第5章 等可能条件下的概率（高效培优单元自测·提升卷）数学新教材苏科版九年级上册

第5章 等可能条件下的概率（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：100分） 1、 选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C C D D B A B B 2、 填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 9．① 10．5 11． 12．/ 13． 14．/0.5 15． 16． 三、解答题：本题共11小题，共68分。其中：17题3分，18-21每题5分，22-25题每题6分，26题10分，27题11分。 17．①理论分析：恰好抽中C组题的概率为；②重复试验：估计恰好抽中C组题的概率为 【分析】①理论分析：用符合条件的等可能结果数除以总等可能结果数计算概率． ②重复试验：通过大量重复试验中频率的稳定值估计概率． 【详解】解：①理论分析： ∵从5个分别装有A、B、C、D、E组题的信封中随机抽取1个，每个信封被抽中的可能性相等，共有5种等可能的结果，其中恰好抽中C组题的结果有1种， ∴恰好抽中C组题的概率为． ②重复试验：将5个装有不同组题的相同信封打乱，有放回地随机抽取，记录抽中C组的次数并计算频率．随着试验次数的增多，抽中C组题的频率稳定在附近， 据此估计恰好抽中C组题的概率为．-------------3分 18．(1) (2) 【详解】（1）解：由题意得，总卡片数为张写有“美”字的卡片数量为张， 因此随机抽取一张，抽到写有“美”字卡片的概率为-------------2分 （2）解：根据题意可列方程， 解得．-------------5分 19．(1)30人 (2) 【详解】（1）解：∵三等奖所在扇形的圆心角为， ∴三等奖所占的百分比为， ∵三等奖为50人， ∴总人数为人， ∴一等奖的学生人数为人；-------------2分 （2）解：画树状图如下： ∴共有12种情况，恰好选到A，B两所学校的情况有2种， ∴恰好选到A、B两所学校的概率为．-------------5分 20．(1) 估计在该保护区中随机捕捉一只动物是野鸡的概率为 (2) 估计该保护区共有野兔1800只，野鸡700只 【详解】（1）解：∵随机捕捉的100只动物中，野鸡有40只， ∴样本中捕捉一只动物是野鸡的频率为， ∴估计随机捕捉一只动物是野鸡的概率为；-------------2分 （2）解：设该保护区野兔总数为只，野鸡总数为只， ∵第一次标记野兔60只，重捕的360只野兔中带标记的有12只， ∴， 解得； ∵第一次标记野鸡40只，重捕的140只野鸡中带标记的有8只， ∴， 解得； 答：该保护区约有野兔1800只，野鸡700只．-------------5分 21．理由：将三张图片依次编号为，，，剪成大小一样的两张图片后分别编号为，，，，，，随机抽出两张小纸片，所有可能的结果如下表所示： 共有30种等可能的结果，其中抽出的两张小纸片正好能成功拼成原图的结果有6种， ， 即拼成原图的频率稳定在附近． 如果将原有图片改为春、夏、秋、冬4张，每张剪成大小一样的两张，拼成原图的概率为． 【详解】解：将春、夏、秋、冬四张图片依次编号为，，，，剪成大小一样的两张图片后分别编号为，，，，，，，，随机抽出两张小纸片，所有可能的结果如下表所示： 共有56种等可能的结果，其中抽出的两张小纸片正好能成功拼成原图的结果有8种， ．-------------5分 22．(1)1427，0.949，0.95-------------2分 (2)-------------4分 (3)5个-------------6分 【详解】（1）解：由得， ， ∵随着抽取的彩色弹力球数量的增加，抽到优等品的频率在0.95附近， ∴估计这批彩色弹力球“优等品”概率的值大约是0.95； （2）解：从袋子中摸出一个球，所有可能的结果有（种），且每种结果出现的可能性相等，其中摸到黄球的结果有5种， ∴从袋子中摸出一个球是黄球的概率为； （3）解：设取出x个黑球，则放入x个黄球， 由题意得：， 解得． 答：取出了5个黑球． 23．(1) (2) 【详解】（1）解：根据题意得：当胡胡所得数字为5时，胡胡获胜， 胡胡所得数字为5的概率为， 即胡胡获胜的概率为；-------------2分 （2）解：转盘可看做是三等份扇形，分别标有数字1，5，5， 画树状图如下： 由图可得，共有9种等可能的结果数，其中亮亮的数字大于胡胡的数字的情况有5种， ∴亮亮获胜的概率为．-------------6分 24．(1)；-------------2分 (2)不公平，理由如下： 列表如下： 由表可知，所有等可能的情况数为种，其中两次指针所指数字之和为奇数的有种结果，和为偶数的有种结果， 所以小明获胜的概率为，小颖获胜的概率为， 由知此游戏不公平．-------------6分 【详解】（1）解：在标有数字、、的个扇形中，奇数有、这个， 指针所指扇形中的数字是奇数的概率为； （2）略 25．(1)0.25；80；87-------------2分 (2)甲：该学生的成绩是79分，在他所属班级排在前10名，略高于甲班的样本成绩的中位数77分，低于乙班的样本成绩的中位数80分，故该学生是甲班的学生；-------------3分 (3) 【详解】（1）解：由题意得，， ∴， ∴； 把乙班20名学生样本成绩按照从低到高的顺序排列为：54  62  62  67  68  69  71  72  79  80  80  84  87  87  87  88  90  91  91  93， ∴乙班20名学生样本成绩的中位数为分，即， ∵乙班20名学生样本成绩中得分为87分的人数最多， ∴乙班20名学生样本成绩的众数为87分，即； （2）解：该学生是甲班的学生，理由如下：该学生的成绩是79分，在他所属班级排在前10名，略高于甲班的样本成绩的中位数77分，低于乙班的样本成绩的中位数80分，故该学生是甲班的学生； （3）解：列表如下： 小刚小明 Q W R X Q W R X 所有可能出现的结果有16种，且每种结果出现的可能性都相同，其中小明和小刚恰好选择同一项目观看的情况共有4种， ∴小明和小刚恰好选择同一项目观看的概率为．-------------6分 26．(1)B (2) (3) 【分析】（1）根据中位数的定义解答即可； （2）得出前三季度经济增速超过全国平均水平的城市数，除以被调查的城市数可得结论； （3）分别用A、B、C、D表示南京、常州、嘉兴和六安，画出树状图，得出所有等可能的结果数，和选中的两个城市是南京和六安的结果数，再用概率公式计算出概率即可． 【详解】（1）解：把41个数据按从小到大的顺序排列，最中间的是第21个数据， 而A类与B类数量和， 所以，在本次调查中，经济增速的中位数落在B组；-------------2分 （2）解：前三季度经济增速超过全国平均水平的占长三角城市总数百分比为：；-------------5分 （3）解：分别用A、B、C、D表示南京、常州、嘉兴和六安，画树状图如下： 由树状图可得，共有12种等可能的结果，其中选中的两个城市是南京和六安的结果数有2种， 所以，选中的两个城市是南京和六安的概率为．-------------10分 27．(1)，和 (2)不正确，这100箱柑橘的平均重量是 (3)6辆 (4) 【详解】（1）解：E组中15个数据按从小到大的顺序排列为：12  14  16  17  17  17  18  18  20  21  24  24  24  28  30，最中间的一个数据为18， 所以，中位数是； 数据出现最多的是17和24，各出现3次， 故众数为和；-------------2分 （2）解：晓强的做法不正确． 这100箱柑橘的平均重量为： ． 答：这100箱柑橘的平均重量是．-------------5分 （3）解：估计这批柑橘的重量为（吨）． ∵， （辆）， ∴至少需要6辆载重量为5吨的卡车．-------------7分 （4）解：列表如下： A B C D E A B C D E ED ∵一共有20种等可能的结果，同时抽到A组和E组有2种等可能的结果， ∴P（同时抽到A组和E组）．-------------11分 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 第5章 等可能条件下的概率（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：100分） 1、 选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 1．抛掷一枚质地均匀的硬币，若前10次都是正面朝上，则第11次正面朝上的概率（     ） A． B．1 C． D．无法确定 2．如图，某行李箱的齿轮密码是一个三位数，每一位数都是中的一个数字，开箱时发现忘记密码的中间一位，则能一次成功打开该行李箱的概率是（     ） A． B． C． D． 3．在一个网约车平台上，某时段共有40辆在线接单的车辆，分为新能源车和燃油车，车辆外观、接单优先级等其他条件完全相同．乘客通过多次打车体验后发现，打到新能源车的频率稳定在附近，则该平台这40辆在线车辆中，新能源车辆约有（     ）辆 A．7 B．12 C．16 D．28 4．内蒙古赤峰市出土的红山文化C形碧玉龙，被誉为“中华第一龙”，现藏于中国国家博物馆．如图，将玉龙投影到面积为的长方形纸上，为估计投影面积，在纸内随机掷点，经过大量重复实验，发现点落在投影的频率稳定在左右，据此估计玉龙投影的面积为（     ） A． B． C． D． 5．从分别标有A、B、C的3根纸签中随机抽取一根，然后放回，再随机抽取一根，两次抽签的所有可能结果的树形图如下： 那么抽出的两根签中，一根标有A，一根标有C的概率是（     ） A． B． C． D． 6．小明要钉一个三角形木框，已有两根长度为、的木棒．如图所示的桌上有长度不同的4根木棒，他从中随机取一根，加上原有的两根木棒，能钉成一个三角形木框的概率为（   ） A． B． C． D． 7．如图，面积为的长方形内部有一不规则图案（图中阴影部分），数学小组为了探究该不规则图案的面积大小，进行了模拟试验．通过计算机随机投放一个点，并记录该点落在不规则图案上的次数，得到如下数据： 由此可估计不规则图案的面积大约为（）． A． B． C． D． 8．一个小球在如图水平放置的方格地砖上任意滚动，会随机停在某块地砖上（停留在边界线需重新滚动）．每块地砖的大小、质地都完全相同．小球停在灰色区域的概率是（     ） A． B． C． D． 2、 填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 9．谚语能通过生活化的场景帮助人们直观理解事件发生的可能性．下列事件①水往低处流；②东边日出西边雨；③歪打正着．其中发生概率最大的事件是________．（请填写正确的序号） 10．一个不透明的布袋中共有个球，它们除颜色外其余均相同．已知从中随机摸出个球，摸到红球的概率为，则布袋中红球的个数是________． 11．如图，学校在教学楼走廊铺设4×4的正方形防滑方格地砖，每块小正方形除颜色外都相同，小正方形的顶点称为格点，部分地砖区域做了黑色阴影涂鸦．课间开展抛沙包小游戏：将沙包随机抛落在地砖面上（落在地砖缝隙、地砖外则重新投掷），随机抛掷沙包一次，求沙包落在阴影部分的概率是___________． 12．从，0，1，3，5这五个数中，随机抽取一个数记为，则数使关于的分式方程有正数解的概率是______． 13．在钢琴上弹奏不同的琴键，能够发出高低不同的声音，当同时弹奏两个相邻的白色琴键时，发出的声音构成二度音程．如图是钢琴键盘的一部分，从，，，四个白色琴键中随机选两个琴键同时弹奏，发出的声音构成二度音程的概率为_______． 14．中国古代数学著作《九章算术》中有关于“开平方”和“开立方”算法的记载．数学兴趣小组从《九章算术》中挑选出4个问题作为数学活动材料，其中“开平方”问题和“开立方”问题各2个．在某次活动中，从这4个问题中随机抽出一个进行算法推演，则抽到的是“开平方”问题的概率为_____． 15．在一个不透明的布袋中有2个红球和1个白球，它们除颜色外其他都相同，如果从布袋里随机摸出两个球，那么所摸到的两个球恰好是一红球一白球的概率为______． 红 红 白 红 红，红 红，白 红 红，红 红，白 白 白，红 白，红 16．如图，在的长方形网格飞镖游戏板中，每块小正方形除颜色外都相同，小正方形的顶点称为格点，扇形的圆心及弧的两端均为格点．假设飞镖击中每一块小正方形是等可能的（击中扇形的边界或没有击中游戏板，则重投1次），任意投掷飞镖1次，飞镖击中扇形（阴影部分）的概率是______________． 三、解答题：本题共11小题，共68分。其中：17题3分，18-21每题5分，22-25题每题6分，26题10分，27题11分。 17．班级里开展知识竞赛活动，必答题共有5组：A，B，C，D，E．它们被分别放入5个信封，请你随机抽取1个信封．用理论分析和重复试验这两种方法求恰好抽中C组题的概率． 18．现有正面分别写有“最”“美”“附”“中”“人”的卡片共30张，这些卡片的大小、形状、背面完全相同．已知写有“最”字的卡片有9张，“附”字卡片有6张，“中”字卡片有3张，“人”字卡片有8张，其余卡片写有“美”字，混匀后，将卡片背面朝上放置在桌面上． (1)随机抽取一张，求抽到写有“美”字卡片的概率； (2)从这些卡片中取出a张写有“最”字的卡片，再放入a张写有“美”字的卡片，混匀后，随机抽取一张卡片，抽到写有“美”字卡片的概率为，求a的值． 19．为响应“足球进校园”的号召，我区在各中学举行了“足球在身边”知识竞赛活动，各类获奖学生人数的比例情况如图所示，其中获得三等奖的学生共50名，请结合图中信息，解答下列问题： (1)获得一等奖的学生人数为 ； (2)在本次知识竞赛活动中，A，B，C，D四所学校表现突出，现决定从这四所学校中随机选取两所学校举行一场足球友谊赛，请用画树状图或列表的方法求恰好选到A，B两所学校的概率． 20．临安清凉峰自然保护区内生活着野兔和野鸡，科研人员需要预估保护区内这两种动物的总数量．科研人员随机捕捉100只动物，其中野兔60只，野鸡40只，分别做好标记后放回保护区．待标记动物充分混合在种群中后，依次捕捉不同数量的动物，统计两类动物的数量． (1)估计在该保护区中随机捕捉一只动物是野鸡的概率； (2)若科研人员在保护区里随机捕捉500只动物，野兔360只，野鸡140只．其中，带有标记的野兔有12只，带有标记的野鸡有8只．请你估计该保护区中共有多少只野兔和多少只野鸡？ 21．在第145页的“做一做”拼图片活动中，我们通过重复试验发现，正好拼成原图的频率稳定在0.2左右．请运用理论分析的方法解释为什么频率会稳定在0.2附近．如果将原有图片改为春、夏、秋、冬4张，每张剪成大小一样的两张，你还能用重复试验和理论分析这两种方法得出拼成原图的概率吗？试试看． P145做一做 准备三张大小一样的纸片，上面印有不同的图案（如照片、自己画的图片等），把每张纸片都对折，剪成大小一样的两张图片（如图所示），将这六张小纸片有图案的一面朝下，然后混合，让你的同伴随机抽出两张小纸片，你认为抽出的两张小纸片正好能成功拼成原图的机会大吗？猜一猜，大概平均几次里会有一次成功呢？ 和你的同伴交流一下试验结果，看看大多数同学在20次尝试中成功了几次．你和你的同伴发现了什么？ 在尝试之前请先设计一张数据记录表，记录尝试成功和失败的次数．我们还是用频数表示关注对象出现的次数，用频率表示它出现的次数与总次数的比值（或者百分比）频数和频率都能反映它们出现的频繁程度． 22．某批彩色弹力球的质量检验结果如下表： 抽取的彩色弹力球数 500 1000 1500 2000 2500 优等品频数 471 946 a 1898 2370 优等品频率 0.942 0.946 0.951 b 0.948 (1)补全表格中的数据，__________，__________，并估计这批彩色弹力球“优等品”概率的值大约是________；（精确到0.01） (2)从这批彩色弹力球中选择5个黄球、13个黑球、22个红球，它们除了颜色外都相同，将它们放入一个不透明的袋子中，求从袋子中摸出一个球是黄球的概率； (3)现从第（2）问所说的袋子中取出若干个黑球，并放入相同数量的黄球搅拌均匀，使从袋子中摸出一个黄球的概率为，求取出了多少个黑球？ 23．亮亮与胡胡玩摸牌和转转盘游戏．过程如下： ①如图1，将背面完全相同，牌面数字分别是2，3，6的三张扑克牌充分洗匀后，背面朝上放在桌面上，亮亮从中任意抽出一张，牌面数字即为亮亮所得数字； ②胡胡转动一个如图2所示的转盘．转盘被分成2个扇形，其中一个扇形的圆心角为，并分别标上1，5，转盘停止后，指针所在区域的数字即为胡胡所得数字（若指针在分格线上，则重转一次，直到指针指向某一扇形区域为止）； ③判定游戏结果的依据是：所得数字大的一方获胜． (1)若亮亮所得的数字为3，则胡胡获胜的概率为___________； (2)利用树状图或列表法求亮亮获胜的概率． 24．如图，在一个可以自由转动的转盘中，指针位置固定，三个扇形的面积都相等，且分别标有，，，转动转盘一次，若指针未指在分界线上，则记为一次有效转动；若指针指在分界线上，则需要重新转动转盘，直到完成一次有效转动为止． (1)小明完成一次有效转动后，求指针所指扇形中的数字是奇数的概率； (2)小明和小颖用转盘做游戏，每人有效转动转盘一次，若两次指针所指数字之和为奇数，则小明胜，否则小颖胜，这个游戏对双方公平吗？请用画树状图或者列表法说明理由． 25．第24届北京冬季奥林匹克运动会共设7个大项，15个分项，109个小项．为了了解某校学生对冬奥会项目的认知程度，从甲、乙两班各随机抽取20名学生进行了相关知识测试，获得了他们的成绩（百分制，单位：分），并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息． A．甲班学生样本成绩频数分布表： （表1） 成绩m（分） 频数 频率 a 0.10 b c 4 0.20 7 0.35 2 d 合计 20 1.0 B．甲、乙两班学生样本成绩的平均分、中位数、众数、方差如表所示： （表2） 班级 平均分 中位数 众数 方差 甲班 76．7 77 89 150.2 乙班 78．1 e f 135.3 其中，乙班20名学生样本成绩的数据如下： 54  72  62  91  87  69  88  79  80  62 80  84  93  67  87  87  90  71  68  91 请根据所给信息，解答下列问题： (1)表1中 ，表2中的中位数 ，众数 ； (2)在此次测试中，某学生的成绩是79分，在他所属班级排在前10名，由表中数据可知该学生是 （填“甲”或“乙”）班的学生，理由是 ； (3)通过北京冬奥会的成功举办，小明和小刚了解到很多冬奥会比赛项目，例如：Q．冰壶、W．短道速滑、R．花样滑冰、X．跳台滑雪等项目．小明和小刚计划各自在这4个冬奥会比赛项目中任意选择一个观看，每个项目被选择的可能性相同，请你用画树状图或列表的方法，求小明和小刚恰好选择同一项目观看的概率． 小刚小明 Q W R X Q W R X 26．为了解2025年前三季度“长三角”41市经济运行情况，兴趣小组通过网络查询得知，经济增速最高为，最低为．他们将经济增速按照查询的结果进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息： a．2025年前三季度“长三角”各市经济增速分布表： 分类 城市数量 增长率（精确到） A 7 B 14 C 11 D 9 b．B组具体数据如下表： 城市 南京 常州 嘉兴 六安 泰州 安庆 滁州 杭州 南通 扬州 蚌埠 池州 苏州 上海 增速 c．2025年前三季度，全国经济平均增速为． (1)本次调查中，经济增速的中位数落在___________组（填“A”“B”“C”或“D”）． (2)从表中数据可知，长三角41市中，前三季度经济增速超过全国平均水平的占长三角城市总数百分比为___________（精确到）； (3)现从B组增长率为的四个城市中，任选两个进行调查研究，通过画树状图或列表法求选中的两个城市是南京和六安的概率． 27．某水果生产基地为了解同一批柑橘装箱后每箱的重量情况，从全部装箱的柑橘中随机选出100箱，分A、B、C、D、E五组来测量每箱的重量（单位：），并分别测算出各组柑橘每箱重量的平均数，结果如下表， 小组编号 A B C D E 个数（单位：箱） 25 20 15 25 15 平均重量（单位：） 30 25 20 32 20 其中E组中15箱柑橘每箱的重量（单位：）分别是： 12  14  16  17  17  17  18  18  20  21  24  24  24  28  30 根据以上信息，解决下面的问题． (1)E组中15箱柑橘重量的中位数是_____，众数是______； (2)下面是晓强同学求这100箱柑橘平均重量的做法： 这100箱柑橘的平均重量为，请你判断他的做法是否正确，若正确请说明理由；若不正确，请你求出这100箱柑橘的平均重量． (3)现需要用载重量为5吨的卡车运送1000箱该批柑橘，请你估计至少需要几辆卡车，才能一次将这批柑橘运送完?并通过计算进行说明． (4)若该水果生产基地对这五组柑橘随机抽出两组，再次称重检测每组的平均重量，用画树状图或列表的方法，求同时抽到A组和E组的概率， 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第5章 等可能条件下的概率（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：100分） 1、 选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 1．抛掷一枚质地均匀的硬币，若前10次都是正面朝上，则第11次正面朝上的概率（     ） A． B．1 C． D．无法确定 【答案】C 【分析】排除前10次抛掷结果的干扰，明确各次抛掷硬币的结果互不影响． 【详解】解：∵抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为，且各次抛掷的结果互不影响， ∴前10次的抛掷结果不改变第11次正面朝上的概率， ∴第11次正面朝上的概率为． 2．如图，某行李箱的齿轮密码是一个三位数，每一位数都是中的一个数字，开箱时发现忘记密码的中间一位，则能一次成功打开该行李箱的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，确定中间一位数字所有可能的取值情况，结合概率公式即可求解． 【详解】解：密码的每一位数都是中的一个数字，且只忘记了中间一位， 一位数字共有10种等可能的结果，即， 正确的密码只有个， 一次成功打开该行李箱的概率是． 3．在一个网约车平台上，某时段共有40辆在线接单的车辆，分为新能源车和燃油车，车辆外观、接单优先级等其他条件完全相同．乘客通过多次打车体验后发现，打到新能源车的频率稳定在附近，则该平台这40辆在线车辆中，新能源车辆约有（     ）辆 A．7 B．12 C．16 D．28 【答案】D 【分析】当频率稳定在某一数值附近时，可用该频率估计概率，再结合总车辆数计算新能源车辆的数量即可． 【详解】解：∵打到新能源车的频率稳定在附近， ∴可估计打到新能源车的概率为， ∵总共有40辆在线车辆， ∴新能源车辆数量约为辆． 4．内蒙古赤峰市出土的红山文化C形碧玉龙，被誉为“中华第一龙”，现藏于中国国家博物馆．如图，将玉龙投影到面积为的长方形纸上，为估计投影面积，在纸内随机掷点，经过大量重复实验，发现点落在投影的频率稳定在左右，据此估计玉龙投影的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】大量反复试验下，频率的稳定值即为概率值，据此可得点落在投影的概率，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：∵经过大量重复实验，发现点落在投影的频率稳定在左右， ∴点落在投影的概率约为， ∴估计玉龙投影的面积为． 5．从分别标有A、B、C的3根纸签中随机抽取一根，然后放回，再随机抽取一根，两次抽签的所有可能结果的树形图如下： 那么抽出的两根签中，一根标有A，一根标有C的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依据树状图分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率． 【详解】解：由树状图得：两次抽签的所有可能结果一共有9种情况， 一根标有A，一根标有C的有A，C与C，A两种情况， 一根标有A，一根标有C的概率是． 6．小明要钉一个三角形木框，已有两根长度为、的木棒．如图所示的桌上有长度不同的4根木棒，他从中随机取一根，加上原有的两根木棒，能钉成一个三角形木框的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形的三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”确定第三边的取值范围，从而找出符合条件的木棒根数，最后利用概率公式求解即可． 【详解】解：设第三根木棒的长度为， 已有两根木棒长度分别为、， 根据三角形三边关系可得：，即， 桌上的4根木棒长度分别为、、、， 满足的木棒有和这2根， 能钉成一个三角形木框的概率为． 7．如图，面积为的长方形内部有一不规则图案（图中阴影部分），数学小组为了探究该不规则图案的面积大小，进行了模拟试验．通过计算机随机投放一个点，并记录该点落在不规则图案上的次数，得到如下数据： 由此可估计不规则图案的面积大约为（）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】随着试验总次数不断增加，点落在不规则图案内的频率逐渐稳定在0.3附近，用稳定的频率估计概率，再结合长方形总面积，即可求出不规则图案的估计面积． 【详解】解：由频率折线图可知，随着试验次数增多，点落在不规则图案内的频率稳定在0.3左右，因此可估计点落在阴影不规则图案内的概率． 已知长方形总面积为，设不规则图案面积为，根据几何概型： ， 计算得： ． 8．一个小球在如图水平放置的方格地砖上任意滚动，会随机停在某块地砖上（停留在边界线需重新滚动）．每块地砖的大小、质地都完全相同．小球停在灰色区域的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设每个灰色小三角形的面积为，表示出相关图形的面积，最后利用简单概率公式求解． 【详解】解：设每个灰色小三角形的面积为，灰色区域的面积为，则每个小正方形的面积为，大正方形的面积为， ∴小球停在灰色区域的概率是． 2、 填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 9．谚语能通过生活化的场景帮助人们直观理解事件发生的可能性．下列事件①水往低处流；②东边日出西边雨；③歪打正着．其中发生概率最大的事件是________．（请填写正确的序号） 【答案】① 【分析】先判断三个事件的类型，得到各事件发生的概率范围，比较概率大小即可得到结果． 【详解】解：根据事件的分类可知， ①水往低处流是必然事件，发生概率为， ②东边日出西边雨是随机事件，发生概率满足， ③歪打正着是随机事件，发生概率满足， 比较概率大小可得，大于任意满足的概率，因此发生概率最大的事件是①． 10．一个不透明的布袋中共有个球，它们除颜色外其余均相同．已知从中随机摸出个球，摸到红球的概率为，则布袋中红球的个数是________． 【答案】5 【分析】根据概率计算公式，摸到红球的概率等于红球个数除以球的总个数，代入已知条件即可计算出红球个数． 【详解】解：设布袋中红球的个数为， 由题意得，球的总个数为，摸到红球的概率为 根据概率公式可得，解得 ∴布袋中红球的个数是． 11．如图，学校在教学楼走廊铺设4×4的正方形防滑方格地砖，每块小正方形除颜色外都相同，小正方形的顶点称为格点，部分地砖区域做了黑色阴影涂鸦．课间开展抛沙包小游戏：将沙包随机抛落在地砖面上（落在地砖缝隙、地砖外则重新投掷），随机抛掷沙包一次，求沙包落在阴影部分的概率是___________． 【答案】 【分析】地板由16个相同的小正方形组成，沙包随机落在地板上，落在阴影部分的概率等于阴影部分面积与地板总面积之比，每个阴影三角形的面积恰好为一个小正方形面积，求出阴影面积，再求比值即可求解． 【详解】解：地板由个相同的小正方形组成， 设每个小正方形的面积为，则地板总面积为16， 观察图形，含有阴影三角形的小正方形共4个， 每个阴影三角形的面积为， 阴影部分的总面积， 沙包落在阴影部分的概率． 12．从，0，1，3，5这五个数中，随机抽取一个数记为，则数使关于的分式方程有正数解的概率是______． 【答案】 / 【分析】先解分式方程得到关于的表达式，再根据分式方程有正数解的条件得到的取值范围，找出符合条件的的个数，最后根据概率公式计算即可． 【详解】解：对分式方程变形，得 ， 方程两边同乘，得 ， 整理得， 解得， ∵分式方程有正数解， ∴，且， 解得，且， 在这五个数中，满足条件的为，共个， ∴所求概率为 ． 13．在钢琴上弹奏不同的琴键，能够发出高低不同的声音，当同时弹奏两个相邻的白色琴键时，发出的声音构成二度音程．如图是钢琴键盘的一部分，从，，，四个白色琴键中随机选两个琴键同时弹奏，发出的声音构成二度音程的概率为_______． 【答案】 【分析】先画出树状图，然后求出概率． 【详解】解：画树状图如下： 等可能出现的情况共12种，符合题意的情况有6种， ∴发出的声音构成二度音程的概率为． 14．中国古代数学著作《九章算术》中有关于“开平方”和“开立方”算法的记载．数学兴趣小组从《九章算术》中挑选出4个问题作为数学活动材料，其中“开平方”问题和“开立方”问题各2个．在某次活动中，从这4个问题中随机抽出一个进行算法推演，则抽到的是“开平方”问题的概率为_____． 【答案】/0.5 【分析】本题考查简单随机事件的概率计算，只需确定所有等可能结果的个数与符合题意的结果个数，再利用概率公式计算即可． 【详解】解：所有可能出现的结果共4种，且每种结果发生的可能性相等， 其中抽取到“开平方”问题的结果有2种． 根据概率公式，抽到的是“开平方”问题的概率为． 15．在一个不透明的布袋中有2个红球和1个白球，它们除颜色外其他都相同，如果从布袋里随机摸出两个球，那么所摸到的两个球恰好是一红球一白球的概率为______． 【答案】 【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：列表如下： 红 红 白 红 红，红 红，白 红 红，红 红，白 白 白，红 白，红 由表知，共有6种等可能结果，其中所摸到两个球恰好是一红球一白球的有4种结果， ∴所摸到两个球恰好是一红球一白球的概率为． 16．如图，在的长方形网格飞镖游戏板中，每块小正方形除颜色外都相同，小正方形的顶点称为格点，扇形的圆心及弧的两端均为格点．假设飞镖击中每一块小正方形是等可能的（击中扇形的边界或没有击中游戏板，则重投1次），任意投掷飞镖1次，飞镖击中扇形（阴影部分）的概率是______________． 【答案】 【分析】只需要用阴影部分面积除以整个长方形网格的面积即可得到答案． 【详解】解：由题意得， ∴， ∴， ∴， ∴飞镖击中扇形（阴影部分）的概率是. 三、解答题：本题共11小题，共68分。其中：17题3分，18-21每题5分，22-25题每题6分，26题10分，27题11分。 17．班级里开展知识竞赛活动，必答题共有5组：A，B，C，D，E．它们被分别放入5个信封，请你随机抽取1个信封．用理论分析和重复试验这两种方法求恰好抽中C组题的概率． 【答案】①理论分析：恰好抽中C组题的概率为；②重复试验：估计恰好抽中C组题的概率为 【分析】①理论分析：用符合条件的等可能结果数除以总等可能结果数计算概率． ②重复试验：通过大量重复试验中频率的稳定值估计概率． 【详解】解：①理论分析： ∵从5个分别装有A、B、C、D、E组题的信封中随机抽取1个，每个信封被抽中的可能性相等，共有5种等可能的结果，其中恰好抽中C组题的结果有1种， ∴恰好抽中C组题的概率为． ②重复试验：将5个装有不同组题的相同信封打乱，有放回地随机抽取，记录抽中C组的次数并计算频率．随着试验次数的增多，抽中C组题的频率稳定在附近， 据此估计恰好抽中C组题的概率为． 18．现有正面分别写有“最”“美”“附”“中”“人”的卡片共30张，这些卡片的大小、形状、背面完全相同．已知写有“最”字的卡片有9张，“附”字卡片有6张，“中”字卡片有3张，“人”字卡片有8张，其余卡片写有“美”字，混匀后，将卡片背面朝上放置在桌面上． (1)随机抽取一张，求抽到写有“美”字卡片的概率； (2)从这些卡片中取出a张写有“最”字的卡片，再放入a张写有“美”字的卡片，混匀后，随机抽取一张卡片，抽到写有“美”字卡片的概率为，求a的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据总卡片数和其他卡片数量算出“美”字卡片的数量，再根据概率公式计算抽到“美”字卡片的概率； （2）取出张写有“最”字的卡片，放入张写有“美”字的卡片后，总卡片数仍为张，此时写有“美”字的卡片数量为张，结合给定的概率列出一元一次方程，求解得到的值． 【详解】（1）解：由题意得，总卡片数为张写有“美”字的卡片数量为张， 因此随机抽取一张，抽到写有“美”字卡片的概率为 （2）解：根据题意可列方程， 解得． 19．为响应“足球进校园”的号召，我区在各中学举行了“足球在身边”知识竞赛活动，各类获奖学生人数的比例情况如图所示，其中获得三等奖的学生共50名，请结合图中信息，解答下列问题： (1)获得一等奖的学生人数为 ； (2)在本次知识竞赛活动中，A，B，C，D四所学校表现突出，现决定从这四所学校中随机选取两所学校举行一场足球友谊赛，请用画树状图或列表的方法求恰好选到A，B两所学校的概率． 【答案】(1)30人 (2) 【分析】（1）根据三等奖所在扇形的圆心角的度数求得总人数，然后乘以一等奖所占的百分比即可求得一等奖的学生数； （2）画树状图列举出所有可能的情况和恰好选到A，B两所学校的情况，然后利用概率公式求解． 【详解】（1）解：∵三等奖所在扇形的圆心角为， ∴三等奖所占的百分比为， ∵三等奖为50人， ∴总人数为人， ∴一等奖的学生人数为人； （2）解：画树状图如下： ∴共有12种情况，恰好选到A，B两所学校的情况有2种， ∴恰好选到A、B两所学校的概率为． 20．临安清凉峰自然保护区内生活着野兔和野鸡，科研人员需要预估保护区内这两种动物的总数量．科研人员随机捕捉100只动物，其中野兔60只，野鸡40只，分别做好标记后放回保护区．待标记动物充分混合在种群中后，依次捕捉不同数量的动物，统计两类动物的数量． (1)估计在该保护区中随机捕捉一只动物是野鸡的概率； (2)若科研人员在保护区里随机捕捉500只动物，野兔360只，野鸡140只．其中，带有标记的野兔有12只，带有标记的野鸡有8只．请你估计该保护区中共有多少只野兔和多少只野鸡？ 【答案】(1) 估计在该保护区中随机捕捉一只动物是野鸡的概率为 (2) 估计该保护区共有野兔1800只，野鸡700只 【分析】（1）利用第一次捕捉样本中野鸡的频率估计所求概率； （2）依据标记重捕法的比例关系，分别列等式求解野兔和野鸡的总数． 【详解】（1）解：∵随机捕捉的100只动物中，野鸡有40只， ∴样本中捕捉一只动物是野鸡的频率为， ∴估计随机捕捉一只动物是野鸡的概率为； （2）解：设该保护区野兔总数为只，野鸡总数为只， ∵第一次标记野兔60只，重捕的360只野兔中带标记的有12只， ∴， 解得； ∵第一次标记野鸡40只，重捕的140只野鸡中带标记的有8只， ∴， 解得； 答：该保护区约有野兔1800只，野鸡700只． 21．在第145页的“做一做”拼图片活动中，我们通过重复试验发现，正好拼成原图的频率稳定在0.2左右．请运用理论分析的方法解释为什么频率会稳定在0.2附近．如果将原有图片改为春、夏、秋、冬4张，每张剪成大小一样的两张，你还能用重复试验和理论分析这两种方法得出拼成原图的概率吗？试试看． P145做一做 准备三张大小一样的纸片，上面印有不同的图案（如照片、自己画的图片等），把每张纸片都对折，剪成大小一样的两张图片（如图所示），将这六张小纸片有图案的一面朝下，然后混合，让你的同伴随机抽出两张小纸片，你认为抽出的两张小纸片正好能成功拼成原图的机会大吗？猜一猜，大概平均几次里会有一次成功呢？ 和你的同伴交流一下试验结果，看看大多数同学在20次尝试中成功了几次．你和你的同伴发现了什么？ 在尝试之前请先设计一张数据记录表，记录尝试成功和失败的次数．我们还是用频数表示关注对象出现的次数，用频率表示它出现的次数与总次数的比值（或者百分比）频数和频率都能反映它们出现的频繁程度． 【答案】理由：将三张图片依次编号为，，，剪成大小一样的两张图片后分别编号为，，，，，，随机抽出两张小纸片，所有可能的结果如下表所示： 共有30种等可能的结果，其中抽出的两张小纸片正好能成功拼成原图的结果有6种， ， 即拼成原图的频率稳定在附近． 如果将原有图片改为春、夏、秋、冬4张，每张剪成大小一样的两张，拼成原图的概率为． 【分析】根据题意对图片进行编号，列表表示出所有可能的结果，根据概率公式计算即可． 【详解】解：将春、夏、秋、冬四张图片依次编号为，，，，剪成大小一样的两张图片后分别编号为，，，，，，，，随机抽出两张小纸片，所有可能的结果如下表所示： 共有56种等可能的结果，其中抽出的两张小纸片正好能成功拼成原图的结果有8种， ． 22．某批彩色弹力球的质量检验结果如下表： 抽取的彩色弹力球数 500 1000 1500 2000 2500 优等品频数 471 946 a 1898 2370 优等品频率 0.942 0.946 0.951 b 0.948 (1)补全表格中的数据，__________，__________，并估计这批彩色弹力球“优等品”概率的值大约是________；（精确到0.01） (2)从这批彩色弹力球中选择5个黄球、13个黑球、22个红球，它们除了颜色外都相同，将它们放入一个不透明的袋子中，求从袋子中摸出一个球是黄球的概率； (3)现从第（2）问所说的袋子中取出若干个黑球，并放入相同数量的黄球搅拌均匀，使从袋子中摸出一个黄球的概率为，求取出了多少个黑球？ 【答案】(1)1427，0.949，0.95 (2) (3)5个 【分析】（1）根据表格数据，用频率估计概率和频率公式即可解答； （2）根据概率公式计算即可； （3）设取出x个黑球，则放入x个黄球，构建方程即可解决问题． 【详解】（1）解：由得， ， ∵随着抽取的彩色弹力球数量的增加，抽到优等品的频率在0.95附近， ∴估计这批彩色弹力球“优等品”概率的值大约是0.95； （2）解：从袋子中摸出一个球，所有可能的结果有（种），且每种结果出现的可能性相等，其中摸到黄球的结果有5种， ∴从袋子中摸出一个球是黄球的概率为； （3）解：设取出x个黑球，则放入x个黄球， 由题意得：， 解得． 答：取出了5个黑球． 23．亮亮与胡胡玩摸牌和转转盘游戏．过程如下： ①如图1，将背面完全相同，牌面数字分别是2，3，6的三张扑克牌充分洗匀后，背面朝上放在桌面上，亮亮从中任意抽出一张，牌面数字即为亮亮所得数字； ②胡胡转动一个如图2所示的转盘．转盘被分成2个扇形，其中一个扇形的圆心角为，并分别标上1，5，转盘停止后，指针所在区域的数字即为胡胡所得数字（若指针在分格线上，则重转一次，直到指针指向某一扇形区域为止）； ③判定游戏结果的依据是：所得数字大的一方获胜． (1)若亮亮所得的数字为3，则胡胡获胜的概率为___________； (2)利用树状图或列表法求亮亮获胜的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可得当胡胡所得数字为5时，胡胡获胜，即可求解； （2）转盘可看做是三等份扇形，分别标有数字1，5，5，根据题意，画出树状图，可得共有9种等可能的结果数，其中亮亮的数字大于胡胡的数字的情况有5种，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：当胡胡所得数字为5时，胡胡获胜， 胡胡所得数字为5的概率为， 即胡胡获胜的概率为； （2）解：转盘可看做是三等份扇形，分别标有数字1，5，5， 画树状图如下： 由图可得，共有9种等可能的结果数，其中亮亮的数字大于胡胡的数字的情况有5种， ∴亮亮获胜的概率为． 24．如图，在一个可以自由转动的转盘中，指针位置固定，三个扇形的面积都相等，且分别标有，，，转动转盘一次，若指针未指在分界线上，则记为一次有效转动；若指针指在分界线上，则需要重新转动转盘，直到完成一次有效转动为止． (1)小明完成一次有效转动后，求指针所指扇形中的数字是奇数的概率； (2)小明和小颖用转盘做游戏，每人有效转动转盘一次，若两次指针所指数字之和为奇数，则小明胜，否则小颖胜，这个游戏对双方公平吗？请用画树状图或者列表法说明理由． 【答案】(1)； (2)不公平，理由如下： 列表如下： 由表可知，所有等可能的情况数为种，其中两次指针所指数字之和为奇数的有种结果，和为偶数的有种结果， 所以小明获胜的概率为，小颖获胜的概率为， 由知此游戏不公平． 【分析】（1）根据概率公式求出指针所指扇形中的数字是奇数的概率； （2）列表把所有可能出现的情况表示出来，可知所有等可能的情况数为种，其中两次指针所指数字之和为奇数的有种结果，和为偶数的有种结果，所以游戏不公平． 【详解】（1）解：在标有数字、、的个扇形中，奇数有、这个， 指针所指扇形中的数字是奇数的概率为； （2）略 25．第24届北京冬季奥林匹克运动会共设7个大项，15个分项，109个小项．为了了解某校学生对冬奥会项目的认知程度，从甲、乙两班各随机抽取20名学生进行了相关知识测试，获得了他们的成绩（百分制，单位：分），并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息． A．甲班学生样本成绩频数分布表： （表1） 成绩m（分） 频数 频率 a 0.10 b c 4 0.20 7 0.35 2 d 合计 20 1.0 B．甲、乙两班学生样本成绩的平均分、中位数、众数、方差如表所示： （表2） 班级 平均分 中位数 众数 方差 甲班 76．7 77 89 150.2 乙班 78．1 e f 135.3 其中，乙班20名学生样本成绩的数据如下： 54  72  62  91  87  69  88  79  80  62 80  84  93  67  87  87  90  71  68  91 请根据所给信息，解答下列问题： (1)表1中 ，表2中的中位数 ，众数 ； (2)在此次测试中，某学生的成绩是79分，在他所属班级排在前10名，由表中数据可知该学生是 （填“甲”或“乙”）班的学生，理由是 ； (3)通过北京冬奥会的成功举办，小明和小刚了解到很多冬奥会比赛项目，例如：Q．冰壶、W．短道速滑、R．花样滑冰、X．跳台滑雪等项目．小明和小刚计划各自在这4个冬奥会比赛项目中任意选择一个观看，每个项目被选择的可能性相同，请你用画树状图或列表的方法，求小明和小刚恰好选择同一项目观看的概率． 【答案】(1)0.25；80；87 (2)甲：该学生的成绩是79分，在他所属班级排在前10名，略高于甲班的样本成绩的中位数77分，低于乙班的样本成绩的中位数80分，故该学生是甲班的学生； (3) 【分析】（1）根据表格中的数据求出a的值，进而求出b的值，即可求出c的值，再根据中位数和众数的定义求出e和f的值即可； （2）根据题意可得该学生的成绩大于该班的中位数，据此可得答案； （3）列表得到所有等可能性的结果，再确定小明和小刚恰好选择同一项目观看的结果数，最后利用概率公式求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴， ∴； 把乙班20名学生样本成绩按照从低到高的顺序排列为：54  62  62  67  68  69  71  72  79  80  80  84  87  87  87  88  90  91  91  93， ∴乙班20名学生样本成绩的中位数为分，即， ∵乙班20名学生样本成绩中得分为87分的人数最多， ∴乙班20名学生样本成绩的众数为87分，即； （2）解：该学生是甲班的学生，理由如下：该学生的成绩是79分，在他所属班级排在前10名，略高于甲班的样本成绩的中位数77分，低于乙班的样本成绩的中位数80分，故该学生是甲班的学生； （3）解：列表如下： 小刚小明 Q W R X Q W R X 所有可能出现的结果有16种，且每种结果出现的可能性都相同，其中小明和小刚恰好选择同一项目观看的情况共有4种， ∴小明和小刚恰好选择同一项目观看的概率为． 26．为了解2025年前三季度“长三角”41市经济运行情况，兴趣小组通过网络查询得知，经济增速最高为，最低为．他们将经济增速按照查询的结果进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息： a．2025年前三季度“长三角”各市经济增速分布表： 分类 城市数量 增长率（精确到） A 7 B 14 C 11 D 9 b．B组具体数据如下表： 城市 南京 常州 嘉兴 六安 泰州 安庆 滁州 杭州 南通 扬州 蚌埠 池州 苏州 上海 增速 c．2025年前三季度，全国经济平均增速为． (1)本次调查中，经济增速的中位数落在___________组（填“A”“B”“C”或“D”）． (2)从表中数据可知，长三角41市中，前三季度经济增速超过全国平均水平的占长三角城市总数百分比为___________（精确到）； (3)现从B组增长率为的四个城市中，任选两个进行调查研究，通过画树状图或列表法求选中的两个城市是南京和六安的概率． 【答案】(1)B (2) (3) 【分析】（1）根据中位数的定义解答即可； （2）得出前三季度经济增速超过全国平均水平的城市数，除以被调查的城市数可得结论； （3）分别用A、B、C、D表示南京、常州、嘉兴和六安，画出树状图，得出所有等可能的结果数，和选中的两个城市是南京和六安的结果数，再用概率公式计算出概率即可． 【详解】（1）解：把41个数据按从小到大的顺序排列，最中间的是第21个数据， 而A类与B类数量和， 所以，在本次调查中，经济增速的中位数落在B组； （2）解：前三季度经济增速超过全国平均水平的占长三角城市总数百分比为：； （3）解：分别用A、B、C、D表示南京、常州、嘉兴和六安，画树状图如下： 由树状图可得，共有12种等可能的结果，其中选中的两个城市是南京和六安的结果数有2种， 所以，选中的两个城市是南京和六安的概率为． 27．某水果生产基地为了解同一批柑橘装箱后每箱的重量情况，从全部装箱的柑橘中随机选出100箱，分A、B、C、D、E五组来测量每箱的重量（单位：），并分别测算出各组柑橘每箱重量的平均数，结果如下表， 小组编号 A B C D E 个数（单位：箱） 25 20 15 25 15 平均重量（单位：） 30 25 20 32 20 其中E组中15箱柑橘每箱的重量（单位：）分别是： 12  14  16  17  17  17  18  18  20  21  24  24  24  28  30 根据以上信息，解决下面的问题． (1)E组中15箱柑橘重量的中位数是_____，众数是______； (2)下面是晓强同学求这100箱柑橘平均重量的做法： 这100箱柑橘的平均重量为，请你判断他的做法是否正确，若正确请说明理由；若不正确，请你求出这100箱柑橘的平均重量． (3)现需要用载重量为5吨的卡车运送1000箱该批柑橘，请你估计至少需要几辆卡车，才能一次将这批柑橘运送完?并通过计算进行说明． (4)若该水果生产基地对这五组柑橘随机抽出两组，再次称重检测每组的平均重量，用画树状图或列表的方法，求同时抽到A组和E组的概率， 【答案】(1)，和 (2)不正确，这100箱柑橘的平均重量是 (3)6辆 (4) 【分析】（1）根据中位数和众数的概念解答即可； （2）晓强同学做法错误，运用加权平均数的方法解答即可； （3）运用除法计算，结果进一即可； （4）列表，得20种等可能的结果，同时抽到A组和E组有2种等可能得结果，再根据概率公式进行计算即可． 【详解】（1）解：E组中15个数据按从小到大的顺序排列为：12  14  16  17  17  17  18  18  20  21  24  24  24  28  30，最中间的一个数据为18， 所以，中位数是； 数据出现最多的是17和24，各出现3次， 故众数为和； （2）解：晓强的做法不正确． 这100箱柑橘的平均重量为： ． 答：这100箱柑橘的平均重量是． （3）解：估计这批柑橘的重量为（吨）． ∵， （辆）， ∴至少需要6辆载重量为5吨的卡车． （4）解：列表如下： A B C D E A B C D E ED ∵一共有20种等可能的结果，同时抽到A组和E组有2种等可能的结果， ∴P（同时抽到A组和E组）． 1 / 22 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