第7章 随机事件的概率（单元测试）2026-2027学年数学新教材青岛版九年级下册

第7章 随机事件的概率 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1．“明天下雨的概率为”，下列对这句话的理解正确的是（ ） A．明天一定下雨 B．明天一定不下雨 C．明天80%的地方下雨 D．明天下雨的可能性很大 【答案】D 【分析】本题考查概率的意义，解题的关键是理解概率表示随机事件发生的可能性大小：可能发生，也可能不发生．据此可得答案． 【解析】“明天下雨的概率为”，说明明天下雨的可能性比较大． ∴选项D符合题意． 故选D． 2．下列说法中正确的是（ ） A．事件发生的可能性越大，它的概率越接近 B．天气预报说每天下雪的概率是，所以明天将有一半的时间在下雪 C．彩票中奖的机会是，买张一定会中奖 D．“从一个只有红球的袋子里摸出白球”是随机事件 【答案】A 【分析】本题考查随机事件、概率的意义，掌握随机事件和概率的意义是正确判断的前提． 根据随机事件和概率的意义依次判断即可． 【解析】A. 事件发生的可能性越大，它的概率越接近，说法正确； B. 天气预报说每天下雪的概率是，所以明天将有一半可能下雪，原说法错误； C. 彩票中奖的机会是，买张不一定会中奖，原说法错误； D. “从一个只有红球的袋子里摸出白球”是不可能事件，原说法错误； 故选A． 3．小星同学通过大量重复的定点投篮练习，用频率估计他投中的概率为0.3，下列说法正确的是（ ） A．小星定点投篮1次，不一定能投中 B．小星定点投篮1次，一定可以投中 C．小星定点投篮10次，一定投中3次 D．小星定点投篮3次，一定投中1次 【答案】A 【分析】本题主要考查了概率的意义，概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小，机会大也不一定发生，据此求解即可． 【解析】小星同学通过大量重复的定点投篮练习，用频率估计他投中的概率为0.3，则由概率的意义可知，小星定点投篮1次，不一定能投中，故选项A正确，选项B错误； 小星定点投篮10次，不一定投中3次，故选项C错误； 小星定点投篮3次，不一定投中1次，故选项D错误 故选；A． 4．一个不透明的盒子中有个白球和若干个红球，这些球除颜色外其余均相同．搅匀后每次随机从盒中摸出一球，记下颜色后放回盒中，通过大量重复摸球试验后发现，摸出白球的频率稳定在左右，则盒中红球的个数约有（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查用频率估计概率，大量重复试验后，频率的稳定值即为事件发生的概率，先根据白球频率求出总球数，再减去白球个数即可得到红球个数． 【解析】∵大量重复试验后，摸出白球的频率稳定在左右， ∴估计摸到白球的概率为， 设盒子中球的总个数为， 可得， 解得， ∴盒中红球个数为（个）．故选B． 5．下列说法正确的是（ ） A．“清明时节雨纷纷”是必然事件 B．了解市面上一次性餐盒的卫生情况，用全面调查 C．“煮熟的鸭子飞了”是不可能事件 D．投掷一枚质地均匀的硬币10次，一定有5次正面朝上 【答案】C 【分析】本题考查了事件的分类，概率的意义，普查与抽样调查，熟练掌握事件的分类，概率的意义，普查与抽样调查的定义是解题的关键．根据事件的分类，概率的意义，普查与抽样调查逐项分析判断即可求解． 【解析】A、“清明时节雨纷纷”是随机事件，故错误； B、了解市面上一次性餐盒的卫生情况，范围广，应采取抽样调查的方式，故错误； C、“煮熟的鸭子飞了”是不可能事件，故正确； D、抛掷一枚质地均匀的硬币10次，可能有5次正面朝上，故错误； 故选C． 6．如图，平面内有一圆及其内接四边形，若随机在圆周上取一点，已知该点取自弧的概率是，则的度数为（ ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，概率的定义等知识点，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据概率的定义可得该点取自弧的概率，于是根据圆内接四边形的性质即可求出的度数． 【解析】随机在圆周上取一点，该点取自弧的概率是， 该点取自弧的概率是， 四边形是圆内接四边形， ， ， 故选． 7．在一个不透明的纸箱中装30个黑球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同．通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.4左右，则口袋中白球最可能为（ ） A．15个 B．20个 C．28个 D．32个 【答案】B 【分析】此题主要考查了利用频率估计概率，掌握大量反复试验下频率稳定值即概率是解题关键．由摸到白球的频率稳定在左右，估计摸到白球的概率为，设袋中白球的个数为x，通过列方程进而求出白球个数即可． 【解析】设袋中白球的个数为x，根据题意，得： ， 解得， 经检验是分式方程的解， 所以口袋中白球可能有20个， 故选B． 8．一个不透明的袋子里装有红球和白球共10个，它们除颜色外完全相同，每次搅匀后从中随机摸出一个球并记下颜色，再放回袋中，不断重复，统计白球出现的频率如图所示，则白球的个数最可能是（ ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】D 【分析】由频率分布图可知，随着试验次数增加，白球出现的频率稳定在附近，可得白球出现的概率为，进而即可求解． 【解析】由频率分布图可知，随着试验次数增加，白球出现的频率稳定在附近， ∴白球出现的概率为， ∵总球数为10个， ∴白球的个数为（个）．故选D． 9．飞行棋是一种玩法简单的竞技游戏，玩家投掷一个骰子得到正面朝上的点数，确定前进的步数，刚好走到终点则胜利；若所得点数超过到达终点所需的步数则需要往回走所超点数的步数．如图所示，在一次飞行棋游戏的最后阶段，如果小明投掷骰子的次数不超过两次就能刚好到达终点，则到达终点的方式有（ ） A．4种 B．5种 C．6种 D．7种 【答案】C 【分析】根据题意列举即可． 【解析】根据题意，投掷一次6点， 投掷两次，， 综上共6种．故选C． 10．从0，1，2，3这四个数字中随机选取一个数作为k，则方程有两个不同的整数根的概率是（ ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】先确定所有等可能结果总数，再找出满足条件的k的个数，最后根据概率公式计算． 【解析】∵从0，1，2，3四个数中任选一个数作为k， ∴共有4种等可能的结果， 分别代入k验证： 当时，方程为，解得，，是两个不同的整数根，符合条件； 当时，方程为，根为，不是整数，不符合条件； 当时，方程为，根为，不是整数，不符合条件； 当时，方程为，解得，，是两个不同的整数根，符合条件， ∴符合条件的结果共2种， ∴所求概率．故选B． 二、填空题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 11．在一个不透明的箱子中放有10张除地名外完全相同的卡片，卡片数量如表．从箱子中抽出一张卡片，卡片上的地名最有可能是________． 地名 卡片数量 岳麓山 5张 铜官窑 2张 橘子洲头 3张 【答案】岳麓山 【分析】根据概率的定义，分别计算抽到各地名卡片的概率，比较概率大小，概率最大的就是最有可能抽出的地名. 【解析】总共有10张等可能的卡片， 抽到岳麓山的概率为， 抽到铜官窑的概率为， 抽到橘子洲头的概率为， 比较大小得，抽到岳麓山的概率最大，因此卡片上的地名最有可能是岳麓山.故答案为岳麓山． 12．如图1，在边长为的正方形内部有一不规则图案（图中阴影部分），为测算阴影部分面积，小亮利用计算机进行模拟试验，通过计算机在正方形区域随机投放一个点，并记录该点落在阴影上的频率数据，结果如图2所示．小亮由此估计阴影部分面积约为________． 【答案】 【分析】本题考查了几何概率以及用频率估计概率，并在此基础上进行了题目创新，关键在于读懂折线统计图的含义，随着实验次数的增加，频率稳定于附近，由此得实验的频率，并把它作为概率．这对学生知识的灵活应用提出了更高的要求．根据折线统计图知，当实验的次数逐渐增加时，样本的频率稳定在，因此用频率估计概率，再根据几何概率知，不规则图案的面积与矩形面积的比为，即可求得不规则图案的面积． 【解析】由折线统计图知，随着实验次数的增加，小球落在不规则图案上的频率稳定在，于是把作为概率． 设不规则图案的面积为，则有， 解得：， 即不规则图案的面积为． 故答案为． 13．如图是书房地板的示意图，图中每一块方砖除颜色外完全相同，将一个小球在书房的地板上自由地滚动，小球随机地停在某块方砖上，则小球停在黑砖上的概率是________． 【答案】 【分析】由题意可知书房里所有地砖的数量以及黑色地砖的数量，代入概率公式即可求解． 【解析】由题意可知，书房里地砖共有块，其中黑色地砖有块， 小球停在黑砖上的概率为．故答案为$\frac{1}{2}$． 14．冰冰和雪雪做掷两个筹码的游戏，其中一个两面都写有8，另一个一面写有8，另一面写有9．游戏规则如下：两人各持一个筹码同时掷出，如果掷出一对8，雪雪获胜；如果掷出一个8和一个9，冰冰获胜．你认为这个游戏________（填“公平”或“不公平”）． 【答案】公平 【分析】本题考查了用列举法求事件的概率，游戏的公平性，正确理解题意是关键．通过列表列举所有可能结果，计算双方获胜概率，并比较概率是否相等来判断游戏公平性． 【解析】根据题意，列表如下： 由表可知，共有4种等可能的结果，其中掷出一对8的结果有2种，掷出一个8和一个9的结果有2种， ， 因此游戏公平． 故答案为公平． 15．如图，一块正方形地板由9块边长均相等的小正方形组成，苍蝇随机地落在如图所示的正方形地板上，则落在白色区域的概率为________． 【答案】 【分析】本题考查了几何概率的计算方法：用整个几何图形的面积n表示所有等可能的结果数，用某个事件所占有的面积m表示这个事件发生的结果数，然后利用概率的概念计算出这个事件的概率为：．用白色区域的面积除以9块正方形地板的面积即可． 【解析】由图可知，阴影部分的面积为3个正方形，白色区域的面积为6个正方形， 故苍蝇落在白色区域的概率为， 故答案为． 16．小莹一家五口周末乘坐动车组列车出游，小莹在网上给5人购票时，五人的座位恰好位于同一车厢的同一排（如图是动车组列车座位示意图）．进入该车厢后，小莹的奶奶先从这五个座位中随机选择一个，然后小莹从剩下的四个座位中随机选择一个坐下，则奶奶和小莹的座位相邻（过道两侧也视为是座位相邻）的概率是________． 【答案】 【分析】画出树状图可得，共有20种等可能的结果，其中奶奶和小莹的座位相邻（过道两侧也视为是座位相邻）有8种等可能的结果，再利用概率公式求解即可． 【解析】画树状图如下： 由图可得，共有20种等可能的结果，其中奶奶和小莹的座位相邻（过道两侧也视为是座位相邻）有8种等可能的结果， ∴奶奶和小莹的座位相邻（过道两侧也视为是座位相邻）的概率为， 故答案为． 17．小滨和小江分别从甲、乙两个式样、大小都相同的不透明袋子中随机抽出一张卡片，其中，甲、乙两个袋子中均装有一张写着正数的卡片和一张写着负数的卡片．把各自抽出的卡片上的数字相乘，若乘积为正数则小滨获胜，乘积为负数则小江获胜，则该场游戏小江获胜的概率是________．若在乙袋中增加一张写着负数的卡片，甲袋中的卡片数不变，两人按照上述规则再次游戏，则小江获胜的概率和第一场游戏中小江获胜的概率相比将________．（填“增加”“减小”或“不变”） 【答案】（或0.5） 不变 【分析】本题考查的是统计与概率，正确找出可能出现的结果数是解题的关键． 甲、乙两个袋子中均装有一张写着正数的卡片和一张写着负数的卡片时，找出所有等可能的结果数以及成绩为负数的结果数，再利用概率公式可得该场游戏小江获胜的概率；在乙袋中增加一张写着负数的卡片，甲袋中的卡片数不变时，找出等可能得结果数以及乘积为负数结果数，再利用概率公式可得此时小江获胜的概率，再作比较即可． 【解析】共有4种等可能得结果，分别为：（正数，负数）、（负数，正数）、（正数，正数）、（负数，负数），其中乘积为负数的结果有：（正数，负数），（负数，正数）共2种，所以该场游戏小江获胜的概率是； 乙袋中增加一张写着负数的卡片，甲袋中的卡片数不变，两人按照上述规则再次游戏，共有6种等可能的结果，分别为：（正数，正数）、（正数，负数）、（正数，负数）、（负数，正数）（负数，负数）、（负数，负数），其中乘积为负数的结果有：（正数，负数），（正数，负数），（负数，正数），共三种，所以该场小江获胜的概率是，所以小江获胜的概率和第一场游戏中小江获胜的概率相比将不变． 故答案为；不变 18．在一个不透明的袋中装着个球，个红球和个黄球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出个小球，两球恰好是一个黄球和一个红球的概率为________． 【答案】（或0.5） 【分析】本题考查列表法与树状图法求概率，画树状图展示所有种等可能的结果，再找出两球恰好是一个黄球和一个红球的结果数，然后根据概率公式计算．解题的关键是掌握：如果一个事件出现有种可能，而且这些事件出现的可能性相同，其中事件出现有种可能，那么事件的概率为． 【解析】画树状图为： 共有种等可能的结果，其中两球恰好是一个黄球和一个红球的结果数为， ∴两球恰好是一个黄球和一个红球的概率为：． 故答案为． 19．“宫商角徵羽”是中国古乐的五个基本音阶，现有一款“一起听古音”的音乐玩具，音乐小球从处沿轨道进入小洞就可以发出相应的声音，且小球进入每个小洞的可能性大小相同，现有两个音乐小球从处先后进入小洞，发出“宫”音，再发出“角”音的概率是________． 【答案】 【分析】本题考查树状图法求概率．画树状图，共有种等可能的结果，其中发出“宫”音，再发出“角”音的结果有种，再由概率公式求解即可．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题的关键是掌握：概率＝所求情况数与总情况数之比． 【解析】把宫商角徵羽五个基本音阶分别记为，，，，， 画树状图如下： 共有种等可能的结果，其中先发出“宫”音，再发出“角”音的结果有种， ∴发出“宫”音，再发出“角”音的概率是． 故答案为． 20．如图，小正方形的4个顶点落在大正方形的对角线上，随机地往大正方形内投一个质点，该质点落在阴影区域的概率为________． 【答案】 【分析】利用几何概型的概率公式，即所求概率等于阴影区域面积与大正方形面积的比值，先根据正方形的性质得出阴影部分的面积与大正方形面积的关系，再计算比值得到结果． 【解析】如图，大正方形的对角线相交于点O， ∵四边形为正方形，四边形为正方形， ∴，， ∴，， ∴ ， ∴随机地往大正方形内投一个质点，该质点落在阴影区域的概率为．故答案为$\frac{1}{2}$ ## $0.5$． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 60 分） 21．（7分）为深入学习宣传贯彻党的二十大精神，某校开展了“党的二十大精神进校园”系列活动，组织学生用“歌舞表演”、“书画展示”、“党史宣讲”、“红歌传唱”、“主题征文”五种方式（依次记为A、B、C、D、E）学习二十大精神．为了解学生们参与这五项活动的意向，“综合与实践”小组从有意向参加活动的学生中随机抽取若干名学生进行问卷调查，形成了如下的调查报告（不完整）： 调查主题 ××中学学生参加“党的二十大精神进校园”活动情况 调查方式 抽样调查 调查对象 ×中学学生 数据的收集、整理与描述 请在下列选项中选择你有参加意向的选项，在其后[   ]内打“√”（每人只选一项）． A．歌舞表演[   ]  B．书画展示[   ]  C．党史宣讲[   ]  D．红歌传唱[   ] E．主题征文[   ] 调查结论 …… 请根据图表提供的信息，解答下列问题． （1）参与本次问卷调查的总人数为________人，统计表中________； （2）请补全条形统计图； （3）若该校总共有1200人参加活动，请估计其中参加“党史宣讲”活动的人数； （4）张三在本次活动中表现优异，学校奖励他从装有三张“二十大”纪念邮票（三张邮票依次记为①，②，③，且它们形状，大小，触感完全相同）的盒子中随机抽取第一张，记下①②③的标签后放回摇均匀，再随机抽取第二张，请用列表或画树状图的方法求张三抽取的两张邮票为①，②的概率． 【答案】（1）200，17 （2） 补全条形统计图如下： （3）300人 （4） 【分析】（1）利用选择E种活动的人数除以其所占的百分比求得参与本次问卷调查的总人数，再利用选择D组的人数除以总人数求解即可求得； （2）利用样本的总人数减去其他组的人数求得选择D种活动的人数，补全统计图即可； （3）利用全校的人数乘以选择C种活动所占的百分比即可求解； （4）画树状图或列表可得共有9种等可能的结果，其中抽取邮票为①，②有2种等可能的结果，再利用概率公式求解即可． 【解析】（1）解：总人数为：（人）， 红歌传唱（D）人数为：（人）， ，即． 故答案为200，17； （2）略 （3）解：（人）， 答：估计参加“党史宣讲”活动的人数为300人． （4）方法一：画树状图如下 方法二：列表如下 ① ② ③ ① （①，①） （②，①） （③，①） ② （①，②） （②，②） （③，②） ③ （①，③） （②，③） （③，③） 由树状图或列表可知：共有9种等可能情况，其中抽取的两张邮票为①，②共有2种， P（张三抽取的两张邮票为①，②）． 【点睛】本题结合了统计与概率的知识，考查学生对数据的分析和概率计算的能力；在解决实际问题时，要注意数据的准确性和计算的合理性；概率问题中，利用列举法、列表法或画树状图法是解题的关键． 22．（7分）春节以来，很多电影都给我们留下深刻的印象．小卓和小越分别想从“哪吒之魔童闹海”“唐探1900”“封神之战火西岐”“熊出没”四部电影中的随机选一部现看．将“哪吒之魔童闹海”“唐探1900”“封神之战火西岐”“熊出没”四部电影分别记作A，B，C，D．请你求出他们选中同一部影片的概率． 【答案】 【分析】本题考查树状图法求概率，列出树状图或表格，找到所有情况及需要的情况是解题的关键． 画出树状图即可得到所有可能出现的结果和选中同一部影片的结果，然后根据概率公式求解即可； 【解析】（1）解：列树状图法如图所示： 可能出现的结果有16种，其中他们选中同一部影片的情况有4种， ∴P(他们选中同一部影片)= 23．（7分）学校举办爱心义卖活动，各班都在操场上摆摊，小明和小红拿着零花钱去逛，想买些小文具，他们在一个摊位前看到一款很喜欢的帆布笔袋，标价20元/个．摊主给出了两种销售方式：方式1：直接按标价打八折，即16元；方式2：抽奖打折．每买一件，都先抽奖：袋子里有红、白、黄3个仅颜色不同的小球，先摸一个（记下颜色），放回搅匀，再摸一个．如果两次颜色相同，就算“中奖”，可按五折（10元）买下；否则按原价20元购买．小红觉得五折的优惠力度比八折大，想选方式2． （1）求小红以五折价格买到笔袋的概率； （2）小明说：“如果我们要买很多很多个，我估计选方式2不如方式1划算．”你同意小明的说法吗？请说明理由． 【答案】（1） （2）同意小明的说法， 理由如下： 由（1）可知，两次摸出的球不同色的概率为， ∵对一般的随机事件，在做大量重复试验时，随着试验次数的增加，一个事件出现的频率，总在一个固定数的附近摆动，显示出一定的稳定性， ∴可以估计，若买很多很多该物件，以五折的价格买到该物件的频率为，以标价购买该物件的频率为， 设买件该物件，若选择2方式，可估计总花费为：（元）， 若选择1方式，总花费为：， ∵， ∴选择2方式不如1方式划算， ∴同意小明的说法． 【分析】（1）画出树状图，利用概率公式即可求解； （2）设买件该物件，分别求出选择2方式和选择1方式的总花费，比较后即可得到结论． 【解析】（1）解：依题意可列树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中两次摸出的球同色的结果有3种， ∴两次摸出的球同色的概率， ∴小红以五折价格买到笔袋的概率为． （2）略 24．（7分）围棋是一种古老的中国传统游戏，起源于中国古代．赵婷和李海是围棋爱好者，他们在某次对弈前约定规则来决定由谁执黑棋（围棋的第一原则：黑棋先下子，白棋后下子，然后双方轮流下子）．将两枚白棋和三枚黑棋装入不透明的围棋罐中，摇匀． （1）从罐中随机摸出一枚棋子，记下颜色后放回罐中摇匀，不断重复这个过程，共摸棋子20次，其中有7次摸到白棋．则这20次摸棋子中，摸出白棋的频率是________； （2）他们约定的规则如下：赵婷先从罐子中随机摸出一枚棋子，记下颜色后放回，摇匀，然后李海再从罐子中随机摸出一枚棋子，记下颜色．若摸出的两枚棋子颜色不同由赵婷执黑棋，若摸出的两枚棋子颜色相同由李海执黑棋．请用画树状图或列表的方法判断这个规则对双方是否公平？若不公平，他们两人中谁执黑棋的概率更大． 【答案】（1）0.35（或） （2）这个规则对双方不公平，李海执黑棋的概率更大 【分析】此题考查了频率的计算，游戏的公平性、用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件． （1）用摸到白球的个数除以摸球的总数即可； （2）画出树状图，分别求出李海执黑棋和李海执黑棋的概率即可求解． 【解析】（1）； （2）画树状图如下： 由树状图可知，共有25种等可能的结果，其中摸出的两枚棋子颜色不同的结果有12种，颜色相同的结果有13种， （赵婷执黑棋），P（李海执黑棋）， （赵婷执黑棋）（李海执黑棋）， 这个规则对双方不公平，李海执黑棋的概率更大． 25．（8分）元旦期间，某商场为了吸引顾客，开展有奖促销活动．该活动设立了一个可以自由转动的转盘，转盘被分成个面积相等的扇形，四个扇形区域内分别标有“元”、“元”、“元”、“元”的字样（如图所示）．商场规定：同一日内，顾客在本商场每消费满元就可以转动转盘一次，商场根据转盘指针指向区域（边界区域不计）所标金额返还相应数额的购物券．某顾客当天消费元，转了两次转盘．请用画树状图或列表的方法，求该顾客所获购物券金额不低于元的概率． 【答案】 【分析】根据题意画出树状图即可求得所有等可能的结果与该顾客所获购物券金额不低于元的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案． 【解析】画树状图如下： 共有种等可能的结果，该顾客所获购物券金额不低于元的有种情况， 该顾客所获购物券金额不低于元的概率为：． 26．（8分）2024年3月22日是第三十二届“世界水日”，某学校组织开展主题为“节约用水，爱护资源”的社会实践活动．甲小组同学在A，B两个小区各随机抽取30户居民，统计其3月份的用水量，分别将两个小区的居民用水量（单位：）分为5组，并对数据进行整理、描述和分析，得到如下信息： 信息一： A小区3月份用水量频数分布表 B小区3月份用水量频数分布直方表 信息二：A，B两小区3月份用水量数据的平均数和中位数如下： A小区 B小区 平均数 9.5 9.0 中位数 9.2 信息三：B小区3月份用水量在第三组的数据为：9，9.4，9.7，9.6，10，10.2，10.4，9.5，9.6，10.6； 根据以上信息，回答问题： （1）________； （2）若A小区共有800户居民，B小区共有750户居民，估计两个小区3月份用水量不低于的总户数； （3）因任务安排，需要随机在乙小组和丙小组中随机抽取1名同学加入甲小组，已知乙小组2名男生和一名女生，丙小组有2名女生和一名男生，请用列表法或画树状图法，求抽取的两名同学都是男生的概率． 【答案】（1）9.2 （2）估计两个小区3月份用水量不低于的总户数约为130户 （3）抽取的两名同学都是男生的概率为 【分析】（1）根据中位数的定义可得答案． （2）根据用样本估计总体，用800乘以样本中小区3月份用水量不低于的居民户数所占的百分比，再加上750乘以样本中小区3月份用水量不低于的居民户数所占的百分比，即可得出答案． （3）列表可得出所有等可能的结果数以及抽取的两名同学都是男生的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解析】（1）解：将小区30户居民3月份用水量数据按照从小到大的顺序排列，排在第15和16个的是9，9.4， ． 故答案为9.2． （2）解：样本中，小区3月份用水量不低于的居民共有3户，小区3月份用水量不低于的居民共有2户， （户， 估计两个小区3月份用水量不低于的总户数约为130户． （3）解：列表如下： 女 女 男 男 （男，女） （男，女） （男，男） 男 （男，女） （男，女） （男，男） 女 （女，女） （女，女） （女，男） 共有9种等可能的结果，其中抽取的两名同学都是男生的结果有2种， 抽取的两名同学都是男生的概率为． 【点睛】本题考查列表法与树状图法、频数（率）分布表、频数（率）分布直方图、用样本估计总体、中位数，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法、中位数的定义、用样本估计总体是解答本题的关键． 27．（8分）生活现象与“二十四节气”相关的成语、谚语蕴含了丰富的自然规律，如：“冰雪融化”“镜花水月”“寒露草枯雁南飞”“清明断雪，谷雨断霜”等．某校跨学科兴趣小组为了解学生对生活现象及谚语中蕴含的自然规律的掌握情况，从甲、乙两个校区的学生中各随机抽取20名学生进行了一次测试，共10道题，根据测试结果绘制出如下统计表和如图所示的统计图． 甲校区学生测试结果统计表： 答对题数 5 6 8 10 人数 3 7 6 4 （1）通过计算判断抽取的样本中哪个校区的学生答对题数的平均数更大； （2）该小组随后又从乙校区随机抽取了几名其他的学生进行相同的测试，得知最少的答对了8道题，将其与之前乙校区20名学生的成绩数据合并后，发现答对题数的中位数变大了，则最少又测试了 人． （3）其中的一道题目如下：先将“A．冰雪融化”“B．镜花水月”“C．光合作用“．葡萄酿酒”的图案制成颜色、质地、大小都相同的4张卡片（A，B为物理现象，C，D 主要为化学变化），卡片背面朝上洗匀放置在桌面上．活动规则：小宇先从中随机抽取一张，记录下抽取的卡片，放回洗匀，小辉再从中随机抽取一张．若他们抽取的两张卡片上都是物理现象，则由小宇分享所抽取的卡片的相关科学知识；若他们抽取的两张卡片上都是化学变化，则由小辉分享所抽取的卡片的相关科学知识；其他情况重抽．这个活动规则对他们双方公平吗？请用列表或画树状图的方法说明你的理由． 【答案】（1）抽取的样本中乙校区的学生答对题数的平均数更大 （2）2 （3） 解：这个活动规则对他们双方公平，理由如下： 列表如下： 小宇小辉 由表格可知，一共有16种等可能性的结果数，其中他们抽取的两张卡片上都是物理现象的结果数有4种，他们抽取的两张卡片上都是化学变化的结果数有4种， ∴由小宇分享所抽取的卡片的相关科学知识的概率为，由小辉分享所抽取的卡片的相关科学知识的概率为， ∴两人能分享所抽取的卡片的相关科学知识的概率相同， ∴这个活动规则对他们双方公平． 【分析】（1）根据平均数的定义分别求出两个校区的平均数，比较即可得到答案； （2）先求出原来乙校区抽取的20名学生的答对题数中位数，再根据重新测试的学生中最少的答对了8道题判断需要重新测试后所有学生的中位数变大的情况即可得到答案； （3）列表求出两人分享所抽取的卡片的相关科学知识的概率，比较即可得到答案． 【解析】（1）解：甲校区的学生答对题数的平均数为题， 乙校区的学生答对题数的平均数为题， ∵， ∴抽取的样本中乙校区的学生答对题数的平均数更大； （2）解：将乙校区原来抽取的20名学生的答对题数按照从低到高的顺序排列，第10个数据，第11个数据分别为7题，7题，即中位数为7题， ∵再次抽取的学生中，最少的答对了8道题， ∴若再次抽取了1名学生，那么将乙校区抽取的21名学生的答对题数按照从低到高的顺序排列，第11个数据为7题，即中位数为7题，此时中位数保持不变， 若再次抽取了2名学生，那么将乙校区抽取的22名学生的答对题数按照从低到高的顺序排列，第11个数据为7题，第12个数据为8题，即中位数为题，此时中位数变大了， ∴最少又测试了2人； （3）略 28．（8分）安全问题一直以来都是大家特别关注的问题，为了进一步增强中学生的安全意识，珍惜自己的生命，提高自我保护能力，某校开展了以“安全”为主题的演讲比赛，参加此次比赛的晶晶和莹莹都想第一个出场，主持人拿出了四张背面完全相同的卡片，卡片正面分别写上A（生命）、B（至上）、C（安全）、D（第一），将卡片背面朝上洗匀后，晶晶先从中随机抽取一张，不放回，莹莹再从剩下的3张卡片中随机抽取一张，若两人所抽取的卡片上文字能组成“生命至上”或“安全第一”，则晶晶第一个出场；否则，莹莹第一个出场． （1）请用列表法或画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果总数； （2）这个规则对晶晶和莹莹是否公平？若公平，请说明理由；如果不公平，那么谁第一个出场的可能性更大？ 【答案】（1）12种 （2）不公平；莹莹第一个出场的可能性更大 【分析】（1）画出树状图即可解答； （2）分别求出晶晶和莹莹第一个出场的概率，再进行比较即可解答． 【解析】（1）解：画树状图如答图： 由树状图可知，共有种等可能的结果． （2）这种规则对晶晶和莹莹不公平．     理由如下：由（1）可得，12种等可能的结果中，晶晶第一个出场的结果有4种，莹莹第一个出场的结果有8种， 晶晶第一个出场的概率为，莹莹第一个出场的概率为．， 这个规则对晶晶和莹莹不公平，莹莹第一个出场的可能性更大． 试卷第1页（共3页） 试卷第 1 页（共 1 页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第7章 随机事件的概率 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1．“明天下雨的概率为”，下列对这句话的理解正确的是（ ） A．明天一定下雨 B．明天一定不下雨 C．明天80%的地方下雨 D．明天下雨的可能性很大 2．下列说法中正确的是（ ） A．事件发生的可能性越大，它的概率越接近 B．天气预报说每天下雪的概率是，所以明天将有一半的时间在下雪 C．彩票中奖的机会是，买张一定会中奖 D．“从一个只有红球的袋子里摸出白球”是随机事件 3．小星同学通过大量重复的定点投篮练习，用频率估计他投中的概率为0.3，下列说法正确的是（ ） A．小星定点投篮1次，不一定能投中 B．小星定点投篮1次，一定可以投中 C．小星定点投篮10次，一定投中3次 D．小星定点投篮3次，一定投中1次 4．一个不透明的盒子中有个白球和若干个红球，这些球除颜色外其余均相同．搅匀后每次随机从盒中摸出一球，记下颜色后放回盒中，通过大量重复摸球试验后发现，摸出白球的频率稳定在左右，则盒中红球的个数约有（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 5．下列说法正确的是（ ） A．“清明时节雨纷纷”是必然事件 B．了解市面上一次性餐盒的卫生情况，用全面调查 C．“煮熟的鸭子飞了”是不可能事件 D．投掷一枚质地均匀的硬币10次，一定有5次正面朝上 6．如图，平面内有一圆及其内接四边形，若随机在圆周上取一点，已知该点取自弧的概率是，则的度数为（ ）    A． B． C． D． 7．在一个不透明的纸箱中装30个黑球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同．通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.4左右，则口袋中白球最可能为（ ） A．15个 B．20个 C．28个 D．32个 8．一个不透明的袋子里装有红球和白球共10个，它们除颜色外完全相同，每次搅匀后从中随机摸出一个球并记下颜色，再放回袋中，不断重复，统计白球出现的频率如图所示，则白球的个数最可能是（ ） A．9 B．8 C．7 D．6 9．飞行棋是一种玩法简单的竞技游戏，玩家投掷一个骰子得到正面朝上的点数，确定前进的步数，刚好走到终点则胜利；若所得点数超过到达终点所需的步数则需要往回走所超点数的步数．如图所示，在一次飞行棋游戏的最后阶段，如果小明投掷骰子的次数不超过两次就能刚好到达终点，则到达终点的方式有（ ） A．4种 B．5种 C．6种 D．7种 10．从0，1，2，3这四个数字中随机选取一个数作为k，则方程有两个不同的整数根的概率是（ ） A． B． C． D．1 二、填空题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 11．在一个不透明的箱子中放有10张除地名外完全相同的卡片，卡片数量如表．从箱子中抽出一张卡片，卡片上的地名最有可能是________． 地名 卡片数量 岳麓山 5张 铜官窑 2张 橘子洲头 3张 12．如图1，在边长为的正方形内部有一不规则图案（图中阴影部分），为测算阴影部分面积，小亮利用计算机进行模拟试验，通过计算机在正方形区域随机投放一个点，并记录该点落在阴影上的频率数据，结果如图2所示．小亮由此估计阴影部分面积约为________． 13．如图是书房地板的示意图，图中每一块方砖除颜色外完全相同，将一个小球在书房的地板上自由地滚动，小球随机地停在某块方砖上，则小球停在黑砖上的概率是________． 14．冰冰和雪雪做掷两个筹码的游戏，其中一个两面都写有8，另一个一面写有8，另一面写有9．游戏规则如下：两人各持一个筹码同时掷出，如果掷出一对8，雪雪获胜；如果掷出一个8和一个9，冰冰获胜．你认为这个游戏________（填“公平”或“不公平”）． 15．如图，一块正方形地板由9块边长均相等的小正方形组成，苍蝇随机地落在如图所示的正方形地板上，则落在白色区域的概率为________． 16．小莹一家五口周末乘坐动车组列车出游，小莹在网上给5人购票时，五人的座位恰好位于同一车厢的同一排（如图是动车组列车座位示意图）．进入该车厢后，小莹的奶奶先从这五个座位中随机选择一个，然后小莹从剩下的四个座位中随机选择一个坐下，则奶奶和小莹的座位相邻（过道两侧也视为是座位相邻）的概率是________． 17．小滨和小江分别从甲、乙两个式样、大小都相同的不透明袋子中随机抽出一张卡片，其中，甲、乙两个袋子中均装有一张写着正数的卡片和一张写着负数的卡片．把各自抽出的卡片上的数字相乘，若乘积为正数则小滨获胜，乘积为负数则小江获胜，则该场游戏小江获胜的概率是________．若在乙袋中增加一张写着负数的卡片，甲袋中的卡片数不变，两人按照上述规则再次游戏，则小江获胜的概率和第一场游戏中小江获胜的概率相比将________．（填“增加”“减小”或“不变”） 18．在一个不透明的袋中装着个球，个红球和个黄球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出个小球，两球恰好是一个黄球和一个红球的概率为________． 19．“宫商角徵羽”是中国古乐的五个基本音阶，现有一款“一起听古音”的音乐玩具，音乐小球从处沿轨道进入小洞就可以发出相应的声音，且小球进入每个小洞的可能性大小相同，现有两个音乐小球从处先后进入小洞，发出“宫”音，再发出“角”音的概率是________． 20．如图，小正方形的4个顶点落在大正方形的对角线上，随机地往大正方形内投一个质点，该质点落在阴影区域的概率为________． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 60 分） 21．（7分）为深入学习宣传贯彻党的二十大精神，某校开展了“党的二十大精神进校园”系列活动，组织学生用“歌舞表演”、“书画展示”、“党史宣讲”、“红歌传唱”、“主题征文”五种方式（依次记为A、B、C、D、E）学习二十大精神．为了解学生们参与这五项活动的意向，“综合与实践”小组从有意向参加活动的学生中随机抽取若干名学生进行问卷调查，形成了如下的调查报告（不完整）： 调查主题 ××中学学生参加“党的二十大精神进校园”活动情况 调查方式 抽样调查 调查对象 ×中学学生 数据的收集、整理与描述 请在下列选项中选择你有参加意向的选项，在其后[   ]内打“√”（每人只选一项）． A．歌舞表演[   ]  B．书画展示[   ]  C．党史宣讲[   ]  D．红歌传唱[   ] E．主题征文[   ] 调查结论 …… 请根据图表提供的信息，解答下列问题． （1）参与本次问卷调查的总人数为________人，统计表中________； （2）请补全条形统计图； （3）若该校总共有1200人参加活动，请估计其中参加“党史宣讲”活动的人数； （4）张三在本次活动中表现优异，学校奖励他从装有三张“二十大”纪念邮票（三张邮票依次记为①，②，③，且它们形状，大小，触感完全相同）的盒子中随机抽取第一张，记下①②③的标签后放回摇均匀，再随机抽取第二张，请用列表或画树状图的方法求张三抽取的两张邮票为①，②的概率． 22．（7分）春节以来，很多电影都给我们留下深刻的印象．小卓和小越分别想从“哪吒之魔童闹海”“唐探1900”“封神之战火西岐”“熊出没”四部电影中的随机选一部现看．将“哪吒之魔童闹海”“唐探1900”“封神之战火西岐”“熊出没”四部电影分别记作A，B，C，D．请你求出他们选中同一部影片的概率． 23．（7分）学校举办爱心义卖活动，各班都在操场上摆摊，小明和小红拿着零花钱去逛，想买些小文具，他们在一个摊位前看到一款很喜欢的帆布笔袋，标价20元/个．摊主给出了两种销售方式：方式1：直接按标价打八折，即16元；方式2：抽奖打折．每买一件，都先抽奖：袋子里有红、白、黄3个仅颜色不同的小球，先摸一个（记下颜色），放回搅匀，再摸一个．如果两次颜色相同，就算“中奖”，可按五折（10元）买下；否则按原价20元购买．小红觉得五折的优惠力度比八折大，想选方式2． （1）求小红以五折价格买到笔袋的概率； （2）小明说：“如果我们要买很多很多个，我估计选方式2不如方式1划算．”你同意小明的说法吗？请说明理由． 24．（7分）围棋是一种古老的中国传统游戏，起源于中国古代．赵婷和李海是围棋爱好者，他们在某次对弈前约定规则来决定由谁执黑棋（围棋的第一原则：黑棋先下子，白棋后下子，然后双方轮流下子）．将两枚白棋和三枚黑棋装入不透明的围棋罐中，摇匀． （1）从罐中随机摸出一枚棋子，记下颜色后放回罐中摇匀，不断重复这个过程，共摸棋子20次，其中有7次摸到白棋．则这20次摸棋子中，摸出白棋的频率是________； （2）他们约定的规则如下：赵婷先从罐子中随机摸出一枚棋子，记下颜色后放回，摇匀，然后李海再从罐子中随机摸出一枚棋子，记下颜色．若摸出的两枚棋子颜色不同由赵婷执黑棋，若摸出的两枚棋子颜色相同由李海执黑棋．请用画树状图或列表的方法判断这个规则对双方是否公平？若不公平，他们两人中谁执黑棋的概率更大． 25．（8分）元旦期间，某商场为了吸引顾客，开展有奖促销活动．该活动设立了一个可以自由转动的转盘，转盘被分成个面积相等的扇形，四个扇形区域内分别标有“元”、“元”、“元”、“元”的字样（如图所示）．商场规定：同一日内，顾客在本商场每消费满元就可以转动转盘一次，商场根据转盘指针指向区域（边界区域不计）所标金额返还相应数额的购物券．某顾客当天消费元，转了两次转盘．请用画树状图或列表的方法，求该顾客所获购物券金额不低于元的概率． 26．（8分）2024年3月22日是第三十二届“世界水日”，某学校组织开展主题为“节约用水，爱护资源”的社会实践活动．甲小组同学在A，B两个小区各随机抽取30户居民，统计其3月份的用水量，分别将两个小区的居民用水量（单位：）分为5组，并对数据进行整理、描述和分析，得到如下信息： 信息一： A小区3月份用水量频数分布表 B小区3月份用水量频数分布直方表 信息二：A，B两小区3月份用水量数据的平均数和中位数如下： A小区 B小区 平均数 9.5 9.0 中位数 9.2 信息三：B小区3月份用水量在第三组的数据为：9，9.4，9.7，9.6，10，10.2，10.4，9.5，9.6，10.6； 根据以上信息，回答问题： （1）________； （2）若A小区共有800户居民，B小区共有750户居民，估计两个小区3月份用水量不低于的总户数； （3）因任务安排，需要随机在乙小组和丙小组中随机抽取1名同学加入甲小组，已知乙小组2名男生和一名女生，丙小组有2名女生和一名男生，请用列表法或画树状图法，求抽取的两名同学都是男生的概率． 27．（8分）生活现象与“二十四节气”相关的成语、谚语蕴含了丰富的自然规律，如：“冰雪融化”“镜花水月”“寒露草枯雁南飞”“清明断雪，谷雨断霜”等．某校跨学科兴趣小组为了解学生对生活现象及谚语中蕴含的自然规律的掌握情况，从甲、乙两个校区的学生中各随机抽取20名学生进行了一次测试，共10道题，根据测试结果绘制出如下统计表和如图所示的统计图． 甲校区学生测试结果统计表： 答对题数 5 6 8 10 人数 3 7 6 4 （1）通过计算判断抽取的样本中哪个校区的学生答对题数的平均数更大； （2）该小组随后又从乙校区随机抽取了几名其他的学生进行相同的测试，得知最少的答对了8道题，将其与之前乙校区20名学生的成绩数据合并后，发现答对题数的中位数变大了，则最少又测试了 人． （3）其中的一道题目如下：先将“A．冰雪融化”“B．镜花水月”“C．光合作用“．葡萄酿酒”的图案制成颜色、质地、大小都相同的4张卡片（A，B为物理现象，C，D 主要为化学变化），卡片背面朝上洗匀放置在桌面上．活动规则：小宇先从中随机抽取一张，记录下抽取的卡片，放回洗匀，小辉再从中随机抽取一张．若他们抽取的两张卡片上都是物理现象，则由小宇分享所抽取的卡片的相关科学知识；若他们抽取的两张卡片上都是化学变化，则由小辉分享所抽取的卡片的相关科学知识；其他情况重抽．这个活动规则对他们双方公平吗？请用列表或画树状图的方法说明你的理由． 28．（8分）安全问题一直以来都是大家特别关注的问题，为了进一步增强中学生的安全意识，珍惜自己的生命，提高自我保护能力，某校开展了以“安全”为主题的演讲比赛，参加此次比赛的晶晶和莹莹都想第一个出场，主持人拿出了四张背面完全相同的卡片，卡片正面分别写上A（生命）、B（至上）、C（安全）、D（第一），将卡片背面朝上洗匀后，晶晶先从中随机抽取一张，不放回，莹莹再从剩下的3张卡片中随机抽取一张，若两人所抽取的卡片上文字能组成“生命至上”或“安全第一”，则晶晶第一个出场；否则，莹莹第一个出场． （1）请用列表法或画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果总数； （2）这个规则对晶晶和莹莹是否公平？若公平，请说明理由；如果不公平，那么谁第一个出场的可能性更大？ 试卷第1页（共3页） 试卷第 1 页（共 1 页） 学科网（北京）股份有限公司 $