专题01 整式的相关概念（题型专练）数学新教材人教版七年级上册

专题01 整式的相关概念 （题型突破·举一反三） 题型1 单项式的判断 题型2 单项式的系数、次数 题型3 写出满足某些特征的单项式 题型4 多项式的判断 题型5 多项式的项、项数或次数 题型6 多项式系数、指数中字母求值 题型7 将多项式按某个字母升幂（降幂）排列 题型8 识别整式（单项式与多项式的统称） ▌题型01 单项式的判断 1. 单项式的定义 由数与字母的积组成的代数式叫做单项式。单独的一个数或一个字母也是单项式。 如：，-5ab，7，y 都是单项式。 2. 判断单项式的关键 ① 式子中只有乘法运算（包括乘方），没有加减运算。 ② 分母中不含字母（分母含字母的是分式，不是单项式）。 ③ 单项式包含数字因数和字母因数两部分。 3. 常见易混淆式子 ①是单项式（可写成）。 ②不是单项式（分母含字母）。 ③不是单项式（含减法运算，是多项式）。 4. 易错提醒 ① 误认为含有分母的式子一定不是单项式（如是单项式）。 ② 误将多项式当作单项式（如 a+b、不是单项式）。 ③ 忽视单独一个数或一个字母也是单项式。 【典例1】（26-27七年级上·江苏无锡·阶段检测）给出下列式子：，．其中单项式的个数是（     ） A． B． C． D． 【变式1-1】（26-27七年级上·吉林长春·阶段检测）下列式子中，是单项式的是（     ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26七年级上·广东·阶段检测）下列各式中，是单项式的是（     ） A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26七年级上·上海·期中）在整式，，，，中，单项式的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-4】（26-27七年级上·全国·课后作业）判断下列代数式是不是单项式： (1)a； (2)； (3)； (4)； (5)． ▌题型02 单项式的系数、次数 1. 单项式的系数 单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。 如：的系数是 -3；的系数是。 2. 单项式的次数 单项式中所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。 如：的次数是 ，称为五次单项式。 3. 关于系数与次数的注意点 ①是常数，不是字母，计算系数时需保留在数字因数中（如的系数是）。 ② 字母的指数为 1 时不能遗漏（如 d的指数是 1）。 ③ 单项式的系数包含前面的符号。 4. 易错提醒 ① 误将计算为字母指数，导致次数错误。 ② 计算系数时遗漏分母（如的系数是）。 ③ 计算次数时漏加指数为1的字母。 【典例1】（26-27七年级上·新疆·期中）单项式 的系数和次数分别是（      ） A．﹣5和9 B．和9 C．和4 D．和10 【变式1-1】（26-27七年级上·黑龙江大庆·阶段检测）单项式的系数和次数分别是（ ） A．，5 B．3，5 C． ，6 D． ，3 【变式1-2】（26-27七年级上·江苏无锡·阶段检测）单项式的次数是________． 【变式1-3】（26-27七年级上·江苏扬州·期中）单项式的系数是___________． 【变式1-4】（26-27七年级上·四川·期中）单项式的系数是___________，次数是___________． ▌题型03 写出满足某些特征的单项式 1. 单项式的结构要素 一个单项式由“系数”和“字母部分”组成，字母部分的指数和即为单项式的次数。 2. 构造方法 ① 先写出符合要求的系数（注意正负号）。 ② 再写出要求的字母。 ③ 分配字母的指数，使所有字母的指数和等于要求的次数。 3. 常见题型示例 ① 写出系数为 -2，次数为 3，只含 x,y的单项式：或。 ② 写出系数为 5，次数为 4 的单项式：，等。 4. 易错提醒 ① 系数的符号写错。 ② 字母的指数和计算错误（漏算某个字母的指数）。 ③ 写出的式子含有加减运算，不属于单项式。 【典例1】（25-26七年级上·河南周口·期末）一个单项式的次数是，系数是，这个单项式可以是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（26-27七年级上·北京西城·阶段检测）请写出一个系数为，只含有字母和的三次单项式：________． 【变式1-2】（2026·河南平顶山·三模）请写出一个只含字母的三次单项式：________． 【变式1-3】（2026·河南三门峡·一模）若一个关于m，n的单项式的系数是，次数是5，则这个单项式可以是____________．（写出一个即可） 【变式1-4】（26-27七年级上·全国·课后作业）写出一个所含字母为x、y，并且次数为5的单项式． ▌题型04 多项式的判断 1. 多项式的定义 几个单项式的和叫做多项式。 如：是多项式。 2. 判断多项式的关键 ① 多项式由单项式相加（或相减，即加上相反数）而成。 ② 多项式中不含分母有字母的项。 ③ 多项式的每一项必须是单项式。 3. 多项式与单项式的区别 ① 单项式只有乘法运算，多项式含有加减运算。 ② 多项式是几个单项式的和，单项式是数与字母的积。 4. 易错提醒 ① 误将分式（如、）当作多项式。 ② 误将单项式当作多项式。 ③ 把含有“+”或“-”的式子都当作多项式（如不是多项式）。 【典例1】（26-27七年级上·全国·课后作业）下列代数式，，，，，，中，多项式有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式1-1】（25-26七年级上·广东江门·期末）下列代数式中，是多项式的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26七年级上·河北秦皇岛·期末）在代数式、、、5、、中，多项式有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式1-3】（25-26七年级上·湖北荆门·期中）式子 ，，，，，中，多项式有___________个． 【变式1-4】（25-26七年级上·河南新乡·期中）下列式子：①，②，③ ，④，⑤，⑥，属于多项式的有_______．（填序号） ▌题型05 多项式的项、项数或次数 1. 多项式的项 多项式中的每一个单项式叫做多项式的项。 ① 带有符号的项叫做“带符号的项”，如的项为、-2x、1。 ② 不含字母的项叫做常数项。 2. 多项式的项数 多项式中单项式的个数叫做多项式的项数。 如：的项数是 3，称为三项式。 3. 多项式的次数 多项式中次数最高的项的次数，叫做多项式的次数。 如：中，最高次项是（次数为 ），故该多项式是六次三项式。 4. 易错提醒 ① 找项时漏掉符号（如将 -2x 误认为 2x）。 ② 误将多项式的次数当作某一项的次数（应取最高次项的次数）。 ③ 遗漏常数项或漏算项数。 【典例1】（26-27七年级上·上海浦东新·阶段检测）多项式的项数和次数分别是（     ） A． B． C． D． 【变式1-1】（26-27七年级上·全国·单元测试）多项式的次数与常数项分别是_______、______． 【变式1-2】（26-27七年级上·上海青浦·阶段检测）整式是_________次三项式． 【变式1-3】（26-27七年级上·黑龙江大庆·阶段检测）多项式是____次____项式． 【变式1-4】（26-27七年级上·上海·阶段检测）代数式的三次项是__________． ▌题型06 多项式系数、指数中字母求值 1. 多项式次数与系数的应用 ① 根据多项式的次数确定最高次项中字母的指数。 ② 根据多项式的项数确定哪些项的系数为0。 2. 常见条件转化 ① “关于 x 的二次多项式” ⟹ 最高次项次数为 2，且三次项系数为 0。 ② “二次三项式” ⟹ 最高次项次数为 2，总项数为 3（即某些项系数为 0 需舍去）。 ③ “六次三项式” ⟹ 存在一项次数为 6，且只有 3 个非零项。 3. 求解步骤 ① 找出最高次项，令其次数等于给定的多项式次数，求相关字母。 ② 根据项数条件，令不符合项数的项的系数为 0，求相关字母。 ③ 代入计算所求代数式的值。 4. 易错提醒 ① 忽略“最高次项系数不为0”的条件。 ② 项数判断时未合并同类项或未排除系数为0的项。 ③ 含绝对值或平方的字母求值时漏解（注意正负两种情况）。 【典例1】（26-27七年级上·全国·课后作业）如果多项式是关于y的三次多项式，则（     ） A． B． C． D． 【变式1-1】（26-27七年级上·全国·周测）如果是一次多项式，那么________． 【变式1-2】（26-27七年级上·上海浦东新·阶段检测）已知是关于的二次三项式，那么_____． 【变式1-3】（25-26七年级上·湖南湘潭·期末）若多项式是关于的二次二项式，则________． 【变式1-4】（24-25七年级上·全国·期末）已知多项式是六次三项式，求代数式的值． ▌题型07 将多项式按某个字母升幂（降幂）排列 1. 升幂排列与降幂排列 ① 升幂排列：把多项式各项按某个字母的指数从小到大的顺序排列。 ② 降幂排列：把多项式各项按某个字母的指数从大到小的顺序排列。 2. 排列步骤 ① 明确按哪个字母排列。 ② 确定每一项中该字母的指数（不含该字母的项，指数为 0）。 ③ 带着项的符号，按指数大小重新排列。 3. 注意事项 ① 排列时，各项的符号必须跟着该项一起移动，不能改变符号。 ② 常数项（不含该字母的项）的指数为 0，在升幂排列中常排在最前面，在降幂排列中排在最后面。 4. 易错提醒 ① 移动项时漏带符号，导致符号错误。 ② 含多个字母的项，未找准指定字母的指数。 ③ 将常数项当作不含该项而直接省略。 【典例1】（26-27七年级上·上海宝山·阶段检测）将整式按字母y降幂排列得到________． 【变式1-1】（26-27七年级上·上海青浦·阶段检测）将按降幂排列是______． 【变式1-2】（26-27七年级上·上海·阶段检测）多项式按字母的升幂排列为________． 【变式1-3】（26-27七年级上·上海闵行·阶段检测）把多项式按照字母升幂排列时，从左到右第二项是：_____． 【变式1-4】（26-27七年级上·全国·课后作业）把多项式重新排列： (1)按x的升幂排列； (2)按x的降幂排列． ▌题型08 识别整式（单项式与多项式的统称） 1. 整式的定义 单项式和多项式统称为整式。 2. 判断整式的关键 ① 式子中分母不含字母。 ② 分母含字母的式子是分式，不是整式。 ③ 整式包含单项式（如）、多项式（如 x+1），以及单独的数字或字母。 3. 常见分类示例 ① 单项式：4xy，，，2026。 ② 多项式：，，。 ③ 不是整式：，，。 4. 易错提醒 ① 误认为含分母的式子一定不是整式（如是整式）。 ② 混淆与字母，误认为含的式子不是整式（是常数）。 ③ 将分式（分母含字母）误判为整式。 【典例1】（25-26七年级上·河南开封·期末）在代数式，中，整式有（   ） A．7个 B．6个 C．5个 D．4个 【变式1-1】（23-24七年级上·上海·阶段检测）在式子①，②，③，④，⑤中下列结论正确的是（     ） A．①、③是单项式 B．②、⑤是多项式 C．②④⑤都是多项式 D．都是整式 【变式1-2】（2024·山东威海·模拟预测）代数式，，，，，，中，整式的个数是（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式1-3】（25-26七年级上·云南红河·期末）关于整式的概念，下列说法中正确的是（   ） A．的次数是 B．是七次三项式 C．是单项式 D．的系数是 【变式1-4】（26-27七年级上·江苏无锡·阶段检测）对下列的代数式进行分类（填序号） ①②③④⑤⑥⑦⑧． 单项式：____________________________； 多项式：____________________________； 整式：____________________________． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 整式的相关概念 （题型突破·举一反三） 题型1 单项式的判断 题型2 单项式的系数、次数 题型3 写出满足某些特征的单项式 题型4 多项式的判断 题型5 多项式的项、项数或次数 题型6 多项式系数、指数中字母求值 题型7 将多项式按某个字母升幂（降幂）排列 题型8 识别整式（单项式与多项式的统称） ▌题型01 单项式的判断 1. 单项式的定义 由数与字母的积组成的代数式叫做单项式。单独的一个数或一个字母也是单项式。 如：，-5ab，7，y 都是单项式。 2. 判断单项式的关键 ① 式子中只有乘法运算（包括乘方），没有加减运算。 ② 分母中不含字母（分母含字母的是分式，不是单项式）。 ③ 单项式包含数字因数和字母因数两部分。 3. 常见易混淆式子 ①是单项式（可写成）。 ②不是单项式（分母含字母）。 ③不是单项式（含减法运算，是多项式）。 4. 易错提醒 ① 误认为含有分母的式子一定不是单项式（如是单项式）。 ② 误将多项式当作单项式（如 a+b、不是单项式）。 ③ 忽视单独一个数或一个字母也是单项式。 【典例1】 【答案】C 【详解】解：，，是单项式 ，不是单项式 ∴单项式共有3个． 【变式1-1】 【答案】B 【分析】数与字母的积叫做单项式．据此逐项分析判断即可． 【详解】解：A.，不是单项式，本选项不符合题意； B.，是单项式，本选项符合题意； C.的分母中含字母，不是整式，故不是单项式，本选项不符合题意； D.，不是单项式，本选项不符合题意． 【变式1-2】 【答案】B 【分析】数与字母的乘积叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式，据此逐项判断即可． 【详解】解：A、不是字母的乘积，不是单项式，故本选项不合题意； B、是数与字母的乘积，是单项式，故本选项符合题意； C、不是字母的乘积，不是单项式，故本选项不合题意； D、不是字母的乘积，不是单项式，故本选项不合题意． 【变式1-3】 【答案】C 【分析】本题考查单项式的定义，解题思路为根据单项式定义逐个判断题干中的整式，统计单项式个数即可得到答案，单项式定义为：由数与字母的乘积组成的代数式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式，几个单项式的和为多项式． 【详解】解：∵是数与字母的乘积，是单项式 ∵，是两个单项式的差，属于多项式，不是单项式 ∵是数与字母的乘积，是单项式 ∵是单独的一个字母，是单项式 ∵是单项式和单项式的和，属于多项式，不是单项式 综上，单项式共有个，因此选C． 【变式1-4】 【答案】(1)是单项式 (2)是单项式 (3)不是单项式 (4)是单项式 (5)是单项式 【分析】由数或字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式，据此求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 （4）略 （5）略 ▌题型02 单项式的系数、次数 1. 单项式的系数 单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。 如：的系数是 -3；的系数是。 2. 单项式的次数 单项式中所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。 如：的次数是 ，称为五次单项式。 3. 关于系数与次数的注意点 ①是常数，不是字母，计算系数时需保留在数字因数中（如的系数是）。 ② 字母的指数为 1 时不能遗漏（如 d的指数是 1）。 ③ 单项式的系数包含前面的符号。 4. 易错提醒 ① 误将计算为字母指数，导致次数错误。 ② 计算系数时遗漏分母（如的系数是）。 ③ 计算次数时漏加指数为1的字母。 【典例1】 【答案】D 【分析】本题考查单项式的系数和次数概念．系数是单项式中的数字因数（注意负号），次数是所有字母指数之和．需逐一计算字母的指数并求和，同时注意系数不要遗漏符号和分母． 【详解】解：单项式为 ，数字因数为 ，所以系数是 ． 字母为 ，指数分别为 （注意 的指数为 1），所有指数和为 ，所以次数是 10． 故选：． 【变式1-1】 【答案】A 【详解】解：单项式的数字因数是，所以系数是； 所有字母指数的和是，所以次数是5． 【变式1-2】 【答案】 【分析】明确单项式次数为单项式中所有字母的指数和，是常数，不是字母，不需要计入次数，只需计算和的指数和即可． 【详解】∵ 单项式中，是常数，只有和是字母，的指数为，的指数为， ∴ 单项式的次数为． 【变式1-3】 【答案】 【详解】解：∵单项式的数字因数是， ∴此单项式的系数是． 【变式1-4】 【答案】 3 【分析】根据单项式的系数是单项式中的数字因数，包括符号；次数是所有字母的指数之和，进行求解即可． 【详解】单项式的数字因数为，即系数是； 字母和的指数分别为2和1，其和为，即次数是3． ▌题型03 写出满足某些特征的单项式 1. 单项式的结构要素 一个单项式由“系数”和“字母部分”组成，字母部分的指数和即为单项式的次数。 2. 构造方法 ① 先写出符合要求的系数（注意正负号）。 ② 再写出要求的字母。 ③ 分配字母的指数，使所有字母的指数和等于要求的次数。 3. 常见题型示例 ① 写出系数为 -2，次数为 3，只含 x,y的单项式：或。 ② 写出系数为 5，次数为 4 的单项式：，等。 4. 易错提醒 ① 系数的符号写错。 ② 字母的指数和计算错误（漏算某个字母的指数）。 ③ 写出的式子含有加减运算，不属于单项式。 【典例1】 【答案】C 【分析】单项式的系数是其数字因数，次数是所有字母的指数和． 【详解】解：A选项：系数为2，次数为，不符合要求； B选项：系数为3，次数为2，不符合要求； C选项：系数为，次数为，符合要求； D选项：系数为，次数为1，不符合要求． 【变式1-1】 【答案】（或） 【分析】已知系数为，单项式只含字母和，次数为，根据单项式系数与次数的定义构造即可． 【详解】解：∵系数为，只含有字母和的三次单项式， ∴，符合要求． 【变式1-2】 【答案】（答案不唯一） 【分析】只要写出的单项式只含有字母，并且所有字母的指数和为即可． 【详解】解：∵只含的三次单项式， ∴只需满足和的指数和为，且系数不为即可， 例如中，指数为，指数为，指数和，符合要求． 【变式1-3】 【答案】 （答案不唯一） 【分析】根据单项式系数是单项式中的数字因数，次数是所有字母的指数之和，即可写出符合要求的单项式. 【详解】解：由题意可知，单项式的系数为，次数为，即，的指数之和为； 故单项式可以为（答案不唯一） 【变式1-4】 【答案】 （答案不唯一） 【分析】根据单项式的定义，只要写成和积的形式，且和的次数之和为5即可． 【详解】略． ▌题型04 多项式的判断 1. 多项式的定义 几个单项式的和叫做多项式。 如：是多项式。 2. 判断多项式的关键 ① 多项式由单项式相加（或相减，即加上相反数）而成。 ② 多项式中不含分母有字母的项。 ③ 多项式的每一项必须是单项式。 3. 多项式与单项式的区别 ① 单项式只有乘法运算，多项式含有加减运算。 ② 多项式是几个单项式的和，单项式是数与字母的积。 4. 易错提醒 ① 误将分式（如、）当作多项式。 ② 误将单项式当作多项式。 ③ 把含有“+”或“-”的式子都当作多项式（如不是多项式）。 【典例1】 【答案】C 【详解】解：、、、为单项式； 分母含字母，不是整式，不属于多项式， 、为多项式，故有2个． 【变式1-1】 【答案】B 【分析】本题考查单项式与多项式的定义，明确“多项式是几个单项式的和”这一概念，据此区分单项式与多项式． 【详解】解：A：是数与字母的积，属于单项式； B：是两个单项式与的和，属于多项式； C：是数与字母的积，属于单项式； D：是数与字母的积，属于单项式； 故选：B． 【变式1-2】 【答案】B 【分析】本题考查多项式的判断，根据多项式的定义，几个单项式的和的形式，进行判断即可． 【详解】解：在代数式、、、5、、中，多项式有、、，共3个； 故选B． 【变式1-3】 【答案】3 【分析】本题考查了多项式的定义，根据多项式的定义，分母中不含变量且变量指数为非负整数的代数式为多项式，逐个判断给定式子即可，熟练掌握多项式的定义是解此题的关键． 【详解】解：式子可化为，分母为常数，故为多项式； 中系数为字母，非常数，为单项式，故不是多项式； 分母含变量，故不是多项式； 为多项式； 分母含变量，故不是多项式； 为多项式， 因此多项式有，，，共3个， 故答案为：3． 【变式1-4】 【答案】①③/③① 【分析】根据多项式的定义，几个单项式的和叫做多项式，逐一判断每个式子是否可表示为单项式的和． 【详解】解：① ，是单项式和的和，因此是多项式； ②分母中含有字母，是分式，不是多项式； ③ 是单项式、和的和，因此是多项式； ④是单项式； ⑤是常数，是单项式； ⑥分母中含有字母，不是多项式； 综上，属于多项式的有①③． ▌题型05 多项式的项、项数或次数 1. 多项式的项 多项式中的每一个单项式叫做多项式的项。 ① 带有符号的项叫做“带符号的项”，如的项为、-2x、1。 ② 不含字母的项叫做常数项。 2. 多项式的项数 多项式中单项式的个数叫做多项式的项数。 如：的项数是 3，称为三项式。 3. 多项式的次数 多项式中次数最高的项的次数，叫做多项式的次数。 如：中，最高次项是（次数为 ），故该多项式是六次三项式。 4. 易错提醒 ① 找项时漏掉符号（如将 -2x 误认为 2x）。 ② 误将多项式的次数当作某一项的次数（应取最高次项的次数）。 ③ 遗漏常数项或漏算项数。 【典例1】 【答案】A 【分析】先合并同类项，再统计项数，取最高次项的次数作为多项式的次数． 【详解】解：∵， ∴项数为，各项次数为：的次数为，的次数为，的次数为，的次数为， ∴最高次数为． 【变式1-1】 【答案】 3 【详解】解：该多项式的最高次项的次数是3，即该多项式的次数为3，常数项是． 【变式1-2】 【答案】五 【分析】确定多项式的次数，需先计算每一项的次数，取最高次项的次数作为多项式的次数． 【详解】解：原整式的各项分别为，，， 计算各项的次数：的次数为，的次数为，是常数项，次数为，最高次数为， 因此该整式是五次三项式． 【变式1-3】 【答案】 三 四 【详解】解：多项式中每个单项式叫做多项式的项，次数最高的项的次数就是多项式的次数． 分别计算多项式中各项的次数： 的次数为， 的次数为， 的次数为， 是常数项，次数为， ∵最高次项的次数是，多项式中共有个单项式． ∴该多项式是三次四项式． 【变式1-4】 【答案】 【分析】先将原式拆分得到各个单项式，再计算每个单项式的次数，找出次数为的项即可． 【详解】解： 的次数为，的次数为，的次数为，是常数项，次数为， 因此该代数式的三次项是． ▌题型06 多项式系数、指数中字母求值 1. 多项式次数与系数的应用 ① 根据多项式的次数确定最高次项中字母的指数。 ② 根据多项式的项数确定哪些项的系数为0。 2. 常见条件转化 ① “关于 x 的二次多项式” ⟹ 最高次项次数为 2，且三次项系数为 0。 ② “二次三项式” ⟹ 最高次项次数为 2，总项数为 3（即某些项系数为 0 需舍去）。 ③ “六次三项式” ⟹ 存在一项次数为 6，且只有 3 个非零项。 3. 求解步骤 ① 找出最高次项，令其次数等于给定的多项式次数，求相关字母。 ② 根据项数条件，令不符合项数的项的系数为 0，求相关字母。 ③ 代入计算所求代数式的值。 4. 易错提醒 ① 忽略“最高次项系数不为0”的条件。 ② 项数判断时未合并同类项或未排除系数为0的项。 ③ 含绝对值或平方的字母求值时漏解（注意正负两种情况）。 【典例1】 【答案】C 【分析】直接利用多项式的次数与系数确定方法得出a，b的值进而得出答案． 【详解】解：∵多项式是关于的三次多项式， ∴的最高次数为3，且最高次项合并后系数不为0； 选项A：，三次项合并后系数为，不符合； 选项B：，第一项为四次项，关于y的多项式次数为4，不符合； 选项C：，第一项系数为，最高次项为，符合要求； 选项D：，多项式最高次数为1，不符合． 【变式1-1】 【答案】/0.5 【分析】因为该多项式是一次多项式，所以最高次项的次数等于1，由此建立关于a的方程．求解上述方程得到a的值． 【详解】∵是一次多项式， ∴， ∴． 【变式1-2】 【答案】 【分析】根据二次三项式的定义，多项式最高次数为，且共有项，据此确定和的值再计算． 【详解】解：∵是关于的二次三项式， ∴多项式中不能存在三次项，且最高次项的次数为， ∴，， 解得， 将，代入得：． 【变式1-3】 【答案】 【分析】根据二次二项式的定义，最高次数为，且多项式只含两项，据此确定和的值，再计算即可． 【详解】解：∵多项式是关于的二次二项式． ∴多项式的最高次数为，可得． ∵多项式为二项式，即总共只有个非零项，最高次项系数，常数项． ∴一次项的系数为，即， 解得． ∴． 【变式1-4】 【答案】 【分析】首先根据多项式是六次三项式确定的值，再代入代数式计算即可． 【详解】解：∵是六次三项式， ∴，且， 即 ，且， 当时，； 当时，； 综上，代数式的值为． ▌题型07 将多项式按某个字母升幂（降幂）排列 1. 升幂排列与降幂排列 ① 升幂排列：把多项式各项按某个字母的指数从小到大的顺序排列。 ② 降幂排列：把多项式各项按某个字母的指数从大到小的顺序排列。 2. 排列步骤 ① 明确按哪个字母排列。 ② 确定每一项中该字母的指数（不含该字母的项，指数为 0）。 ③ 带着项的符号，按指数大小重新排列。 3. 注意事项 ① 排列时，各项的符号必须跟着该项一起移动，不能改变符号。 ② 常数项（不含该字母的项）的指数为 0，在升幂排列中常排在最前面，在降幂排列中排在最后面。 4. 易错提醒 ① 移动项时漏带符号，导致符号错误。 ② 含多个字母的项，未找准指定字母的指数。 ③ 将常数项当作不含该项而直接省略。 【典例1】 【答案】 【详解】解：整式按的指数降幂排列得． 【变式1-1】 【答案】 【分析】按降幂排列要求将多项式各项按的次数从高到低排序，先确定每一项的次数，再排序即可． 【详解】解：先确定多项式各项中的次数， 中的次数为， 中的次数为， 中的次数为， 中的次数为， 将各项按的次数从高到低排列，得到最终结果为． 【变式1-2】 【答案】 【分析】按字母的升幂排列，就是将多项式各项按的指数从小到大重新排列，保留各项原有符号即可得到结果． 【详解】解：先确定原多项式各项中字母的指数， 项中，的指数为 项中，的指数为 项中，的指数为 项中，的指数为 按的指数从小到大排列各项，得到最终结果为：． 【变式1-3】 【答案】 【详解】解：把多项式按照字母升幂排列为， 即从左到右第二项是． 【变式1-4】 【答案】(1) (2) 【分析】（1）按x的指数从小到大的顺序排列即可； （2）按x的指数从大到小的顺序排列即可． 【详解】（1）解：按x的升幂排列如下：； （2）解：按x的降幂排列如下：． ▌题型08 识别整式（单项式与多项式的统称） 1. 整式的定义 单项式和多项式统称为整式。 2. 判断整式的关键 ① 式子中分母不含字母。 ② 分母含字母的式子是分式，不是整式。 ③ 整式包含单项式（如）、多项式（如 x+1），以及单独的数字或字母。 3. 常见分类示例 ① 单项式：4xy，，，2026。 ② 多项式：，，。 ③ 不是整式：，，。 4. 易错提醒 ① 误认为含分母的式子一定不是整式（如是整式）。 ② 混淆与字母，误认为含的式子不是整式（是常数）。 ③ 将分式（分母含字母）误判为整式。 【典例1】 【答案】C 【分析】本题主要考查了整式的定义，熟练掌握整式的定义（分母中不含字母）是解题的关键．本题需根据整式的定义（整式为单项式和多项式的统称，分母中不含字母），逐一判断每个代数式是否为整式，统计符合条件的个数即可． 【详解】解：整式是单项式与多项式的统称，且整式的分母中不含字母， 对各代数式判断如下： 是多项式，属于整式； 是多项式，属于整式； 是单独的常数，属于单项式，是整式； 分母含字母，不是整式； 中分母含字母，不是整式； 是单独的常数，属于单项式，是整式； 是单项式，属于整式； 综上，整式共有5个． 故选：C． 【变式1-1】 【答案】B 【分析】根据定义逐个判断各代数式的类型，再对比选项得到正确结论． 【详解】①是数与字母的积，是单项式，属于整式； ②是两个单项式的差，是多项式，属于整式； ③分母含有字母a，是分式，不是单项式； ④分母含有字母，是分式，不是多项式； ⑤中分母是常数，属于单项式，因此原式是三个单项式的和，是多项式， ∴A选项中③不是单项式，错误； B选项中②⑤都是多项式，正确； C选项中④不是多项式，错误； D选项中③④是分式，不是整式，错误． 【变式1-2】 【答案】D 【分析】根据整式的定义，判断各代数式分母是否含字母，统计符合条件的个数即可． 【详解】解：的分母含字母，不是整式，，，，，是单项式，属于整式， 是多项式，属于整式， 综上所述，整式的个数共6个． 【变式1-3】 【答案】D 【分析】根据单项式的次数为单项式中所有字母的指数和，单项式的系数为单项式中的数字因数，多项式的次数为多项式中最高次项的次数，分母含有字母的式子不是整式，也不是单项式，即可逐一判断． 【详解】解：A 、的次数是，A错误； B、是五次三项式，B错误； C、分母含有字母，不是单项式，C错误； D、的系数是，D正确． 【变式1-4】 【答案】单项式：①③⑤； 多项式：②⑥⑧； 整式：①②③⑤⑥⑧． 【分析】由数或字母的乘积组成的代数式，单独的一个数或一个字母叫做单项式；几个单项式的和叫做多项式；单项式和多项式统称为整式，整式的分母中不含字母．根据单项式，多项式，整式的定义分类，需要注意是常数，分母含有字母的代数式不属于整式． 【详解】解：①是数与字母的乘积，是单项式，属于整式； ②是两个单项式的和，是多项式，属于整式； ③可写成，是数与字母的乘积，是单项式，属于整式； ④分母含有字母，不是单项式，也不是多项式，不属于整式； ⑤中是常数，属于单独的数，因此是单项式，属于整式； ⑥是三个单项式的和，是多项式，属于整式； ⑦分母含有字母，不是单项式，也不是多项式，不属于整式； ⑧可写成，是两个单项式的和，是多项式，属于整式． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 整式的相关概念 （题型突破·举一反三） 题型1 单项式的判断 题型2 单项式的系数、次数 题型3 写出满足某些特征的单项式 题型4 多项式的判断 题型5 多项式的项、项数或次数 题型6 多项式系数、指数中字母求值 题型7 将多项式按某个字母升幂（降幂）排列 题型8 识别整式（单项式与多项式的统称） ▌题型01 单项式的判断 1. 单项式的定义 由数与字母的积组成的代数式叫做单项式。单独的一个数或一个字母也是单项式。 如：，-5ab，7，y 都是单项式。 2. 判断单项式的关键 ① 式子中只有乘法运算（包括乘方），没有加减运算。 ② 分母中不含字母（分母含字母的是分式，不是单项式）。 ③ 单项式包含数字因数和字母因数两部分。 3. 常见易混淆式子 ①是单项式（可写成）。 ②不是单项式（分母含字母）。 ③不是单项式（含减法运算，是多项式）。 4. 易错提醒 ① 误认为含有分母的式子一定不是单项式（如是单项式）。 ② 误将多项式当作单项式（如 a+b、不是单项式）。 ③ 忽视单独一个数或一个字母也是单项式。 【典例1】（26-27七年级上·江苏无锡·阶段检测）给出下列式子：，．其中单项式的个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：，，是单项式 ，不是单项式 ∴单项式共有3个． 【变式1-1】（26-27七年级上·吉林长春·阶段检测）下列式子中，是单项式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】数与字母的积叫做单项式．据此逐项分析判断即可． 【详解】解：A.，不是单项式，本选项不符合题意； B.，是单项式，本选项符合题意； C.的分母中含字母，不是整式，故不是单项式，本选项不符合题意； D.，不是单项式，本选项不符合题意． 【变式1-2】（25-26七年级上·广东·阶段检测）下列各式中，是单项式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】数与字母的乘积叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式，据此逐项判断即可． 【详解】解：A、不是字母的乘积，不是单项式，故本选项不合题意； B、是数与字母的乘积，是单项式，故本选项符合题意； C、不是字母的乘积，不是单项式，故本选项不合题意； D、不是字母的乘积，不是单项式，故本选项不合题意． 【变式1-3】（25-26七年级上·上海·期中）在整式，，，，中，单项式的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查单项式的定义，解题思路为根据单项式定义逐个判断题干中的整式，统计单项式个数即可得到答案，单项式定义为：由数与字母的乘积组成的代数式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式，几个单项式的和为多项式． 【详解】解：∵是数与字母的乘积，是单项式 ∵，是两个单项式的差，属于多项式，不是单项式 ∵是数与字母的乘积，是单项式 ∵是单独的一个字母，是单项式 ∵是单项式和单项式的和，属于多项式，不是单项式 综上，单项式共有个，因此选C． 【变式1-4】（26-27七年级上·全国·课后作业）判断下列代数式是不是单项式： (1)a； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1)是单项式 (2)是单项式 (3)不是单项式 (4)是单项式 (5)是单项式 【分析】由数或字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式，据此求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 （4）略 （5）略 ▌题型02 单项式的系数、次数 1. 单项式的系数 单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。 如：的系数是 -3；的系数是。 2. 单项式的次数 单项式中所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。 如：的次数是 ，称为五次单项式。 3. 关于系数与次数的注意点 ①是常数，不是字母，计算系数时需保留在数字因数中（如的系数是）。 ② 字母的指数为 1 时不能遗漏（如 d的指数是 1）。 ③ 单项式的系数包含前面的符号。 4. 易错提醒 ① 误将计算为字母指数，导致次数错误。 ② 计算系数时遗漏分母（如的系数是）。 ③ 计算次数时漏加指数为1的字母。 【典例1】（26-27七年级上·新疆·期中）单项式 的系数和次数分别是（      ） A．﹣5和9 B．和9 C．和4 D．和10 【答案】D 【分析】本题考查单项式的系数和次数概念．系数是单项式中的数字因数（注意负号），次数是所有字母指数之和．需逐一计算字母的指数并求和，同时注意系数不要遗漏符号和分母． 【详解】解：单项式为 ，数字因数为 ，所以系数是 ． 字母为 ，指数分别为 （注意 的指数为 1），所有指数和为 ，所以次数是 10． 故选：． 【变式1-1】（26-27七年级上·黑龙江大庆·阶段检测）单项式的系数和次数分别是（ ） A．，5 B．3，5 C． ，6 D． ，3 【答案】A 【详解】解：单项式的数字因数是，所以系数是； 所有字母指数的和是，所以次数是5． 【变式1-2】（26-27七年级上·江苏无锡·阶段检测）单项式的次数是________． 【答案】 【分析】明确单项式次数为单项式中所有字母的指数和，是常数，不是字母，不需要计入次数，只需计算和的指数和即可． 【详解】∵ 单项式中，是常数，只有和是字母，的指数为，的指数为， ∴ 单项式的次数为． 【变式1-3】（26-27七年级上·江苏扬州·期中）单项式的系数是___________． 【答案】 【详解】解：∵单项式的数字因数是， ∴此单项式的系数是． 【变式1-4】（26-27七年级上·四川·期中）单项式的系数是___________，次数是___________． 【答案】 3 【分析】根据单项式的系数是单项式中的数字因数，包括符号；次数是所有字母的指数之和，进行求解即可． 【详解】单项式的数字因数为，即系数是； 字母和的指数分别为2和1，其和为，即次数是3． ▌题型03 写出满足某些特征的单项式 1. 单项式的结构要素 一个单项式由“系数”和“字母部分”组成，字母部分的指数和即为单项式的次数。 2. 构造方法 ① 先写出符合要求的系数（注意正负号）。 ② 再写出要求的字母。 ③ 分配字母的指数，使所有字母的指数和等于要求的次数。 3. 常见题型示例 ① 写出系数为 -2，次数为 3，只含 x,y的单项式：或。 ② 写出系数为 5，次数为 4 的单项式：，等。 4. 易错提醒 ① 系数的符号写错。 ② 字母的指数和计算错误（漏算某个字母的指数）。 ③ 写出的式子含有加减运算，不属于单项式。 【典例1】（25-26七年级上·河南周口·期末）一个单项式的次数是，系数是，这个单项式可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】单项式的系数是其数字因数，次数是所有字母的指数和． 【详解】解：A选项：系数为2，次数为，不符合要求； B选项：系数为3，次数为2，不符合要求； C选项：系数为，次数为，符合要求； D选项：系数为，次数为1，不符合要求． 【变式1-1】（26-27七年级上·北京西城·阶段检测）请写出一个系数为，只含有字母和的三次单项式：________． 【答案】（或） 【分析】已知系数为，单项式只含字母和，次数为，根据单项式系数与次数的定义构造即可． 【详解】解：∵系数为，只含有字母和的三次单项式， ∴，符合要求． 【变式1-2】（2026·河南平顶山·三模）请写出一个只含字母的三次单项式：________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】只要写出的单项式只含有字母，并且所有字母的指数和为即可． 【详解】解：∵只含的三次单项式， ∴只需满足和的指数和为，且系数不为即可， 例如中，指数为，指数为，指数和，符合要求． 【变式1-3】（2026·河南三门峡·一模）若一个关于m，n的单项式的系数是，次数是5，则这个单项式可以是____________．（写出一个即可） 【答案】 （答案不唯一） 【分析】根据单项式系数是单项式中的数字因数，次数是所有字母的指数之和，即可写出符合要求的单项式. 【详解】解：由题意可知，单项式的系数为，次数为，即，的指数之和为； 故单项式可以为（答案不唯一） 【变式1-4】（26-27七年级上·全国·课后作业）写出一个所含字母为x、y，并且次数为5的单项式． 【答案】 （答案不唯一） 【分析】根据单项式的定义，只要写成和积的形式，且和的次数之和为5即可． 【详解】略． ▌题型04 多项式的判断 1. 多项式的定义 几个单项式的和叫做多项式。 如：是多项式。 2. 判断多项式的关键 ① 多项式由单项式相加（或相减，即加上相反数）而成。 ② 多项式中不含分母有字母的项。 ③ 多项式的每一项必须是单项式。 3. 多项式与单项式的区别 ① 单项式只有乘法运算，多项式含有加减运算。 ② 多项式是几个单项式的和，单项式是数与字母的积。 4. 易错提醒 ① 误将分式（如、）当作多项式。 ② 误将单项式当作多项式。 ③ 把含有“+”或“-”的式子都当作多项式（如不是多项式）。 【典例1】（26-27七年级上·全国·课后作业）下列代数式，，，，，，中，多项式有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【详解】解：、、、为单项式； 分母含字母，不是整式，不属于多项式， 、为多项式，故有2个． 【变式1-1】（25-26七年级上·广东江门·期末）下列代数式中，是多项式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查单项式与多项式的定义，明确“多项式是几个单项式的和”这一概念，据此区分单项式与多项式． 【详解】解：A：是数与字母的积，属于单项式； B：是两个单项式与的和，属于多项式； C：是数与字母的积，属于单项式； D：是数与字母的积，属于单项式； 故选：B． 【变式1-2】（25-26七年级上·河北秦皇岛·期末）在代数式、、、5、、中，多项式有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查多项式的判断，根据多项式的定义，几个单项式的和的形式，进行判断即可． 【详解】解：在代数式、、、5、、中，多项式有、、，共3个； 故选B． 【变式1-3】（25-26七年级上·湖北荆门·期中）式子 ，，，，，中，多项式有___________个． 【答案】3 【分析】本题考查了多项式的定义，根据多项式的定义，分母中不含变量且变量指数为非负整数的代数式为多项式，逐个判断给定式子即可，熟练掌握多项式的定义是解此题的关键． 【详解】解：式子可化为，分母为常数，故为多项式； 中系数为字母，非常数，为单项式，故不是多项式； 分母含变量，故不是多项式； 为多项式； 分母含变量，故不是多项式； 为多项式， 因此多项式有，，，共3个， 故答案为：3． 【变式1-4】（25-26七年级上·河南新乡·期中）下列式子：①，②，③ ，④，⑤，⑥，属于多项式的有_______．（填序号） 【答案】①③/③① 【分析】根据多项式的定义，几个单项式的和叫做多项式，逐一判断每个式子是否可表示为单项式的和． 【详解】解：① ，是单项式和的和，因此是多项式； ②分母中含有字母，是分式，不是多项式； ③ 是单项式、和的和，因此是多项式； ④是单项式； ⑤是常数，是单项式； ⑥分母中含有字母，不是多项式； 综上，属于多项式的有①③． ▌题型05 多项式的项、项数或次数 1. 多项式的项 多项式中的每一个单项式叫做多项式的项。 ① 带有符号的项叫做“带符号的项”，如的项为、-2x、1。 ② 不含字母的项叫做常数项。 2. 多项式的项数 多项式中单项式的个数叫做多项式的项数。 如：的项数是 3，称为三项式。 3. 多项式的次数 多项式中次数最高的项的次数，叫做多项式的次数。 如：中，最高次项是（次数为 ），故该多项式是六次三项式。 4. 易错提醒 ① 找项时漏掉符号（如将 -2x 误认为 2x）。 ② 误将多项式的次数当作某一项的次数（应取最高次项的次数）。 ③ 遗漏常数项或漏算项数。 【典例1】（26-27七年级上·上海浦东新·阶段检测）多项式的项数和次数分别是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先合并同类项，再统计项数，取最高次项的次数作为多项式的次数． 【详解】解：∵， ∴项数为，各项次数为：的次数为，的次数为，的次数为，的次数为， ∴最高次数为． 【变式1-1】（26-27七年级上·全国·单元测试）多项式的次数与常数项分别是_______、______． 【答案】 3 【详解】解：该多项式的最高次项的次数是3，即该多项式的次数为3，常数项是． 【变式1-2】（26-27七年级上·上海青浦·阶段检测）整式是_________次三项式． 【答案】五 【分析】确定多项式的次数，需先计算每一项的次数，取最高次项的次数作为多项式的次数． 【详解】解：原整式的各项分别为，，， 计算各项的次数：的次数为，的次数为，是常数项，次数为，最高次数为， 因此该整式是五次三项式． 【变式1-3】（26-27七年级上·黑龙江大庆·阶段检测）多项式是____次____项式． 【答案】 三 四 【详解】解：多项式中每个单项式叫做多项式的项，次数最高的项的次数就是多项式的次数． 分别计算多项式中各项的次数： 的次数为， 的次数为， 的次数为， 是常数项，次数为， ∵最高次项的次数是，多项式中共有个单项式． ∴该多项式是三次四项式． 【变式1-4】（26-27七年级上·上海·阶段检测）代数式的三次项是__________． 【答案】 【分析】先将原式拆分得到各个单项式，再计算每个单项式的次数，找出次数为的项即可． 【详解】解： 的次数为，的次数为，的次数为，是常数项，次数为， 因此该代数式的三次项是． ▌题型06 多项式系数、指数中字母求值 1. 多项式次数与系数的应用 ① 根据多项式的次数确定最高次项中字母的指数。 ② 根据多项式的项数确定哪些项的系数为0。 2. 常见条件转化 ① “关于 x 的二次多项式” ⟹ 最高次项次数为 2，且三次项系数为 0。 ② “二次三项式” ⟹ 最高次项次数为 2，总项数为 3（即某些项系数为 0 需舍去）。 ③ “六次三项式” ⟹ 存在一项次数为 6，且只有 3 个非零项。 3. 求解步骤 ① 找出最高次项，令其次数等于给定的多项式次数，求相关字母。 ② 根据项数条件，令不符合项数的项的系数为 0，求相关字母。 ③ 代入计算所求代数式的值。 4. 易错提醒 ① 忽略“最高次项系数不为0”的条件。 ② 项数判断时未合并同类项或未排除系数为0的项。 ③ 含绝对值或平方的字母求值时漏解（注意正负两种情况）。 【典例1】（26-27七年级上·全国·课后作业）如果多项式是关于y的三次多项式，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接利用多项式的次数与系数确定方法得出a，b的值进而得出答案． 【详解】解：∵多项式是关于的三次多项式， ∴的最高次数为3，且最高次项合并后系数不为0； 选项A：，三次项合并后系数为，不符合； 选项B：，第一项为四次项，关于y的多项式次数为4，不符合； 选项C：，第一项系数为，最高次项为，符合要求； 选项D：，多项式最高次数为1，不符合． 【变式1-1】（26-27七年级上·全国·周测）如果是一次多项式，那么________． 【答案】/0.5 【分析】因为该多项式是一次多项式，所以最高次项的次数等于1，由此建立关于a的方程．求解上述方程得到a的值． 【详解】∵是一次多项式， ∴， ∴． 【变式1-2】（26-27七年级上·上海浦东新·阶段检测）已知是关于的二次三项式，那么_____． 【答案】 【分析】根据二次三项式的定义，多项式最高次数为，且共有项，据此确定和的值再计算． 【详解】解：∵是关于的二次三项式， ∴多项式中不能存在三次项，且最高次项的次数为， ∴，， 解得， 将，代入得：． 【变式1-3】（25-26七年级上·湖南湘潭·期末）若多项式是关于的二次二项式，则________． 【答案】 【分析】根据二次二项式的定义，最高次数为，且多项式只含两项，据此确定和的值，再计算即可． 【详解】解：∵多项式是关于的二次二项式． ∴多项式的最高次数为，可得． ∵多项式为二项式，即总共只有个非零项，最高次项系数，常数项． ∴一次项的系数为，即， 解得． ∴． 【变式1-4】（24-25七年级上·全国·期末）已知多项式是六次三项式，求代数式的值． 【答案】 【分析】首先根据多项式是六次三项式确定的值，再代入代数式计算即可． 【详解】解：∵是六次三项式， ∴，且， 即 ，且， 当时，； 当时，； 综上，代数式的值为． ▌题型07 将多项式按某个字母升幂（降幂）排列 1. 升幂排列与降幂排列 ① 升幂排列：把多项式各项按某个字母的指数从小到大的顺序排列。 ② 降幂排列：把多项式各项按某个字母的指数从大到小的顺序排列。 2. 排列步骤 ① 明确按哪个字母排列。 ② 确定每一项中该字母的指数（不含该字母的项，指数为 0）。 ③ 带着项的符号，按指数大小重新排列。 3. 注意事项 ① 排列时，各项的符号必须跟着该项一起移动，不能改变符号。 ② 常数项（不含该字母的项）的指数为 0，在升幂排列中常排在最前面，在降幂排列中排在最后面。 4. 易错提醒 ① 移动项时漏带符号，导致符号错误。 ② 含多个字母的项，未找准指定字母的指数。 ③ 将常数项当作不含该项而直接省略。 【典例1】（26-27七年级上·上海宝山·阶段检测）将整式按字母y降幂排列得到________． 【答案】 【详解】解：整式按的指数降幂排列得． 【变式1-1】（26-27七年级上·上海青浦·阶段检测）将按降幂排列是______． 【答案】 【分析】按降幂排列要求将多项式各项按的次数从高到低排序，先确定每一项的次数，再排序即可． 【详解】解：先确定多项式各项中的次数， 中的次数为， 中的次数为， 中的次数为， 中的次数为， 将各项按的次数从高到低排列，得到最终结果为． 【变式1-2】（26-27七年级上·上海·阶段检测）多项式按字母的升幂排列为________． 【答案】 【分析】按字母的升幂排列，就是将多项式各项按的指数从小到大重新排列，保留各项原有符号即可得到结果． 【详解】解：先确定原多项式各项中字母的指数， 项中，的指数为 项中，的指数为 项中，的指数为 项中，的指数为 按的指数从小到大排列各项，得到最终结果为：． 【变式1-3】（26-27七年级上·上海闵行·阶段检测）把多项式按照字母升幂排列时，从左到右第二项是：_____． 【答案】 【详解】解：把多项式按照字母升幂排列为， 即从左到右第二项是． 【变式1-4】（26-27七年级上·全国·课后作业）把多项式重新排列： (1)按x的升幂排列； (2)按x的降幂排列． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）按x的指数从小到大的顺序排列即可； （2）按x的指数从大到小的顺序排列即可． 【详解】（1）解：按x的升幂排列如下：； （2）解：按x的降幂排列如下：． ▌题型08 识别整式（单项式与多项式的统称） 1. 整式的定义 单项式和多项式统称为整式。 2. 判断整式的关键 ① 式子中分母不含字母。 ② 分母含字母的式子是分式，不是整式。 ③ 整式包含单项式（如）、多项式（如 x+1），以及单独的数字或字母。 3. 常见分类示例 ① 单项式：4xy，，，2026。 ② 多项式：，，。 ③ 不是整式：，，。 4. 易错提醒 ① 误认为含分母的式子一定不是整式（如是整式）。 ② 混淆与字母，误认为含的式子不是整式（是常数）。 ③ 将分式（分母含字母）误判为整式。 【典例1】（25-26七年级上·河南开封·期末）在代数式，中，整式有（   ） A．7个 B．6个 C．5个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了整式的定义，熟练掌握整式的定义（分母中不含字母）是解题的关键．本题需根据整式的定义（整式为单项式和多项式的统称，分母中不含字母），逐一判断每个代数式是否为整式，统计符合条件的个数即可． 【详解】解：整式是单项式与多项式的统称，且整式的分母中不含字母， 对各代数式判断如下： 是多项式，属于整式； 是多项式，属于整式； 是单独的常数，属于单项式，是整式； 分母含字母，不是整式； 中分母含字母，不是整式； 是单独的常数，属于单项式，是整式； 是单项式，属于整式； 综上，整式共有5个． 故选：C． 【变式1-1】（23-24七年级上·上海·阶段检测）在式子①，②，③，④，⑤中下列结论正确的是（     ） A．①、③是单项式 B．②、⑤是多项式 C．②④⑤都是多项式 D．都是整式 【答案】B 【分析】根据定义逐个判断各代数式的类型，再对比选项得到正确结论． 【详解】①是数与字母的积，是单项式，属于整式； ②是两个单项式的差，是多项式，属于整式； ③分母含有字母a，是分式，不是单项式； ④分母含有字母，是分式，不是多项式； ⑤中分母是常数，属于单项式，因此原式是三个单项式的和，是多项式， ∴A选项中③不是单项式，错误； B选项中②⑤都是多项式，正确； C选项中④不是多项式，错误； D选项中③④是分式，不是整式，错误． 【变式1-2】（2024·山东威海·模拟预测）代数式，，，，，，中，整式的个数是（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】根据整式的定义，判断各代数式分母是否含字母，统计符合条件的个数即可． 【详解】解：的分母含字母，不是整式，，，，，是单项式，属于整式， 是多项式，属于整式， 综上所述，整式的个数共6个． 【变式1-3】（25-26七年级上·云南红河·期末）关于整式的概念，下列说法中正确的是（   ） A．的次数是 B．是七次三项式 C．是单项式 D．的系数是 【答案】D 【分析】根据单项式的次数为单项式中所有字母的指数和，单项式的系数为单项式中的数字因数，多项式的次数为多项式中最高次项的次数，分母含有字母的式子不是整式，也不是单项式，即可逐一判断． 【详解】解：A 、的次数是，A错误； B、是五次三项式，B错误； C、分母含有字母，不是单项式，C错误； D、的系数是，D正确． 【变式1-4】（26-27七年级上·江苏无锡·阶段检测）对下列的代数式进行分类（填序号） ①②③④⑤⑥⑦⑧． 单项式：____________________________； 多项式：____________________________； 整式：____________________________． 【答案】单项式：①③⑤； 多项式：②⑥⑧； 整式：①②③⑤⑥⑧． 【分析】由数或字母的乘积组成的代数式，单独的一个数或一个字母叫做单项式；几个单项式的和叫做多项式；单项式和多项式统称为整式，整式的分母中不含字母．根据单项式，多项式，整式的定义分类，需要注意是常数，分母含有字母的代数式不属于整式． 【详解】解：①是数与字母的乘积，是单项式，属于整式； ②是两个单项式的和，是多项式，属于整式； ③可写成，是数与字母的乘积，是单项式，属于整式； ④分母含有字母，不是单项式，也不是多项式，不属于整式； ⑤中是常数，属于单独的数，因此是单项式，属于整式； ⑥是三个单项式的和，是多项式，属于整式； ⑦分母含有字母，不是单项式，也不是多项式，不属于整式； ⑧可写成，是两个单项式的和，是多项式，属于整式． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $