增， 由奇函数的图象关于原点对称，可得在递增，且， 所以等价为 或 ， 解得或，故D正确； 对于B，因为在和上递增，且， 由的图象可看做的图象位于x轴上方的图象不变， 将x轴下方的图象翻折到x轴上方得到， 所以的递增区间为，，故B正确. 故选：BCD. 【变式12-3】(25-26高一上·江苏无锡经开区太湖高级中学·期中)已知函数是定义在R上的偶函数．    (1)求函数的解析式； (2)在下图所给的坐称系中画出的图象，并写出函数的增区间． 【答案】(1) (2)    递增区间为和 【分析】（1）先利用偶函数的性质令求出，再利用偶函数的性质求出可得函数解析式； （2）由解析式画出图象，再确定递增区间即可. 【详解】（1）因为函数是定义在R上的偶函数，即， 又，， 所以， 当时，，所以， 所以. （2）    由图象可得，递增区间为和. 【题型十三】函数奇偶性求参数 【例13-1】(25-26高一上·江苏宿迁宿豫中学·期中)若函数是奇函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由奇函数的定义，特值法求解. 即利用计算求解. 【详解】，， 是奇函数， ， ，. 故选：B. 【变式13-1】(24-25高一上·江苏锡山高级中学锡西分校·期中)若函数是定义在上的偶函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用奇偶函数的性质，即可求出，即可求出结果. 【详解】因为是定义在上的偶函数， 所以，得到， 显然，由图象关于轴对称，得到，解得， 所以，满足要求， 得到. 故选：A. 【变式13-2】(24-25高一上·江苏苏大附中·期中)已知函数（）是偶函数，则函数的单调递增区间为_______________. 【答案】 【分析】利用偶函数的定义求出，再结合二次函数单调性求解即得. 【详解】函数是偶函数，则，即， 整理得，而不恒为0，因此，， 函数的定义域为，根据复合函数的单调性，易知单调递增区间为. 故答案为： 【变式13-3】(24-25高一上·江苏无锡江阴成化高级中学·期中)已知函数在其定义域内为偶函数，且，则等于（    ） A．2024 B． C．2023 D． 【答案】B 【分析】由为偶函数可得的值，结合可得的值，进而可得，代入即可. 【详解】因为的定义域为，且为偶函数， 所以，即，解得， 所以. 又因为，即，所以. 因为， 所以 . 故选：B. 【题型一】抽象函数的定义域 【例1】(24-25高一上·江苏盐城五校联盟·期中)已知函数的定义域为，则函数的定义域为____． 【答案】 【分析】根据函数的定义域，对于函数，可得出关于实数满足的不等式，由此可得出函数的定义域. 【详解】因为函数的定义域为， 对于函数，有，解得. 因此，函数的定义域为. 故答案为：. 易错警示 在帽子“”下括号内的取值范围是一样的. 【变式1-1】(24-25高一上·江苏南通如东、通州区·期中)已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用抽象函数的定义域求解即可. 【详解】函数的定义域为，故， 若函数有意义，则，解得. 则函数的定义域为. 故选：B 【变式1-2】(25-26高一上·江苏南通海门中学·期中)已知函数的定义域为，则函数的定义域为______. 【答案】 【分析】根据复合函数及抽象函数的定义域求法结合条件即得. 【详解】函数的定义域为，即，则， 所以函数的定义域为． 对于函数，需满足，解得， 即函数的定义域为． 故答案为：． 【题型二】抽象函数忽略赋值法 【例2】(25-26高一上·江苏宿迁·期中)已知函数为上的增函数，对于任意都有. (1)求； (2)判断函数的奇偶性并证明； (3)已知为实数，解关于的不等式. 【答案】(1) (2) 函数是上的奇函数. 证明如下：由题意知，函数的定义域为，关于原点对称， 因为对于任意都有，且， 令，可得，即， 所以函数是上的奇函数. (3) 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【分析】（1）根据题意，令，求得的值； （2）根据函数的奇偶性的定义和判定方法，即可求解； （3）根据题意，转化为，利用为上的增函数，转化为 ，结合含参数的不等式的解法，即可求解. 【详解】（1）解：因为对于任意都有， 令，可得，解得. （2）略 （3）由不等式，可得， 因为函数是上的奇函数，可得， 又因为对于任意都有，可得， 函数为上的增函数，所以， 即，即， 当时，不等式即为，解得，此时不等式的解集为； 当时，不等式即为，解得，不等式的解集为； 当时，不等式即为，解得或，不等式的解集为. 当时，不等式即为，解得，不等式的解集为； 当时，不等式即为，解得或，不等式的解集为. 综上可得：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 易错警示 抽象函数一般由方程(或不等式)确定，解决这类函数的单调性问题通常有两种方法:一种是“凑”，凑定义或凑已知，从而使用定义或已知条件得出结论;另一种是“赋值”，给变量赋值要根据条件与结论的关系，有时可能要进行多次尝试.. 【变式2-1】(25-26高一上·江苏南通海门中学·期中)已知函数的定义域为，对任意的都有，且 时, , 时, . (1)求的值并判断函数的奇偶性； (2)讨论的单调性并证明； (3)若对任意的成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)，奇函数 (2) 在上是增函数.以下提供证明: 当 时, 则，由，可得， 又 ，且时, ，故 时, . 又因是定义在上的奇函数,所以. 任取 ,则 ,从而 在 上单调递增, 又因是上的奇函数,则 在 上单调递增,且， 故在上是增函数; (3) 【分析】（1）对已知式中的依次赋值，求得，，利用奇偶性定义证明即得； （2）先证明 时, ，由是上的奇函数，可得，再由函数的单调性定义证明在 在上单调递增，再由奇函数即得为上的增函数； （3）通过赋值法，将题设不等式化成，再利用在上是增函数将其化成对任意的 成立问题，结合一次函数的图象即可求得. 【详解】（1）因对任意的都有. 当时,令 ,则，因，则 ； 再令 ,则，即，因，则. 令 ,则,故是奇函数. （2）略 （3）在中，令 ，可得 ，因，则， 由可得， 即 因在上是增函数，即得对任意的 成立， 设， 则解得或 即实数的取值范围为. 【变式2-2】(24-25高一上·江苏宿迁中学·期中)已知函数的定义域为R，对任意实数x，y都有，当时，. (1)求的值，并证明函数为R上的增函数； (2)求证：函数为奇函数； (3)若，解不等式. 【答案】(1)，证明： 对任意实数都有， 取，则，因此； ，则，由当时，，得， 则， 所以函数为上的增函数. (2) 证明：，则， 因此，所以函数为奇函数. (3). 【分析】（1）利用赋值法求出，再利用定义法来证明函数单调性. （2）利用奇函数的定义推理得证. （3）等价变形给定不等式，再利用单调性求解不等式. 【详解】（1）略 （2）略 （3）由，得，， ，不等式， 而，原不等式化为， 由（1）得，即，解得， 所以原不等式的解集为. 【变式2-3】(24-25高一上·江苏西交大附中纳米班·期中)已知定义在上的函数满足，当时，. (1)若，求的值. (2)证明：是奇函数且在上为增函数. (3)解关于的不等式. 【答案】(1) (2)证明：由（1）知， 令，得，所以， 则是奇函数. 任取，，且，则， 则. 因为当时，， 所以，即， 所以在上为增函数. (3)当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【分析】（1）由题意可知：，利用赋值法求函数值； （2）根据题意结合奇函数和单调性的定义分析证明； （3）根据题意可得，结合单调性可得，解不等式即可. 【详解】（1）由，可得. 令，得， 令，，得，得， 令，得； 令，得. （2）略 （3）由（2）可知，， 即，所以. 因为在上为增函数， 则，即， 因式分解得. 当时，不等式的解集为； 当时，不等式变为，不等式无解； 当时，不等式的解集为. 综上所述：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【题型三】奇偶性解不等式忽略偶函数的对称性 【例3】(25-26高一上·江苏盐城射阳中学·期中)已知定义在上的奇函数，且. (1)求的值，判断在上的单调性，并用定义证明； (2)解关于实数的不等式 (3)若对，恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】(1) 因为为奇函数，所以， 即，整理得，解得， 又因为，解得，可得 在上单调递增，证明如下： 对于任意，且， 可得 ， ，即， ，在上单调递增，得证； (2) (3) 【分析】（1）利用奇函数定义求解函数，利用函数单调性定义证明； （2）结合（1）得在上是增函数，再利用奇函数和单调性求解不等式； （3）先求出函数的最大值，则对恒成立，即，求解即可. 【详解】（1）略 （2）由是奇函数，则不等式等价于， 因为是定义在的奇函数，且在上单调递增， 所以在上是增函数，则，解得， 则的取值范围是. （3）由已知得在上是增函数， 可得， 由题意知对恒成立， 所以恒成立， 即， 所以对恒成立， 即，解得或或， 所以的取值范围为． 易错警示 奇函数与单调性的重要结论: 若奇函数在R上单调递增,则;若奇函数在R上单调递减,则. 偶函数的一个重要性质: ，它能使自变量化归到[0,+∞0)上,避免分类讨论. 【变式3-1】(25-26高一上·江苏无锡滨湖区辅仁高级中学·期中)已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递减，则不等式的解集为________． 【答案】 【分析】由函数是定义在上的偶函数，可得，因为在区间上单调递减，所以，求解可得其解集. 【详解】因为函数是定义在上的偶函数，所以可转化为. 因为在区间上单调递减，，所以， 化简得，解得. 所以不等式的解集为. 故答案为：. 【变式3-2】(24-25高一上·江苏锡山高级中学·期中)已知是定义在上的偶函数，当时，都有，，则不等式解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据，得到函数的单调性，根据性质，得到函数和图象即可求得. 【详解】因为， 则当，为减函数，又为偶函数，则，为增函数， 且，函数图象如图（1），函数图象如图（2） 则不等式 等价于或， 解的：或， 故选：. 【变式3-3】(24-25高一上·江苏扬州高邮·期中)已知函数为上的偶函数. (1)求实数a，b的值； (2)判断在上的单调性，并用定义证明； (3)若，求实数m的取值范围. 【答案】(1)， (2)在上是增函数，证明如下： 由（1）知，当时，，任取， 则 ， 因为，所以，，，， 则，即，则， 所以是上的增函数. (3) 【分析】（1）根据偶函数的定义求解即可； （2）利用定义法证明函数单调性； （3）由，利用函数奇偶性和单调性解不等式. 【详解】（1）因为函数为上的偶函数， 则有，解得，所以， 则， 由，得，则. （2）是上的增函数，证明如下： 由（1）知，当时，，任取， 则 ， 因为，所以，，，， 则，即，则， 所以是上的增函数. （3）令，即， 当时，，解得或， 当时，，解得或， 又，则， 由，即可转化为， 因为是上的偶函数，即求， 由（2）知是上的增函数，则， 解得或， 故实数的取值范围为. 【题型一】函数的最值与值域 【例1】(25-26高一上·江苏无锡经开区太湖高级中学·期中) （多选）下列函数中，最小值为4的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】对于A选项，取特值，令，即可判断选项正误；对于B选项，利用“1”的代换结合均值不等式判断选项正误；对于C选项，直接使用均值不等式即可判断选项正误；对于D选项，由，得：，根据，求解的取值范围，进而求出的最小值即可判断选项正误. 【详解】对于A选项，当时，，得函数最小值不为，故A选项错误； 对于B选项，， 当且仅当，又，即当时等号成立， 因此可得函数的最小值为，故B选项正确； 对于C选项，由于，则， 当且仅当，即时等号成立. 因此可得函数的最小值为，故C选项正确； 对于D选项，已知函数的定义域为且满足， 则， 又，则，进而得到. 又，则，即当时取得最小值，函数的最小值为， 故D选项正确. 故选：BCD 【变式1-1】(25-26高一上·江苏常州北郊高级中学·期中)，，则的最小值为（   ） A．2.5 B．5 C．3 D．4.5 【答案】A 【分析】分析分段函数的单调性，可得在处取得最小值，即最小值为. 【详解】因为， 所以在上单调递减，在上单调递增. 所以的最小值为. 故选：A. 【变式1-2】(24-25高一上·广东东莞东莞中学·期中)函数在上的最小值是_____． 【答案】/ 【分析】根据对勾函数的单调性得出最小值. 【详解】因为函数在上单调递减，函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 所以. 故答案为：. 【变式1-3】(25-26高一上·江苏海安高级中学·期中)给定函数，，若，则的值域为______． 【答案】 【分析】作出的图象，即可得到的图象，结合函数图象即可求解. 【详解】令，即，解得或， 令，解得， 当时，； 当时，； 当时，． 综上，. 作出函数的图象如图所示，则的值域为． 故答案为：. 【题型二】构造函数解不等式 【例2-1】(25-26高一上·江苏苏州南京航空航天大学苏州附属中学·期中)已知函数定义在上，且对任意的，都有，则不等式的解集为____． 【答案】 【分析】通过构造分析单调性，将原不等式转化为关于的不等式组求解. 【详解】构造函数（）. 对任意且，不妨设，由，得. 将，代入上式，化简得. 因，故，即在上单调递减. 由，得. 由于不等式有意义，所以， 不等式变形为（其中），即. 因单调递减，故. 解得或；解得. 取交集得或. 故答案为：. 【变式2-1】(24-25高一上·江苏宿迁中学·期中)已知函数的定义域为，对任意的，都有，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件分析出的单调性，然后将不等式变形为，结合单调性求解出解集. 【详解】因为任意的，都有，即任意的，都有， 令，所以任意的，都有， 所以为上的减函数； 又因为， 所以，解得，所以不等式解集为， 故选：B. 【变式2-2】(24-25高一上·江苏常州第一中学·期中)若函数是定义域为，且对，，且，有，不等式的解集为___________ 【答案】 【分析】首先，对不等式进行变形，转化为，再根据定义法以及给定条件分析的单调性，求解不等式即可. 【详解】由题设，其中，可变形为； 令，则，即函数在实数上单调递增； 不等式移项变形可得， 进一步化简得到， 因此原不等式可化简为，即 由于在实数上单调递增， 不等式成立的条件是，解得， 因此，不等式的解集为， 故答案为： 【点睛】关键点睛：关键在于利用函数的单调性简化原不等式，从而直接得到解集。通过引入辅助函数，可以将问题转化为更易于分析的形式，利用函数单调性的性质求解，这是解决此类问题的一种有效策略。 【变式2-3】(24-25高一上·江苏响水中学，清源高中·期中)已知函数满足对任意，当时，恒成立，若，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，根据函数的单调性可知函数在上单调递减，原不等式可转化为，解之即可. 【详解】由题意知，， 得，设， 则函数在上单调递减，且， 不等式等价于， 即， 所以，解得， 即原不等式的解集为. 故选：D. 【题型三】已知函数的单调性求参数 【例3】(25-26高一上·江苏淮安高中协作体·期中)已知函数，若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为_____ 【答案】 【分析】通过，，三种情况讨论即可. 【详解】当时，，在区间上单调递增，符合， 当时，对称轴为，若函数在区间上单调递增， 则，解得，故； 当时，对称轴为，若函数在区间上单调递增， 则，解得， 综上，实数的取值范围为， 故答案为： 【变式3-1】(24-25高一上·江苏宜兴·期中)若函数在区间上单调递增，则实数m的取值范围为__________. 【答案】 【分析】利用对勾函数得到函数的递增区间，又由函数在上是增函数，则为递增区间的子集，建立关于参数m的不等式，解出即可求得结论. 【详解】解：， 当时， 当时，， 由对勾函数性质结合函数定义域， 函数在和单调递增，又在上，在上， 函数的递增区间为 在上单调递增， 解得：， 故实数m的取值范围为. 故答案为：. 【变式3-2】(24-25高一上·江苏苏州中学·期中)已知函数在单调递增，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用复合函数的单调性，结合二次函数求出函数的单调递增区间，再借助集合的包含关系求出范围. 【详解】函数中，，解得或， 而函数在上单调递减，在上单调递增， 又函数在上单调递增，因此函数的单调递增区间是， 依题意，，解得， 所以a的取值范围是. 故选：D 【变式3-3】(23-24高一上·江苏常州北郊高级中学·期中)已知函数，若对于任意，都有，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数单调性的定义，可判断在单调递减， 再根据反比例函数的性质即可得到或，从而求出的取值范围. 【详解】由任意，都有，知在单调递减， 要使 在单调递减，则或，即或. 故选：A. 【题型四】分段函数的单调性求参数 【例4】(25-26高一上·江苏宿迁沭阳县·期中)若函数，在上为增函数，则实数的取值范围是______. 【答案】 【分析】根据分段函数单调性的性质，列出不等式组，求出结果. 【详解】由题意可知，解得，所以实数的取值范围是. 故答案为：. 【变式4-1】(25-26高一上·江苏淮安·调研)如果函数在上是单调递减函数，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由分段函数单调递减，可知在上音调递减，所以，且，由此可得实数的取值范围. 【详解】当时，. 函数在上是单调递减函数，所以，解得. 故实数的取值范围是. 故选：A. 【变式4-2】(25-26高一上·江苏常州北郊高级中学·期中)函数在上是单调函数，则实数的取值范围是（   ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分段函数单调性，结合一元一次和一元二次函数的单调性求解. 【详解】由题意可知，或， 得或， 故实数的取值范围是. 故选：C 【变式4-3】(25-26高一上·江苏南京七校联合体·期中)已知函数是上的减函数，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分段函数的单调性可得出关于实数的不等式组，即可解得实数的取值范围. 【详解】因为函数是上的减函数， 函数在上为减函数，则， 函数在上为减函数，则， 且有，解得， 综上所述，实数的取值范围是. 故选：C. 【题型五】分段函数的值域最值求参数 【例5】(25-26高一上·江苏宿迁宿豫中学·期中)设函数，若存在最小值，则的最小值为（    ） A． B． C． D．0 【答案】B 【分析】由的单调性得值域为，结合二次函数的性质，讨论、研究的最小值求参数范围. 【详解】在上单调递增，对应值域为， 当时，在上单调递减，对应值域为， 而， 若，则（舍），此时，不存在最小值， 若，则，即，此时，则最小值为， 当时，在上单调递减，在上单调递增，对应值域为， 此时，则最小值为， 综上，，故的最小值为. 故选：B 【变式5-1】(24-25高一上·江苏西交大附中·期中) （多选）已知 （常数），则（   ） A．当时，在上是减函数 B．当时，没有最小值 C．当时，的值域为 D．当时，，有 【答案】BCD 【分析】对A，比较时两段的值可判断；对B，分别判断和时函数单调性即可得出；对C，根据单调性求出值域即可判断；对D，求出和时范围即可得出. 【详解】对于选项A，当时，，，所以在R上不是减函数，故选项A错误， 对于选项B，当时，在上是减函数，无最小值， 又在上是减函数，也无最小值，即时，无最小值， 当时，在上是增函数，所在在上的最小值为， 又在上是减函数，且，所以当时，无最小值， 综上，当时，无最小值，所以选项B正确． 对于选项C，当时，， 当时，由，得是增函数， 所以，所以的值域是，故选项C正确． 对于选项D，当时，由，得，所， 而当时，，， 因此，，使得，即，所以选项D正确， 故选：BCD． 【点睛】求函数最值和值域的常用方法： （1）单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值； （2）图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值； （3）基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值； （4）换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值． 【变式5-2】(25-26高一上·江苏南京金陵中学·期中)若函数的值域为，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分段函数的单调性确定时的的范围，再根据函数的值域为列不等式组即可求得的取值范围. 【详解】当时，，则函数在递增， 所以，则此时； 当时，，要使得的值域为， 则，解得， 所以的取值范围是. 故选：A. 【变式5-3】(25-26高一上·江苏扬州扬州大学附属中学·期中)（1）定义．已知． ①设，求： ②画出的图象，并根据图象写出的单调增区间和最大值： （2）已知函数的最大值为3，求实数的值． 【答案】（1）①； ②，单调增区间为和，最大值为； （2） 【分析】（1）①根据题中所给定义直接计算可得；②转化为分段函数，进而可画图及单调区间和最大值； （2）将函数转化构造成且，再结合最大值和函数图象可得. 【详解】（1）①，则 ②图象如图, 当时，由，解得， 当时，由，解得 所以单调增区间为和， （2）设，则 ， 且， 在同一坐标系内作出函数的大致图象，得的图象，函数的最大值为3，结合图象可得： 如图： 当，，且时，解得：， 有，则，解得：； 当，且时，解得：，有， 则，解得：；如图： 综上，所以． 【题型六】奇偶性对称性的综合 【例6】(22-23高一上·江苏常州金坛区·期中)已知函数的定义域为，且为奇函数，当时，，则方程的所有根之和等于（    ） A． B． C．0 D．2 【答案】A 【分析】首先根据题意得到关于对称，即，从而得到，再解方程即可. 【详解】因为为奇函数，所以关于对称， 所以关于对称，即. 当时，， 当时，，， 所以. 因为， 所以或， 解得，，，， 所以. 故选：A 【变式6-1】(25-26高一上·江苏苏州常熟·期中)设是定义在上的函数，对任意，均有，当时，，则当，时，______． 【答案】 【分析】由题可得的周期为4，求出时的的解析式，利用函数周期性求得答案. 【详解】由，得， 所以，即函数是周期为4的周期函数. 当时，， ，又， 所以， 当，时，则， ， 又， . 故答案为：. 【变式6-2】(25-26高一上·江苏淮安高中协作体·期中)已知函数，则（   ） A． B．100 C．100.5 D．101 【答案】A 【分析】先求得，然后求和即可. 【详解】，， ； 故选：A 【变式6-3】(25-26高一上·江苏苏州西安交通大学苏州附属中学·期中)已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数.若，则的值为________. 【答案】202 【分析】根据为奇函数推出，得出的图象关于点对称；根据为偶函数，推出，得出的图象关于直线对称，综合推出为周期是4的周期函数.根据周期函数的性质，计算一个周期的函数值，从而得出结论. 【详解】由题意得为奇函数，所以， 即，所以函数关于点中心对称. 由为偶函数，所以可得，所以函数关于直线对称，所以， 又因为函数关于点中心对称，所以， 所以，从而，所以函数为周期为4的函数. 因为，所以，则，因为关于直线对称，所以， 又因为关于点对称，所以，又因为， 又因为，所以， 所以. 故答案为：202. 【变式6-4】(24-25高一上·江苏无锡辅仁高级中学·期中)有同学发现：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.运用该结论解决以下问题： (1)直接写出函数的对称中心； (2)证明：函数的对称中心为； (3)若函数的对称中心为，求实数、的值. 【答案】(1)； (2)证明：记， 定义域为R，即定义域关于原点对称， 又，所以为奇函数， 所以的对称中心为. (3)，. 【分析】（1）函数的对称中心为，进而验证用函数为奇函数即可； （2）记，进而证明为奇函数即可得证； （3）令，进而由可求实数、的值. 【详解】（1）函数的对称中心为. 验证如下： 因为函数， 定义域，即定义域关于原点对称，且， 所以是奇函数，即函数的对称中心为. （2）略 （3）， 令 ， 因为是奇函数， 所以， 即， 整理得，进而得， 解得或. 因为时，函数的定义域为x≠,不关于对称，故舍去， 所以解得 . 【题型七】恒成立问题 【例7】(25-26高一上·江苏淮安·调研)已知函数是定义在上的奇函数. (1)求实数的值； (2)判断函数在上的单调性，并用单调性定义给出证明； (3)设，若，，都有恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2) 函数在上单调递增.证明如下： ， ， 由，得，， 则，即， 所以函数在上单调递增. (3). 【分析】（1）利用奇函数的性质求解并验证即得. （2）判断单调性，再利用增函数的定义直接证明. （3）由（2）求出的最大值1，根据给定条件，将问题转化为在上的最小值不小于1，再按分类求解. 【详解】（1）由函数是定义在上的奇函数，得，解得， 此时，，是奇函数， 所以. （2）略 （3）由（2）得， 由，，都有恒成立，得在上的最小值不小于1， 即当时，恒成立， 当时，函数在上单调递增，， 则，而，因此； 当时，恒成立，因此； 当时，函数在上单调递减，， 则，而，因此， 所以实数k的取值范围是. 【变式7-1】(25-26高一上·江苏南菁高级中学·期中)已知二次函数满足，对任意，都有恒成立. (1)求函数的解析式； (2)若，对于实数，记函数在区间上的最小值为，且恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知可可得，再由恒成立可得出关于的不等式，解出的值，即可得出函数的解析式； （2）分、两种情况讨论，分析函数在上的单调性，求出函数在区间上的最小值，再结合参变量法可求得实数的取值范围. 【详解】（1）由题意知，故，，故. 又，即恒成立， 故，且. 即，故，故； （2）由（1）可得，则函数在上连续. ①当时，在上单调递减，在上单调递增， 所以； ②当时，在上单调递增， 所以． 综上，. 当时，恒成立， 即对恒成立，即， 易得函数在上单调递增，，所以； 当时，恒成立，即恒成立， 因为函数、在上均为增函数， 则函数在上单调递增，且其最大值为，所以. 综上所述，实数的取值范围是. 【变式7-2】(24-25高一上·江苏南京外国语学校·期中)已知函数. (1)若函数是奇函数. ①用定义证明：函数在上是增函数； ②若函数，求不等式解集. (2)若在上恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) ①由题意可知：的定义域为， 若函数是奇函数，则，即， 且，即是奇函数， 所以符合题意，. 若，则， 任取，且， 则， 因为，则， 可得，即， 所以函数在上是增函数； ② (2) 【分析】（1）根据奇函数定义可得.①根据单调性的定义分析证明；②分析可知为偶函数，函数在上是增函数，结合单调性和奇偶性解不等式即可； （2）分析可知原题意等价于在上恒成立，构建，结合单调性求最值即可. 【详解】（1）①略 ②因为， 可知的定义域为，且， 可知为偶函数， 当时，则， 因为在上是增函数，则在上是增函数， 且函数在上是增函数，可知函数在上是增函数， 若，即， 可得，即， 整理可得且，解得且， 所以不等式解集为. （2）因为，可得， 原题意等价于在上恒成立， 构建， 当时，在内单调递增； 当时，在内单调递增； 且在内连续不断，则在内单调递增， 则，可得，解得， 所以的取值范围为. 【点睛】方法点睛：对于恒成立问题，常常结合参变分离的思想处理问题，这样可以避免含参问题，简化分析. 【变式7-3】(24-25高一上·江苏无锡·期中)已知函数. (1)当时，求函数的单调区间（不需证明）； (2)当时，求函数在区间上的最大值和最小值； (3)当时，函数在上既有最大值又有最小值，是否存在正整数，使恒成立？若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)的单调递增区间为，无单调递减区间； (2)最大值为，最小值为； (3)存在正整数，满足题意. 【分析】（1）将函数改写成分段函数形式，根据二次函数性质并由函数图象即可得出的单调区间； （2）代入求得函数在区间上的单调性，计算即可得出最大值和最小值； （3）分别讨论出函数在不同区间上的单调性，再由最值所在区间结合图象可得的取值范围，利用不等式性质即可求得结果. 【详解】（1）当时，可得， 去绝对值后可得， 易知函数关于对称，所以其在上单调递增， 函数关于对称，所以其在上单调递增， 又易知两函数在处的函数值相等，图象如下图所示：    可知函数的单调递增区间为，无单调递减区间； （2）时，可得， 当时，， 根据二次函数性质可知在上单调递增； 当时，， 根据二次函数性质可知在上单调递增，在上单调递减； 又； 因此可知函数在区间上的最大值为，最小值为； （3）当时，， 若，则， 由二次函数性质可得，在上单调递增， 若，则， 由二次函数性质可得，在上单调递增，在上单调递减； 又函数在上既有最大值又有最小值， 所以最大值为，最小值为， 当，令，解得； 当，令，解得； 因此区间中需包含区间，且两边范围不超出和，画出示意图如下：    即满足，因此可得； 所以，又，可得恒成立即可； 显然， 所欲的最小值为3. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用函数在上既有最大值又有最小值，并根据函数单调性限定出的范围，得出的表达式即可得出结论. 技巧 一句话要点 单调性运算关系 和均与的单调性相反 复合函数单调性结论 同增异减 奇偶性结论 奇偶函数倒数或相反数运算，奇偶性不变。 奇偶函数的绝对值运算，函数的奇偶性均为偶函数 常见的奇函数 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 对称性结论 内同表周期，内反表对称 图形平移变换 左加右减自变量，上加下减常数项。 零点转化思想 的零点方程 的根 图象与轴交点横坐标. 单调性注意细节 单调区间:不可并。 解决函数问题要遵循 “定义域优先"原则 奇偶性的前提是 定义域关于原点对称 二次项系数带参要注意 讨论系数是否为0 图像平移或伸缩变换时要注意 要只针对自变量x本身进行直接变换 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $