专题03 指数与对数、函数的概念与性质（期中知识清单）高一数学上学期苏教版必修第一册

专题03 指数与对数、函数的概念与性质（5知识&10题型&1易错） 【清单一】指数与对数 知识点1、指数及指数运算 (1)、根式的定义： 一般地，如果，那么叫做　　　　　　，其中，，记为　　　　　，称为　　　　　，称为　　　　　． (2)、根式的性质： 当为奇数时，正数的次方根是一个　　　　　，负数的次方根是一个　　　　　. 当为偶数时，正数的次方根有两个，它们互为　　　　　. (3)、指数的概念：指数是幂运算中的一个参数，为底数，为指数，指数位于底数的右上角，幂运算表示指数个底数相乘. (4)、有理数指数幂的分类 ①正整数指数幂；②零指数幂　　　　　； ③负整数指数幂　　　　　　　　　　；④的正分数指数幂等于　　　　　，的负分数指数幂　　　　　． (5)、有理数指数幂的性质 ①，，； ②，，； ③，，； ④，，． 知识点2、对数式的运算 (1)、对数的定义：一般地，如果且，那么数叫做　　　 　　，记作　　　　　，读作以为底的对数，其中叫做对数的　　　　　，叫做　　　　　． (2)、常见对数： ①一般对数：以且为底，记为　　　　　，读作以为底的对数； ②常用对数：以为底，记为　　　　　； ③自然对数：以为底，记为　　　　　； (3)、对数的性质和运算法则： ①；；其中且； ②(其中且，)； ③对数换底公式：； ④； ⑤； ⑥，； ⑦和； ⑧； 【清单二】函数的概念与性质 知识3、函数的概念 （1）、一般地，给定非空数集，，按照某个对应法则，使得中　　　　　，都有中　　　　　的与之对应，那么从集合到集合的这个对应，叫做从集合到集合的一个函数．记作：　　　　　，．集合叫做函数的　　　　　，记为，集合，叫做　　　　　，记为． （2）、函数的实质是从一个　　　　　到另一个　　　　　的　　　　　． 知识点4、函数的三要素 （1）函数的三要素：　　　　　、　　　　　、　　　　　． （2）如果两个函数的　　　　　相同，并且　　　　　完全一致，则这两个函数为同一个函数． 知识点5、函数的表示法与分段函数 （1）函数的表示法：表示函数的常用方法有　　　　　、　　　　　和　　　　　． （2）分段函数：若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数． 【解题方法总结】 1、基本的函数定义域限制 求解函数的定义域应注意： （1）分式的分母　　　　　； （2）偶次方根的被开方数　　　　　： （3）零次幂或负指数次幂的底数　　　　　； （4）已知的定义域求解的定义域，或已知的定义域求的定义域，遵循两点：①定义域是指自变量的取值范围；②在同一对应法则∫下，括号内式子的范围相同； （5）对于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义域． 2、基本初等函数的值域 （1）的值域是　　　　　． （2）的值域是：当时，值域为　　　　　；当时，值域为　　　　　． （3）的值域是　　　　　． 【必考题型一】指数 【例1】、（24-25高一上·江苏扬州·期中）若，则的化简结果是（   ） A．1 B． C． D． 【变式1-1】、（多选题）下列关系式中，根式与分数指数幂的互化正确的是（    ） A．（） B．（） C．（） D．（） 【变式1-2】、（24-25高一上·江苏镇江·期中）某机构研究某地区的流感暴发趋势，发现从确诊第一名患者开始累计时间(单位：天)与病情暴发系数之间满足函数关系为常数)，当时，标志着疫情将要大面积暴发，若不进行任何干预，第50天时，病情暴发系数为0.5.则从确诊第一名患者开始到疫情大面积暴发至少经过天数为（    ）（参考数据：） A．37 B．40 C．43 D．46 【变式1-3】、(多选题)下列运算正确的是（    ） A． B． C． D．· 【必考题型二】对数 【例2】、（24-25高一上·江苏镇江·期末）式子的值为（   ） A． B．10 C．11 D．12 【变式2-1】、（24-25高一上·江苏徐州·期末）（多选题）下列命题正确的是（   ） A． B． C． D．若，则 【变式2-2】、（24-25高三下·江苏南通·阶段练习）在可观测的宇宙中，平均大约有4000亿个星系，大约有颗恒星，平均而言，一颗恒星的重量约为克，这意味着宇宙的总质量约为克，每克物质含有大约个质子，如果我们假设所有的原子都是氢原子，因为氢原子只含有一个质子，那么氢原子的总数将达到．根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限约为，则下列数据中与最接近的是（参考数据：）（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】、（24-25高一上·福建龙岩·期末）（多选题）已知，，且，则（    ） A． B． C． D． 【必考题型三】指对数混合运算 【例3】、化简求值: （1）； （2）-2-4π0÷. 【变式3-1】、计算：（1）； （2）． 【变式3-2】、（2024高三·江苏·专题练习）（1）计算： （2）计算：； 【变式3-3】、计算：（1）已知，试用表示； （2）. 【必考题型四】函数的概念 【例4】、（25-26高一上·河北石家庄·开学考试）如图所示各图中反映了变量是的函数是（   ） A．   B．   C．   D．   【变式4-1】、（25-26高一上·全国·开学考试）下列曲线中，不是函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】、（25-26高一上·山东德州·开学考试）（多选题）若，，下列对应关系或关系式是集合A到B的函数的有（   ） A．，，f：； B．，，f：； C．，，f： D．A与B的对应关系如图所示：    【变式4-3】、（25-26高三上·山西长治·开学考试）（多选题）设集合，则下列曲线能表示从集合到集合的函数关系的有（    ） A． B． C． D． 【必考题型五】给出函数解析式求函数的定义域 【例5】、（25-26高三上·陕西咸阳·阶段练习）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】、（25-26高一上·全国·单元测试）函数的定义域是（   ） A． B． C．且 D．且 【变式5-2】、（2025高一·全国·专题练习）函数的定义域为 ． 【变式5-3】、（24-25高二下·天津静海·阶段练习）已知的定义域为，函数的定义域为 ． 【必考题型六】求抽象函数的定义域 【例6】、（24-25高一上·广东佛山·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】、（24-25高二下·吉林·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】、（24-25高一下·河南郑州·开学考试）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【变式6-3】、（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ． 【必考题型七】同一函数的判断 【例7】、（24-25高一上·四川资阳·期中）下列各组函数中是同一个函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式7-1】、（25-26高一上·全国·单元测试）下列各组函数是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式7-2】、（25-26高三上·江苏连云港·阶段练习）（多选题）下列各组函数是同一个函数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式7-3】、（24-25高一上·广东广州·阶段练习）（多选题）下列函数是同一函数的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【必考题型八】函数值域的求解 【例8】、（2025高一·全国·专题练习）下列函数中，值域是的是（    ）． A． B．（） C．（） D． 【变式8-1】、（24-25高一上·辽宁朝阳·期末）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【变式8-2】、（2025高二·全国·专题练习）函数的最小值为 . 【变式8-3】、（25-26高一上·全国·课前预习）函数的值域是 ． 【变式8-4】、（24-25高一上·上海·阶段练习）已知，若函数的值域为，则的取值范围是 ． 【变式8-5】、（2024高三·全国·专题练习）已知函数的值域为，则k的取值范围是 ． 【必考题型九】分段函数的应用 【例9】、（24-25高一上·宁夏石嘴山·期末）已知函数，则（    ） A．0 B． C． D．2 【变式9-1】、（23-24高一上·福建龙岩·期末）已知函数，若的值域为，则实数的取值范围（   ） A． B． C． D． 【变式9-2】、（23-24高一上·江苏常州·期中）已知函数，若的值域为，则实数的值是 . 【变式9-3】、已知函数，若关于x的不等式恰有1个整数解，则实数a的最大值是 ． 【必考题型十】函数的实际应用 【例10】、（23-24高一上·江苏盐城·期中）为了增强生物实验课的趣味性，丰富生物实验教学内容，某校计划沿着围墙（足够长）划出一块面积为100平方米的矩形区域修建一个羊驼养殖场，规定的每条边长均不超过20米.如图所示，矩形为羊驼养殖区，且点，，，四点共线，阴影部分为1米宽的鹅卵石小径.设（单位：米），养殖区域的面积为（单位：平方米）. (1)将表示为的函数，并写出的取值范围； (2)当为多长时，取得最大值？并求出最大值. 【变式10-1】、如图所示，正方形ABCD的顶点A，B，顶点C，D位于第一象限，直线l：将正方形ABCD分成两部分，记位于直线l左侧阴影部分的面积为S，求面积S关于t的函数解析式及图象. 【易错题型一】错求抽象函数的定义域 【例1】、（2025高一·全国·专题练习）（1）若函数的定义域为，则函数的定义域为 ； （2）若函数的定义域为，则函数的定义域为 ． 【变式1-1】、（24-25高一上·云南楚雄·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 指数与对数、函数的概念与性质（5知识&10题型&1易错） 【答案】 一、1、如果，那么叫做的次方根，其中，，记为，称为根指数，称为根底数．2、①，， ②，， ③，， 二、1、一般地，如果且，那么数叫做以为底的对数，记作，读作以为底的对数，其中叫做对数的底数，叫做真数．2、 ， 三、1、函数的实质是从一个非空集合到另一个非空集合的映射 2、定义域 值域 对应关系 3、解析法 图像法 列表法 4、若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数． 【清单一】指数与对数 知识点1、指数及指数运算 (1)、根式的定义： 一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，，记为，称为根指数，称为根底数． (2)、根式的性质： 当为奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数. 当为偶数时，正数的次方根有两个，它们互为相反数. (3)、指数的概念：指数是幂运算中的一个参数，为底数，为指数，指数位于底数的右上角，幂运算表示指数个底数相乘. (4)、有理数指数幂的分类 ①正整数指数幂；②零指数幂； ③负整数指数幂，；④的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义． (5)、有理数指数幂的性质 ①，，； ②，，； ③，，； ④，，． 知识点2、对数式的运算 (1)、对数的定义：一般地，如果且，那么数叫做以为底的对数，记作，读作以为底的对数，其中叫做对数的底数，叫做真数． (2)、常见对数： ①一般对数：以且为底，记为，读作以为底的对数； ②常用对数：以为底，记为； ③自然对数：以为底，记为； (3)、对数的性质和运算法则： ①；；其中且； ②(其中且，)； ③对数换底公式：； ④； ⑤； ⑥，； ⑦和； ⑧； 【清单二】函数的概念与性质 知识3、函数的概念 （1）、一般地，给定非空数集，，按照某个对应法则，使得中任意元素，都有中唯一确定的与之对应，那么从集合到集合的这个对应，叫做从集合到集合的一个函数．记作：，．集合叫做函数的定义域，记为，集合，叫做值域，记为． （2）、函数的实质是从一个非空集合到另一个非空集合的映射． 知识点4、函数的三要素 （1）函数的三要素：定义域、对应关系、值域． （2）如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为同一个函数． 知识点5、函数的表示法与分段函数 （1）函数的表示法：表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法． （2）分段函数：若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数． 【解题方法总结】 1、基本的函数定义域限制 求解函数的定义域应注意： （1）分式的分母不为零； （2）偶次方根的被开方数大于或等于零： （3）零次幂或负指数次幂的底数不为零； （4）已知的定义域求解的定义域，或已知的定义域求的定义域，遵循两点：①定义域是指自变量的取值范围；②在同一对应法则∫下，括号内式子的范围相同； （5）对于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义域． 2、基本初等函数的值域 （1）的值域是． （2）的值域是：当时，值域为；当时，值域为． （3）的值域是． 【必考题型一】指数 【例1】、（24-25高一上·江苏扬州·期中）若，则的化简结果是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】根式的化简求值 【分析】根据题意结合根式的性质运算求解即可. 【详解】由，得， 所以. 故选：C. 【变式1-1】、（多选题）下列关系式中，根式与分数指数幂的互化正确的是（    ） A．（） B．（） C．（） D．（） 【答案】BC 【难度】0.94 【知识点】分数指数幂与根式的互化、指数幂的运算 【分析】根据指数幂和根式的概念相互转化. 【详解】对于A，（），故A错误； 对于B，（），故B正确； 对于C，（），故C正确； 对于D，，而无意义，故D错误. 故选：BC 【变式1-2】、（24-25高一上·江苏镇江·期中）某机构研究某地区的流感暴发趋势，发现从确诊第一名患者开始累计时间(单位：天)与病情暴发系数之间满足函数关系为常数)，当时，标志着疫情将要大面积暴发，若不进行任何干预，第50天时，病情暴发系数为0.5.则从确诊第一名患者开始到疫情大面积暴发至少经过天数为（    ）（参考数据：） A．37 B．40 C．43 D．46 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】利用给定函数模型解决实际问题 【分析】先利用，求得，再解不等式，即可得结论. 【详解】因为， 又第50天时，病情暴发系数为0.5. 所 以，所以， 所以，解得，所以， 由，可得，所以， 所以，，所以， 所以，解得， 所以从确诊第一名患者开始到疫情大面积暴发至少经过天数为天. 故选：B. 【变式1-3】、(多选题)下列运算正确的是（    ） A． B． C． D．· 【答案】ABC 【难度】0.94 【知识点】指数幂的化简、求值 【分析】根据指数幂的运算法则及运算性质，分选项排除即可． 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，成立，故B正确； 对于C，，成立，故C正确； 对于D，由可取且，但此时和无意义，故D错误， 故选：ABC． 【必考题型二】对数 【例2】、（24-25高一上·江苏镇江·期末）式子的值为（   ） A． B．10 C．11 D．12 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】对数的概念判断与求值、指数幂的化简、求值 【分析】根据指、对数运算求解即可. 【详解】由题意可得：原式. 故选：C. 【变式2-1】、（24-25高一上·江苏徐州·期末）（多选题）下列命题正确的是（   ） A． B． C． D．若，则 【答案】AD 【难度】0.85 【知识点】对数的运算、指数幂的运算 【分析】AB由指数运算性质可判断选项正误； CD由对数运算性质可判断选项正误. 【详解】对于A，由指数运算性质可得：，故A正确； 对于B，由指数运算性质可得：，故B错误； 对于C，由题，故C错误； 对于D，，则.故D正确. 故选：AD 【变式2-2】、（24-25高三下·江苏南通·阶段练习）在可观测的宇宙中，平均大约有4000亿个星系，大约有颗恒星，平均而言，一颗恒星的重量约为克，这意味着宇宙的总质量约为克，每克物质含有大约个质子，如果我们假设所有的原子都是氢原子，因为氢原子只含有一个质子，那么氢原子的总数将达到．根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限约为，则下列数据中与最接近的是（参考数据：）（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】对数的运算性质的应用 【分析】由题设条件结合对数运算性质计算即可求解. 【详解】由题得， 所以，所以与最接近的是. 故选：C 【变式2-3】、（24-25高一上·福建龙岩·期末）（多选题）已知，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】对数的运算、基本不等式求和的最小值、指数幂的运算 【分析】利用基本不等式结合对数函数的单调性求解即可判断A；结合指数运算利用基本不等式求解即可判断B；变形后利用基本不等式求解判断C；结合指数函数单调性利用基本不等式求解判断D． 【详解】对于A，因为，则，故，当且仅当， 即时等号成立，因为在定义域上单调递增， 所以，故A正确； 对于B，由，所以当且仅当， 即时的最小值为8，故B错误； 对于C，由题得，故 ， 所以当且仅当，即时等号成立，故C正确； 对于D，因为，所以，所以， 当且仅当，即时时等号成立，此时有最小值8，即， 即，又单调递增且，所以，故D正确． 故选：ACD 【必考题型三】指对数混合运算 【例3】、化简求值: （1）； （2）-2-4π0÷. 【答案】（1）81；（2）. 【难度】0.94 【知识点】根式的化简求值、指数幂的化简、求值 【分析】（1）根据分数指数幂与根式的运算，化简可得答案； （2）由分数指数幂及根式的运算，化简可得答案. 【详解】（1） = =2-1+8+ =2-1+8+89 =81. （2）-2-4π0÷ =+10-2-4 =+10-2-3 =+10-6-3 =. 【点睛】本题考查了分数指数幂与根式的运算，属于基础题. 【变式3-1】、计算：（1）； （2）． 【答案】（1）；（2）. 【难度】0.94 【知识点】对数的运算、运用换底公式化简计算、指数幂的化简、求值 【分析】（1）根据对数的运算法则，逐步计算，即可得出结果； （2）根据指数幂的运算法则，以及对数的运算法则，直接计算，即可得出结果. 【详解】（1）原式 ．        （2）原式 ． 【变式3-2】、（2024高三·江苏·专题练习）（1）计算： （2）计算：； 【答案】（1）；（2）. 【难度】0.85 【知识点】对数的运算、指数幂的运算 【分析】（1）利用指数运算，对数运算化简求值； （2）利用指数运算化简求值； 【详解】原式 解：原式 =. 【点睛】本题考查了指数运算，对数运算，属于基础题. 【变式3-3】、计算：（1）已知，试用表示； （2）. 【答案】（1） ；（2）3 【难度】0.65 【知识点】对数的运算、对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算 【分析】（1）由题设可得，，由换底公式及对数的性质可得，从而可用表示. （2）利用对数的运算性质及对数的性质可将原式化为，利用可得所求的值. 【详解】（1）由，得 由得， . （2）原式 . 【点睛】对数的性质、运算规则可分成三大类： ①； ； ②； ③． 解题中注意根据题设中对数的形式选择合适的计算方法. 【必考题型四】函数的概念 【例4】、（25-26高一上·河北石家庄·开学考试）如图所示各图中反映了变量是的函数是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【难度】0.94 【知识点】函数关系的判断 【分析】根据函数的概念，对于任意的都有唯一的与之对应，逐一验证即可. 【详解】根据函数的概念，对于任意的都有唯一的与之对应，故D正确. 故选：D. 【变式4-1】、（25-26高一上·全国·开学考试）下列曲线中，不是函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】函数关系的判断 【分析】根据函数的定义逐项分析即可判断. 【详解】对于A，对于变量的每一个值，变量不是唯一的值与它对应，故y不是x的函数，符合题意； 对于B，对于变量的每一个值，变量都有唯一的值与它对应，故y是x的函数，不符合题意； 对于C，对于变量的每一个值，变量都有唯一的值与它对应，故y是x的函数，不符合题意； 对于D，对于变量的每一个值，变量都有唯一的值与它对应，故y是x的函数，不符合题意； 故选：A. 【变式4-2】、（25-26高一上·山东德州·开学考试）（多选题）若，，下列对应关系或关系式是集合A到B的函数的有（   ） A．，，f：； B．，，f：； C．，，f： D．A与B的对应关系如图所示：    【答案】AD 【难度】0.65 【知识点】函数关系的判断 【分析】根据函数的定义逐项判断即可. 【详解】对于A，由于实数包含所有的整数，故A中的每个元素在B中都有唯一的元素与之对应，符合函数的定义，故A正确； 对于B，当在A中取非整数的元素时，在集合B中没有元素与之对应，不符合函数的定义，故B错误； 对于C，若取，则有，从而有2个和一个对应，不符合函数的定义，故C错误； 对于D，由图可知对于A中的所有元素，在集合B中都有唯一的元素与之对应，符合函数的定义，故D正确. 故选：AD. 【变式4-3】、（25-26高三上·山西长治·开学考试）（多选题）设集合，则下列曲线能表示从集合到集合的函数关系的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【难度】0.85 【知识点】函数关系的判断 【分析】根据函数的概念一一判断即可得正确答案. 【详解】对于选项和选项，集合中有的数(如：）在集合中对应两个值，不唯一， 所以不符合函数定义，所以选项和选项错误； 对于选项和选项，集合和集合均为数集，且集合中的每一个数在集合中都有唯一的数与它对应，符合函数的定义， 所以选项和选项正确. 故选：BD. 【必考题型五】给出函数解析式求函数的定义域 【例5】、（25-26高三上·陕西咸阳·阶段练习）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】分式不等式、具体函数的定义域 【分析】根据函数的解析式有意义，列出不等式组，即可求解. 【详解】由，得，所以，解得，或，所以函数的定义域为． 故选：C． 【变式5-1】、（25-26高一上·全国·单元测试）函数的定义域是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】具体函数的定义域 【分析】利用根式和分式有意义列式求解即可. 【详解】由题意可得解得且， 故的定义域为且， 故选：C 【变式5-2】、（2025高一·全国·专题练习）函数的定义域为 ． 【答案】或． 【难度】0.85 【知识点】具体函数的定义域 【分析】根据偶次方根被开方数大于等于零，分母不为零，零次方底数非零即可求解. 【详解】 由题知，，即， 解得， 故函数的定义域为或． 故答案为：或． 【变式5-3】、（24-25高二下·天津静海·阶段练习）已知的定义域为，函数的定义域为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】复合函数的定义域、具体函数的定义域 【分析】根据题意列不等式组求函数的定义域. 【详解】要使函数有意义，须有： ，所以或. 所以所求函数的定义域为：. 故答案为： 【必考题型六】求抽象函数的定义域 【例6】、（24-25高一上·广东佛山·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】抽象函数的定义域、具体函数的定义域 【分析】根据复合函数定义域和具体函数的定义域的求法，即可列式求解. 【详解】函数的定义域需满足不等式，解得：且， 所以函数的定义域是. 故选：C 【变式6-1】、（24-25高二下·吉林·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】抽象函数的定义域、复合函数的定义域 【分析】先求出的定义域，再结合，从而可求解. 【详解】由函数的定义域为， 有意义，则得，解得， 有意义，需满足且，即且， 所以函数的定义域为. 故选：B. 【变式6-2】、（24-25高一下·河南郑州·开学考试）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】抽象函数的定义域 【分析】根据函数定义域的求法，直接解不等式，即可求函数的定义域. 【详解】因为函数的定义域为，由，解得， 故函数的定义域为. 故选：B 【变式6-3】、（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】抽象函数的定义域、具体函数的定义域 【分析】根据抽象函数的定义域求法以及分式和根式的定义域要求求出答案即可. 【详解】因为函数的定义域为， 所以的定义域为． 又因为，即， 所以函数的定义域为． 故答案为：. 【必考题型七】同一函数的判断 【例7】、（24-25高一上·四川资阳·期中）下列各组函数中是同一个函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】判断两个函数是否相等、具体函数的定义域 【分析】根据函数的定义域以及对应关系是否相等，即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A, 的定义域为,的定义域为，两个函数的定义域不相同， 故不是同一个函数，A错误， 对于B，，，两个函数相同，故B正确， 对于C, 与的对应关系不相等，故不是同一个函数，C错误， 对于D, 的定义域为，的定义域为，两个函数的定义域不相等， 故不是同一个函数，D错误， 故选：B 【变式7-1】、（25-26高一上·全国·单元测试）下列各组函数是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】判断两个函数是否相等 【分析】函数相等的充要条件是对应法则、定义域相同，由此逐一判断各个选项即可得解. 【详解】对于A，由函数可得，解得， 则其定义域为； 由函数可得，解得，则其定义域为． 两个函数的定义域不同，因此不是同一个函数，故A错误． 对于B，函数的定义域为，函数的定义域为， 两个函数的定义域不同，因此不是同一个函数，故B错误． 对于C，函数的定义域为， 函数的定义域为， 两个函数的定义域不同，因此不是同一个函数，故C错误． 对于D，函数的定义域为， 函数的定义域为， 定义域与对应法则均相同，因此是同一个函数，故D正确． 故选：D. 【变式7-2】、（25-26高三上·江苏连云港·阶段练习）（多选题）下列各组函数是同一个函数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】AD 【难度】0.85 【知识点】判断两个函数是否相等、具体函数的定义域 【分析】分别求出函数的定义域，化简其对应关系，判断其定义域和对应关系是否相同即可. 【详解】对于A，的定义域为R，的定义域为R， 定义域相同，对应关系也相同，是同一个函数，故A正确； 对于B，的定义域为R，的定义域为，定义域不相同，故不是同一函数，故B错误； 对于C，的定义域为R，的定义域为，定义域不相同，故不是同一函数，故C错误； 对于D，的定义域为R，的定义域为R，定义域相同，对应关系也相同，是同一个函数，故D正确. 故选：AD. 【变式7-3】、（24-25高一上·广东广州·阶段练习）（多选题）下列函数是同一函数的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】BC 【难度】0.85 【知识点】判断两个函数是否相等 【分析】根据函数相等的定义逐项判断即可. 【详解】对于A选项，函数的定义域为，函数的定义域为， 两个函数的定义域不同，不是同一函数，A错； 对于B选项，函数、的定义域均为，且对应关系相同，这两个函数是同一函数，B对； 对于C选项，函数、的定义域均为，且， 这两个函数的对应关系相同，是同一函数，C对； 对于D选项，对于函数，有，解得，即函数的定义域为， 对于函数，有，解得或，即函数的定义域为， 这两个函数的定义域不同，不是同一函数，D错. 故选：BC. 【必考题型八】函数值域的求解 【例8】、（2025高一·全国·专题练习）下列函数中，值域是的是（    ）． A． B．（） C．（） D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域 【分析】分别求出各函数的值域即可. 【详解】因为，所以函数值域为，故A错误； 因为时，，故B错误； 因为时，函数的值域为集合，不是区间．故C错误； 因为，所以函数的值域为，故D正确. 故选：D． 【变式8-1】、（24-25高一上·辽宁朝阳·期末）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域 【分析】换元法，令，得到，从而得到函数值域. 【详解】令，则， 则， 故当时，取得最大值，最大值为， 所以的值域为. 故选：D 【变式8-2】、（2025高二·全国·专题练习）函数的最小值为 . 【答案】1 【难度】0.85 【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域 【分析】先求出函数的定义域，然后根据根式的性质和不等式的性质求解即可. 【详解】由，得，则函数的定义域为， 当时，，则， 所以，即， 所以的最小值为1. 故答案为：1 【变式8-3】、（25-26高一上·全国·课前预习）函数的值域是 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域 【分析】分离常数后，即可求解. 【详解】因为，所以， 故所求值域为． 故答案为：. 【变式8-4】、（24-25高一上·上海·阶段练习）已知，若函数的值域为，则的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】根据值域求参数的值或者范围、复杂（根式型、分式型等）函数的值域 【分析】根据给定条件，求出函数值域包含的范围即可. 【详解】由函数的值域为，得函数值域包含， 则，解得， 所以的取值范围是. 故答案为： 【变式8-5】、（2024高三·全国·专题练习）已知函数的值域为，则k的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】根据值域求参数的值或者范围、复杂（根式型、分式型等）函数的值域 【分析】问题等价于函数的值域包含，利用二次函数的性质求解即可. 【详解】函数的值域为，则函数的值域包含， ∴，且，解得． 故答案为：． 【必考题型九】分段函数的应用 【例9】、（24-25高一上·宁夏石嘴山·期末）已知函数，则（    ） A．0 B． C． D．2 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求分段函数值、求函数值、求分段函数解析式或求函数的值 【分析】先求出的值，再将其作为自变量代入求出的值. 【详解】已知，此时函数. 把代入可得：. 由上一步得到，那么. 因为，此时函数. 把代入可得：. 故选：C. 【变式9-1】、（23-24高一上·福建龙岩·期末）已知函数，若的值域为，则实数的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】根据值域求参数的值或者范围、根据分段函数的值域（最值）求参数、根据二次函数的最值或值域求参数 【分析】首先分析函数的取值情况，从而判断，再结合得到，再分和两种情况讨论，当时结合函数在上的单调性，得到，从而求出的取值范围. 【详解】对于函数，当时，，当时，， 而，即有，依题意，，又，解得，则； 当时，函数在上的取值集合为，不符合题意， 当，函数在上单调递增， 则，所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：A 【变式9-2】、（23-24高一上·江苏常州·期中）已知函数，若的值域为，则实数的值是 . 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】常见（一次函数、二次函数、反比例函数等）的函数值域、根据分段函数的值域（最值）求参数 【分析】先由反比例函数的性质分析得，再由二次函数的性质确定的取值范围，从而结合函数图像即可得解. 【详解】因为， 当时，当时，，不合题意； 当时，当时，，不合题意； 所以， 当时，，即， 当时，开口向下，对称轴为， 当时，， 令，即，解得或（舍去）， 令，即，解得或， 作出的大致图象，如图， 因为的值域为，所以，解得，经检验，满足题意. 故答案为：. 【变式9-3】、已知函数，若关于x的不等式恰有1个整数解，则实数a的最大值是 ． 【答案】8 【难度】0.65 【知识点】分段函数的性质及应用、根据函数零点的个数求参数范围、函数图象的应用 【分析】数形结合，结合函数的图像即可得出结论. 【详解】函数的图象, 如图所示,    关于 的不等式 ， 当 时, , 由于关于 的不等式 恰有 1 个整数解, 因此其整数解为 3 , 又 , 所以 , 则 , 所以实数 的最大值为 8 , 故答案为：8. 【必考题型十】函数的实际应用 【例10】、（23-24高一上·江苏盐城·期中）为了增强生物实验课的趣味性，丰富生物实验教学内容，某校计划沿着围墙（足够长）划出一块面积为100平方米的矩形区域修建一个羊驼养殖场，规定的每条边长均不超过20米.如图所示，矩形为羊驼养殖区，且点，，，四点共线，阴影部分为1米宽的鹅卵石小径.设（单位：米），养殖区域的面积为（单位：平方米）. (1)将表示为的函数，并写出的取值范围； (2)当为多长时，取得最大值？并求出最大值. 【答案】(1)， (2)当为时，取得最大值，最大值为 【难度】0.65 【知识点】函数关系的判断、基本（均值）不等式的应用、基本不等式求和的最小值、实际问题中的定义域 【分析】（1）根据题意表示出的面积，并根据的每条边长均不超过20米确定好的取值范围. （2）对（1）中的结果，利用基本不等式求最大值. 【详解】（1）因为，所以，， 因为，，所以. （2） 当且仅当，即时，等号成立， 所以当为时，取得最大值，最大值为. 【变式10-1】、如图所示，正方形ABCD的顶点A，B，顶点C，D位于第一象限，直线l：将正方形ABCD分成两部分，记位于直线l左侧阴影部分的面积为S，求面积S关于t的函数解析式及图象. 【答案】，图象见详解. 【难度】0.65 【知识点】根据实际问题作函数图象、分段函数模型的应用 【分析】对分两种情况，当时，其阴影部分是一个等腰直角三角形的面积，直角边为， 当时，其阴影部分的面积可用正方形的面积减去剩下部分等腰直角三角形的面积，根据分析即可写出解析式，作出图象. 【详解】当时， 其阴影部分是一个等腰直角三角形，点到直线l：距离为 ， 所以等腰直角三角形直角边为，此时面积 当时，阴影部分的面积可用正方形的面积减去剩下部分等腰直角三角形的面积， 点到直线l：距离为， 等腰直角三角形直角边为， 此时面积 ， 所以 ， 作出其图象如图所示 【点睛】本题主要考查了函数模型分段函数的问题，根据题意写出解析式是关键，属于中档题. 【易错题型一】错求抽象函数的定义域 【例1】、（2025高一·全国·专题练习）（1）若函数的定义域为，则函数的定义域为 ； （2）若函数的定义域为，则函数的定义域为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】抽象函数的定义域、复合函数的定义域 【分析】（1）由的定义域可得到，进而求解即可得到的定义域； （2）设，先根据的定义域求得的定义域，进而即可求出的定义域． 【详解】（1）设． 因为的定义域为， 所以要使有意义，必须，解得， 所以的定义域为，即的定义域为． （2）设，考查函数． 因为的定义域为， 所以，得， 所以的定义域为． 设，要使有意义， 必有，解得． 故的定义域为． 故答案为：；． 【变式1-1】、（24-25高一上·云南楚雄·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】抽象函数的定义域、具体函数的定义域 【分析】由抽象函数定义域及具体函数定义域的概念构造不等式求解即可； 【详解】由题意：要使有意义，则 解得，所以的定义域为． 故选：C 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $