精品解析：福建福州市福清西山学校2026-2027学年高一上学期10月阶段考试数学试题

福清西山高中2026-2027学年高一上学期10月份阶段考试 数学试题 一、单选题 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 某班参加数学竞赛的学生有15人，参加物理竞赛的学生有18人，既参加数学竞赛又参加物理竞赛的学生有8人，既没有参加数学竞赛又没有参加物理竞赛的学生有25人，则这个班的学生人数是（ ） A. 45 B. 48 C. 50 D. 58 5. 已知在处取得最小值，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 5 6. 若命题“，使得”是假命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知不等式成立的充分不必要条件是，则实数的取值范围是（ ） A. 或 B. C. D. 或 8. 已知关于的不等式的解集为，则的最小值为（ ） A. 6 B. 12 C. 9 D. 18 二、多选题 9. 下列说法正确的是（ ） A. 集合与表示同一个集合 B. 与是同一个集合 C. D. 10. 如图，二次函数为常数）的图象经过点，，则（ ） A. B. C. 不等式的解集为 D. 不等式的解集为 11. 已知，，，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小值是 B. 的最大值是 C. 的最小值是 D. 的最小值为 三、填空题 12. 不等式的解集是___________． 13. 设，若集合则_________. 14. 已知关于的不等式的整数解恰有3个，则实数的取值范围为_________ 四、解答题 15. 已知全集，集合，集合， （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围. 16. 已知，且. （1）求的最小值； （2）求的最小值. 17. 设函数． （1）若，求不等式的解集； （2）若不等式对任意实数恒成立，求的取值范围． 18. “守护碧水蓝天，共治污水之源”，重庆市某自来水厂决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量．经测算，水厂拟安装一种新的污水净化设备．这种净水设备的购置费（单位：万元）与设备的占地面积（单位：平方米）成正比，比例系数为0.2，预计安装后该水厂需缴纳的总水费（单位：万元）与设备占地面积之间的函数关系为，将该水厂的净水设备购置费与安装后需缴水费之和合计为（单位：万元）． （1）要使不超过11.2万元，求设备占地面积的取值范围； （2）设备占地面积为多少平方米时，的值最小，并求出此最小值． 19. （1）已知命题，，命题，，若命题与命题至少有一个是假命题，求实数a的取值范围. （2）已知命题，命题（），若，且命题与有且只有一个为真命题，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福清西山高中2026-2027学年高一上学期10月份阶段考试 数学试题 一、单选题 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先把两个集合化为区间，再取它们的公共部分，并注意端点是否能取到． 【详解】由题意，，． 两集合的公共部分满足 ，所以 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】命题“”是存在量词命题， 其否定为全称量词命题，是：. 3. 已知，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由得，由得． 同向不等式相加，得，即， 所以的取值范围是． 4. 某班参加数学竞赛的学生有15人，参加物理竞赛的学生有18人，既参加数学竞赛又参加物理竞赛的学生有8人，既没有参加数学竞赛又没有参加物理竞赛的学生有25人，则这个班的学生人数是（ ） A. 45 B. 48 C. 50 D. 58 【答案】C 【解析】 【详解】由题意作如下所示的图： 由图可知，这个班的学生人数是25+(15-8)+(18-8)+8=50. 5. 已知在处取得最小值，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】首先变形函数后，再利用基本不等式求最小值，即可求. 【详解】， 因为，所以， 当时等号成立，即时，的最小值为2， 所以当时，的最小值为，即. 6. 若命题“，使得”是假命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为命题“，使得”是假命题，所以其命题的否定“，使得”是真命题： 当时，不等式即，符合题意； 当时，则有，解得， 综上所述：实数的取值范围是. 7. 已知不等式成立的充分不必要条件是，则实数的取值范围是（ ） A. 或 B. C. D. 或 【答案】B 【解析】 【详解】由充分性可知，条件能推出，等价于区间包含于，即且． 两区间的长度分别为和1，不可能相等，故上述包含关系成立时，不能反推出，满足不必要性． 因此实数的取值范围为． 8. 已知关于的不等式的解集为，则的最小值为（ ） A. 6 B. 12 C. 9 D. 18 【答案】D 【解析】 【分析】由韦达定理可得，代入后用基本不等式进行求解 【详解】由题意得，和1是方程的两个根， 故，所以， 故， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为18 二、多选题 9. 下列说法正确的是（ ） A. 集合与表示同一个集合 B. 与是同一个集合 C. D. 【答案】AD 【解析】 【详解】对于A：集合元素具有无序性，故，所以A正确； 对于B：是不含任何元素的集合，是含有一个元素的集合，两者不相等，所以B错误； 对于C：表示一个有序数对（点），表示一个含两个元素的集合，两者不是同一概念，所以C错误； 对于D：空集是任何集合的子集，故，所以D正确. 10. 如图，二次函数为常数）的图象经过点，，则（ ） A. B. C. 不等式的解集为 D. 不等式的解集为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由二次函数的两个零点求出对称轴，写出交点式，用表示和；逐个代入选项判断符号、求解不等式. 【详解】对于A，因为二次函数为常数）的图象经过点，， 所以关于的一元二次方程的两根为和， 由根与系数的关系得，，即， 由图可知，二次函数为常数）的图象开口向上， 所以，则，故选项A正确； 对于B，由图可知，当时，，即，故选项B错误； 对于C，由得，因为，所以，解得， 所以不等式的解集为，故选项C正确； 对于D，由不等式得， 因为，所以，即，解得， 则不等式的解集为，故选项D正确. 11. 已知，，，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小值是 B. 的最大值是 C. 的最小值是 D. 的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【详解】对于A，可知，则， 当且仅当时，即时，等号成立，所以A正确； 对于B，可知， 当且仅当时，即时，等号成立，所以的最大值为，所以B正确； 对于C，可知， 当且仅当时，即当时等号成立， 即的最大值是，所以C错误； 对于D，， 则， 当且仅当时，即时取等号， 故的最小值为，所以D正确. 三、填空题 12. 不等式的解集是___________． 【答案】 【解析】 【详解】不等式可化为， 所以， 所以， 所以不等式的解集是. 13. 设，若集合则_________. 【答案】 【解析】 【详解】由集合，可得，即，所以， 若，此时，不满足集合元素的互异性，舍去； 若，解得或（舍去）， 综上可得，，， 所以. 14. 已知关于的不等式的整数解恰有3个，则实数的取值范围为_________ 【答案】 【解析】 【分析】由，得，分、及，求出不等式的解，再根据不等式有3个整数解，得到的范围求解即可. 【详解】由，得， 由，得， 当，即时，不等式的解为：， 又因为不等式有3个整数解， 所以， 解得，满足； 当，即时，不等式的解为，不满足题意； 当，即时，不等式的解为：， 又因为不等式有3个整数解， 所以， 解得，满足, 综上，实数的取值范围为. 四、解答题 15. 已知全集，集合，集合， （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）先解一元二次不等式得到集合，代入求集合，再进行并集、补集和交集运算； （2）根据是否为空分类，当非空时利用两个开区间没有公共点确定端点关系． 【小问1详解】 由得 当时， 所以 又全集，所以 因此 【小问2详解】 集合中的元素满足 当，即时， ，此时显然有 ． 当时，． 因为，要使两个开区间没有公共点，必须有或 在的条件下，不可能成立，所以只能有． 因此这一情形下 综上， 16. 已知，且. （1）求的最小值； （2）求的最小值. 【答案】（1） 9 （2） 16 【解析】 【分析】（1）利用已知的定值条件，通过“1的代换”构造可应用基本不等式的形式求的最小值； （2）利用已知的定值条件，直接对已知等式应用基本不等式求的最小值，均验证等号成立条件。 【小问1详解】 由题意知，且， 则， 根据基本不等式，，当且仅当即时等号成立， 将代入，解得，故，即的最小值为9. 【小问2详解】 由，根据基本不等式，， 整理得，两边平方得，当且仅当即时等号成立， 将代入，解得，故的最小值为16. 17. 设函数． （1）若，求不等式的解集； （2）若不等式对任意实数恒成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由二次不等式解法结合题设可得答案； （2）问题等价于恒成立，然后分，两种情况可得答案. 【小问1详解】 由函数， 若，可得， 又由，即不等式， 即，所以不等式的解集为； 【小问2详解】 由对任意实数x恒成立，等价于恒成立， 当时，不等式可化为，不满足题意． 当，则满足，即， 解得，所以的取值范围是． 18. “守护碧水蓝天，共治污水之源”，重庆市某自来水厂决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量．经测算，水厂拟安装一种新的污水净化设备．这种净水设备的购置费（单位：万元）与设备的占地面积（单位：平方米）成正比，比例系数为0.2，预计安装后该水厂需缴纳的总水费（单位：万元）与设备占地面积之间的函数关系为，将该水厂的净水设备购置费与安装后需缴水费之和合计为（单位：万元）． （1）要使不超过11.2万元，求设备占地面积的取值范围； （2）设备占地面积为多少平方米时，的值最小，并求出此最小值． 【答案】（1） （2）设备占地面积为25平方米时，的值最小，最小值为11万元. 【解析】 【分析】（1）由题意得，解不等式即可； （2）将变形为，再利用基本不等式即可求解. 【小问1详解】 由题意得， 令，即， 整理得，即， 解得， 所以设备占地面积的取值范围为； 【小问2详解】 ， 当且仅当，即，时等号成立， 所以设备占地面积为25平方米时，的值最小，最小值为11万元. 19. （1）已知命题，，命题，，若命题与命题至少有一个是假命题，求实数a的取值范围. （2）已知命题，命题（），若，且命题与有且只有一个为真命题，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）或 【解析】 【分析】先分别求出各命题为真时对应的取值范围，再根据命题的真假逻辑关系分类讨论求解即可. 【详解】（1）当命题为真命题时，对，不等式恒成立， 则，解得； 当命题为真命题时，，方程有解， 则，解得. 当命题都为真命题时，有，则， 因此，当命题与命题至少有一个是假命题时，的取值范围为. （2）当命题为真命题时，由，得； 当且命题为真命题时，由，得. 当命题为真命题且命题为假命题时，，无解； 当命题为假命题且命题为真命题时，，解得或. 综上所述，当命题与有且只有一个为真命题时，的取值范围为或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $