第33章 随机事件的概率（单元自测）数学新教材沪教版（五四制）九年级下册

第33章 随机事件的概率 （考试时间：100分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 1．下列说法正确的是（ ） A．我国首型4米级运载火箭于2024年11月30日成功发射，发射前，科学家对火箭实施检查，最适宜的检查方式是抽样调查 B．“无限小数是无理数”是必然事件 C．小昆同学通过大量重复的定点投篮练习，得到她投中的频率为0.4，则说明小昆定点投篮10次，一定投中4次 D．甲乙两组同学参加“知识竞赛”，若甲乙两组同学的平均成绩相同，甲组成绩的方差为，乙组成绩的方差为，则乙组同学的成绩较稳定 2．小红、小明都学会了运用“豆包”与“”人工智能软件辅助学习．若两人要选用其中一种软件修订《入团申请书》，假设两人选择每个软件的可能性相同，则两人运用不同软件的概率为（ ） A．1 B． C． D． 3．小星同学通过大量重复的定点投篮练习，用频率估计他投中的概率为0.3，下列说法正确的是（ ） A．小星定点投篮1次，不一定能投中 B．小星定点投篮1次，一定可以投中 C．小星定点投篮10次，一定投中3次 D．小星定点投篮3次，一定投中1次 4．在一个箱子里放有1个白球和2个红球，他们除颜色外其余都相同．给出下列说法：①从箱子里摸出1个球是黑球，属于不可能事件；②从箱子里摸出1个球是白球或者是红球，属于必然事件；③从箱子里摸出1个球，摸到红球的可能性大于白球．④从箱子里摸出1个球再放回，这样连续摸了3次都是红球，则第4次再摸出一个球，摸到白球的可能性更大．以上四种说法中正确的说法是（ ） A．①②③ B．①③④ C．②③ D．①②④ 5．在一个不透明的纸箱中装30个黑球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同．通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.4左右，则口袋中白球最可能为（ ） A．15个 B．20个 C．28个 D．32个 6．在一个不透明的口袋中，放置4个红球，2个白球和n个黄球，这些小球除颜色外其余均相同，数学小组每次摸出一个球记下颜色后再放回，统计黄球出现的频率如图所示，则n的值可能是（ ） A．4 B．6 C．8 D．10 二、填空题（本大题共 12 小题，每小题 4 分，共 48 分） 7．河南是中原文化的发源地之一，拥有丰富的自然和人文旅游资源，现有三张正面分别印有龙门石窟、殷墟遗址、登封“天地之中”历史建筑群的卡片，它们除正面内容不同外完全相同．把这三张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，抽取的卡片是“龙门石窟”和“殷墟遗址”的概率为________． 8．现有三张卡片，上面分别写着2、3、6，随机选择其中的两张，较大数能被较小数整除的概率是________． 9．小贤同学要测量图中不规则图案（恐龙）的面积，采用的办法是：先用边长为的正方形将该图案围起来，再向正方形区域内掷点，通过大量的重复试验，发现点落在不规则图案部分的频率稳定在附近，请你根据小贤同学的试验数据，得出该不规则图案（恐龙）的面积为________． 10．小金和小东两位男同学从引体向上，掷实心球，立定跳远，50米游泳4个选考项目中选择一项参加今年体育中考，则他们选择同一个考试项目的概率为________． 11．在一个不透明的袋中装着3个红球和1个黄球，它们只有颜色上的区别，随机从袋中摸出2个小球，两球恰好是一个黄球和一个红球的概率为 ________． 12．某校乒乓球社团准备了6张背面相同的，，三款纪念卡片，其中：款有1张，款有2张，C款有3张．现在从中随机抽取1张卡片，下列事件发生的可能性最大的是________．（填序号） ①抽到A款；②抽到B款；③抽到C款 13．小滨和小江分别从甲、乙两个式样、大小都相同的不透明袋子中随机抽出一张卡片，其中，甲、乙两个袋子中均装有一张写着正数的卡片和一张写着负数的卡片．把各自抽出的卡片上的数字相乘，若乘积为正数则小滨获胜，乘积为负数则小江获胜，则该场游戏小江获胜的概率是________．若在乙袋中增加一张写着负数的卡片，甲袋中的卡片数不变，两人按照上述规则再次游戏，则小江获胜的概率和第一场游戏中小江获胜的概率相比将________．（填“增加”“减小”或“不变”） 14．现有四张完全相同的卡片，正面分别标有数字2，3，4，5，把卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则抽取的两张卡片上数字之和为偶数的概率是________． 15．向阳中学门口的电子显示屏上滚动显示的内容和停留时间如表所示，小王抬头看显示屏时，最大可能看到的内容是________． 内容 时间/秒 日期 5 星期 3 时间 9 天气 4 16．在一个不透明的袋中装有个红球和若干个白球（除颜色外其余均相同），摇匀后从中随机摸出一个球，经过大量重复的试验后发现摸出红球的频率稳定在，则袋中白球的数量是________个． 17．不透明袋子中有1个黑球，2个红球，3个白球和4个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从中随机摸出一个球，放回并摇匀后重复操作，某一颜色的球出现的频率如图所示，则此球的颜色最有可能是________． 18．设计一个摸球游戏，在一个袋子里装有一些颜色的球，使得摸到红球的机会为0.4，摸到黄球的机会为0.2，摸到白球的机会为0.4，则至少要有________个黄球． 三、解答题（本大题共 7 小题，共 78 分） 19．（11分）【综合实践】如图，学校劳动基地有一个不规则的封闭菜地 ，为求得它的面积，学习小组设计了如下的一个方案： ①在此封闭图形内画出一个半径为 1米的圆． ②在此封闭图形外闭上眼睛向封闭图形内掷小石子(可把小石子近似地看成点) ，记录如下： 掷小石子落在不规则图形内的总次数(含外沿) 100 200 500 1000 …… 小石子落在圆内(含圆上)的次数 m 32 63 153 305 …… 小石子落在圆外的阴影部分(含外沿)的次数 n 68 137 347 695 …… 小石子落在圆内(含圆上)的频率 0.320 0.315 0.306 x …… 【数学发现】（1）若以小石子所落的有效区域为总数(即 )，则表格中的数据x = ； 随着投掷次数增大，小石子落在圆内(含圆上)的频率值稳定在 附近(结果精确到 )； 【结论应用】（2）请你利用（1）中所得的频率值，估计整个封闭图形的面积是多少平方米？(结果保留) 20．（11分）2024年4月8日晚，感动中国2023年度获奖人物揭晓．极不平凡的2023年，他们或在危难中逆行，或在逆境中坚守，以凡人之力，书写中国人的年度精神史诗．为培养全校同学奉献、无私、爱国精神，某校拟举办以“增强家国情怀，感悟榜样精神”为主题的演讲比赛，每班选拔一人参加．九年级（1）班的李磊和张华表现都很优秀，班主任打算从这两位同学中任选1人参加学校演讲比赛．为此设计了如下游戏规则：在一枚质地均匀的正方体骰子的每个面上分别标上数字1、2、3、4、5、6．李磊和张华各掷一次骰子，若两次朝上的点数之和为偶数，则李磊参加学校演讲比赛；否则，张华参加学校演讲比赛． （1）“李磊掷一次骰子，掷得向上一面的点数为偶数”是________事件；（填“必然”“不可能”或“随机”） （2）这个游戏对双方公平吗？请用列表或画树状图的方法说明理由． 21．（11分）陕西历史博物馆秦汉馆是国内首个以集中展示秦汉文明缘起、发展和贡献为主题的博物馆．某校组织学生去陕西历史博物馆秦汉馆参观后，校团委开展了“与历史对话，与文化共鸣”的博物馆专题活动，共开展四个项目：A．讲述博物馆馆藏文物的故事；B．制作博物馆专题手抄报；C．制作博物馆系列文创产品；D．挑战知识问答游戏，要求学生每人只能参与一项．学校制作了如图所示的可自由转动的均匀转盘，将圆形转盘四等分，并分别标上字母A、B、C、D，每位学生转动转盘一次，转盘停止后，指针所指扇形部分的字母对应的活动项目即为他选到的项目（若指针落在分界线上，则重转，直到指针指向某一扇形区域内为止）． （1）若该校20位学生各转动转盘一次，其中有4人选到“C．制作博物馆系列文创产品”，则选到“C．制作博物馆系列文创产品”的频率是________； （2）青青和丽丽是该校的两位学生，请用列表或画树状图的方法，求两人中至少有一人选到“D．挑战知识问答游戏”的概率． 22．（11分）学校举办爱心义卖活动，各班都在操场上摆摊，小明和小红拿着零花钱去逛，想买些小文具，他们在一个摊位前看到一款很喜欢的帆布笔袋，标价20元/个．摊主给出了两种销售方式：方式1：直接按标价打八折，即16元；方式2：抽奖打折．每买一件，都先抽奖：袋子里有红、白、黄3个仅颜色不同的小球，先摸一个（记下颜色），放回搅匀，再摸一个．如果两次颜色相同，就算“中奖”，可按五折（10元）买下；否则按原价20元购买．小红觉得五折的优惠力度比八折大，想选方式2． （1）求小红以五折价格买到笔袋的概率； （2）小明说：“如果我们要买很多很多个，我估计选方式2不如方式1划算．”你同意小明的说法吗？请说明理由． 23．（11分）某校课外学习小组做换球试验，一只不透明袋子中装有12个白球和若干个红球，这些球除颜色外部相同，将球搅匀后从中任意摸出1个球，记下颜色后放回、搅匀，不断重复这个过程，获得数据如下： 摸球的次数 200 300 400 1000 1600 2000 摸到白球的频数 144 186 260 668 1064 1332 摸到白球的频率 0.720 0.620 0.650 0.668 0.665 0.666 （1）该学习小组发现，当试验次数足够大时，摸到白球的频率在一个常数附近摆动，这个常数是（精确到0.01） ，由此估出红球有 个； （2）学校开设劳动选修课，可以选择的劳动课程有：烹饪、手工、插花等十余门.小明和小刚两名同学都想选择烹饪课，但是名额只剩一个，他们决定在（1）中的小球中选出2个白球和1个红球放入一只不透明袋子中，由小明从中随机摸出1个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个球，若两次都是白球则小明去上烹饪课；否则小刚去上烹饪课.请用树状图或表格列出小明摸球所有可能出现的结果，并求出小明上烹饪课的概率. 24．（11分）小明和小刚玩摸球游戏，将2个红球1个白球放到一个不透明的袋子中，这些球除颜色外无其它差别，从袋子中随机摸出2个球，若两个球都是红色，则小明胜；若一红一白，则小刚胜． （1）这个游戏方案对双方公平吗？请说明理由； （2）将红球个数改成________个（其他条件不变），这个游戏方案对双方是公平的． 25．（12分）安全问题一直以来都是大家特别关注的问题，为了进一步增强中学生的安全意识，珍惜自己的生命，提高自我保护能力，某校开展了以“安全”为主题的演讲比赛，参加此次比赛的晶晶和莹莹都想第一个出场，主持人拿出了四张背面完全相同的卡片，卡片正面分别写上A（生命）、B（至上）、C（安全）、D（第一），将卡片背面朝上洗匀后，晶晶先从中随机抽取一张，不放回，莹莹再从剩下的3张卡片中随机抽取一张，若两人所抽取的卡片上文字能组成“生命至上”或“安全第一”，则晶晶第一个出场；否则，莹莹第一个出场． （1）请用列表法或画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果总数； （2）这个规则对晶晶和莹莹是否公平？若公平，请说明理由；如果不公平，那么谁第一个出场的可能性更大？ 试卷第1页（共3页） 试卷第 1 页（共 1 页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第33章 随机事件的概率 （考试时间：100分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 1．下列说法正确的是（ ） A．我国首型4米级运载火箭于2024年11月30日成功发射，发射前，科学家对火箭实施检查，最适宜的检查方式是抽样调查 B．“无限小数是无理数”是必然事件 C．小昆同学通过大量重复的定点投篮练习，得到她投中的频率为0.4，则说明小昆定点投篮10次，一定投中4次 D．甲乙两组同学参加“知识竞赛”，若甲乙两组同学的平均成绩相同，甲组成绩的方差为，乙组成绩的方差为，则乙组同学的成绩较稳定 【答案】D 【分析】本题考查了统计与概率中相关知识，涉及事件、调查方式、频率及方差等知识，属于基础知识，掌握这些基础知识是解题的关键；根据这些知识判断即可． 【解析】A、科学家对发射前的火箭实施检查，最适宜的检查方式是普查，保证发射万无一失，故说法错误； B、无限不循环小数是无理数，无限循环小数是有理数，因此这是随机事件，说法错误； C、投中的频率为0.4，说明小昆定点投篮10次，可能投中4次，说法错误； D、甲乙两组同学的平均成绩相同，乙组的方差小于甲组的方差，表示乙组同学的成绩较稳定，说法正确； 故选D． 2．小红、小明都学会了运用“豆包”与“”人工智能软件辅助学习．若两人要选用其中一种软件修订《入团申请书》，假设两人选择每个软件的可能性相同，则两人运用不同软件的概率为（ ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查简单随机事件的概率计算，可通过列举法列出所有等可能的结果，再找出两人选不同软件的结果数，根据概率公式计算即可． 【解析】设“豆包”为软件，“”为软件， 列举两人选择软件所有等可能的结果为：，共种， ∵其中两人选择不同软件的结果有种， ∴所求概率．故选C． 3．小星同学通过大量重复的定点投篮练习，用频率估计他投中的概率为0.3，下列说法正确的是（ ） A．小星定点投篮1次，不一定能投中 B．小星定点投篮1次，一定可以投中 C．小星定点投篮10次，一定投中3次 D．小星定点投篮3次，一定投中1次 【答案】A 【分析】本题主要考查了概率的意义，概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小，机会大也不一定发生，据此求解即可． 【解析】小星同学通过大量重复的定点投篮练习，用频率估计他投中的概率为0.3，则由概率的意义可知，小星定点投篮1次，不一定能投中，故选项A正确，选项B错误； 小星定点投篮10次，不一定投中3次，故选项C错误； 小星定点投篮3次，不一定投中1次，故选项D错误 故选；A． 4．在一个箱子里放有1个白球和2个红球，他们除颜色外其余都相同．给出下列说法：①从箱子里摸出1个球是黑球，属于不可能事件；②从箱子里摸出1个球是白球或者是红球，属于必然事件；③从箱子里摸出1个球，摸到红球的可能性大于白球．④从箱子里摸出1个球再放回，这样连续摸了3次都是红球，则第4次再摸出一个球，摸到白球的可能性更大．以上四种说法中正确的说法是（ ） A．①②③ B．①③④ C．②③ D．①②④ 【答案】A 【分析】本题考查了事件的分类和事件的可能性大小，正确的理解题意是解题的关键．由不可能事件与必然事件的定义即可判断①和②，由事件发生的可能性大小即可判断③④． 【解析】①从箱子里摸出1个球是黑球，属于不可能事件，说法正确； ②从箱子里摸出1个球是白球或者是红球，属于必然事件，说法正确； ③从箱子里摸出1个球，摸到红球的可能性大于白球，说法正确； ④从箱子里摸出1个球再放回，这样连续摸了3次都是红球，则第4次再摸出一个球，摸到红球的可能性更大，说法错误； ∴正确的为①②③， 故选A． 5．在一个不透明的纸箱中装30个黑球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同．通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.4左右，则口袋中白球最可能为（ ） A．15个 B．20个 C．28个 D．32个 【答案】B 【分析】此题主要考查了利用频率估计概率，掌握大量反复试验下频率稳定值即概率是解题关键．由摸到白球的频率稳定在左右，估计摸到白球的概率为，设袋中白球的个数为x，通过列方程进而求出白球个数即可． 【解析】设袋中白球的个数为x，根据题意，得： ， 解得， 经检验是分式方程的解， 所以口袋中白球可能有20个， 故选B． 6．在一个不透明的口袋中，放置4个红球，2个白球和n个黄球，这些小球除颜色外其余均相同，数学小组每次摸出一个球记下颜色后再放回，统计黄球出现的频率如图所示，则n的值可能是（ ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】本题考查了用频率估计概率及用概率求数量，解题的关键是熟练掌握概率公式．先根据图得到黄球出现的频率稳定在附近，再根据概率公式表示出，求解即可． 【解析】由图可知，经过大量实验发现，黄球出现的频率稳定在附近 解得 经检验，是分式方程的解且符合题意， 故选B． 二、填空题（本大题共 12 小题，每小题 4 分，共 48 分） 7．河南是中原文化的发源地之一，拥有丰富的自然和人文旅游资源，现有三张正面分别印有龙门石窟、殷墟遗址、登封“天地之中”历史建筑群的卡片，它们除正面内容不同外完全相同．把这三张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，抽取的卡片是“龙门石窟”和“殷墟遗址”的概率为________． 【答案】 【分析】本题考查了列举法求概率，根据题意列出所有的可能情况，再根据概率公式求解即可． 【解析】设龙门石窟、殷墟遗址、登封“天地之中”历史建筑群三张卡片分别为、、， 随机抽取两张的情况有、、共3种，其中抽到的情况有1种， 所以概率为， 故答案为． 8．现有三张卡片，上面分别写着2、3、6，随机选择其中的两张，较大数能被较小数整除的概率是________． 【答案】 【分析】先列举出随机抽取两张卡片所有等可能的结果. 再找出其中满足较大数能被较小数整除的结果个数. 最后根据概率公式计算即可． 【解析】根据题意，从写有，，的三张卡片中随机抽取两张，所有等可能的结果为：，，，共种等可能的结果， 其中较大数能被较小数整除的结果有：，，共种， 根据概率公式，可得所求概率为．故答案为$\frac{2}{3}$． 9．小贤同学要测量图中不规则图案（恐龙）的面积，采用的办法是：先用边长为的正方形将该图案围起来，再向正方形区域内掷点，通过大量的重复试验，发现点落在不规则图案部分的频率稳定在附近，请你根据小贤同学的试验数据，得出该不规则图案（恐龙）的面积为________． 【答案】 【分析】本题考查了用频率估计概率，熟练掌握用频率估计概率的方法是解题的关键．用频率和概率之间的关系解答即可． 【解析】点落在图案部分的频率稳定在左右， 此不规则图案的面积大约为， 故答案为． 10．小金和小东两位男同学从引体向上，掷实心球，立定跳远，50米游泳4个选考项目中选择一项参加今年体育中考，则他们选择同一个考试项目的概率为________． 【答案】（或0.25） 【分析】本题考查了列表法或树状图求概率，概率公式，解题关键是掌握列表法和树状图．用，，，分别表示引体向上，掷实心球，立定跳远，50米游泳4个选考项目，画树状图可得到所有等可能的结果数，及小金和小东选择同一个考试项目的结果数，然后根据概率公式求解即可． 【解析】用，，，分别表示引体向上，掷实心球，立定跳远，50米游泳这4个选考项目，画出树状图如下： 由图可得所有等可能的结果有16种，小金和小东选择同一个考试项目有4种结果， 他们选择同一个考试项目的概率为：， 故答案为． 11．在一个不透明的袋中装着3个红球和1个黄球，它们只有颜色上的区别，随机从袋中摸出2个小球，两球恰好是一个黄球和一个红球的概率为 ________． 【答案】 【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率，解题关键是正确画出树状图． 先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两球恰好是一个黄球和一个红球的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【解析】画树状图得： ∵共有种等可能的结果，两球恰好是一个黄球和一个红球的有6种情况， ∴两球恰好是一个黄球和一个红球的为：． 故答案为． 12．某校乒乓球社团准备了6张背面相同的，，三款纪念卡片，其中：款有1张，款有2张，C款有3张．现在从中随机抽取1张卡片，下列事件发生的可能性最大的是________．（填序号） ①抽到A款；②抽到B款；③抽到C款 【答案】③ 【分析】根据概率公式分别计算每个事件发生的概率，比较概率大小，概率越大则事件发生的可能性越大． 【解析】由题意可知，总共有6张等可能被抽取的卡片，分别计算各事件的概率： ① 抽到A款的概率：； ② 抽到B款的概率：； ③ 抽到C款的概率：； 比较概率大小可得：， 因此最大，即抽到C款的可能性最大．故答案为③． 13．小滨和小江分别从甲、乙两个式样、大小都相同的不透明袋子中随机抽出一张卡片，其中，甲、乙两个袋子中均装有一张写着正数的卡片和一张写着负数的卡片．把各自抽出的卡片上的数字相乘，若乘积为正数则小滨获胜，乘积为负数则小江获胜，则该场游戏小江获胜的概率是________．若在乙袋中增加一张写着负数的卡片，甲袋中的卡片数不变，两人按照上述规则再次游戏，则小江获胜的概率和第一场游戏中小江获胜的概率相比将________．（填“增加”“减小”或“不变”） 【答案】（或0.5） 不变 【分析】本题考查的是统计与概率，正确找出可能出现的结果数是解题的关键． 甲、乙两个袋子中均装有一张写着正数的卡片和一张写着负数的卡片时，找出所有等可能的结果数以及成绩为负数的结果数，再利用概率公式可得该场游戏小江获胜的概率；在乙袋中增加一张写着负数的卡片，甲袋中的卡片数不变时，找出等可能得结果数以及乘积为负数结果数，再利用概率公式可得此时小江获胜的概率，再作比较即可． 【解析】共有4种等可能得结果，分别为：（正数，负数）、（负数，正数）、（正数，正数）、（负数，负数），其中乘积为负数的结果有：（正数，负数），（负数，正数）共2种，所以该场游戏小江获胜的概率是； 乙袋中增加一张写着负数的卡片，甲袋中的卡片数不变，两人按照上述规则再次游戏，共有6种等可能的结果，分别为：（正数，正数）、（正数，负数）、（正数，负数）、（负数，正数）（负数，负数）、（负数，负数），其中乘积为负数的结果有：（正数，负数），（正数，负数），（负数，正数），共三种，所以该场小江获胜的概率是，所以小江获胜的概率和第一场游戏中小江获胜的概率相比将不变． 故答案为；不变 14．现有四张完全相同的卡片，正面分别标有数字2，3，4，5，把卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则抽取的两张卡片上数字之和为偶数的概率是________． 【答案】 【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部等可能情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是发生的概率. 【解析】画树状图如下： 可知共有12种等可能结果，其中符合条件的为共4种， 故抽取的两张卡片上数字之和为偶数的概率是.故答案为$\frac{1}{3}$． 15．向阳中学门口的电子显示屏上滚动显示的内容和停留时间如表所示，小王抬头看显示屏时，最大可能看到的内容是________． 内容 时间/秒 日期 5 星期 3 时间 9 天气 4 【答案】时间 【分析】分别计算出看到各内容的概率，比较概率大小，概率最大的即为最大可能看到的内容. 【解析】由题意可得，一个滚动周期的总时间为秒； ，，，， ， 看到时间的概率最大，即最大可能看到的内容是时间. 故答案为时间． 16．在一个不透明的袋中装有个红球和若干个白球（除颜色外其余均相同），摇匀后从中随机摸出一个球，经过大量重复的试验后发现摸出红球的频率稳定在，则袋中白球的数量是________个． 【答案】 【分析】此题主要考查了利用频率估计概率，由摸到红球的频率稳定在附近得出口袋中得到红色球的概率，进而求出白球个数是解题关键． 【解析】解：设白球个数为x个， ∵摸到红色球的频率稳定在左右， ∴口袋中得到红色球的概率为， ∴， 解得：， 经检验是方程的解，故白球的个数为个． 故答案为． 17．不透明袋子中有1个黑球，2个红球，3个白球和4个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从中随机摸出一个球，放回并摇匀后重复操作，某一颜色的球出现的频率如图所示，则此球的颜色最有可能是________． 【答案】红球 【分析】根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值得到抽到该球的概率为，再分别计算出抽到四种颜色的球的概率即可得到答案． 【解析】观察统计图可知：该球的频率稳定在左右， 即抽到该球的概率为， 球的总个数为：（个）， 抽到黑球的概率为， 抽到红球的概率为， 抽到白球的概率为， 抽到黄球的概率为， 所以此球的颜色最有可能是红球．故答案为红球． 18．设计一个摸球游戏，在一个袋子里装有一些颜色的球，使得摸到红球的机会为0.4，摸到黄球的机会为0.2，摸到白球的机会为0.4，则至少要有________个黄球． 【答案】1 【分析】本题主要考查了概率公式的应用及概率与数量比的关系，熟练掌握根据概率确定各事件对应数量的最简整数比，再求出满足条件的最小正整数解是解题的关键．先根据各颜色球的概率求出它们的数量比，再找出满足数量比的最小正整数解，从而得到黄球的最少个数． 【解析】∵摸到红球、黄球、白球的概率分别为、、， ∴三种球的数量比为：红球黄球白球， 设黄球数量为，则红球数量，白球数量，总球数． 当时，，，， 此时，，，， 故答案为1． 三、解答题（本大题共 7 小题，共 78 分） 19．（11分）【综合实践】如图，学校劳动基地有一个不规则的封闭菜地 ，为求得它的面积，学习小组设计了如下的一个方案： ①在此封闭图形内画出一个半径为 1米的圆． ②在此封闭图形外闭上眼睛向封闭图形内掷小石子(可把小石子近似地看成点) ，记录如下： 掷小石子落在不规则图形内的总次数(含外沿) 100 200 500 1000 …… 小石子落在圆内(含圆上)的次数 m 32 63 153 305 …… 小石子落在圆外的阴影部分(含外沿)的次数 n 68 137 347 695 …… 小石子落在圆内(含圆上)的频率 0.320 0.315 0.306 x …… 【数学发现】（1）若以小石子所落的有效区域为总数(即 )，则表格中的数据x = ； 随着投掷次数增大，小石子落在圆内(含圆上)的频率值稳定在 附近(结果精确到 )； 【结论应用】（2）请你利用（1）中所得的频率值，估计整个封闭图形的面积是多少平方米？(结果保留) 【答案】（1）0.305，0.3；（2）估计整个封闭图形的面积是平方米 【分析】本题考查了利用频率估计概率，熟练掌握概率公式是解题的关键． （1）根据概率公式计算即可； （2）根据圆的面积公式得到圆的面积（平方米），利用圆的面积频率值圆的面积即可得到结论． 【解析】（1）， 随着投掷次数增大，小石子落在圆内（含圆上）的频率值稳定在0.3附近， 故答案为0.305，0.3； （2）∵圆的面积（平方米）， ∴整个封闭图形的面积（平方米）， 答：估计整个封闭图形的面积是平方米． 20．（11分）2024年4月8日晚，感动中国2023年度获奖人物揭晓．极不平凡的2023年，他们或在危难中逆行，或在逆境中坚守，以凡人之力，书写中国人的年度精神史诗．为培养全校同学奉献、无私、爱国精神，某校拟举办以“增强家国情怀，感悟榜样精神”为主题的演讲比赛，每班选拔一人参加．九年级（1）班的李磊和张华表现都很优秀，班主任打算从这两位同学中任选1人参加学校演讲比赛．为此设计了如下游戏规则：在一枚质地均匀的正方体骰子的每个面上分别标上数字1、2、3、4、5、6．李磊和张华各掷一次骰子，若两次朝上的点数之和为偶数，则李磊参加学校演讲比赛；否则，张华参加学校演讲比赛． （1）“李磊掷一次骰子，掷得向上一面的点数为偶数”是________事件；（填“必然”“不可能”或“随机”） （2）这个游戏对双方公平吗？请用列表或画树状图的方法说明理由． 【答案】（1）随机 （2）这个游戏对双方公平 【分析】本题考查事件的分类和列表法求概率； （1）根据事件的分类即可求解； （2）通过列表法求出两次朝上的点数之和为偶数的概率和两次朝上的点数之和为奇数的概率即可判断是否公平． 【解析】（1）“李磊掷一次骰子，掷得向上一面的点数为偶数”是随机事件； （2）     1     2     3     4     5      6     1 （1，1） （2，1） （3，1） （4，1） （5，1） （6，1）     2 （1，2） （2，2） （3，2） （4，2） （5，2） （6，2）     3 （1，3） （2，3） （3，3） （4，3） （5，3） （6，3）     4 （1，4） （2，4） （3，4） （4，4） （5，4） （6，4）     5 （1，5） （2，5） （3，5） （4，5） （5，5） （6，5）     6 （1，6） （2，6） （3，6） （4，6） （5，6） （6，6） ∴两次朝上的点数之和为偶数的概率为：； 两次朝上的点数之和为奇数的概率为： ∴这个游戏对双方公平 21．（11分）陕西历史博物馆秦汉馆是国内首个以集中展示秦汉文明缘起、发展和贡献为主题的博物馆．某校组织学生去陕西历史博物馆秦汉馆参观后，校团委开展了“与历史对话，与文化共鸣”的博物馆专题活动，共开展四个项目：A．讲述博物馆馆藏文物的故事；B．制作博物馆专题手抄报；C．制作博物馆系列文创产品；D．挑战知识问答游戏，要求学生每人只能参与一项．学校制作了如图所示的可自由转动的均匀转盘，将圆形转盘四等分，并分别标上字母A、B、C、D，每位学生转动转盘一次，转盘停止后，指针所指扇形部分的字母对应的活动项目即为他选到的项目（若指针落在分界线上，则重转，直到指针指向某一扇形区域内为止）． （1）若该校20位学生各转动转盘一次，其中有4人选到“C．制作博物馆系列文创产品”，则选到“C．制作博物馆系列文创产品”的频率是________； （2）青青和丽丽是该校的两位学生，请用列表或画树状图的方法，求两人中至少有一人选到“D．挑战知识问答游戏”的概率． 【答案】（1） （2） 【分析】（1）根据概率公式求解即可； （2）先画出树状图，得到共16种等可能的结果，两人中至少有一人选到“D．挑战知识问答游戏”的结果有7种，再根据概率公式求解即可． 【解析】（1）解：∵该校20位学生各转动转盘一次，其中有4人选到“C．制作博物馆系列文创产品”， ∴选到“C．制作博物馆系列文创产品”的频率是； （2）解：画树状图，如图 共16种等可能的结果，两人中至少有一人选到“D．挑战知识问答游戏”的结果有7种， ∴两人中至少有一人选到“D．挑战知识问答游戏”的概率为． 22．（11分）学校举办爱心义卖活动，各班都在操场上摆摊，小明和小红拿着零花钱去逛，想买些小文具，他们在一个摊位前看到一款很喜欢的帆布笔袋，标价20元/个．摊主给出了两种销售方式：方式1：直接按标价打八折，即16元；方式2：抽奖打折．每买一件，都先抽奖：袋子里有红、白、黄3个仅颜色不同的小球，先摸一个（记下颜色），放回搅匀，再摸一个．如果两次颜色相同，就算“中奖”，可按五折（10元）买下；否则按原价20元购买．小红觉得五折的优惠力度比八折大，想选方式2． （1）求小红以五折价格买到笔袋的概率； （2）小明说：“如果我们要买很多很多个，我估计选方式2不如方式1划算．”你同意小明的说法吗？请说明理由． 【答案】（1） （2）同意小明的说法， 理由如下： 由（1）可知，两次摸出的球不同色的概率为， ∵对一般的随机事件，在做大量重复试验时，随着试验次数的增加，一个事件出现的频率，总在一个固定数的附近摆动，显示出一定的稳定性， ∴可以估计，若买很多很多该物件，以五折的价格买到该物件的频率为，以标价购买该物件的频率为， 设买件该物件，若选择2方式，可估计总花费为：（元）， 若选择1方式，总花费为：， ∵， ∴选择2方式不如1方式划算， ∴同意小明的说法． 【分析】（1）画出树状图，利用概率公式即可求解； （2）设买件该物件，分别求出选择2方式和选择1方式的总花费，比较后即可得到结论． 【解析】（1）解：依题意可列树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中两次摸出的球同色的结果有3种， ∴两次摸出的球同色的概率， ∴小红以五折价格买到笔袋的概率为． （2）略 23．（11分）某校课外学习小组做换球试验，一只不透明袋子中装有12个白球和若干个红球，这些球除颜色外部相同，将球搅匀后从中任意摸出1个球，记下颜色后放回、搅匀，不断重复这个过程，获得数据如下： 摸球的次数 200 300 400 1000 1600 2000 摸到白球的频数 144 186 260 668 1064 1332 摸到白球的频率 0.720 0.620 0.650 0.668 0.665 0.666 （1）该学习小组发现，当试验次数足够大时，摸到白球的频率在一个常数附近摆动，这个常数是（精确到0.01） ，由此估出红球有 个； （2）学校开设劳动选修课，可以选择的劳动课程有：烹饪、手工、插花等十余门.小明和小刚两名同学都想选择烹饪课，但是名额只剩一个，他们决定在（1）中的小球中选出2个白球和1个红球放入一只不透明袋子中，由小明从中随机摸出1个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个球，若两次都是白球则小明去上烹饪课；否则小刚去上烹饪课.请用树状图或表格列出小明摸球所有可能出现的结果，并求出小明上烹饪课的概率. 【答案】（1）； （2） 【分析】本题考查列表法与树状图法、近似数和有效数字、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）由表格可知，当试验次数足够大时，摸到白球的频率在附近摆动，可知这个常数是；设红球有个，根据概率公式列出比例方程，解方程，即可求解． （2）列表可得出所有等可能的结果数以及两次都是白球的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解析】（1）解：由表格可知，当试验次数足够大时，摸到白球的频率在附近摆动， 这个常数是． 设红球有个， ， 解得， 经检验，是原方程的解且符合题意， 估出红球有个． 故答案为；． （2）解：根据题意列表如下： 白 白 红 白 （白，白） （白，白） （白，红） 白 （白，白） （白，白） （白，红） 红 （红，白） （红，白） （红，红） 共有种等可能的结果，其中两次都是白球的结果有种， ∴小明上烹饪课的概率为． 24．（11分）小明和小刚玩摸球游戏，将2个红球1个白球放到一个不透明的袋子中，这些球除颜色外无其它差别，从袋子中随机摸出2个球，若两个球都是红色，则小明胜；若一红一白，则小刚胜． （1）这个游戏方案对双方公平吗？请说明理由； （2）将红球个数改成________个（其他条件不变），这个游戏方案对双方是公平的． 【答案】（1） 解：这个游戏方案对双方不公平，理由如下： 列表如下： 红 红 白 红 （红，红） （红，白） 红 （红，红） （红，白） 白 （白，红） （白，红） 共有6种等可能的结果，其中两个球都是红色的结果有2种，两个球一红一白的结果有4种， ∴小明胜的概率为，小刚胜的概率为， ∵， ∴小明胜的概率小刚胜的概率， ∴这个游戏方案对双方不公平； （2）3 【分析】（1）列表得出共有6种等可能的结果，其中两个球都是红色的结果有2种，两个球一红一白的结果有4种，再由概率公式求出小明胜的概率小刚胜的概率，即可得出结论； （2）画树状图，共有12种等可能的结果，其中两个球都是红色的结果有6种，两个球一红一白的结果有6种，再由概率公式求出小明胜的概率小刚胜的概率，即可得出结论． 【解析】（1）略 （2）解：将红球个数改成3个（其他条件不变），这个游戏方案对双方是公平的，理由如下： 画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中两个球都是红色的结果有6种，两个球一红一白的结果有6种， ∴小明胜的概率为，小刚胜的概率为， ∴小明胜的概率小刚胜的概率， ∴这个游戏方案对双方公平， 故答案为3． 25．（12分）安全问题一直以来都是大家特别关注的问题，为了进一步增强中学生的安全意识，珍惜自己的生命，提高自我保护能力，某校开展了以“安全”为主题的演讲比赛，参加此次比赛的晶晶和莹莹都想第一个出场，主持人拿出了四张背面完全相同的卡片，卡片正面分别写上A（生命）、B（至上）、C（安全）、D（第一），将卡片背面朝上洗匀后，晶晶先从中随机抽取一张，不放回，莹莹再从剩下的3张卡片中随机抽取一张，若两人所抽取的卡片上文字能组成“生命至上”或“安全第一”，则晶晶第一个出场；否则，莹莹第一个出场． （1）请用列表法或画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果总数； （2）这个规则对晶晶和莹莹是否公平？若公平，请说明理由；如果不公平，那么谁第一个出场的可能性更大？ 【答案】（1）12种 （2）不公平；莹莹第一个出场的可能性更大 【分析】（1）画出树状图即可解答； （2）分别求出晶晶和莹莹第一个出场的概率，再进行比较即可解答． 【解析】（1）解：画树状图如答图： 由树状图可知，共有种等可能的结果． （2）这种规则对晶晶和莹莹不公平．     理由如下：由（1）可得，12种等可能的结果中，晶晶第一个出场的结果有4种，莹莹第一个出场的结果有8种， 晶晶第一个出场的概率为，莹莹第一个出场的概率为．， 这个规则对晶晶和莹莹不公平，莹莹第一个出场的可能性更大． 试卷第1页（共3页） 试卷第 1 页（共 1 页） 学科网（北京）股份有限公司 $