专题03 幂、指数与对数（高效培优期中专项训练）高一数学沪教版必修第一册

专题03 幂、指数与对数 考点01 指数幂的拓展与根式运算 考点02 对数的定义与指对互化 考点03 对数的运算性质 考点04 对数的换底 考点01 指数幂的拓展与根式运算 1．（25-26高一上·上海·期中）已知，对任意给定的实数，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以， 由基本不等式得：， 又因为，所以，所以， 所以不等式取不到等号，故， 所以. 故选：A 2．（25-26高一上·上海松江·期中）已知为自然对数的底数，定义“真指数”的计算公式如下：当时，；当时，，若对任意实数和，给出四个结论：①；②；③；④.其中正确结论的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】对于①，若，则，则， 显然不满足，错误； 对于②，若，则，则， 显然不满足，错误； 对于③，若，则， 故不成立，错误； 对于④，显然，若均为非正数，显然， 满足， 若一正一负，且，不妨设， 则，，满足， 若一正一负，且，不妨设， 则，， 则 ，故， 若，则，， 由基本不等式得， 当且仅当时，等号成立，综上，，④正确. 故选：B 3．（25-26高一上·上海·期中）已知（且），则___________ 【答案】 【详解】； 故答案为： 4．（25-26高三上·上海·阶段检测）已知，，且，则的最小值为__________． 【答案】 【详解】由得，所以， 所以，当且仅当，即时等号成立. 则的最小值为. 5．（24-25高一上·上海·期中）若实数、、满足，，则的最小值是______. 【答案】 【详解】由可得：， 即，当且仅当，即时取等号， 由， 可得：，又由得：， 所以，因为， 所以，当且仅当取等号， 故答案为： 6．（25-26高一上·上海·期中）（1）已知，求和的值； （2）正实数满足，求和的值． 【答案】（1）6；（2）7； 【详解】（1）； . （2）因为正实数满足，所以， 所以， . 7．（24-25高一上·上海·期中）（1）已知、为实数，，求的值； （2）已知一元二次方程的两根为与，求的值； （3）设为实数，解关于的不等式：． 【答案】（1）6  （2） （3）若，不等式的解为， 若，不等式的解为， 若，若，此时不等式的解为,若，则不等式的解为. 【详解】（1）由可得，故， （2）一元二次方程的两根为与，故， 因此， （3）由可得， 若，则，解得，此时不等式的解为， 若，则，解得，此时不等式的解为， 若，若，此时不等式的解为,若，则不等式的解为. 8．（24-25高一上·上海·期中）已知函数（其中，且）. (1)若，求的值. (2)求关于的方程的解. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为， 所以， 所以， 所以. （2）因为， 则， 所以， 又因为，且， 所以. 考点02 对数的定义与指对互化 9．（25-26高一上·上海宝山·期中）若有意义，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【详解】由题意得，解得. 故答案为：. 10．（25-26高一上·上海·期中）若，则______． 【答案】 【详解】由，根据指数式与对数式的互化公式，可得. 故答案为：. 11．（25-26高一上·上海·期中）把指数式“”写成对数式__________. 【答案】 【详解】由得：， 故答案为： 12．（25-26高一上·上海·期中）若，则____________． 【答案】 【详解】由题可知，. 故答案为：. 13．（25-26高一上·上海·期中）设实数满足，则________ ． 【答案】 【详解】因为实数满足，根据指数式与对数式的互化公式，可得. 故答案为：. 14．（25-26高一上·上海·期中）若，则_______． 【答案】15 【详解】由题意得，则，解得． 故答案为：15. 15．（24-25高一上·上海宝山·期中）（1）求出下列式子中的x的取值范围：； （2）设x、，利用反证法证明：若，则或. 【详解】（1）由，得，解得或， 所以的x的取值范围是或. （2）假设且，则，与已知矛盾， 则假设是错的，所以或. 考点03 对数的运算性质 16．（25-26高一上·上海·期中）已知，则___________． 【答案】 【详解】， 故答案为： 17．（25-26高一上·上海松江·期中）已知，且，则实数__________. 【答案】 【详解】由，可得， 所以， 所以， 故答案为： 18．（25-26高一上·上海·期中）若，则取得最小值时，__________. 【答案】 【详解】由 可整理得，得， 所以， 当且仅当即时取等号，结合，解得， 故答案为：. 19．（25-26高一上·上海松江·期中）若方程的两根为、， 则___________． 【答案】 【详解】因为方程的两根为、，由韦达定理可得， 故. 故答案为：. 20．（25-26高一上·上海·期中）若实数满足且，则______． 【答案】 【详解】由，得，即，则， 因此，即，则，所以. 故答案为： 21．（25-26高一上·上海闵行·期中）某地火力发电厂大气污染物排放标准规定：排放废气中二氧化硫最高允许浓度为.为满足此要求，该地一火力发电厂通过某种工艺对排放废气进行过滤处理，处理后废气中剩余二氧化硫的浓度（单位：）与处理时间（单位：分钟）满足关系式：，其中为二氧化硫的初始浓度.若该火力发电厂排放废气中二氧化硫的初始浓度为，那么从现在起至少经过______分钟才能达到排放标准.（结果精确到整数, ） 【答案】 【详解】由题意得， ，其中为二氧化硫的初始浓度， 又二氧化硫的初始浓度为，， 又排放废气中二氧化硫最高允许浓度为，， 两边同时取对数，得， 即，， 又，解得， 又结果精确到整数，从现在起至少经过分钟才能达到排放标准. 故答案为：. 22．（25-26高一上·上海·期中）、为正实数，若，，则的最小值为________． 【答案】 【详解】由，得， 所以， 令，则， 所以， 且，且， 解得：，即，当且仅当，即时取等号， 所以， 即的最小值为2， 故答案为：2 23．（23-24高一上·上海青浦·期中）在自由声场（开阔空间）条件下，点声源的声波遵循球面发散规律，在与声源距离为（单位：m）处，声音强度的衰减量 （单位:dB）. 若在位置的声源的强度为(单位: dB),与声源距离为(单位：m)的位置的声音强度为(单位: dB),则, (1)有两个距离某一声源分别为20m和50m的声音探测仪和，它们的读数相差多少分贝?（结果精确到1dB） (2)已知某单一声源、两个声音探测仪与，依次在同一条直线上，与间的距离为400m. 假设两个探测仪的读数分别为61.05dB和47.07dB，试求声源与探测仪的距离（结果精确到1m）以及声源处的声音强度（结果精确到1dB）.参考数据：， 【答案】(1)8dB (2)声源与探测仪的距离为100m, 声源处的声音强度为100dB 【详解】（1）设对应的声音强度分别为，声音强度分别为， 所以， 则 （2）设声源与探测仪的距离为，声源强度为,声音强度衰减量为 则声源与探测仪的距离为，声源强度为，声音强度衰减量为, 所以， 所以，故，解得， 所以, 故声源处的声音强度为100dB. 考点04 对数的换底 24．（25-26高一上·上海·期中）已知实数，且，则________． 【答案】16 【详解】由换底公式可得 ，且，故。 设（），则原方程可化为：， 两边同乘以整理得 ， 解得或。 ∵ ，∴ 舍去，即， ∴ 。 25．（25-26高一上·上海·期中）已知，用表示___________． 【答案】 【详解】因为，所以， 所以， 所以用表示， 故答案为：. 26．（25-26高一上·上海·期中）已知，，试用a，b表示、． 【答案】； 【详解】因为，， 由对数的运算公式，可得， 27．（25-26高一上·上海松江·期中）甲、乙两人解关于的方程：，甲写错了常数，得两根，，乙写错了常数，得两根，，则这个方程两个真实根的和为__________. 【答案】12 【详解】原方程可变形为：可看作关于的一元二次方程， 甲写错了，得到根为及，； 又乙写错了常数，得到根为及，； 原方程为，即， 或，或. 所以这个方程两个真实根的和为. 故答案为：12. 28．（25-26高一上·上海·期中）已知，，则______．（用含、的式子表示） 【答案】 【详解】，， 所以. 故答案为：. 29．（25-26高一上·上海·期中）已知，，则用、表示________． 【答案】 【详解】. 故答案为：. 30．（25-26高一上·上海·期中）已知均为正实数，若，则的值为______. 【答案】1 【详解】对同取对数可得， 结合换底公式可得， 即， ， 故. 故答案为：1 31．（25-26高一上·上海浦东新·期中）设，，则可用含有，的代数式表示为__________. 【答案】 【详解】因为，得， 所以， 所以， 故答案为：. 32．（25-26高一上·上海·期中）（1）已知，，试用、表示，. （2）已知且，若，求的值. 【答案】（1），；（2） 【详解】（1）因为，，所以， . （2）对两边平方得，所以， 所以， 则. 33．（25-26高一上·上海松江·期中）已知实数，，满足： (1)若满足方程：，求的值； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为满足，所以， 解得或. 因为，所以. 所以. （2）因为，所以. 因为，所以. 所以，所以. 34．（25-26高一上·上海松江·期中）（1）已知，，，求的值； （2）已知，，，求的值， 【答案】（1）；（2）7 【详解】（1）， ， ， 所以； （2）， ， ， 所以. 2 / 25 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 幂、指数与对数 考点01 指数幂的拓展与根式运算 考点02 对数的定义与指对互化 考点03 对数的运算性质 考点04 对数的换底 考点01 指数幂的拓展与根式运算 1．（25-26高一上·上海·期中）已知，对任意给定的实数，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·上海松江·期中）已知为自然对数的底数，定义“真指数”的计算公式如下：当时，；当时，，若对任意实数和，给出四个结论：①；②；③；④.其中正确结论的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．（25-26高一上·上海·期中）已知（且），则___________ 4．（25-26高三上·上海·阶段检测）已知，，且，则的最小值为__________． 5．（24-25高一上·上海·期中）若实数、、满足，，则的最小值是______. 6．（25-26高一上·上海·期中）（1）已知，求和的值； （2）正实数满足，求和的值． 7．（24-25高一上·上海·期中）（1）已知、为实数，，求的值； （2）已知一元二次方程的两根为与，求的值； （3）设为实数，解关于的不等式：． 8．（24-25高一上·上海·期中）已知函数（其中，且）. (1)若，求的值. (2)求关于的方程的解. 考点02 对数的定义与指对互化 9．（25-26高一上·上海宝山·期中）若有意义，则实数的取值范围是__________. 10．（25-26高一上·上海·期中）若，则______． 11．（25-26高一上·上海·期中）把指数式“”写成对数式__________. 12．（25-26高一上·上海·期中）若，则____________． 13．（25-26高一上·上海·期中）设实数满足，则________ ． 14．（25-26高一上·上海·期中）若，则_______． 15．（24-25高一上·上海宝山·期中）（1）求出下列式子中的x的取值范围：； （2）设x、，利用反证法证明：若，则或. 考点03 对数的运算性质 16．（25-26高一上·上海·期中）已知，则___________． 17．（25-26高一上·上海松江·期中）已知，且，则实数__________. 18．（25-26高一上·上海·期中）若，则取得最小值时，__________. 19．（25-26高一上·上海松江·期中）若方程的两根为、， 则___________． 20．（25-26高一上·上海·期中）若实数满足且，则______． 21．（25-26高一上·上海闵行·期中）某地火力发电厂大气污染物排放标准规定：排放废气中二氧化硫最高允许浓度为.为满足此要求，该地一火力发电厂通过某种工艺对排放废气进行过滤处理，处理后废气中剩余二氧化硫的浓度（单位：）与处理时间（单位：分钟）满足关系式：，其中为二氧化硫的初始浓度.若该火力发电厂排放废气中二氧化硫的初始浓度为，那么从现在起至少经过______分钟才能达到排放标准.（结果精确到整数, ） 22．（25-26高一上·上海·期中）、为正实数，若，，则的最小值为________． 23．（23-24高一上·上海青浦·期中）在自由声场（开阔空间）条件下，点声源的声波遵循球面发散规律，在与声源距离为（单位：m）处，声音强度的衰减量 （单位:dB）. 若在位置的声源的强度为(单位: dB),与声源距离为(单位：m)的位置的声音强度为(单位: dB),则, (1)有两个距离某一声源分别为20m和50m的声音探测仪和，它们的读数相差多少分贝?（结果精确到1dB） (2)已知某单一声源、两个声音探测仪与，依次在同一条直线上，与间的距离为400m. 假设两个探测仪的读数分别为61.05dB和47.07dB，试求声源与探测仪的距离（结果精确到1m）以及声源处的声音强度（结果精确到1dB）.参考数据：， 考点04 对数的换底 24．（25-26高一上·上海·期中）已知实数，且，则________． 25．（25-26高一上·上海·期中）已知，用表示___________． 26．（25-26高一上·上海·期中）已知，，试用a，b表示、． 27．（25-26高一上·上海松江·期中）甲、乙两人解关于的方程：，甲写错了常数，得两根，，乙写错了常数，得两根，，则这个方程两个真实根的和为__________. 28．（25-26高一上·上海·期中）已知，，则______．（用含、的式子表示） 29．（25-26高一上·上海·期中）已知，，则用、表示________． 30．（25-26高一上·上海·期中）已知均为正实数，若，则的值为______. 31．（25-26高一上·上海浦东新·期中）设，，则可用含有，的代数式表示为__________. 32．（25-26高一上·上海·期中）（1）已知，，试用、表示，. （2）已知且，若，求的值. 33．（25-26高一上·上海松江·期中）已知实数，，满足： (1)若满足方程：，求的值； (2)若，求的值. 34．（25-26高一上·上海松江·期中）（1）已知，，，求的值； （2）已知，，，求的值， 2 / 25 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $