江苏省苏州实验中学科技城校2026-2027学年高一第一学期数学周测2

江苏省苏州实验中学科技城校高一数学周测2 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.设全集U={-3,-2,0,2,3},A={-3,3},B={x1(x-3)(x-2)=0},则图中阴影部分表示的集合为 ()。 U B A.{-3,2,3} B.{-3,-2,0,2} C.{3} D.{-2,0} 2.命题“m∈R,都有m2-2m+3>0”的否定是()。 A.m∈R,都有m2-2m+3≤0 B.3m∈R,使得m2-2m+3≤0 C.3m∈R,使得m2-2m+3<0 D.meR,使得m2-2m+3>0 3.集合A={-1,0,1,B={1,a},若B≤A,则a=()。 A.0 B.1 C.0或-1 D.0或-1或1 4.己知a,b∈R,设M=a2-ab,N=ab-2,则M与N的值的大小关系是()。 A.M<N B.M≤N C.M>N D.M≥N 5.已知集合A={-7,-3,-1,2},B={x|a<x<a+3},若A∩B中有2个元素，则实数a的取值范围是 ()。 A.(-4,-3) B.-4,-3 C.(-4,0] D.[-7,-3) 6。“a=1”是“对任意的正实数，均有2+≥2”的（） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 7.关于x的不等式ax2-(a+1)x+1<0的解集不可能是()。 A. B.{x|x>1} C, {x1<x< 1 D. 1 a 21x<1或x> 8.已知⑦≠A二Z,对于k∈A,若k-1生A且k+1主A,则称k为A的“孤立元”。给定集合A= {1,2,3,4,5},则A的所有子集中，只有一个“孤立元”的集合的个数为()。 A.10 B.11 C.12 D.13 高一数学第1页共11页 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知a<b<0,则下列不等式成立的是()。 k君日 B.a2<ab C.a2>62 n.君+a>日+b a 10.下列说法正确的是()。 A.至少有一个实数x,使x2+1=0 B.“a>b>0”是“。<”的充分不必要条件 C.命题“3∈R,2-亚+星<0”的否定是假命题D.“集合A红a2+2+1=0}中只有一个元 1 素”是“。=子”的必要不充分条件 11.下列函数中，最小值为2的是()。 4 B.y=Vx2+4+ √x2+4 4 C.=x+-3e>) D.y=V2-7+V2+7 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.若集合A={xax2+2x+1=0}只有2个子集，则a的取值集合是。 13.已知a+2b=1(a>0,b>0),则4 4 a+1+6+1 的最小值为—。 14.若对x∈(0，+o),不等式(ax+1)(x-V⑥)≤0恒成立，则a2+2ab+2a+b的最小值为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)已知集合S={x|1<x≤7}，A={x|2≤x<5},B={x|3≤x<7},求： (1)(CsA)nB: (2)(CsA)U(CsB). 高一数学第2页共11页 16.(15分)已知集合P={x|-2≤x≤10}，非空集合S={x|1-m≤x≤1+m}。 (1)若x∈P是x∈S的必要条件，求实数m的取值范围： (2)是否存在实数m,使x∈P是x∈S的充分条件，若存在，求出m的取值范围：若不存在，说明理 由。 17.(15分)某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为3 米、底面积为12平方米，且背面靠墙的长方形状的保管员室。由于此保管员室的后背靠墙，无须建造费用， 因此甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米 150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元。设屋子的左右两侧墙的长度均为x米(2≤x≤6)。 (1)当左右两面墙的长度为多少米时，甲工程队报价最低？最低为多少？ (2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为90001+元(a>0),若无论左 右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求α的取值范围。 高一数学第3页共11页 18.(17分)己知二次函数y=x2+(a-1)x-a。 (1)求关于x的不等式y>0的解集： (2)若关于x的不等式y<0的解集中恰有3个整数，求实数a的取值范围： (3)若当≤≤3时，不等式y>1-o2+(2a+1z-2a+1恒成立，求实数a的取值范 围。 19.(17分)符号[x表示不大于x的最大整数(x∈R),例如：[1.3]=1，[2=2，「-1.2]=-2。 (1)己知z]=2,【x]=-2,分别求两方程的解集M,N; (2)设方程[z+x-1川=3的解集为A,集合B={x|2x2-11kx+15k2≥0}，若AUB=R, 求k的范围： (3)在(2)的条件下，集合C={x|x2-ax+1-2a≤0，a∈R},是否存在实数a,使AnC= A?若存在，请求出实数a的取值范围：若不存在，请说明理由。 高一数学第4页共11页 参考答案与详细解析 1.设全集U={-3,-2,0,2,3,A={-3,3},B={x|(x-3)(x-2)=0},则图中阴影部分表示的 集合为()。 B A.{-3,2,3} B.{-3,-2,0,2} c.3} D.{-2,0} 【答案】D 由方程得B={2,3,图中阴影为全集中两个圆以外的部分，即CU(AUB)。 AUB={-3,2,3},从U中去掉这些元素，得{-2,0}。 2.命题“m∈R,都有m2-2m+3>0”的否定是()。 A.m∈R,都有m2-2m+3≤0 B.3m∈R,使得m2-2m+3≤0 C.3m∈R,使得m2-2m+3<0 D.3m∈R,使得m2-2m+3>0 【答案】B 全称命题的否定将“任意”改为“存在”，保持变量范围不变，并把结论>0改为≤0，所以选B。 原命题事实上为真，因为m2-2m+3=(m-1)2+2>0,但否定形式仍按量词规则确定。 3.集合A={-1,0,1},B={1,a},若B≤A,则a=()。 A.0 B.1 C.0或-1 D.0或-1或1 【答案】C。 由B二A,知a∈{-1,0,1}。列举法中元素须互异，B={1,a}要求a≠1，故a=0或-1。 4.已知a,b∈R,设M=a2-ab,N=ab-b,则M与N的值的大小关系是()。 A.M<N B.M<N C.M>N D.M≥N 【答案】D。 作差得M-N=a2-2ab+b2=(a-b)2≥0，所以M≥N。等号在a=b时成立，不能写成恒严格 大于。 高一数学第5页共11页 5.已知集合A={-7,-3,-1,2},B={x|a<x<a+3},若AnB中有2个元素，则实数a的 取值范围是()。 A.(-4,-3) B.-4,-3] C.(-4,0] D.【-7,-3) 【答案】A。 开区间(a,a+3)的长度为3，能同时包含的两个元素只能是-3，-1：-7，-3相距4：-1,2相距3 ,开区间也不能同时包含。 要求a<-3且a+3>-1,得-4<a<-3。此时-7、2均在区间外，确有且只有两个元素，所 以范围是(-4，-3)。端点a=-4,-3时分别漏掉一个所需元素，不取。 6.“a=1”是“对任意的正实数x,均有x+8≥2”的(）。 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A。 1 若a=1,则x+立之2对所有2>0成立，故充分。 反之，取a=4,有x+4≥4>2恒成立，但a≠1，故不必要。 也可直接求出该恒成立命题等价于a≥1：乘以x>0后为a≥2x-x2=1-(x-1)2对所有x>0 成立，右侧最大值为1，在x=1取得。 7.关于x的不等式ax2-(a+1)x+1<0的解集不可能是()。 A. B.{x|x>1} C.1<x a 0{2<1> 【答案】D。 左边可分解为(x-1)(ax-1)。a=1时为(x-1)2<0,解集为空集，A可成立。a=0时为1 <0,得2>，B可成立。0<a<1时，两根为1<分解集为 1 C可成立。 a D所列集合总含x=0(因为0<1)，但原不等式在x=0时左边恒为1，不满足<0，所以D不 可能。含】的表达式须在a≠0时理解。 8.已知②≠ACZ,对于k∈A,若k-1生A且k+1A,则称k为A的“孤立元”。给定 集合A={1,2,3,4,5},则A的所有子集中，只有一个“孤立元”的集合的个数为()。 A.10 B.11 C.12 D.13 【答案】D。 按子集的元素个数分类，孤立性应在所选子集内判断。 高一数学第6页共11页 一个元素的子集共有5个，每个恰有一个孤立元。 两个元素时，相邻则都不孤立，不相邻则两个都孤立，均不合要求。 三个元素时，须由一对相邻元素和另一个孤立元组成，共6个：{1,2,4}、{1,2,5}、{1,3,4、{1,4,5} 、{2,3,5}、{2,4,5}。 四个元素时，合要求的是{1,2,3,5}与{1,3,4,5}，共2个；五个元素时没有孤立元。空集也不合要 求。 因此共有5+6+2=13个。 9.已知a<b<0,则下列不等式成立的是()。 11 A.B a B.a2<ab C.a2>62 1 D.五+a之a+b 【答案】AC。 A言日 ab 2<0,正确。 B:a<0,a-b<0,所以a2-ab=a(a-b)>0,应为a2>ab,错误。 C:由a<b<0,知a>b,平方后a2>,正确。 D:左边减右边为 (（合君)+a-创<0，应为小于，销误 10.下列说法正确的是()。 A.至少有一个实数x,使x2+1=0 Ba>6>0”是日<古的充分不必要条件 1 C.命题“3∈R,2-亚+着<0”的否定是假命D.“集合A={r|ax2+x+1=0}中只有一个 题 元素”是“Q=”的必要不充分条件 【答案】BD。 A:实数范围内x2+1≥1>0，无解，错误。 B:a>b>0推出。<行充分取a=-1,b=-2,倒数不等式成立，而a>b>0不成立，故不 11 必要，正确。 c:-+（e-) ≥0，原存在命题为假，其否定为真，故该项错误。 D:a=0时方程为一次方程x+1=0,恰有一个解；a≠0时恰有一个解等价于判别式1-4a=0, 即Q=子所以集合恰有一个元素等价于a=0或子是a=的必要不充分条件，正确。 高一数学第7页共11页 11.下列函数中，最小值为2的是()。 Ay=+1 B.V=V2+4+4 √2+4 4 C.y=x+--3e> D.y=V2-x+V2+z 【答案】CD。 A:定义线为：≠0，不能漏掉负半轴。取云=-4得)=号<2，所以最小值不可能是2. B:令t=V2十4≥2，则y=t+之4，在t=2、即z=0时取到最小值4 令t=x-1>0,则y=t+二2≥4-2=2，在t=2、即x=3时取等，最小值为 D:定义域为【-2,2，且y≥0,2=4+2V4-x2≥4，所以y≥2：在x=士2时取到2。 12.若集合A={x|ax2+2x+1=0}只有2个子集，则a的取值集合是 【答案】{0,1}. 含n个元素的有限集合有2”个子集，故2”=2，即A恰有一个元素。 当a=0时，方程2x+1=0只有一个解，符合要求。当a≠0时，须△=4-4a=0,得a=1 ，也符合。故a∈{0,1}。 13.已知a+2必=1a>06>0),则。车+6的最小植为 【答案】3+2√2。 令u=a+1>1,v=b+1>1,有u+2=4。 (任+)u+2)=12++号 ≥12+2V32=12+8V2. 除以u+2u=4,得原式≥3+2√2。等号要求 8型=址，即u=V2u。结合约束，得6=3- u 2v2>0,a=4√2-5>0，满足题设，故此下界能够取得。 14.若对x∈(0，+∞)，不等式(ax+1)(x-vb)≤0恒成立，则a2+2ab+2a+b的最小值为 【答案】-2。 根式有意义要求b≥0。若b=0,则对充分小的正数x有(ax+1)x>0,不合要求，故b>0。 令r=V6>0。当x>r时，必须az+1≤0；当0<x<r时，必须ax+1≥0。因此直线ax+ 1须在r处由非负变为非正，恰有a<0且ar+1=0。也可从两侧取趋近r的值得到这一必要条 件：反之该条件下乘积为a(x一r)2≤0，确实恒成立。 所以6=是令t=a+日因a<0,由（-@)+a之2得≤-2. 。2+2ab+2a+b=c2+2+2a+3=f+2-2=t+12-3≥-2 a 高一数学第8页共11页 等号在t=-2,即a=-1,b=1时取得：此时原不等式为-(x一1)2≤0，符合要求。 15.(13分)己知集合S={x|1<x≤7}，A={x|2≤x<5},B={|3≤x<7},求： (1)(CsA)B: (2)(CsA)U(CsB). 【答案】(1)[5,7)：(2)(1,3)U[5,7] (1)在全集S=(1,7]内，CsA=(1,2)U[5,7]。与B=[3,7)取交，得[5,7)。5在补集及B中， 取到：7不在B中，不取。 (2)CsB=(1,3)U{7}。与上述补集取并，得(1,3)U[5,7]。也可用德摩根律，先算A∩B=3,5), 再在S中取补集。 16.(15分)己知集合P={x|-2≤x≤10}，非空集合S={x|1-m≤x≤1+m}。 (1)若x∈P是x∈S的必要条件，求实数m的取值范围： (2)是否存在实数m,使x∈P是x∈S的充分条件，若存在，求出m的取值范围：若不存在， 说明理由。 【答案】(1)0,3：(2)存在，9，+∞) 由S用不等式定义且非空，得1-m≤1+m,即m≥0。其中m=0时S={1}是合法的单点集 合，不能遗漏。 (1)“x∈P是x∈S的必要条件”表示x∈S→x∈P,即SCP。须同时有1-m≥-2、1+ m≤10，得m≤3，结合非空条件，得m∈0,3)。 (2)充分条件表示x∈P→x∈S,即PCS。须1-m≤-2、1+m≥10，所以m≥9。这些参 数确使S非空且包含P,故存在，范围为[9，+o∞)。 17.(15分)某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间墙高 为3米、底面积为12平方米，且背面靠墙的长方形状的保管员室。由于此保管员室的后背靠墙，无 须建造费用，因此甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新 建墙体报价为每平方米150元，屋项和地面以及其他报价共计7200元。设屋子的左右两侧墙的长度 均为x米(2≤x≤6)。 (1)当左右两面墙的长度为多少米时，甲工程队报价最低？最低为多少？ (2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为 9000a(1+元(a>0),若 无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求α的取值范围。 【答案】(1)侧墙长4米，最低报价1400元：(2)(0，写) 6 (1)底面长方形另一边长为2米，所以前墙面积为 36 平方米，两侧墙总面积为6x平方米。甲报 价为 5)=400.36+150:6z+7200=14400 +900z+7200. 高一数学第9页共11页 因为工>0,1440+9002≥2V140×900=720,故S日≥1400。等号在140=900z,即 x=4∈[2,6)时取得。 (2)要保证乙队竞标成功，报价须对每个允许的x都严格低于甲队。因x>0,x+1>0,等价于 004-品-(+7+) 9. a< 9000(x+1) 1 令t=x+1∈3,7]，右侧为 9 0传+6+≥号=6，等号在t三3、即x=2时取得，因此所求 6 为0<a<;。上端点时工=2两队同价，不能保证乙队胜出，故不取。 18.(17分)已知二次函数y=x2+(a-1)z-a。 (1)求关于x的不等式y>0的解集： (2)若关于x的不等式y<0的解集中恰有3个整数，求实数a的取值范围； 若当)≤x≤3时，不等式y>(1-a)z2+2a+1)z-2a+1恒成立，求实数a的配 围。 【答案】(1)见分类：(2)【-5，-4)U(2,3:(3) 4+2V7, 3,+0 (1)y=(x-1)(x+a),开口向上，两根为1，-a。当a>-1时，-a<1,解集为(-oo,-a)U (1,+∞)：当a=-1时，y=(x-1)2,解集为(-o,1)U(1,+o):当a<-1时，1<-a,解集为 （-∞，1)U(-a,+o)。严格不等式均不取零点。 (2)若a>-1,负值区间为(-a,1)。恰有三个整数时必须是-2，-1,0，要求-3≤-a<-2,即 2<a≤3. 若a<-1,负值区间为(1，-a)。恰有三个整数时必须是2,3,4，要求4<-a≤5，即-5≤a<-4 。a=-1时无负值，不合要求。取并集得【-5，-4)U(2,3]。 (3)移项，令F(x)=ax2-(a+2)x+a-1,要求F(x)>0对所有x∈ 成立。 代入：料兰-2>0，放必要地a>号>0此时P的对将销为而=安是-台计日满起 1 2<0<8<3,所以区间上的最小值在顶点取得。 F)=a-1-a+2y-3a2-8a-4>0. 4a 4a 在a>智下，解得a>4+号Y,该条件也充分。等号参数时顶点处F=0。不满足严格不等式，须 3 排除。 高-数学第10页共11页 19.(17分)符号x表示不大于x的最大整数(x∈R)，,例如：[1.3=1，[2=2，[-1.2=-2。 (1)己知x=2,x=-2,分别求两方程的解集M,N: (2)设方程[x+x-1川=3的解集为A,集合B={x|2x2-11kz+15k2≥0}，若AUB=R, 求k的范围： (3)在(2)的条件下，集合C={x|x2-ax+1-2a≤0，a∈R},是否存在实数a,使AnC= A？若存在，请求出实数a的取值范围：若不存在，请说明理由。 【答案】DM=2,3N=-2-:2引0u[信 (3)存在，a∈ 1 2,+o) (1)由取整定义，[x=n等价于n≤x<n+1,所以得到上述两集合。特别地，负数取整向较小的 整数取，不能把【-1.2)当作-1。 (2)这里是对z+x-1的整个和取整。原方程等价于3≤x+x-1<4。 0时，和为12，解 <x≤-1：当0<x<1时，和为1，无解：当x≥1时，和 为2红-1，解得2≤x<所以 5 4-() 由于2x2-11kx+15k2=(2x-5k)(x-3k),当k=0时，B=R,符合要求。 当>0时，mB=(贷） AUB=R等价于该开区间包含在A中：因它在正半轴，须包含在 2内，故≥2且3张≤得k≤君 当k<0时，RB=3跳，2 在负半轴，须包含在 内，故3之号且警≤-1，得 ≤k≤名所比较区间的端点均不在补集的开区间中，因此参数边界可取。三类合并即为答案 (3)AnC=A等价于ACC。令g(c)=x2-ax+1-2a,其开口向上。若C包含A,则它必为 非空闭区间，并包含A的两侧极限端点一多多 22’故必要地 翠-9≤0 得a之号且。≥治、合并为a之兰反之，该条件使两端点的函数值均丰正，而开日向上的抛物线 13 在两端点之间不高于其弦，故整个闭区间厂2 「351 都属于C,从而ACC。 不使用弦性质他可枝验：对“。多。=号任意2么小有问=：二 3 (u+-u g(v)-(x- U一u 0-u 0-)≤0，因此边界a=号可以取得， 高一数学第11页共11页