第四章 整式的加减·规律探究与新定义 专题训练 2026--2027学年人教版七年级数学上册

七年级数学（人教版）上册章末专题训练 第四章 整式的加减·规律探究与新定义 规律探究与新定义问题遵循“观察特例 猜想规律 列代数式 验证结论”的思维路径。 分为四个维度： 一是“数列与式子规律探究”，抓住正负符号交替、系数变化与指数递增规律，体会用代数式抽象数字特征； 二是“图形点阵与拼摆规律”，依托火柴棒拼摆、桌椅拼接、空心方阵与分形生长，经历从直观图形计数到列代数式表示一般规律的过程； 三是“周期循环类规律”，聚焦正负循环、数轴位移跳跃、顶点走步与数值迭代，运用有理数除法与余数模型破译周期循环的本质； 四是“定义新运算”，在全新定义的运算符号、程序框图或对称规则下，将新法则转化为学过的整式加减与代数式求值，检验阅读理解与知识迁移能力． 专题1　数列与式子规律探究 1．【单项式规律与系数交替】观察下列单项式： （1）写出第 个单项式；并写出第 个单项式（用含 的代数式表示，其中 为正整数）； （2）当 时，求前 个单项式的和； （3）是否存在连续的两个单项式，它们的系数之和为 ？若存在，求出这两个单项式；若不存在，请说明理由． 2．【连续奇数和与立方等式规律】观察下列等式： 第 个等式：； 第 个等式：； 第 个等式：； 第 个等式：； （1）请写出第 个等式； （2）第 个等式左边为 ，右边是 个连续奇数的和．请用含 的整式表示这 个连续奇数中的第一个奇数和最后一个奇数； （3）在 分拆出的所有奇数中，求中间两个奇数的和． 3．【蛇形数表与位置规律】将正整数按如图所示的蛇形规律排列成数表： 第一行： 第二行： 第三行： 第四行： 第五行： 已知规律为：奇数行从右向左递增，偶数行从左向右递增，且第 行恰好有 个数． （1）写出第 行从左往右的第 个数； （2）求前 行共有多少个正整数？并用含 的代数式表示第 行最右边的数（需按 为奇数或偶数分类讨论）； （3）求正整数 位于第几行、从左往右数第几个？ 4．【裂项分拆与整式消去法】观察下列各式的分解规律： ； ； ； （1）计算：； （2）类似地，已知整式 ，（ 为正整数）． ① 计算 的值； ② 若关于 的恒等式 恒成立，求常数 的值； （3）利用上述规律，求代数式的值： ． 专题2　图形点阵与拼摆规律 5．【火柴棒拼正六边形】用长度相同的小火柴棒按如图所示的规律拼搭正六边形： 图（1）拼 个正六边形需要 根火柴棒； 图（2）拼 个相邻的正六边形需要 根火柴棒； 图（3）拼 个相邻的正六边形需要 根火柴棒； （1）拼 个这样的相邻正六边形需要多少根火柴棒？拼 个这样的相邻正六边形需要多少根火柴棒（用含 的代数式表示）？ （2）现有 根火柴棒，最多可以拼成多少个这样的相邻正六边形？还剩余多少根火柴棒？ （3）若在拼好的正六边形各个顶点处各放置一颗小珠子（共用顶点只放一颗），拼 个正六边形有 个顶点，拼 个相邻正六边形有 个顶点．求拼 个相邻正六边形共需要多少颗小珠子（用含 的代数式表示）． 6．【正方形餐桌拼放方案探究】某学校食堂使用正方形餐桌，每张正方形餐桌单独摆放时每边可坐 人（即一张桌子可坐 人）．为满足集体用餐需求，现将多张餐桌拼接使用，设计了两种拼接方式： 方式一：将餐桌排成一排长桌，如图所示； 方式二：将餐桌拼成一个边长为 张桌子的大正方形餐桌（桌子总数为 张，仅在四周坐人，内部桌边不坐人）． （1）按方式一拼接，拼 张餐桌可以坐多少人？拼 张餐桌可以坐多少人（用含 的代数式表示）？ （2）若将 张餐桌按方式一拼接成一排长桌，一共可以坐多少人？ （3）按方式二拼接，若拼成边长为 张桌子的大正方形餐桌，四周一共可以坐多少人（用含 的代数式表示）？ （4）现有 张餐桌（即 ），按方式二拼接与按方式一拼接相比，哪种方式容纳的人数更多？相差多少人？ 7．【空心方阵与两层扩建规律】用规格相同的小正方形瓷砖铺设地面，按如图所示的规律铺成空心正方形图案： 图（1）是用 块瓷砖围成一个 的空心正方形（中间空 ）； 图（2）是用 块瓷砖围成一个 的空心正方形（中间空 ）； 图（3）是用 块瓷砖围成一个 的空心正方形（中间空 ）； （1）写出图（4）所需瓷砖的块数；并求第 个图形所需瓷砖的块数（用含 的代数式表示）； （2）若某个空心正方形图案恰好用了 块瓷砖，这是第几个图形？此时该图形中间的空白区域能容纳多少块同样大小的瓷砖？ （3）拓展探究：如果不仅铺最外层一层，而是铺设“两层”空心正方形（即外边长为 ，向内铺两圈瓷砖，最中心留空为 ），求铺设两层空心正方形所需瓷砖总数的代数式． 8．【分形树枝生长与错位相减法】用线段模拟植物树枝的生长过程，如图所示： 第 个图：由 根主干长出 根新枝，总共有 根枝干； 第 个图：原有的 根新枝上各自又长出 根新枝，总共有 根枝干； 第 个图：最新长出的 根新枝上各自又长出 根新枝，总共有 根枝干； （1）写出第 个图的总枝干数；并用含 的代数式表示第 个图最新长出的新枝数； （2）观察树枝总数与最新长出新枝数之间的关系，写出第 个图枝干总数的代数表达式； （3）阅读下列材料并解决问题： 设 ．① 将等式两边同时乘以 ，得：．② ②式减去①式，得：，即 ． 请运用上述“错位相减法”，求第 个图的枝干总数． 专题3　周期循环与余数模型 9．【数轴动点跳跃与周期循环】在数轴上，一个质点从原点 出发，按以下规则进行连续跳跃： 第 次向右跳动 个单位到达点 ； 第 次向右跳动 个单位到达点 ； 第 次向左跳动 个单位到达点 ； 第 次向左跳动 个单位到达点 ； 第 次向右跳动 个单位到达点 ； 第 次向右跳动 个单位到达点 ； 第 次向左跳动 个单位到达点 ； 第 次向左跳动 个单位到达点 ； 按照“右、右、左、左”的规律循环跳跃，每次跳跃的距离比前一次多 个单位长度． （1）写出点 所表示的有理数； （2）写出点 和 所表示的有理数； （3）探究点 （ 为正整数）所表示的有理数规律，并求出点 所表示的有理数； （4）该质点在跳跃过程中，能否恰好落在数轴上表示 的位置？若能，求出是第几次跳跃；若不能，请说明理由． 10．【正多边形顶点走步与余数周期】如图，在正五边形 中，一枚棋子从顶点 出发，按顺时针方向沿着多边形的边跳动： 第 步跳动 条边到达顶点 ； 第 步跳动 条边到达顶点 ； 第 步跳动 条边到达顶点 ； 第 步跳动 条边到达顶点 ； 一般地，第 步跳动 条边（ 为正整数）． （1）求第 步跳动后棋子落在哪个顶点？ （2）求跳动 步后，棋子落在哪个顶点？ （3）探究：这枚棋子能否在某一步跳动后恰好落在顶点 上？请说明理由． 11．【倒数迭代发生器与周期性】已知一列数 ，其生成规则如下： ，对任意正整数 ，都有 ． （1）分别计算 的值； （2）指出这列数的周期规律，并求出 的值； （3）求前 个数的乘积 的值； （4）求前 个数的和 的值． 12．【坐标变换与四象限循环】在平面直角坐标系中，对任意一点 定义一种“顺转变换”： 第 次变换将点 变为点 ； 第 次变换将点 按相同规则变为点 ； 一般地，每次变换都是“横坐标变为原纵坐标，纵坐标变为原横坐标的相反数”． （1）若初始点 的坐标为 ，写出点 的坐标； （2）求经过 次变换后点 的坐标； （3）说明每次“顺转变换”在几何上相当于将点 绕坐标原点 顺时针旋转了多少度？ （4）若一个点经过 次变换后得到的点坐标为 ，求初始点 的坐标． 专题4　定义新运算与代数规则 13．【新符号运算与整式化简】对于任意有理数 ，定义一种新运算“”：． （1）计算： 的值； （2）判断该运算是否满足交换律（即对于任意 ，是否有 ）？并说明理由； （3）化简代数式：； （4）若关于 的整式 ，，且满足 ，求 的值． 14．【二阶行列式新定义与整式无关模型】在数学中，规定两行两列的数表记作符号，并定义其计算规则为：. 例如： （1）计算：的值； （2）化简关于 的代数式： （3）若代数式 的值与 的取值无关，求常数 的值； （4）已知，求 的值． 15．【程序框图流程运算与反向逆推】计算机编制了一个如图所示的数值处理程序： 输入一个有理数 经过计算“” 检验“结果是否大于 ”： 若结果大于 ，则输出该结果； 若结果不大于 ，则将该结果作为新的输入值重新送入程序计算，直到结果大于 输出为止． （1）若初始输入的数是 ，求输出的结果以及程序共进行了几次计算； （2）若初始输入的数是 ，求输出的结果以及程序共进行了几次计算； （3）若无论输入什么数，第 次计算的结果恰好等于原输入的数本身，求这个数； （4）若输入一个正整数 ，经过恰好 次计算后才输出结果，求所有满足条件的正整数 的值． 16．【“对称多项式”新定义与代数恒等变形】新定义：对于含有两个字母 的多项式 ，如果将字母 与 的位置互换后，多项式的值与原多项式恒等，即 ，则称该多项式为关于 的“对称多项式”． 例如： 与 都是对称多项式；而 与 不是对称多项式． （1）判断下列多项式是否为对称多项式（直接在横线上写出“是”或“不是”）： ① ：___________； ② ：___________； ③ ：___________． （2）若关于 的多项式 不是对称多项式，但去掉一次项后得到的二次三项式 是对称多项式，求常数 的值； （3）已知二次三项式 是关于 的对称多项式，且满足： 当 时，；当 时，． ① 求常数 的值； ② 若 满足 且 ，求此时多项式 的值． 参考答案 1．解：（1）根据题意，各项符号正负交替，绝对值系数为项数序号，字母 的指数等于项数序号． 当 时，系数为 ，指数为 ，故第 个单项式为 ． 第 个单项式为 ． （2）当 时，第 个单项式的值为： ． 因此，当 时，前 个单项式的和为： ． （3）不存在．理由如下： 第 个单项式的系数为 ． 若 为奇数，则第 个单项式系数为 ，第 个单项式系数为 ， 此时两系数之和为 ； 若 为偶数，则第 个单项式系数为 ，第 个单项式系数为 ， 此时两系数之和为 ． 综上所述，任意连续两个单项式的系数之和恒为 或 ，不可能等于 ． 因此，不存在连续两个单项式使其系数之和为 ． 2．解：（1）根据题设规律，第 个等式左边为 ，右边是紧接着 之后的 个连续奇数： ． （2）观察右边每个等式中奇数的个数：前 个等式中共有奇数的个数为： 个． 所以第 个等式右边的第一个奇数是正整数中的第 个奇数． 因为第 个奇数表示为 ，所以第一个奇数为： ． 第 个等式右边共有 个连续奇数，故最后一个奇数为： 第一个奇数 ． 因此，第一个奇数为 ，最后一个奇数为 ． （3）当 时，第一个奇数为 ． 这 个连续奇数从左到右依次为 ， 中间两个奇数分别是第 个奇数和第 个奇数． 第 个奇数为 ； 第 个奇数为 ． 所以中间两个奇数的和为 ． 3．解：（1）前 行正整数的总个数为 ． 第 行是偶数行，从左向右递增，包含 个数，依次为 ． 因此，第 行从左往右的第 个数是 ． （2）前 行正整数的总个数为： ． 当 为奇数时，该行从右向左递增，最右边的数是前 行总数之后的第一个数，即： 最右边的数为 ； 当 为偶数时，该行从左向右递增，最右边的数即为前 行的最后一个数，即： 最右边的数为 ． （3）设 位于第 行． 前 行的最大数为 ． 当 时，前 行共有 个数； 当 时，前 行共有 个数． ， 位于第 行． 是偶数，第 行是从左向右依次递增， 该行第 个数是 ． ． 故数 位于第 行、从左往右数第 个． 4．解：（1）原式 ． （2）① ． ② ， 由①知 ，． 又 恒成立，． （3）由（2）可知，对于任意正整数 ，都有 ． ． 5．解：（1）观察火柴棒数量的变化： 第 个图形需要 根火柴棒； 第 个图形需要 根火柴棒； 第 个图形需要 根火柴棒； 每增加一个正六边形，需要增加 根火柴棒． 所以拼 个正六边形需要 根火柴棒． 拼 个正六边形需要的火柴棒根数为： 根． （2）令 ，解得 ，． 当 时，共用火柴棒 根， 恰好剩余 根． 因此，最多可以拼成 个这样的相邻正六边形，还剩余 根火柴棒． （3）观察顶点数（即珠子数）的变化： 时，顶点数为 ； 时，相邻两个正六边形公用一条边（即公用 个顶点），顶点数为 ； 时，顶点数为 ； 每增加一个正六边形，增加 个新顶点． 故拼 个相邻正六边形需要的珠子总数为： 颗． 6．解：（1）方式一中： 张餐桌坐 人； 张餐桌拼在一起，每边各坐 人，两头各坐 人，共坐 人； 张餐桌拼在一起，每边各坐 人，两头各坐 人，共坐 人． 每增加一张餐桌，多坐 人． 故拼 张餐桌可以坐的人数为 人． （2）当 时，代入 得： 人． 故 张餐桌按方式一排成长桌一共可以坐 人． （3）方式二中，拼成 的大正方形餐桌，大正方形有 条边， 每条外侧边由 张餐桌的一边构成，可坐 人． 因此四周一共可坐的人数为 人． （4）当餐桌总数为 张时： 若按方式一拼接，可坐人数为 人； 若按方式二拼接，此时 ，得 ， 可坐人数为 人． ， 方式一容纳的人数更多，相差 人． 7．解：（1）观察每个图案瓷砖块数： 图（1）：总块数为 块； 图（2）：总块数为 块； 图（3）：总块数为 块； 每增加一个图案，瓷砖块数增加 块． 故图（4）所需瓷砖块数为 块． 第 个图形的外边长为 ，中间空心部分边长为 ， 所需瓷砖块数可表示为四个角的 块加上四条边中间的块数： 块（或由 计算得到）． （2）令 ． 解得 ，． 所以这是第 个图形． 此时中间空白区域的边长为 ， 中间空白区域能容纳的瓷砖数为 块． （3）当铺设两层空心正方形时，最内层留空边长为 ，外边长为 ． 我们可以将图形拆解计算： 四个角上各有一个 的小正方形，共包含瓷砖 块； 四条边上除四个角外，每条边铺设长为 、宽为 的两排瓷砖，每边包含 块， 四条边共包含 块． 所以铺设两层所需瓷砖总数为 块． 8．解：（1）观察树枝生长规律： 第 个图最新长出 根新枝，总枝干数为 ； 第 个图最新长出 根新枝，总枝干数为 ； 第 个图最新长出 根新枝，总枝干数为 ； 第 个图最新长出 根新枝，总枝干数为 根． 所以第 个图最新长出的新枝数为 根． （2）观察总枝干数与最新新枝数： 第 个图总数 ； 第 个图总数 ； 第 个图总数 ； 第 个图总数 ． 因此，第 个图枝干总数的代数表达式为 ． （3）根据阅读材料中的错位相减法： 第 个图的枝干总数为： ． 设 ， 则 ． 两式相减得：， 即 ． ， ． 答：第 个图的枝干总数为 根． 9．解：（1）根据题意计算各点对应的数： 点 对应的数为 ； 点 对应的数为 ； 点 对应的数为 ； 点 对应的数为 ． （2）继续计算下一轮跳跃： 点 对应的数为 ； 点 对应的数为 ； 点 对应的数为 ； 点 对应的数为 ； 第三轮跳跃中： 点 对应的数为 ； 点 对应的数为 ． （3）观察前几组的终点位置： 时， 表示 ； 时， 表示 ； 时， 表示 ． 由此归纳可得，点 所表示的有理数为 ． ， 点 对应的数为 ． 第 次跳跃向右 个单位：点 对应的数为 ； 第 次跳跃向右 个单位：点 对应的数为 ． 所以点 所表示的有理数是 ． （4）能．理由如下： 观察跳跃过程中出现的负数：只有在每轮的第四次跳跃（即 型）时才会得到负数， 且 ． 令 ，解得 ． 此时跳跃次数为 ． 因此，质点在第 次跳跃后恰好落在表示 的位置． 10．解：（1）第 步跳完后，棋子累计跳过的边数总和为： ． 棋子最终落在哪一个顶点，取决于总边数 除以 的余数： 余数 对应顶点 ；余数 对应顶点 ；余数 对应顶点 ；余数 对应顶点 ；整除（余数 ）对应顶点 ． 当 时，． 余 ， 第 步跳动后棋子落在顶点 ． （2）计算前 步跳跃后 除以 的余数： ，余数为 （到达 ）； ，余数为 （到达 ）； ，余数为 （到达 ）； ，余数为 （到达 ）； ，余数为 （到达 ）． 当 从 到 时： ，余数 ；，余数 ；，余数 ；，余数 ；，余数 ． 由此可知，余数以 步为一个周期循环出现，循环节为：． 当 时， 余 ，处于循环节的第 项， 对应的余数为 ，故跳动 步后棋子落在顶点 ． （3）不能．理由如下： 若棋子落在顶点 上，则累计边数 除以 的余数必须为 ． 然而由（2）可知，余数循环节中出现的余数只有 ， 余数绝对不会出现 或 ． 因此，无论跳动多少步，这枚棋子都绝不可能落在顶点 上． 11．解：（1）根据递推关系计算各数： ； ； ； ； ． （2）由（1）可知，这列数按 的顺序依次循环出现，周期为 ． 余 ， ． （3）在一个完整周期中，三个数的乘积为： ． 前 个数共包含 个完整周期和第 项 ， 所以前 个数的乘积为： ． （4）在一个完整周期中，三个数的和为： ． 所以前 个数的和为： ． 12．解：（1）初始点 ： 第 次变换：； 第 次变换：； 第 次变换：，即 ； 第 次变换：，即 ． （2）由（1）可知，连续变换 次后点回到初始位置 ，因此变换周期为 ． 余 ， 点 与点 的坐标完全相同， 故点 的坐标为 ． （3）观察初始点 位于第一象限， 位于第四象限， 位于第三象限， 位于第二象限． 由于横纵坐标互换且纵坐标变号，到原点的距离保持不变，且连续 次变换回到原位， 因此每次“顺转变换”在几何上相当于将点 绕原点 顺时针旋转了 ． （4） 余 ， 经过 次变换的结果与经过 次变换的结果相同． 设初始点 的坐标为 ，则第 次变换后点的坐标为 ． 已知变换后的点为 ， ，，解得 ，． 故初始点 的坐标为 ． 13．解：（1）根据新运算定义： ． （2）不满足交换律．理由如下： ； 而 ． 若 ，则 ， 整理得 ，即只有当 时才相等． 对于一般的有理数（如 ），，，两者不相等． 因此，新运算“”不满足交换律． （3） ． （4）首先计算 ： ． 再计算 ： ． ， ． 移项解得 ，． 14．解：（1）根据运算定义： ． （2） ． （3）展开该代数式： ． 该代数式的值与 的取值无关， 含 的一次项系数必须等于 ，即 ． 解得 ． （4）展开方程左边： ． 根据题意列出方程：． 移项解得 ，． 15．解：（1）当初始输入 时： 第 次计算：． ，满足输出条件，输出结果为 ． 程序共进行了 次计算． （2）当初始输入 时： 第 次计算：，不输出，重新输入 ； 第 次计算：，不输出，重新输入 ； 第 次计算：，满足输出条件，输出结果为 ． 程序共进行了 次计算，输出的结果是 ． （3）根据题意列方程：． 移项得 ，解得 ． 故这个数是 ． （4）设输入的正整数为 ： 第 次计算结果为 ； 第 次计算结果为 ； 第 次计算结果为 ． 因为程序恰好经过 次计算后才输出结果，所以必须满足： 前两次计算结果都不大于 ，且第三次计算结果大于 ． 即满足条件： 由 得 ，； 由 得 ，； 由 得 ，． 综合可得：． 为正整数，在 到 之间的正整数只有 ． 因此，满足条件的正整数 的值只有 ． 16．解：（1）① 是；② 不是；③ 是． 理由简析： ① 将 互换得 ，是对称多项式； ② 互换后为 ，不是对称多项式； ③ 展开得 ，互换后为 ，是对称多项式． （2）将 中的 互换，得 ． 该多项式是对称多项式， 与 恒等， 比较对应项系数，得 ． （3）① 是关于 的对称多项式， 由（2）同理可得，必有 ． 故多项式 可表示为 ． 当 时，，， ；① 当 时，，， ，两边同除以 得 ，即 ．② 将②代入①得：， ，解得 ． 代入②得 ． ，． 综上所述，，，． ② 由①知，多项式 ． 利用完全平方展开关系：， ． 已知 ，， ． ． 学科网（北京）股份有限公司 $