第25章 二次函数（高效培优单元自测·提升卷）数学新教材华东师大版九年级下册

第25章 二次函数（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．若是二次函数，则的值是（     ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的定义，解题需同时考虑二次项次数为、二次项系数不为两个条件，不可遗漏系数限制． 【详解】解：由二次函数定义得二次项次数为、二次项系数不为， ∴且， 解得：或， 解得：， ∴． 2．在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得函数表达式为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】二次函数图象的平移法则：左加右减，上加下减． 【详解】解：将的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得函数表达式为． 3．已知一个二次函数的自变量与函数值的几组对应值如表所示，则下列说法正确的是（     ） A．这个函数的图象开口向下 B．当时， C．这个函数的最大值是 D．当时，随的增大而增大 【答案】D 【详解】解：∵和时，的值均为， ∴该二次函数图象的对称轴为直线，顶点坐标为． ∵时， ∴抛物线开口向上．故A项错误；开口向上时函数有最小值，无最大值，故C项错误． 选项B：∵与关于对称轴对称，且时， ∴时，故B项错误． 选项D：∵开口向上，对称轴为直线， ∴时随的增大而增大， ∴时随的增大而增大，故D项正确． 4．合肥市某高新企业10月份的工业产值为亿元，平均每月产值的增长率为，则该企业12月份的产值关于的函数表达式是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】已知某高新企业10月份的工业产值和12月份的产值，根据平均增长率公式建立关系式即可． 【详解】解：∵10月份的工业产值为亿元，平均每月产值的增长率为， ∴11月份产值为，12月份产值为， 即． 故选A. 5．若点在抛物线上，则下列各点在抛物线上的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由点在上得到，依次把四个选项中点的横坐标代入计算函数值，验证得到横坐标为时函数值等于，确定在抛物线上． 【详解】解：∵ 点在抛物线上， ∴ ． ∵抛物线可以看作是抛物线向右平移 1 个单位得到，函数平移规律为左加右减． 将各选项坐标代入验证： 选项：把代入右边：， ∵ ， ∴ ， ∴ 点满足解析式． 选项：把代入右边：， ∵ 不一定等于， ∴ 该点不一定在抛物线上． 选项：把代入右边：， ∵ 不一定等于， ∴ 该点不一定在抛物线上． 选项：把代入右边：， ∵ 不一定等于， ∴ 该点不一定在抛物线上． 故选：． 6．在平面直角坐标系中，二次函数（a，b为常数，），当时，的最大值为，点，在函数图象上，则的值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】先求二次函数的对称轴，根据时得出时取最大值，得到与的关系，再代入两点坐标计算比值． 【详解】解：二次函数， 对称轴为直线． 时，的最大值为，抛物线顶点在对称轴上， 时，取得最大值，代入得，整理得． 将点代入函数表达式，得． 将点代入函数表达式，得． ． 7．已知二次函数的图象与轴没有交点，则的取值范围为（     ） A． B．且 C． D．且 【答案】A 【分析】结合二次函数的定义与图象和轴无交点的条件，列不等式求解即可． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴， ∵图象与轴没有交点， ∴，解得， ∴综上可得，的取值范围为． 8．如图，植物园里要建一个矩形花圃，建造该花圃需要利用一堵墙，其余部分用长为28米的篱笆围成，且．若米，则矩形花圃面积的最大值是（     ） A．平方米 B．平方米 C．平方米 D．平方米 【答案】B 【分析】设矩形花圃的宽为米，长为米，根据篱笆总长与墙长的关系列出与的等量关系，构建面积关于的二次函数，结合确定自变量取值范围，利用二次函数性质求最大值． 【详解】解：设米，米， ∵篱笆总长为米，墙米，且其余部分用篱笆围成， ∴， ∴，即， ∵，即， ∴， 解得， 又， ∴， 设矩形花圃面积为平方米， ， ∴，抛物线开口向下，对称轴为直线， ∵， ∴当时， ∴， 即矩形花圃面积的最大值是平方米． 9．二次函数当自变量在范围内有最小值，则的最大值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将二次函数化为顶点式，结合开口方向，按对称轴与区间的位置关系分类讨论最小值的表达式，再求解的最大值． 【详解】解：将二次函数配方得， ∴图象开口向上，对称轴为直线， 当时，在范围内，随的增大而增大， ∴当时，， ∵， ∴， 当时， ∴当时，， ∵， ∴当时，取得最大值； 当时，在范围内，随的增大而减小， ∴当时，， ∵， ∴； 综上，的最大值为． 10．已知抛物线与轴交于，两点，在的抛物线上有一点，其纵坐标为，若，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由抛物线与x轴的交点坐标求对称轴，确定a的值，将抛物线化为顶点式，结合x的取值范围和c的范围求解n的取值范围． 【详解】解：∵抛物线与x轴交于，两点， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴， 解得， ∴， ∵抛物线开口向下，且，顶点横坐标在该区间内， ∴当时，取得最大值， 当时，； 当时，， ∵， ∴当时，取得最小值， ∵， ∴，， ∴的取值范围是． 11．如图，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，若，则的值为（     ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】求出，，得到，证明是等腰直角三角形，则，得到，进一步求出． 【详解】解：当时，，则， 由图象可知，， 故， 当时，， 解得， ∴， 则， ∵抛物线关于轴对称， ∴ ∵， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即． 12．对于整式，把它的系数倒过来排列，得到新的整式，称为的“倒序式”．已知满足：，为正整数，，，均为整数，且．下列说法： ①当，时，若为二项式，则满足条件的整式共有个； ②若是方程的一个非零实数根，则是方程的根； ③当，，且时，若函数与的图象在轴上有公共点，则满足条件的所有整式的和为． 其中正确的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据倒序式的定义，逐一分析三个说法的正确性，结合整式的项数、方程的根、二次函数与x轴的交点等知识推导． 【详解】解：①当，时，，其中为正整数，为整数，且． 由倒序式定义，． 为二项式，则且，又，故只需． 由，，，得： 当时，，即，对应2个； 当时，，即，对应2个； 当时，，即，不符合． 故满足条件的共有4个，①正确． ②是的非零实数根， ． ，两边同除以，得： ， 整理得， 即，故是的根，②正确． ③当，，时，由得， 此时，． 函数与的图象在轴上有公共点，即存在实数使得且． 将两式相减，得，即． 分两种情况： 1．若，则，此时与轴有交点即满足条件． 由得，即． 此时判别式，符合条件，对应为，． 2．若，则，即或为公共根． 当时，，即，结合，解得，（舍去），对应． 当时，，即，结合，解得，（舍去），对应． 综上，满足条件的为，，，． 它们的和为：，故③正确． 二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．） 13．在平面直角坐标系中，把抛物线先向下平移个单位长度，再向右平移个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为________ 【答案】 【分析】根据二次函数平移法则进行计算，得出平移后的二次函数表达式． 【详解】解：， ∵先向下平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度， ∴． 14．一条有最高点的抛物线与轴交于点和点，并且两交点与抛物线顶点构成的三角形面积为，这条抛物线的函数表达式为_______________． 【答案】 【分析】先根据抛物线与轴的交点得到长度和对称轴位置，再利用三角形面积求出顶点纵坐标，最后利用交点式求出抛物线表达式． 【详解】解：∵抛物线与轴交于和， ∴，对称轴为直线， 设抛物线顶点纵坐标为， ∵抛物线有最高点，且，，顶点构成的三角形面积为， ∴， 代入得， 解得， ∴顶点坐标为， 设抛物线解析式为， 将顶点坐标代入得， 整理得， 解得， 展开得． 15．如图，已知抛物线的对称轴为直线，点A，B均在抛物线上，且与x轴平行，若点A的坐标为，则点B的坐标为__________． 【答案】 【分析】根据题意，易得点关于对称轴对称，即可得出结果. 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，点A，B均在抛物线上，且与x轴平行， ∴点关于对称轴对称， ∵点A的坐标为， ∴点B的坐标为. 16．如果一条抛物线与轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“特征三角形”．已知的“特征三角形”是等腰直角三角形，那么的值为________． 【答案】1 【分析】先求出抛物线与轴交点，算出两交点距离，再求出顶点坐标和顶点到轴的距离，根据等腰直角三角形斜边上的高等于斜边一半列出方程，结合求出． 【详解】解：∵ 抛物线解析式为 ， 令 ，则 ， ， 解得 ， ∴ 抛物线与轴两个交点为 ，． ∴ 两个交点之间的线段长：． 抛物线对称轴：． 把 代入解析式： ． ∴ 顶点坐标为 ． ∵ “特征三角形” 是等腰直角三角形，顶点到轴的垂线段就是斜边上的高，等腰直角三角形斜边上的高等于斜边的一半． ∵顶点到轴距离为 ． ∴ 化简：得， 解得 ． ∵ ， ∴ ． 17．如图，已知二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，在轴上方存在一点，同时点在对称轴上，若以、、为顶点的三角形为等腰三角形，点的坐标为_________． 【答案】或或 【分析】先由二次函数的解析式得到点，点的坐标以及对称轴，由于点在轴上方，且在对称轴上，设点坐标为，再根据以、、为顶点的三角形为等腰三角形的已知条件，讨论三角形哪两条边作为三角形的腰，利用勾股定理表示出两点之间的距离，以等腰三角形两腰相等为等量关系列出式子，计算得到的不同取值，检验是否大于后即可得到点的坐标． 【详解】解：二次函数为，与轴交于点，与轴交于点， 当时，，点的坐标为， 当时，，点的坐标为， 对称轴为直线． 点在对称轴上， 设点的坐标为． 以、、为顶点的三角形为等腰三角形， 需要分三种情况讨论． 当时，由，得， 解得， 点坐标为． 当时，由，得， 解得或（舍去）， 点坐标为． 当时，由，得， 解得或（舍去）， 点坐标为． 综上所述，点坐标为或或． 18．已知二次函数的图象如图所示，有如下结论：①；②；③；④；⑤（为任意实数），其中正确的结论有___________（填序号）． 【答案】②③④⑤ 【分析】结合二次函数的开口方向，对称轴所在位置以及与轴的交点，确定的符号，从而可判断结论①；结合对称轴的表达式，推导得出的关系式，从而可判断结论②；根据二次函数上关于对称轴对称的两点对应的函数值相等，得到与对应的函数值均小于，从而可判断结论③；根据二次函数与轴有两个不同的交点，对应一元二次方程有两个不同的实数根，因此判别式大于，从而可判断结论④；由图象可知，当时，二次函数取得最大值，因此任意实数的函数值均小于等于该最大值，列出不等式关系，从而可判断结论⑤． 【详解】解：由图象可得，抛物线开口向下， ， ∵对称轴为直线， ， ， ∵抛物线与轴正半轴相交， ， ，故结论①错误； 由对称轴，得， ，故结论②正确； 二次函数的图象关于直线对称， 和对应的函数值相等， 由图象可知，当时，函数值， 当当当s时，，故结论③正确； 抛物线与轴有两个不同交点， 对应的一元二次方程有两个不相等的实数根， ，即，故结论④正确； 由图象可知，当时，二次函数取得最大值，最大值为， 对任意实数，都有， 两边同时消去，整理得，，故结论⑤正确． 综上所述，正确的结论有②③④⑤． 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．（6分）已知二次函数的图象经过点，对称轴是直线，且抛物线与轴的其中一个交点坐标为，求抛物线解析式． 【答案】 抛物线的解析式为． 【分析】利用抛物线的对称性求出与轴的另一个交点，设交点式解析式，代入已知点求解系数． 【详解】解： ∵抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点为， ∴抛物线与轴的另一个交点与关于直线对称， 设另一个交点坐标为， 则， 解得，即另一个交点为， 设抛物线的解析式为（）， 将点代入解析式得：， 解得， ∴抛物线的解析式为， 整理得． 20．（6分）抛物线（，，为常数）上部分点的横坐标、纵坐标的对应值如表： … 0 1 2 3 … … 0 … (1)求抛物线的解析式及表格中的值； (2)当时，求的取值范围． 【答案】(1)抛物线的解析式为，的值为 (2)的取值范围是. 【分析】（1）找出顶点坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式，再将代入求出的值； （2）根据二次函数的增减性确定在取得的最大值与最小值，从而解出答案． 【详解】（1）解：∵点的纵坐标相等， ∴对称轴为直线， ∴点是抛物线的顶点， 设抛物线的解析式为， 将点代入，得， 解得， ∴抛物线的解析式为， 即； 将代入中，解得． （2）解：∵， ∴二次函数开口向上， ∵对称轴直线在范围内， ∴在对称轴处取得最小值， ∵当时，； 当时，， ∴当无限接近时，无限接近， ∴在时，． 21．（8分）安徽省黄山市徽州区某农业合作社第一期搭建大棚，种植徽州黄菊40棚，铁皮石斛54棚．经统计，第一期徽州黄菊平均每棚利润35元，铁皮石斛平均每棚利润26元．调研发现：徽州黄菊每减少1棚，黄菊平均每棚利润增加2元；铁皮石斛平均每棚利润保持不变．为了增加总利润，合作社计划第二期一共搭建96棚，全部种植徽州黄菊和铁皮石斛．设第二期徽州黄菊比第一期减少棚，第二期黄菊总利润为元，铁皮石斛总利润为元． (1)求第一期黄菊和铁皮石斛的总利润； (2)用含的代数式分别表示和．并求出自变量的取值范围； (3)当取何值时，第二期获得的总利润最大？求出最大总利润． 【答案】(1) 第一期黄菊和铁皮石斛的总利润为2804元. (2) ，；自变量的取值范围是且为整数. (3) 当时，第二期总利润最大，最大总利润为3486元. 【分析】（1）利用徽州黄菊的利润+铁皮石斛利润，即可求解； （2）根据题意分别列出函数解析式即可； （3）先列出总利润的函数解析式，再配方，进而即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得：（元）； （2）解：由题意得：， ； ∵且， ∴， ∴自变量的取值范围是且为整数； （3）解： ， ∴当时， 22．（8分）如图，开口向下的抛物线与x轴交于点、，与轴交于点，点P是第一象限内抛物线上的一点． (1)求该抛物线的解析式； (2)设点P的横坐标为m，求四边形的面积，并求其最大值． 【答案】(1) (2)，8 【分析】（1）设二次函数表达式为，再将点C代入，求出a值即可； （2）连接，设点P坐标为，，利用得出S关于m的表达式，再求最值即可． 【详解】（1）解：∵、，， ∴设抛物线表达式为， 将C代入得， 解得， ∴该抛物线的解析式为； （2）解：连接，设点P坐标为，且， ∵、，， 可得，，， ∴ ， ∴当时，面积最大值为8， ∴四边形的面积最大值为8． 23．（10分）如图，在中，，，，动点P从点A出发，沿线段向点C移动，动点Q从点C出发，沿线段向点B移动，若点P，Q均以的速度同时出发（当一点移动到终点时，另一点也随之停止），连接，设运动时间为，的面积为． (1)写出与之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围． (2)当为何值时，的面积取得最大值，最大值为多少? 【答案】(1)（）． (2)当时，的面积取得最大值，最大值为． 【分析】（1）用含的式子表示、，写出与的函数解析式及自变量取值范围； （2）把与的解析式化成顶点式，求面积的最大值． 【详解】（1）解：点、都以的速度同时出发， ，， ． ， ． 点、到达终点分别需、，且一点到达终点时另一点也随之停止，又时点与点重合，不存在， 自变量的取值范围是． （）． （2）解：． ， 当时，取得最大值，且在的范围内， 当时，的面积取得最大值，最大值为． 24．（10分）如图①是一座抛物线型拱桥，图②是其侧面部分示意图，在正常水位时水面的宽为，如果水位上升，就达到警戒水位，此时水面的宽为． (1)建立适当的平面直角坐标系，求此抛物线的函数表达式； (2)在（1）的条件下，现有一棱长为的封闭正方体铁制集装箱，从上游漂流到拱桥处，其吃水深度（集装箱浸在水下的部分）为，集装箱正面朝前从桥正中心径直通过，其上表面与水面平行． ①在正常水位时，此集装箱能否顺利通过这座拱桥，为什么？ ②由于连日暴雨，水面快速上涨到警戒水位，若要此集装箱能顺利通过这座拱桥，需要增加吃水深度，求至少要增加多少吃水深度？ 【答案】(1)抛物线的函数表达式为（）． (2)①能顺利通过．②至少要增加的吃水深度． 【分析】（1）以中点为原点、直线为轴、过拱顶且垂直于的直线为轴建立坐标系；用待定系数法设，代入、两点坐标求参数； （2）利用解析式计算拱顶及集装箱顶部到水面的高度并比较． 【详解】（1）解：以的中点为原点，直线为轴，过拱顶且垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系，则，． 设抛物线的函数表达式为． ∵正常水位时水面宽为，警戒水位比正常水位高时水面宽为， ∴，，且点、都在抛物线上． ∴ 解得，． ∴抛物线的函数表达式为（）． （2）解：①集装箱为棱长的正方体，吃水深度为， ∴露出水面的高度为，即集装箱顶部距水面． 在正常水位时，拱顶距水面；在集装箱宽度范围内（距桥中心不超过），拱高最低处为时，． ∴集装箱顶部低于拱顶，能顺利通过． ②警戒水位时水面上升，拱顶距警戒水面；在集装箱宽度范围内拱高最低处为时，距警戒水面． 集装箱顶部距警戒水面仍为，故不能直接通过． 设需增加吃水深度，则集装箱顶部距警戒水面变为． 需满足，解得． ∴至少要增加的吃水深度． 25．（12分）综合与实践 项目主题：校园“碳中和”生态探究园规划 项目背景： 为落实“双碳”目标，合肥某中学劳动实践小组计划依托校园一面长的旧围墙，利用环保竹篱笆搭建矩形生态探究园．园区内设置一条宽2m的生态观察步道（步道属于园区整体的一部分）；步道中间用篱笆进行分隔，把整个园区分成形状、大小完全相同的两个实验区，用来开展植物固碳相关探究实验． 测量数据： 竹篱笆总长度为．设平行于围墙的篱笆的长度为米，垂直于围墙的篱笆的长度为米，园区的总面积为平方米．    (1)任务一：建立函数模型 根据上面测量得到的数据，请写出与与之间的函数解析式； (2)任务二：方案优化 实践小组希望园区的总面积尽可能大，请你帮忙设计搭建方案，并求出园区的最大面积； (3)任务三：植物采购规划 在园区面积取到最大值的条件下，小组准备在园区内种植绣球花和红叶石楠两种植物：每平方米可以种植绣球花2株，或者红叶石楠1株，整个园区的种植面积要充分利用．已知绣球花每株售价30元，红叶石楠每株售价20元．采购总费用不能超过1.5万元；同时为了景观观赏性，绣球花的种植面积至少要有165平方米．试求绣球花最多可以购进多少株？ 【答案】(1)，； (2)，时，园区有最大面积； (3)绣球花最多可以购进株． 【分析】（1）根据题意列式即可； （2）用配方法求最大面积； （3）设有平方米种植绣球花，则平方米种植红叶石楠，根据题意列不等式并求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，， 其中，，， ∴， 整理得； ， ∵墙长， ∴， 解得， ∴，； （2）解： ， 当时，，此时， 即，时，园区有最大面积； （3）解：在（2）的条件下，种植面积有， 设有平方米种植绣球花，则平方米种植红叶石楠， 由题意知绣球花可种植株，红叶石楠可种植株， ∴， 解得， 即， 当时，绣球花可种植的数量最多，为株， ∴绣球花最多可以购进株． 26．（12分）已知抛物线与直线交于，两点，无论取何值抛物线总经过定点． (1)当抛物线的顶点恰好是定点时，求的值； (2)记的面积为，点，的横坐标分别为和． ①用含的代数式表示； ②求的最小值． 【答案】(1)． (2)①；②的最小值为． 【分析】（1）将抛物线整理为，用分离参数法（令）求出定点；再由顶点横坐标与点的横坐标相同，列方程求； （2）①联立得一元二次方程，用根与系数关系把化为含的代数式并开方；②过作直线的垂线求高，把化为后配方求最小值． 【详解】（1）解：抛物线． 无论取何值，当即时，，故抛物线总经过定点． 抛物线的顶点横坐标为． 当顶点恰好为时，，解得． （2）解：联立与： ， 整理得． 设其两根为、，由根与系数关系得，． ①． ． ②点、都在直线上．过点作于． 与垂直的直线解析式为，代入得，即，故所在直线为． 联立与，得，，即． ． 又，而， 故． 于是． 代入、，得． 配方得， 所以，当时取等号． 故的最小值为． 【点睛】本题综合考查抛物线与直线的相交问题：先分离参数求抛物线族恒过定点；再用顶点公式求；相交弦长借助根与系数关系化为，是解此类面积的常用转化；关键是用“过作弦所在直线的垂线求高”，把三角形面积最终化为只含的二次根式，配方即得最值． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 第25章 二次函数（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．若是二次函数，则的值是（     ） A． B． C．或 D． 2．在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得函数表达式为（     ） A． B． C． D． 3．已知一个二次函数的自变量与函数值的几组对应值如表所示，则下列说法正确的是（     ） A．这个函数的图象开口向下 B．当时， C．这个函数的最大值是 D．当时，随的增大而增大 4．合肥市某高新企业10月份的工业产值为亿元，平均每月产值的增长率为，则该企业12月份的产值关于的函数表达式是（     ） A． B． C． D． 5．若点在抛物线上，则下列各点在抛物线上的是（     ） A． B． C． D． 6．在平面直角坐标系中，二次函数（a，b为常数，），当时，的最大值为，点，在函数图象上，则的值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．已知二次函数的图象与轴没有交点，则的取值范围为（     ） A． B．且 C． D．且 8．如图，植物园里要建一个矩形花圃，建造该花圃需要利用一堵墙，其余部分用长为28米的篱笆围成，且．若米，则矩形花圃面积的最大值是（     ） A．平方米 B．平方米 C．平方米 D．平方米 9．二次函数当自变量在范围内有最小值，则的最大值为（     ） A． B． C． D． 10．已知抛物线与轴交于，两点，在的抛物线上有一点，其纵坐标为，若，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 11．如图，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，若，则的值为（     ） A． B． C．1 D．2 12．对于整式，把它的系数倒过来排列，得到新的整式，称为的“倒序式”．已知满足：，为正整数，，，均为整数，且．下列说法： ①当，时，若为二项式，则满足条件的整式共有个； ②若是方程的一个非零实数根，则是方程的根； ③当，，且时，若函数与的图象在轴上有公共点，则满足条件的所有整式的和为． 其中正确的个数是（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．） 13．在平面直角坐标系中，把抛物线先向下平移个单位长度，再向右平移个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为________ 14．一条有最高点的抛物线与轴交于点和点，并且两交点与抛物线顶点构成的三角形面积为，这条抛物线的函数表达式为_______________． 15．如图，已知抛物线的对称轴为直线，点A，B均在抛物线上，且与x轴平行，若点A的坐标为，则点B的坐标为__________． 16．如果一条抛物线与轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“特征三角形”．已知的“特征三角形”是等腰直角三角形，那么的值为________． 17．如图，已知二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，在轴上方存在一点，同时点在对称轴上，若以、、为顶点的三角形为等腰三角形，点的坐标为_________． 18．已知二次函数的图象如图所示，有如下结论：①；②；③；④；⑤（为任意实数），其中正确的结论有___________（填序号）． 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．（6分）已知二次函数的图象经过点，对称轴是直线，且抛物线与轴的其中一个交点坐标为，求抛物线解析式． 20．（6分）抛物线（，，为常数）上部分点的横坐标、纵坐标的对应值如表： … 0 1 2 3 … … 0 … (1)求抛物线的解析式及表格中的值； (2)当时，求的取值范围． 21．（8分）安徽省黄山市徽州区某农业合作社第一期搭建大棚，种植徽州黄菊40棚，铁皮石斛54棚．经统计，第一期徽州黄菊平均每棚利润35元，铁皮石斛平均每棚利润26元．调研发现：徽州黄菊每减少1棚，黄菊平均每棚利润增加2元；铁皮石斛平均每棚利润保持不变．为了增加总利润，合作社计划第二期一共搭建96棚，全部种植徽州黄菊和铁皮石斛．设第二期徽州黄菊比第一期减少棚，第二期黄菊总利润为元，铁皮石斛总利润为元． (1)求第一期黄菊和铁皮石斛的总利润； (2)用含的代数式分别表示和．并求出自变量的取值范围； (3)当取何值时，第二期获得的总利润最大？求出最大总利润． 22．（8分）如图，开口向下的抛物线与x轴交于点、，与轴交于点，点P是第一象限内抛物线上的一点． (1)求该抛物线的解析式； (2)设点P的横坐标为m，求四边形的面积，并求其最大值． 23．（10分）如图，在中，，，，动点P从点A出发，沿线段向点C移动，动点Q从点C出发，沿线段向点B移动，若点P，Q均以的速度同时出发（当一点移动到终点时，另一点也随之停止），连接，设运动时间为，的面积为． (1)写出与之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围． (2)当为何值时，的面积取得最大值，最大值为多少? 24．（10分）如图①是一座抛物线型拱桥，图②是其侧面部分示意图，在正常水位时水面的宽为，如果水位上升，就达到警戒水位，此时水面的宽为． (1)建立适当的平面直角坐标系，求此抛物线的函数表达式； (2)在（1）的条件下，现有一棱长为的封闭正方体铁制集装箱，从上游漂流到拱桥处，其吃水深度（集装箱浸在水下的部分）为，集装箱正面朝前从桥正中心径直通过，其上表面与水面平行． ①在正常水位时，此集装箱能否顺利通过这座拱桥，为什么？ ②由于连日暴雨，水面快速上涨到警戒水位，若要此集装箱能顺利通过这座拱桥，需要增加吃水深度，求至少要增加多少吃水深度？ 25．（12分）综合与实践 项目主题：校园“碳中和”生态探究园规划 项目背景： 为落实“双碳”目标，合肥某中学劳动实践小组计划依托校园一面长的旧围墙，利用环保竹篱笆搭建矩形生态探究园．园区内设置一条宽2m的生态观察步道（步道属于园区整体的一部分）；步道中间用篱笆进行分隔，把整个园区分成形状、大小完全相同的两个实验区，用来开展植物固碳相关探究实验． 测量数据： 竹篱笆总长度为．设平行于围墙的篱笆的长度为米，垂直于围墙的篱笆的长度为米，园区的总面积为平方米．    (1)任务一：建立函数模型 根据上面测量得到的数据，请写出与与之间的函数解析式； (2)任务二：方案优化 实践小组希望园区的总面积尽可能大，请你帮忙设计搭建方案，并求出园区的最大面积； (3)任务三：植物采购规划 在园区面积取到最大值的条件下，小组准备在园区内种植绣球花和红叶石楠两种植物：每平方米可以种植绣球花2株，或者红叶石楠1株，整个园区的种植面积要充分利用．已知绣球花每株售价30元，红叶石楠每株售价20元．采购总费用不能超过1.5万元；同时为了景观观赏性，绣球花的种植面积至少要有165平方米．试求绣球花最多可以购进多少株？ 26．（12分）已知抛物线与直线交于，两点，无论取何值抛物线总经过定点． (1)当抛物线的顶点恰好是定点时，求的值； (2)记的面积为，点，的横坐标分别为和． ①用含的代数式表示； ②求的最小值． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 第25章 二次函数（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B C D A A D A B C A A D 二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．） 13． 14． 15． 16．1 17．或或 18．②③④⑤ 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．【答案】 抛物线的解析式为． 【解析】解： ∵抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点为， ∴抛物线与轴的另一个交点与关于直线对称， 设另一个交点坐标为， 则， 解得，即另一个交点为， 设抛物线的解析式为（）， 将点代入解析式得：， 解得， ∴抛物线的解析式为， 整理得． 20．【答案】(1)抛物线的解析式为，的值为 (2)的取值范围是. （2）根据二次函数的增减性确定在取得的最大值与最小值，从而解出答案． 【解析】（1）解：∵点的纵坐标相等， ∴对称轴为直线， ∴点是抛物线的顶点， 设抛物线的解析式为， 将点代入，得， 解得， ∴抛物线的解析式为， 即； 将代入中，解得． （2）解：∵， ∴二次函数开口向上， ∵对称轴直线在范围内， ∴在对称轴处取得最小值， ∵当时，； 当时，， ∴当无限接近时，无限接近， ∴在时，． 21．【答案】(1) 第一期黄菊和铁皮石斛的总利润为2804元. (2) ，；自变量的取值范围是且为整数. (3) 当时，第二期总利润最大，最大总利润为3486元. 【解析】（1）解：由题意得：（元）； （2）解：由题意得：， ； ∵且， ∴， ∴自变量的取值范围是且为整数； （3）解： ， ∴当时， 22．【答案】(1) (2)，8 【解析】（1）解：∵、，， ∴设抛物线表达式为， 将C代入得， 解得， ∴该抛物线的解析式为； （2）解：连接，设点P坐标为，且， ∵、，， 可得，，， ∴ ， ∴当时，面积最大值为8， ∴四边形的面积最大值为8． 23．【答案】(1)（）． (2)当时，的面积取得最大值，最大值为． 【解析】（1）解：点、都以的速度同时出发， ，， ． ， ． 点、到达终点分别需、，且一点到达终点时另一点也随之停止，又时点与点重合，不存在， 自变量的取值范围是． （）． （2）解：． ， 当时，取得最大值，且在的范围内， 当时，的面积取得最大值，最大值为． 24．【答案】(1)抛物线的函数表达式为（）． (2)①能顺利通过．②至少要增加的吃水深度． 【解析】（1）解：以的中点为原点，直线为轴，过拱顶且垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系，则，． 设抛物线的函数表达式为． ∵正常水位时水面宽为，警戒水位比正常水位高时水面宽为， ∴，，且点、都在抛物线上． ∴ 解得，． ∴抛物线的函数表达式为（）． （2）解：①集装箱为棱长的正方体，吃水深度为， ∴露出水面的高度为，即集装箱顶部距水面． 在正常水位时，拱顶距水面；在集装箱宽度范围内（距桥中心不超过），拱高最低处为时，． ∴集装箱顶部低于拱顶，能顺利通过． ②警戒水位时水面上升，拱顶距警戒水面；在集装箱宽度范围内拱高最低处为时，距警戒水面． 集装箱顶部距警戒水面仍为，故不能直接通过． 设需增加吃水深度，则集装箱顶部距警戒水面变为． 需满足，解得． ∴至少要增加的吃水深度． 25．【答案】(1)，； (2)，时，园区有最大面积； (3)绣球花最多可以购进株． 【解析】（1）解：由题意知，， 其中，，， ∴， 整理得； ， ∵墙长， ∴， 解得， ∴，； （2）解： ， 当时，，此时， 即，时，园区有最大面积； （3）解：在（2）的条件下，种植面积有， 设有平方米种植绣球花，则平方米种植红叶石楠， 由题意知绣球花可种植株，红叶石楠可种植株， ∴， 解得， 即， 当时，绣球花可种植的数量最多，为株， ∴绣球花最多可以购进株． 26．【答案】(1)． (2)①；②的最小值为． 【解析】（1）解：抛物线． 无论取何值，当即时，，故抛物线总经过定点． 抛物线的顶点横坐标为． 当顶点恰好为时，，解得． （2）解：联立与： ， 整理得． 设其两根为、，由根与系数关系得，． ①． ． ②点、都在直线上．过点作于． 与垂直的直线解析式为，代入得，即，故所在直线为． 联立与，得，，即． ． 又，而， 故． 于是． 代入、，得． 配方得， 所以，当时取等号． 故的最小值为． 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $