第二十七章 反比例函数（单元自测·冲刺卷）数学新教材人教版九年级上册

2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第二十七章 反比例函数·冲刺（参考答案） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D D B C C D C D C B B B 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13. 14. 15. 或 16. 17. 18. 三、解答题（共8小题，共66分） 19.【详解】（1）解：设反比例函数， ∵当时，， ， ∴函数的解析式为；（2分） （2）解：∵，， ∴双曲线位于一，三象限，在每一个象限内，随着的值的增大而减小， ∵点、、在反比例函数的图象上，且， ∴，即.（4分） 20.【详解】（1）解：由图象可知，该函数图象经过点， 将代入，得， 解得， 反比例函数的解析式为；（3分） （2）解：令，即，解得， ∵， ∴反比例函数的图象位于第二、四象限，且在每个象限内，y随x的增大而增大， ∴当时，；当时，， 当且时，或．（6分） 21.【详解】（1）解：把代入，得， ∴，（1分） 把代入，得， ∴，（2分） 联立，解得或， ∴；（3分） （2）解：存在；（4分） ∵， ∴当时，；当时，， ∴， ∴，（5分） ∵， ∴，即，（6分） ∵点在反比例函数上， ∴当时，；当时，，（7分） 故或.（8分） 22.【详解】（1）解：∵当电压一定时，电流与电阻成反比例．某电路中的电压为． ∴（）；（2分） （2）解：当时，，（4分） 即某电烙铁的电阻为，接入电路后，通过它的电流是； （3）解：当时，，解得，（6分） 即某家用电器，当通过它的电流为时才能正常工作．这件家用电器的电阻是； （4）解：∵当电压一定时，电流与电阻成反比例． ∴减小滑动变阻器接入电路的电阻，可使电流随电阻的减小而逐渐增大．（8分） 23.【详解】（1）解：由题意得，点平移后落在反比例函数图象上的坐标为， ∴，解得． ∴反比例函数的表达式为；（2分） （2）解：由（1）知反比例函数的表达式为，且， ∴这个反比例函数图象上的四个格点分别为，（3分） 画出的反比例函数的图象见答案； （5分） （3）解：过点作于点E，如图所示， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， （6分） 在中，， ∴， ∴，代入，得， ∴．（8分） 24.【详解】（1）解：由题意知：， 将点代入，得：， 解得：， 反比例函数的表达式为；（3分） （2）解：将代入，得：；（4分） 点、在反比例函数上， 根据反比例系数的几何意义得：，，即，（6分） 设与交点为，如图所示： ，， ， 故答案为：．（8分） 25.【详解】（1）解：∵ ∴；（1分） （2）解：∵ ∴ ∴；（2分） （3）解：∵ ∴ ∴；（3分） （4）解：根据题意得， … 0.5 1 2 4 … … 20 10 5 2.5 … （5分） （5）解：如图所示， 由题意知，，， 如果用支点O，则， （），不合题意，舍去； 如果用支点Q，则， ， 选择支点Q和秤砣来称重物，当秤砣移动到离支点Q的距离为处时，秤杆平衡说明重物正好为，如果不平衡说明重物不是．（8分） 26.【详解】（1）解：，，且垂直于轴， ． 是的中点， ．（1分） 点，都在反比例函数的图象上， ，， 即， 解得， ．（3分） （2）解：由（1）可知，， ， ，． 设线段所在直线对应的函数解析式为， 故将，代入得，， 解得， 线段所在直线对应的函数解析式为．（6分） （3）解：如图， 由（1）知，，即反比例函数解析式为， 由（2）知，线段所在直线对应的函数解析式为， 故设，则根据题意可得，． 由（2）知，，， ．（8分） 点在点的上方， ， ． ，开口向下，且， 当时，面积最大， 此时，， ．（12分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第二十七章 反比例函数·冲刺 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1．下列函数中，是的反比例函数的是（     ） A． B． C． D． 2．若反比例函数的图象经过点，则此函数图象也经过的点是（     ） A． B． C． D． 3．若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 4．李明需要制作一个底面积为的长方体无盖纸盒，底面矩形的一边长y（单位：）与其邻边长x（单位：）之间的关系可以用图象大致表示为（    ） A． B． C． D． 5．已知反比例函数，下列结论不正确的是（     ） A．图象经过点 B．图象在第一、三象限 C．随着的增大而减小 D．当时， 6．已知，在双曲线上，且，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 7．如图是反比例函数（）的一部分图象，已知该图象过点，点是图象上任意一点，过点作轴，垂足为，则的面积是（     ） A．6 B．4 C．3 D．2 8．一定电压（单位：V）下电流和电阻之间近似成反比例关系，东东用一个蓄电池作为电源组装了一个电路如图1所示，通过实验，发现电流随着电阻值的变化而变化的一组数据如表格所示． … 2 3 4 6 12 … … 23.9 15.8 12.1 a 4.1 … 下列说法不正确的是（     ） A．表中 B．这个蓄电池的电压值大约是 C．图2中图象可以表示电流I和电阻R之间的函数关系 D．若该电路的最小电阻值为，该电路能通过的最大电流是 9．已知关于的二次函数（m，n是常数且）的图象如图所示，则双曲线和直线在同一平面直角坐标系中大致位置是（    ） A． B． C． D． 10．在平面直角坐标系中，等边的顶点落在x轴的负半轴上，平行于x轴，点B在反比例函数（）的图象上，点C在反比例函数 （）的图象上，则等边的边长为（     ） A． B． C． D．5 11．火力发电厂的大烟囱并不是我们所理解的排放废气的烟囱，它的专业名字叫双曲线冷却塔（如图1），从这里冒出的烟雾其实只是水蒸气，它的纵截面是（如图2）所示的轴对称图形，四边形是一个矩形，若以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立如图2所示的平面直角坐标系，、分别是两个反比例函数图象的一部分，已知，，上口宽，则整个冷却塔高度为（ ）米． ． A．100 B．110 C．115 D．120 12．如图，在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，点的坐标分别为，，，点在点的右侧．动点从点出发，沿运动到点，反比例函数的图象经过点．则在点的运动过程中，图象经过两次的点是（） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13．已知反比例函数（k为常数，）的图象经过点，则的值为______． 14．若点是函数和图象的一个交点，则的值为________． 15．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点，当时，的取值范围是______． 16．小慧用小孔成像实验装置研究像高和物距的关系．在保持物体高度、小孔到光屏的距离不变的条件下，像高与小孔到物体的距离成反比例函数关系．已知当小孔到物体的距离为时，光屏上的像高为．若要使像高为，则小孔到物体的距离为____________． 17．已知反比例函数（其中是任意实数）图象上三点，，，则，，的大小关系是__________．（用“”连接） 18．对于任意实数、，我们定义：，如，．如果关于的函数的图像记为，当时，直线与图像有两个公共点，那么的取值范围是__________． 三、解答题（共8小题，共66分） 19．（6分）已知y是x的反比例函数，当时，． (1)求这个反比例函数的表达式； (2)若点、、均在这个反比例函数的图象上，直接写出a、b、c的大小关系________．（用“”连接） 20．（6分）已知反比例函数图象的一支如图所示． (1)求这个反比例函数的解析式； (2)当且时，求自变量的取值范围． 21．（8分）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点A，，且一次函数与x轴，y轴分别交于点C，D． (1)求反比例函数的解析式和点A的坐标； (2)连接，在反比例函数图象上是否存在点P，使得，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 22．（8分）当电压一定时，电流与电阻成反比例．某电路中的电压为． (1)写出用电阻表示电流的函数表达式． (2)某电烙铁的电阻为，接入电路后，通过它的电流是多大？ (3)某家用电器，当通过它的电流为时才能正常工作．这件家用电器的电阻是多大？ (4)如果电路中有一滑动变阻器，怎样操作才能使电路中的电流I随电阻R的减小而逐渐增大？ 23．（8分）小军用四根硬纸条和钉子制作了一个矩形，按如图方式摆放在平面直角坐标系中，矩形的边落在轴上，边落在轴上，点的坐标为（网格图中每个小正方形的边长均为1）．若将矩形向右平移1个单位长度，则点恰好落在反比例函数（）的图象上． (1)求反比例函数的表达式； (2)请先描出这个反比例函数图象上的四个格点，再画出反比例函数的图象； (3)若固定矩形边，向右“推”矩形，得到如图所示的平行四边形，当时，边交反比例函数图象于点，直接写出点的坐标． 24．（8分）如图，宽为的刻度尺的一边与轴重合，另一边经过反比例函数的图象上的一点，与轴交于点,，两点分别对应刻度尺上的读数为和．（其中刻度尺上的对应数轴上的个单位长度） (1)求该反比例函数的表达式． (2)为该反比例函数图象上异于点的一点． 若点的坐标为，求的值． 连接，过点作轴于点，则阴影部分面积，的大小关系为______．（填“”“”或“”） 25．（10分）【知识背景】杠杆原理：动力×动力臂=阻力×阻力臂，如图1，即．小明利用杠杆原理制作了一个称量物体质量的简易“秤”（如图2）． 【方案设计】第一步：在一根长度为的匀质细木杆上标上均匀的刻度（单位长度），在左侧末端处固定一个金属吊钩，作为秤钩，在离左侧末端处确定支点，并用细麻绳固定； 第二步：取一个质量为的金属物体作为秤砣．（备注：秤钩与秤砣绳长的质量忽略不计） 任务一：在图2中，把重物挂在秤钩上，秤砣挂在支点右侧的处，秤杆平衡，就能称得重物的质量．当重物的质量变化时，的长度随之变化．设重物的质量为，的长为．    (1)关于的函数关系式是________； (2)若，则的取值范围是________． 任务二：如图3，调换秤砣与重物的位置，把秤砣挂在秤钩上，重物挂在支点右侧的处，使秤杆平衡．设重物的质量为，的长为，完成下列问题： (3)关于的函数关系式是________； (4)完成下表： … 0.5 1 2 4 … … ________ ________ ________ ________ … 任务三：如图4，在离左侧末端处确定第二个支点．现有重物约，可选用支点，和秤砣（）、（）进行称量． (5)请通过计算确定：应选择哪个支点和哪个秤砣？并说明如何判断重物是否正好为． 26．（12分）如图，在平面直角坐标系中，为原点，的边垂直于轴，垂足为点，反比例函数的图象经过的中点，交于点，连接．点的坐标为，且． (1)求的值； (2)求线段所在直线对应的函数解析式； (3)设是线段上的动点（不与点，重合），过点且平行于轴的直线与反比例函数的图象交于点，求使面积最大的点的坐标． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第二十七章 反比例函数·冲刺 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1．下列函数中，是的反比例函数的是（     ） A． B． C． D． 2．若反比例函数的图象经过点，则此函数图象也经过的点是（     ） A． B． C． D． 3．若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 4．李明需要制作一个底面积为的长方体无盖纸盒，底面矩形的一边长y（单位：）与其邻边长x（单位：）之间的关系可以用图象大致表示为（    ） A． B． C． D． 5．已知反比例函数，下列结论不正确的是（     ） A．图象经过点 B．图象在第一、三象限 C．随着的增大而减小 D．当时， 6．已知，在双曲线上，且，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 7．如图是反比例函数（）的一部分图象，已知该图象过点，点是图象上任意一点，过点作轴，垂足为，则的面积是（     ） A．6 B．4 C．3 D．2 8．一定电压（单位：V）下电流和电阻之间近似成反比例关系，东东用一个蓄电池作为电源组装了一个电路如图1所示，通过实验，发现电流随着电阻值的变化而变化的一组数据如表格所示． … 2 3 4 6 12 … … 23.9 15.8 12.1 a 4.1 … 下列说法不正确的是（     ） A．表中 B．这个蓄电池的电压值大约是 C．图2中图象可以表示电流I和电阻R之间的函数关系 D．若该电路的最小电阻值为，该电路能通过的最大电流是 9．已知关于的二次函数（m，n是常数且）的图象如图所示，则双曲线和直线在同一平面直角坐标系中大致位置是（    ） A． B． C． D． 10．在平面直角坐标系中，等边的顶点落在x轴的负半轴上，平行于x轴，点B在反比例函数（）的图象上，点C在反比例函数 （）的图象上，则等边的边长为（     ） A． B． C． D．5 11．火力发电厂的大烟囱并不是我们所理解的排放废气的烟囱，它的专业名字叫双曲线冷却塔（如图1），从这里冒出的烟雾其实只是水蒸气，它的纵截面是（如图2）所示的轴对称图形，四边形是一个矩形，若以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立如图2所示的平面直角坐标系，、分别是两个反比例函数图象的一部分，已知，，上口宽，则整个冷却塔高度为（ ）米． ． A．100 B．110 C．115 D．120 12．如图，在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，点的坐标分别为，，，点在点的右侧．动点从点出发，沿运动到点，反比例函数的图象经过点．则在点的运动过程中，图象经过两次的点是（） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13．已知反比例函数（k为常数，）的图象经过点，则的值为______． 14．若点是函数和图象的一个交点，则的值为________． 15．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点，当时，的取值范围是______． 16．小慧用小孔成像实验装置研究像高和物距的关系．在保持物体高度、小孔到光屏的距离不变的条件下，像高与小孔到物体的距离成反比例函数关系．已知当小孔到物体的距离为时，光屏上的像高为．若要使像高为，则小孔到物体的距离为____________． 17．已知反比例函数（其中是任意实数）图象上三点，，，则，，的大小关系是__________．（用“”连接） 18．对于任意实数、，我们定义：，如，．如果关于的函数的图像记为，当时，直线与图像有两个公共点，那么的取值范围是__________． 三、解答题（共8小题，共66分） 19．（6分）已知y是x的反比例函数，当时，． (1)求这个反比例函数的表达式； (2)若点、、均在这个反比例函数的图象上，直接写出a、b、c的大小关系________．（用“”连接） 20．（6分）已知反比例函数图象的一支如图所示． (1)求这个反比例函数的解析式； (2)当且时，求自变量的取值范围． 21．（8分）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点A，，且一次函数与x轴，y轴分别交于点C，D． (1)求反比例函数的解析式和点A的坐标； (2)连接，在反比例函数图象上是否存在点P，使得，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 22．（8分）当电压一定时，电流与电阻成反比例．某电路中的电压为． (1)写出用电阻表示电流的函数表达式． (2)某电烙铁的电阻为，接入电路后，通过它的电流是多大？ (3)某家用电器，当通过它的电流为时才能正常工作．这件家用电器的电阻是多大？ (4)如果电路中有一滑动变阻器，怎样操作才能使电路中的电流I随电阻R的减小而逐渐增大？ 23．（8分）小军用四根硬纸条和钉子制作了一个矩形，按如图方式摆放在平面直角坐标系中，矩形的边落在轴上，边落在轴上，点的坐标为（网格图中每个小正方形的边长均为1）．若将矩形向右平移1个单位长度，则点恰好落在反比例函数（）的图象上． (1)求反比例函数的表达式； (2)请先描出这个反比例函数图象上的四个格点，再画出反比例函数的图象； (3)若固定矩形边，向右“推”矩形，得到如图所示的平行四边形，当时，边交反比例函数图象于点，直接写出点的坐标． 24．（8分）如图，宽为的刻度尺的一边与轴重合，另一边经过反比例函数的图象上的一点，与轴交于点,，两点分别对应刻度尺上的读数为和．（其中刻度尺上的对应数轴上的个单位长度） (1)求该反比例函数的表达式． (2)为该反比例函数图象上异于点的一点． 若点的坐标为，求的值． 连接，过点作轴于点，则阴影部分面积，的大小关系为______．（填“”“”或“”） 25．（10分）【知识背景】杠杆原理：动力×动力臂=阻力×阻力臂，如图1，即．小明利用杠杆原理制作了一个称量物体质量的简易“秤”（如图2）． 【方案设计】第一步：在一根长度为的匀质细木杆上标上均匀的刻度（单位长度），在左侧末端处固定一个金属吊钩，作为秤钩，在离左侧末端处确定支点，并用细麻绳固定； 第二步：取一个质量为的金属物体作为秤砣．（备注：秤钩与秤砣绳长的质量忽略不计） 任务一：在图2中，把重物挂在秤钩上，秤砣挂在支点右侧的处，秤杆平衡，就能称得重物的质量．当重物的质量变化时，的长度随之变化．设重物的质量为，的长为．    (1)关于的函数关系式是________； (2)若，则的取值范围是________． 任务二：如图3，调换秤砣与重物的位置，把秤砣挂在秤钩上，重物挂在支点右侧的处，使秤杆平衡．设重物的质量为，的长为，完成下列问题： (3)关于的函数关系式是________； (4)完成下表： … 0.5 1 2 4 … … ________ ________ ________ ________ … 任务三：如图4，在离左侧末端处确定第二个支点．现有重物约，可选用支点，和秤砣（）、（）进行称量． (5)请通过计算确定：应选择哪个支点和哪个秤砣？并说明如何判断重物是否正好为． 26．（12分）如图，在平面直角坐标系中，为原点，的边垂直于轴，垂足为点，反比例函数的图象经过的中点，交于点，连接．点的坐标为，且． (1)求的值； (2)求线段所在直线对应的函数解析式； (3)设是线段上的动点（不与点，重合），过点且平行于轴的直线与反比例函数的图象交于点，求使面积最大的点的坐标． 1 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第二十七章 反比例函数·冲刺 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1．下列函数中，是的反比例函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据反比例函数的三种表达形式（为常数，）、（为常数，）、（为常数，），逐一判断选项，选出符合定义的函数． 【详解】解：：是正比例函数，不是反比例函数； ：的分母为，不是的反比例函数； ：含常数项，不符合反比例函数形式； ：，是反比例函数． 2．若反比例函数的图象经过点，则此函数图象也经过的点是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用反比例函数图象上点的横纵坐标乘积为定值的性质，先求再判断各选项的点是否在图象上． 【详解】解：设反比例函数解析式为， ∵函数图象经过点． ∴， ∴该函数解析式为， A、当时，，则此函数图象不经过该点，故本选项不符合题意； B、当时，，则此函数图象不经过该点，故本选项不符合题意； C、当时，，则此函数图象不经过该点，故本选项不符合题意； D、当时，，则此函数图象经过该点，故本选项符合题意． 3．若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将三点横坐标分别代入反比例函数解析式，求出，，的值后比较大小. 【详解】解：将代入，得， 将代入，得， 将代入，得， ∵， ∴． 4．李明需要制作一个底面积为的长方体无盖纸盒，底面矩形的一边长y（单位：）与其邻边长x（单位：）之间的关系可以用图象大致表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据矩形面积公式列出与的函数关系式，结合自变量的取值范围确定图象． 【详解】解：由题意得， ． 表示矩形的边长， ， 该函数图象是位于第一象限的双曲线的一支． 5．已知反比例函数，下列结论不正确的是（     ） A．图象经过点 B．图象在第一、三象限 C．随着的增大而减小 D．当时， 【答案】C 【详解】解：由得，将代入解析式，得，故A正确； 函数图象在第一、三象限，故B正确； 该函数仅在每个象限内随的增大而减小，并非对任意都成立，故C错误； 当时，随的增大而减小，且时，故，D正确． 6．已知，在双曲线上，且，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的增减性和一元一次不等式的解法．由点，点的横坐标特点及已知条件可以判断两点分别位于第二、四象限，从而根据反比例函数的增减性推出比例系数小于，求得的取值范围． 【详解】解：点的横坐标为，点的横坐标为， ，在y轴的两侧， 又 ，点，点在上， 点，点分别位于第二、四象限， 根据反比例函数的增减性，的比例系数小于，即， 解得． 7．如图是反比例函数（）的一部分图象，已知该图象过点，点是图象上任意一点，过点作轴，垂足为，则的面积是（     ） A．6 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】先根据图象过点求出的值，再利用反比例函数的几何意义求解的面积． 【详解】解：∵反比例函数的图象过点， ∴， ∵点是图象上任意一点，轴， ∴． 8．一定电压（单位：V）下电流和电阻之间近似成反比例关系，东东用一个蓄电池作为电源组装了一个电路如图1所示，通过实验，发现电流随着电阻值的变化而变化的一组数据如表格所示． … 2 3 4 6 12 … … 23.9 15.8 12.1 a 4.1 … 下列说法不正确的是（     ） A．表中 B．这个蓄电池的电压值大约是 C．图2中图象可以表示电流I和电阻R之间的函数关系 D．若该电路的最小电阻值为，该电路能通过的最大电流是 【答案】D 【分析】A、根据电压电流电阻，即可求解；B、根据电压电流电阻，即可求解；C、由图进行判断即可；D、若该电路的最小电阻值为，代入计算即可； 【详解】解：A、根据电压电流电阻， ∴蓄电池的电流，说法正确，不符合题意； B、根据电压电流电阻， ∴这个蓄电池的电压值大约是，说法正确，不符合题意； C、由图可知，图2中图象可以表示电流I和电阻R之间的函数关系，说法正确，不符合题意； D、若该电路的最小电阻值为，该电路能通过的最大电流是，选项说法错误，符合题意． 9．已知关于的二次函数（m，n是常数且）的图象如图所示，则双曲线和直线在同一平面直角坐标系中大致位置是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数图像及，可得 ，再根据反比例函数与一次函数的性质即可判断． 【详解】解：由（m，n是常数且）和图象得： ， ∴， ∴的图象位于二、四象限，的图象经过一、二、四象限， 观察各选项，只有C符合题意． 10．在平面直角坐标系中，等边的顶点落在x轴的负半轴上，平行于x轴，点B在反比例函数（）的图象上，点C在反比例函数 （）的图象上，则等边的边长为（     ） A． B． C． D．5 【答案】B 【分析】作与D，连接，设等边三角形的边长为a，三线合一，勾股定理求出，根据平行面积转化，以及值的几何意义得到，再根据三角形的面积公式列出方程进行求解即可. 【详解】解：作于点D，连接， 设等边三角形的边长为a，则， ∴， ∵平行于x轴，点B在反比例函数（）的图象上，点C在反比例函数（）的图象上， ， ， （负数舍去）， ∴等边的边长为． 11．火力发电厂的大烟囱并不是我们所理解的排放废气的烟囱，它的专业名字叫双曲线冷却塔（如图1），从这里冒出的烟雾其实只是水蒸气，它的纵截面是（如图2）所示的轴对称图形，四边形是一个矩形，若以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立如图2所示的平面直角坐标系，、分别是两个反比例函数图象的一部分，已知，，上口宽，则整个冷却塔高度为（ ）米． ． A．100 B．110 C．115 D．120 【答案】B 【分析】先利用几何图形的对称性确定关键点的坐标，进而利用待定系数法求出反比例函数的解析式，最后根据上口宽确定点的横坐标，代入解析式求出其纵坐标，该纵坐标即为冷却塔的高度． 【详解】解：由题可知，四边形是矩形，在轴上，轴垂直平分， ∵， 根据对称性可知：， ∴， ∵，且， ∴， 设所在的反比例函数解析式为， 把代入中，得， 解得， ∴所在的反比例函数解析式为， ∵，且图形关于轴对称， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴把代入中，得， ∵所在直线为轴，即地面高度为0， ∴整个冷却塔的高度为110． 12．如图，在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，点的坐标分别为，，，点在点的右侧．动点从点出发，沿运动到点，反比例函数的图象经过点．则在点的运动过程中，图象经过两次的点是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出点的坐标，分段讨论点在和上运动时的取值范围，找出公共范围并验证选项． 【详解】解：∵，， ∴， ∵为等腰直角三角形，，点在点右侧， ∴，， ∴， 设，反比例函数解析式为，则， 当点在线段上运动时，，， ∴，即； 当点在线段上运动时，，， ∴，即， 若图象经过某点两次，则该点对应的值在两段运动中均能取到，且对应不同的点， ∴， 、，不在范围内，不符合题意； 、，在范围内，符合题意； 、，不在范围内，不符合题意； 、，不在范围内，不符合题意． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13．已知反比例函数（k为常数，）的图象经过点，则的值为______． 【答案】 【分析】将已知点的坐标代入反比例函数解析式，即可计算出的值． 【详解】解：∵反比例函数（为常数，）的图象经过点， ∴， 解得． 14．若点是函数和图象的一个交点，则的值为________． 【答案】10 【分析】点是两个函数交点，因此坐标满足两个函数解析式，可得和的值，利用完全平方公式变形即可求出的值． 【详解】解：∵点是两个函数图象的交点， ∴点坐标满足两个函数解析式， ∴，即，同时，即， ∵， ∴代入，，得：． 15．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点，当时，的取值范围是______． 【答案】 或 【分析】直接利用图象法找到直线在双曲线上方时的自变量的范围即可. 【详解】解：由图象可知，当时，的取值范围是 或 . 16．小慧用小孔成像实验装置研究像高和物距的关系．在保持物体高度、小孔到光屏的距离不变的条件下，像高与小孔到物体的距离成反比例函数关系．已知当小孔到物体的距离为时，光屏上的像高为．若要使像高为，则小孔到物体的距离为____________． 【答案】 【分析】已知与成反比例函数关系，先设出反比例函数表达式，利用已知条件求出比例系数，再代入目标像高计算对应小孔到物体的距离即可． 【详解】解：设与的反比例函数解析式为， 将，代入解析式，得， 解得， 反比例函数解析式为， 当时，代入得， 解得， 即小孔到物体的距离为． 17．已知反比例函数（其中是任意实数）图象上三点，，，则，，的大小关系是__________．（用“”连接） 【答案】 【分析】先根据得出反比例函数（其中是任意实数）的图象位于一、三象限，然后根据反比例函数的性质，进行求解即可． 【详解】解：， 反比例函数（其中是任意实数）的图象位于一、三象限，且在每个象限内随的增大而减小， ∵点，在第三象限，点在第一象限， ∴，，， ∵， ， ∴． 18．对于任意实数、，我们定义：，如，．如果关于的函数的图像记为，当时，直线与图像有两个公共点，那么的取值范围是__________． 【答案】 【分析】根据新定义，先求出与在时的交点，再分区间得到的分段解析式，结合分段函数的图象，判断直线有两个交点时的取值范围. 【详解】解：当时，令， 方程两边同乘得， 因式分解得， 解得或， 因为，所以取，此时对应函数值， 函数，，当时的图象如下： ∴交点坐标为， 当时，由， 结合图象可得， 因此当时， ∴， ∵，随增大而增大，此时， 当时，同理可得， ∴， ∴当时，，随增大而减小，此时， 若直线与图像有两个公共点，则与两段分段函数各有一个交点，因此. 三、解答题（共8小题，共66分） 19．（6分）已知y是x的反比例函数，当时，． (1)求这个反比例函数的表达式； (2)若点、、均在这个反比例函数的图象上，直接写出a、b、c的大小关系________．（用“”连接） 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：设反比例函数， ∵当时，， ， ∴函数的解析式为； （2）解：∵，， ∴双曲线位于一，三象限，在每一个象限内，随着的值的增大而减小， ∵点、、在反比例函数的图象上，且， ∴，即. 20．（6分）已知反比例函数图象的一支如图所示． (1)求这个反比例函数的解析式； (2)当且时，求自变量的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）将点B坐标代入求解k值即可； （2）先求得时的x值，再根据反比例函数图象以及增减性求解即可． 【详解】（1）解：由图象可知，该函数图象经过点， 将代入，得， 解得， 反比例函数的解析式为； （2）解：令，即，解得， ∵， ∴反比例函数的图象位于第二、四象限，且在每个象限内，y随x的增大而增大， ∴当时，；当时，， 当且时，或． 21．（8分）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点A，，且一次函数与x轴，y轴分别交于点C，D． (1)求反比例函数的解析式和点A的坐标； (2)连接，在反比例函数图象上是否存在点P，使得，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)， (2)存在，或 【分析】（1）先求出的值，待定系数法求出反比例函数的解析式，联立解析式求出点A的坐标； （2）利用三角形的面积公式以及面积之间的关系求出点的纵坐标，进而求出点的坐标即可. 【详解】（1）解：把代入，得， ∴， 把代入，得， ∴， 联立，解得或， ∴； （2）解：存在； ∵， ∴当时，；当时，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵点在反比例函数上， ∴当时，；当时，， 故或. 22．（8分）当电压一定时，电流与电阻成反比例．某电路中的电压为． (1)写出用电阻表示电流的函数表达式． (2)某电烙铁的电阻为，接入电路后，通过它的电流是多大？ (3)某家用电器，当通过它的电流为时才能正常工作．这件家用电器的电阻是多大？ (4)如果电路中有一滑动变阻器，怎样操作才能使电路中的电流I随电阻R的减小而逐渐增大？ 【答案】(1)（）． (2)． (3)． (4)减小滑动变阻器接入电路的电阻，可使电流随电阻的减小而逐渐增大． 【分析】（1）根据当电压一定时，电流与电阻成反比例列出函数表达式即可； （2）把代入函数表达式即可求出答案； （3）把代入函数表达式即可求出答案； （4）根据当电压一定时，电流与电阻成反比例进行解答即可． 【详解】（1）解：∵当电压一定时，电流与电阻成反比例．某电路中的电压为． ∴（）； （2）解：当时，， 即某电烙铁的电阻为，接入电路后，通过它的电流是； （3）解：当时，，解得， 即某家用电器，当通过它的电流为时才能正常工作．这件家用电器的电阻是； （4）解：∵当电压一定时，电流与电阻成反比例． ∴减小滑动变阻器接入电路的电阻，可使电流随电阻的减小而逐渐增大． 23．（8分）小军用四根硬纸条和钉子制作了一个矩形，按如图方式摆放在平面直角坐标系中，矩形的边落在轴上，边落在轴上，点的坐标为（网格图中每个小正方形的边长均为1）．若将矩形向右平移1个单位长度，则点恰好落在反比例函数（）的图象上． (1)求反比例函数的表达式； (2)请先描出这个反比例函数图象上的四个格点，再画出反比例函数的图象； (3)若固定矩形边，向右“推”矩形，得到如图所示的平行四边形，当时，边交反比例函数图象于点，直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意得点C平移后的坐标为，再根据待定系数法把该点坐标代入即可求解； （2）由（1）知反比例函数的表达式得到反比例函数图象上的四个格点的坐标，然后，顺次描点并画反比例函数图象即可； （3）过点作于点E，由，得，再把点D的纵坐标代入反比例函数的表达式即可求得点D的坐标． 【详解】（1）解：由题意得，点平移后落在反比例函数图象上的坐标为， ∴，解得． ∴反比例函数的表达式为； （2）解：由（1）知反比例函数的表达式为，且， ∴这个反比例函数图象上的四个格点分别为， 画出的反比例函数的图象见答案； （3）解：过点作于点E，如图所示， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴，代入，得， ∴． 24．（8分）如图，宽为的刻度尺的一边与轴重合，另一边经过反比例函数的图象上的一点，与轴交于点,，两点分别对应刻度尺上的读数为和．（其中刻度尺上的对应数轴上的个单位长度） (1)求该反比例函数的表达式． (2)为该反比例函数图象上异于点的一点． 若点的坐标为，求的值． 连接，过点作轴于点，则阴影部分面积，的大小关系为______．（填“”“”或“”） 【答案】(1) (2)       【分析】本题考查了求反比例函数的解析式以及系数的几何意义，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）由题意知：，将点坐标代入反比例函数解析式求出，即可解答； （2）将点的横坐标代入反比例函数解析式即可求出的值； 根据反比例系数的几何意义得，，再根据图形得，，即可求解． 【详解】（1）解：由题意知：， 将点代入，得：， 解得：， 反比例函数的表达式为； （2）解：将代入，得：； 点、在反比例函数上， 根据反比例系数的几何意义得：，，即， 设与交点为，如图所示： ，， ， 故答案为：． 25．（10分）【知识背景】杠杆原理：动力×动力臂=阻力×阻力臂，如图1，即．小明利用杠杆原理制作了一个称量物体质量的简易“秤”（如图2）． 【方案设计】第一步：在一根长度为的匀质细木杆上标上均匀的刻度（单位长度），在左侧末端处固定一个金属吊钩，作为秤钩，在离左侧末端处确定支点，并用细麻绳固定； 第二步：取一个质量为的金属物体作为秤砣．（备注：秤钩与秤砣绳长的质量忽略不计） 任务一：在图2中，把重物挂在秤钩上，秤砣挂在支点右侧的处，秤杆平衡，就能称得重物的质量．当重物的质量变化时，的长度随之变化．设重物的质量为，的长为．    (1)关于的函数关系式是________； (2)若，则的取值范围是________． 任务二：如图3，调换秤砣与重物的位置，把秤砣挂在秤钩上，重物挂在支点右侧的处，使秤杆平衡．设重物的质量为，的长为，完成下列问题： (3)关于的函数关系式是________； (4)完成下表： … 0.5 1 2 4 … … ________ ________ ________ ________ … 任务三：如图4，在离左侧末端处确定第二个支点．现有重物约，可选用支点，和秤砣（）、（）进行称量． (5)请通过计算确定：应选择哪个支点和哪个秤砣？并说明如何判断重物是否正好为． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)见解析； (5)选择支点Q和秤砣来秤重物，当秤砣移动到离支点Q的距离为处时，秤杆平衡说明重物正好为，如果不平衡说明重物不是 【分析】（1）根据即可求出关系式； （2）根据y的范围即可求得x的范围； （3）根据即可求出关系式； （4）将x的值分别代入求解即可； （5）根据题意分别选择支点O和Q计算，然后求解即可． 【详解】（1）解：∵ ∴； （2）解：∵ ∴ ∴； （3）解：∵ ∴ ∴； （4）解：根据题意得， … 0.5 1 2 4 … … 20 10 5 2.5 … （5）解：如图所示， 由题意知，，， 如果用支点O，则， （），不合题意，舍去； 如果用支点Q，则， ， 选择支点Q和秤砣来称重物，当秤砣移动到离支点Q的距离为处时，秤杆平衡说明重物正好为，如果不平衡说明重物不是． 26．（12分）如图，在平面直角坐标系中，为原点，的边垂直于轴，垂足为点，反比例函数的图象经过的中点，交于点，连接．点的坐标为，且． (1)求的值； (2)求线段所在直线对应的函数解析式； (3)设是线段上的动点（不与点，重合），过点且平行于轴的直线与反比例函数的图象交于点，求使面积最大的点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先根据题意得出，再根据中点坐标公式得出，再利用反比例函数图象上点的坐标特征，即横纵坐标之积等于，得到方程，解方程即可解答； （2）先得出，，再利用待定系数法即可解答； （3）先设，，再得出，进一步得出，最后利用二次函数的性质即可解答． 【详解】（1）解：，，且垂直于轴， ． 是的中点， ． 点，都在反比例函数的图象上， ，， 即， 解得， ． （2）解：由（1）可知，， ， ，． 设线段所在直线对应的函数解析式为， 故将，代入得，， 解得， 线段所在直线对应的函数解析式为． （3）解：如图， 由（1）知，，即反比例函数解析式为， 由（2）知，线段所在直线对应的函数解析式为， 故设，则根据题意可得，． 由（2）知，，， ． 点在点的上方， ， ． ，开口向下，且， 当时，面积最大， 此时，， ． 1 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $