20.1 锐角三角函数（第1课时正弦）（教学课件）数学新教材北京版九年级上册

第二十章 解直角三角形 20.1 锐角三角函数 第1课时 正弦函数 学 习 目 标 1 2 3 理解锐角正弦的定义；能根据直角三角形的边长求锐角的正弦值 ； 通过自动扶梯问题引入，经历"观察→度量→猜想→证明→定义"的探究过程； 通过自动扶梯、三角尺等实际情境，感受数学与生活的密切联系；在探究过程中培养严谨的逻辑推理能力. 新知引入 情境 情境中的自动扶梯，斜面AM与水平地面AN的夹角，乘客在乘扶梯上升的过程中，他运动到B处时，与扶梯底端A的距离为AB，上升的高度为BC。当时，的值是多少？这个值会随着乘客位置的变化而变化吗？ 这个比值只与有关，与三角形的大小无关。那么，对于任意锐角，这个比值是否也是固定的呢？ 所以= 在直角三角形中 角所对的直角边等于斜边的一半 新知探究 探究1：实践探究——比值是否固定不变 探究 在 中，. 当 是一个任意的锐角 () 时， 的值是否与 的大小有关呢？ 作∠MAN=50°，在射线AM上任取一点B，过点B作BC⊥AN于点C，度量BC和AB的长度，观察的值. 结论 只要保持不变，的对边BC与斜边AB的比始终是一个固定不变的值。 新知探究 点击进入动态演示 探究2：理论证明——相似三角形 新知探究 探究 为什么只要保持不变，的对边BC与斜边AB的比始终是一个固定不变的值？ 证明： 在射线上任取点, 分别 过点 作 它们都有一个直角，且有公共角,所以它们相似 这些直角三角形有什么关系？ 探究2：理论证明——相似三角形 新知探究 探究 为什么只要保持不变，的对边BC与斜边AB的比始终是一个固定不变的值？ , RtRtRt 结论 在Rt△ABC中，当∠C=90°时，对于锐角A的任意一个确定的值，∠A的对边与斜边的比是一个固定不变的值. 探究3：正弦的定义 知识小结 概念总结 正弦的定义 一般地，在Rt△ABC中，分别为的对边。锐角A的对边与斜边的比叫作∠A的正弦，记作，即： = = 课堂游戏 快速判断不同三角形的正弦值 ① sin A是一个完整的符号，它表示∠A的正弦，不是"sin"乘以"A"； 探究3：正弦的定义 知识小结 拓展总结 ② sin A没有单位，它是一个比值； ③ 锐角A的正弦只与∠A的大小有关，与三角形的大小无关。 探究3：正弦的定义 新知探究 探究 当 时，的值在什么范围内变化？ 因为对边是直角边，斜边最长，所以对边<斜边，所以 点击进入动态演示 探究4：特殊角的正弦值 新知探究 探究 我们已经知道，那么等于多少？ 在等腰直角三角形中，两直角边相等，设为 ，则斜边为 。 所以 在含 角的直角三角形中， 对的直角边是 ，斜边是 ，另一条直角边是 。 所以 【分析】先用勾股定理求出直角三角形斜边长度，再依据正弦的定义，即锐角的正弦等于对边比斜边，计算 求正弦值 例题精讲 1.如图 ，在 Rt 中，， , 求 和 的值. 解：在 Rt 中，, 由勾股定理，得 的值等于哪两条线段的比？ 呢？ 【分析】先利用正弦定义在Rt求出高,再在Rt用勾股定理求,最后根据正弦定义求出目标三角函数值. 例题精讲 求正弦值 2.如图，在△ABC 中，CD 是 AB 边上的高，，AC=15，BC=13．求 和 的值． 解：在 △ABC 中，CD 是 AB 边上的高， ∴ ∠ADC = ∠BDC = 90°． 在 Rt△ADC 中，，AC = 15， ∴ ． ∴ ． 【分析】先利用正弦定义在Rt求出高,再在Rt用勾股定理求,最后根据正弦定义求出目标三角函数值. 例题精讲 求正弦值 2.如图，在△ABC 中，CD 是 AB 边上的高，，AC=15，BC=13．求 和 的值． 在 Rt△BCD 中，BC = 13，CD = 12 由勾股定理，得 巩固训练1 正弦的概念 【分析】结合直角三角形中锐角三角函数的定义，判断给定边的比值对应的三角函数名称即可． 在中，，则表示（     ） A． B． C． D．以上都不对 解：在中，， 为斜边， 的对边为， ． 巩固训练1 正弦的概念 变式题 如果把一个锐角的三边的长都扩大为原来的2倍，那么锐角A的正弦值（    ） A．扩大为原来的2倍 B．缩小为原来的 C．没有变化 D．不能确定 解：一个锐角的三边的长都扩大为原来的2倍， 设新三角形为， ， ， 锐角的正弦值没有变化 巩固训练2 求正弦函数的值 【分析】连接𝐵𝐷，由菱形性质得出𝐴𝐶⊥𝐵𝐷及𝐶𝐷长，利用勾股定理求𝑂𝐷，由三角形中位线性质得出∠𝐴𝑂𝐸=∠𝐴𝐶𝐷，进而求解． 如图，在菱形中，分别是的中点，连接，若，则的值为多少？ 解：连接，如图， 四边形是菱形， ，，， 在Rt 中 巩固训练2 求正弦函数的值 【分析】连接𝐵𝐷，由菱形性质得出𝐴𝐶⊥𝐵𝐷及𝐶𝐷长，利用勾股定理求𝑂𝐷，由三角形中位线性质得出∠𝐴𝑂𝐸=∠𝐴𝐶𝐷，进而求解． 如图，在菱形中，分别是的中点，连接，若，则的值为多少？ 分别是、的中点， 是的中位线， ， ， ． 巩固训练2 求正弦函数的值 变式题 如图，在中，，，，则的值是（     ） A． B． C． D． 解：在中， ，， 根据勾股定理得 ， ∴． 巩固训练3 已知正弦值求边长 【分析】已知直角三角形斜边与一锐角的正弦值，利用锐角正弦的定义建立边的关系求解． 在中，，，，则的长为（     ） A． B．6 C．8 D．10 解：在中，． ，，， ． 巩固训练3 已知正弦值求边长 变式题 如图，点E为正方形ABCD的边AD上一点，连接BE，，AF是△ABE的中线，若，则DE的长为__________. 解：∵点E为正方形ABCD的边AD上一点， ∴，， ∵AF是△ABE的中线， ∴， ∵， ∴， 巩固训练3 已知正弦值求边长 变式题 如图，点E为正方形ABCD的边AD上一点，连接BE，，AF是△ABE的中线，若，则DE的长为__________. ∵， ∴， ∴， ∴. 课堂总结 本节课你学到了什么？ 24 感谢聆听! $