安徽省临泉田家炳实验中学（临泉县教师进修学校）2026-2027学年高二上学期10月阶段检测数学试题

高二数学 (120分钟 150分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知直线l的斜率k为-，则直线l的倾斜角α= A. B. C. D. 2.直线l过点A(1，-2)，并且与直线y=- x+3垂直，那么直线l的方程为 A.2x-y-1=0 B.x-y+4=0 C.2x-y-4=0 D.2x-y+4=0 3.如图，平行六面体ABCD-A1B1C1D1的所有棱长均为2，AB，AD，AA1两两的夹角均为60°，则在方向上的投影向量为 A. B.- C.3 D.-3 4.某公园要建造一个圆形喷泉池，建立适当的坐标系，使喷泉池的外沿所在圆的圆心位于点(3，-2)，且该圆经过点(7，2)，那么这个喷泉池的外沿所在圆的方程是 A.(x-3)2+(y+2)2=32 B.(x-3)2+(y+2)2=16 C.(x-7)2+(y-2)2=32 D.(x-7)2+(y-2)2=16 5.已知圆C的方程为x2+y2-4x+4y+=0，直线l：3x+4y-3=0与圆C交于A，B两点，若|AB|=4，则实数m等于 A.2 B.3 C.2 D.9 6.如图所示，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4，E，F分别是B1C1，C1D1的中点，H，I分别是A1D1，A1B1的中点，点P∈平面AHI，则点P到平面EFB的距离为 A.2 B.2 C. D.3 7.点M(5，3)关于直线2ax-(a+1)y+4=0(a∈R)对称的点为N，则点N的轨迹方程为 A.(x-2)2+(y-4)2=10 B.(x-2)2+(y-4)2=10x≠- C.(x-2)2+(y-4)2=10y≠ D.(x-2)2+(y-4)2=10(去掉点-，) 8.在三棱锥P-ABC中，O是平面ABC内一点，下列说法错误的是 A.若·=0，·=0，则·=0 B.若=x+y+z，则x+y+z=1 C.若O为△ABC的重心，则=++ D.若PA与BC所成的角为α，PA与平面ABC所成的角为β，则β<α 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知直线l的方程为y=kx+b，则下列关于直线l的说法正确的是 A.若直线l过点(3，-2)和(2，-3)，则直线l的斜率为1 B.若直线l的斜率k=1，b=-1，则直线l不过第二象限 C.若直线l与直线y=-x+2垂直，则直线l的斜率为1 D.若直线l平行于x轴，则直线l的斜率不存在 10.下列说法正确的是 A.若e=(-1，1，2)为直线l的一个方向向量，n=(2，0，1)为平面α的一个法向量，则直线l⊥平面α B.若直线l的一个方向向量为m=(1，1，0)，且l过点A(1，1，1)，则点P(2，2，-1)到直线l的距离为2 C.已知向量m=(1，1，-5)，n=(-2，-2，1)，则m在n上的投影向量为(2，2，-1) D.已知向量a=(1，1，x)，b=(-2，x，4)，若x<，则<a，b>为钝角 11.已知圆C：x2+(y+a)2=1与直线x+y-1=0交于M，N两点，点P为线段MN的中点，O为坐标原点，直线OP的斜率为-3，圆C与y轴交于A，B两点，点Q是圆C上异于A，B的任意一点，直线QA，QB分别交直线l：y=-4于R，S两点，则下列说法正确的是 A.a=-2 B.△MCN是等腰直角三角形 C.△MON的面积为1 D.当点Q变化时，以RS为直径的圆过圆C内的定点(0，-4) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.在城市规划中，有两条笔直的道路，在地面所在的平面上，以市中心广场上的纪念塔所在的位置为原点，1千米为单位长度，建立适当的坐标系，第一条道路所在直线的方程为y=2x-4，第二条道路所在直线的方程为y=-x+14，则两条道路的交叉口到纪念塔的距离为　　　　千米.  13.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点P满足=λ+μ，且λμ=1，则直线PA1与平面A1B1C1D1所成角的正切值的最大值为　　　　.  14.已知直线l：ax+by+c=0和点P(x0，y0)，规定点P到直线l的调和距离d(P，l)=.设圆x2+y2=4上的任意一点P(x，y)到直线l1：x-y=0，l2：x+y=0的调和距离分别为d1，d2，则d1d2的取值范围为　　　　.  四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)已知直线l1：2x+my-3m=0，l2：mx+(m+2)y+1=0，其中m为实数. (1)当l1⊥l2时，求m的值； (2)当m=1时，求过直线l1，l2的交点且平行于直线2x-3y+5=0的直线方程. 16.(15分)如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别是线段DD1，AB，BB1的中点. (1)求证：直线AE∥平面FGC1. (2)求直线BB1与平面AB1E所成角的正弦值. 17.(15分)已知圆M：x2+y2-4y+3=0，直线l的方程为x-2y=0，点P是直线l上一动点，过点P作圆M的切线PA，PB，切点分别为A，B，如图所示. (1)当MP与x轴平行时，求直线AB的方程； (2)求四边形APBM的面积S的最小值. 18.(17分)在如图所示的几何体中，EA⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，AC⊥BC，AC=BC=BD=2AE=2，M是棱AB上一点. (1)求证：BC⊥平面AEC. (2)若=，求平面MEC与平面ECD所成锐二面角的余弦值. (3)求点D到直线EM的距离的最大值. 19.(17分)人脸识别技术是一种基于生物特征识别的技术，通过摄像头捕捉人脸图像，提取面部特征，并与预先存储的人脸特征库进行比对，从而实现身份识别.该技术涉及图像处理、模式识别、机器学习等多个领域，主要应用距离测试样本之间的相似度.常用的测量距离的方式如下：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，定义欧几里得距离D(A，B)=，曼哈顿距离M(A，B)=|x1-x2|+|y1-y2|，余弦距离E(A，B)=1-cos(A，B)，其中cos(A，B)=cos<，>(O为坐标原点). (1)若A(1，1)，B(2，0)，分别求D(A，B)，M(A，B)和E(A，B)，并比较这三种距离的大小. (2)若C(，x-2)，D-1，，求E(C，D)的取值范围. (3)已知P，Q是直线l：y-1=k(x-1)上的两个动点，是否存在直线l，使得M(O，P)min=D(O，Q)min?若存在，求出所有满足条件的直线l的方程；若不存在，请说明理由. 参考答案 1.B　解析：由已知得k=tan α=-，α∈[0，π)，∴α=. 2.C　解析：直线y=-x+3的斜率为-，因为直线l与直线y=-x+3垂直，所以根据两直线垂直，其斜率之积为-1，可得出直线l的斜率为2.又直线l过点A(1，-2)，所以直线l的方程为y+2=2(x-1)，即2x-y-4=0. 3.A　解析：因为平行六面体ABCD-A1B1C1D1的棱长均为2，AB，AD，AA1两两的夹角均为60°，所以=++，所以=+++2·+2·+2·=24，则||=2.故在方向上的投影向量为·=·=. 4.A　解析：已知圆心(3，-2)和圆上一点(7，2)，则半径r==4，所以外沿所在圆的方程为(x-3)2+(y+2)2=32. 5.D　解析：圆C：x2+y2-4x+4y+=0可化为(x-2)2+(y+2)2=8-，所以8->0，解得0≤m<64. 由题意知圆C的圆心为C(2，-2)，故圆心C到直线l的距离为=1， 又=2，所以12+22=8-，解得m=9. 6.C解析：由正方体的性质可知EF∥HI，AH∥BE.因为EF⊂平面EFB，HI⊄平面EFB，所以HI∥平面EFB，同理可得AH∥平面EFB，又AH∩HI=H，AH，HI⊂平面AHI，故平面AHI∥平面EFB.当点P∈平面AHI时，点P到平面EFB的距离等于点A到平面EFB的距离. 以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系(图略)，易得=(0，4，0)，=(-2，0，4)，=(-4，-2，4)，可求得平面EFB的一个法向量为n=(2，-2，1)，则所求的距离为=. 7.D解析：直线2ax-(a+1)y+4=0可化为a(2x-y)+(-y+4)=0， 令解得即直线2ax-(a+1)y+4=0恒过点C(2，4). 又点M与点N关于直线2ax-(a+1)y+4=0对称，即|CN|=|CM|==，所以点N在以C(2，4)为圆心，为半径的圆上，即点N(x，y)满足方程(x-2)2+(y-4)2=10. 若直线2ax-(a+1)y+4=0的斜率存在，则斜率k==2-≠2， 过点C(2，4)且斜率为2的直线方程为y=2x，设此时点M关于直线y=2x对称的点为N'(x0，y0)，则解得即N'-，. 综上所述，动点N(x，y)的轨迹方程为(x-2)2+(y-4)2=10(去掉点-，). 8.D解析：对于A，过点P向底面作垂线，垂足为H，如图1，则PH⊥BC. 图1 因为·=0，所以PA⊥BC，又PA∩PH=P，PA，PH⊂平面PAH，故BC⊥平面PAH，又AH⊂平面PAH，所以BC⊥AH； 同理可得CH⊥AB，故H为△ABC的垂心，所以AC⊥BH. 又AC⊥PH，PH∩BH=H，PH，BH⊂平面PHB，故AC⊥平面PHB，又PB⊂平面PHB， 所以PB⊥AC，即·=0，故A项正确. 对于B，连接AO并延长交BC于点M，如图2. 图2 因为B，M，C三点共线，所以存在实数t，使得=t+(1-t)， 又A，M，O三点共线，则存在实数μ，使得=μ， 所以=+=+μ=+μ[t+(1-t)]=+μt(-)+μ(1-t)(-) =(1-μ)+μt+μ(1-t). 又=x+y+z，所以所以x+y+z=1，故B项正确. 对于C，因为O为△ABC的重心，所以M为BC的中点，故=+，且=， 则=+=+=++=+(-)+(-)=++，故C项正确. 对于D，当PA⊥平面ABC时，α=β=90°，故D项错误. 9.ABC　解析：根据斜率公式得k==1，所以选项A正确；当k=1，b=-1时，直线l的方程为y=x-1，因为k>0，b<0，所以直线l过第一、三、四象限，不过第二象限，所以选项B正确；若两条直线垂直，则它们的斜率之积为-1，已知直线y=-x+2的斜率为-1，则直线l的斜率为1，所以选项C正确；若直线l平行于x轴，则直线l的斜率为0，所以选项D错误. 10.BC解析：因为直线l的一个方向向量为e=(-1，1，2)，平面α的一个法向量为n=(2，0，1)，e·n=-2+0+2=0，所以l∥α或l⊂α，故A项错误； 由题意得=(1，1，-2)，又m=(1，1，0)，所以在m方向上的投影向量的模为==，则点P(2，2，-1)到直线l的距离d==2，故B项正确； 因为向量m=(1，1，-5)，n=(-2，-2，1)，所以m在n上的投影向量为·n=(2，2，-1)，故C项正确； 当x=-2时，a=(1，1，-2)，b=(-2，-2，4)，b=-2a，此时<a，b>=π，故D项错误. 11.ABD　解析：由题意知直线OP的方程为y=-3x，则由得到即P-，，因为点P为线段MN的中点，所以MN⊥PC，即kPC==1，解得a=-2，故A项正确； 由A项知a=-2，由可得或因为C(0，2)，所以△MCN是等腰直角三角形，故B项正确； 因为点O到直线x+y-1=0的距离为，|MN|==，所以S△MON=××=，故C项错误； 由圆C与y轴交于A，B两点，得A(0，1)，B(0，3)，不妨设直线QA的方程为y=kx+1(k≠0)，在直线QA的方程中，令y=-4，可得R-，-4，因为QA⊥QB，所以直线QB的方程为y=-x+3，在直线QB的方程中，令y=-4，可得S(7k，-4)，则线段RS的中点为F，-4，圆的半径为=，所以以线段RS为直径的圆的方程为x-2+(y+4)2=2，即x2+(y+4)2-x-35=0，由解得因此当点Q变化时，以RS为直径的圆过圆C内的定点(0，-4)，故D项正确. 12.10 解析：联立两条直线的方程得解得 所以交点坐标为(6，8)，交点到原点的距离d==10(千米)， 即两条道路的交叉口到纪念塔的距离为10千米. 13.　解析：因为=λ+μ，所以点P在平面ABCD内. 因为平面ABCD∥平面A1B1C1D1，所以直线PA1与平面A1B1C1D1所成的角即直线PA1与平面ABCD所成的角.因为AA1⊥平面ABCD， 所以直线PA1与平面ABCD所成的角为∠A1PA，所以tan∠A1PA=. 又因为λμ=1，即μ=，所以=λ+， 可得=λ2++2·=λ2+≥2=2， 当且仅当λ2=，即λ=±1时，等号成立，可知||的最小值为， 则的最大值为=，故tan∠A1PA的最大值为. 14.[-9，0]　解析：设P(x，y)为P(2cos α，2sin α)，0≤α<2π.由题意可得d1=，d2=，即有d1d2=-|3x2-y2|=-|3×(2cos α)2-(2sin α)2|=-|16cos2α-4|=-3|4cos2α-1|. 由0≤cos2α≤1，得-1≤4cos2α-1≤3，所以-9≤-3|4cos2α-1|≤0，故d1d2的取值范围为[-9，0]. 15.解析：(1)因为l1⊥l2，所以2m+m(m+2)=0，解得m=-4或m=0. (2)由题可知，当m=1时，l1：2x+y-3=0，l2：x+3y+1=0， 由解得所以交点的坐标为(2，-1). 因为所求的直线平行于直线2x-3y+5=0，所以可设所求直线的方程为2x-3y+C=0， 代入交点(2，-1)，得2×2-3×(-1)+C=0，解得C=-7， 故所求直线的方程为2x-3y-7=0. 16.解析：以A为原点，AD，AB，AA1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则F(0，1，0)，G(0，2，1)，C1(2，2，2)，A(0，0，0)，B1(0，2，2)，E(2，0，1)，B(0，2，0)，所以=(0，1，1)，=(2，1，2)，=(0，2，2)，=(2，0，1). (1)证明：设平面FGC1的法向量为m=(x，y，z)， 则 得令z=2，得平面FGC1的一个法向量为m=(-1，-2，2). 因为·m=(2，0，1)·(-1，-2，2)=2×(-1)+0×(-2)+1×2=0，所以⊥m， 又直线AE⊄平面FGC1，所以直线AE∥平面FGC1. (2)设平面AB1E的法向量为n=(x'，y'，z')， 则得 令z'=2，得平面AB1E的一个法向量为n=(-1，-2，2). 因为=(0，0，2)，设直线BB1与平面AB1E所成的角为θ， 所以sin θ=|cos<，n>|===，所以直线BB1与平面AB1E所成角的正弦值为. 17.解析：(1)圆M：x2+y2-4y+3=0可化为x2+(y-2)2=1，得到圆心M(0，2)，半径r=1. 由MP与x轴平行，可得直线MP的方程为y-2=0. 由可得P(4，2). 因为PA是圆M的一条切线，所以∠MAP=90°，又|MP|=4， 所以以MP为直径的圆G的圆心为(2，2)，半径R==2， 所以以MP为直径的圆G的方程为(x-2)2+(y-2)2=4，故AB为圆M与圆G的公共弦. 由得到4x-1=0，即直线AB的方程为x=. (2)因为过点P作圆M的切线PA，PB，切点分别为A，B，所以PA⊥MA，PB⊥MB， 所以四边形APBM的面积S=2×|MA||PA|=2××1×=， 当|PM|最小时，四边形APBM的面积S最小， 而|PM|的最小值为点M到直线x-2y=0的距离，即=， 所以四边形APBM的面积S的最小值为=. 18.解析：(1)证明：因为EA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以EA⊥BC. 又因为BC⊥AC，AC∩AE=A，且AC，AE⊂平面AEC，所以BC⊥平面AEC. (2)过点C作CN∥AE，则CN⊥平面ABC， 以点C为原点，，，的正方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系. 由AC=BC=BD=2AE=2，得C(0，0，0)，A(2，0，0)，B(0，2，0)，D(0，2，2)，E(2，0，1). 由=，得M(1，1，0). 设平面ECD的法向量为n1=(x，y，z)，且=(2，0，1)，=(0，2，2)， 由取n1=(1，2，-2). 设平面MEC的法向量为n2=(x1，y1，z1)，且=(1，-1，1)，=(2，0，1)， 由取n2=(1，-1，-2). 设平面MEC与平面ECD所成的锐二面角为θ，则cos θ=|cos<n1，n2>|==， 所以平面MEC与平面ECD所成锐二面角的余弦值为. (3)由M是棱AB上一点，可设=λ(0≤λ≤1)， 由(2)知=λ=λ(-2，2，0)=(-2λ，2λ，0)， 所以=+=(0，0，-1)+(-2λ，2λ，0)=(-2λ，2λ，-1). 由(2)知=(2，-2，-1)，||=3. 若·=0，则-4λ-4λ+1=0，解得λ=，即DE⊥EM，此时点D到直线EM的距离最大，其等于线段DE的长，所以点D到直线EM的距离的最大值为3. 19.解析：(1)因为A(1，1)，B(2，0)，所以=(1，1)，=(2，0). D(A，B)==，M(A，B)=|1-2|+|1-0|=2， E(A，B)=1-cos(A，B)=1-cos<，>=1-=1-=1-， 所以E(A，B)<D(A，B)<M(A，B). (2)由已知得=(，x-2)，=-1，， 所以cos(C，D)=cos<，>==， 令-+(x-2)=t，则有=(x-2)-t， 所以问题转化为半圆y=与直线m：y=(x-2)-t，即x-y-2-t=0有公共点时t的取值范围. 由y=转化为(x-2)2+y2=4(y≥0)，得圆心坐标为(2，0)，半径为2，如图. 当直线l经过点(4，0)时，t=； 当直线l与半圆相切时，由d=r，得=2，解得t=±， 又-2-t>0，解得t<-，所以t=-. 综上，-≤t≤. 因此cos(C，D)==t∈-1，，所以E(C，D)=1-cos(C，D)∈，2. (3)易知D(O，Q)min=. 设P(x，y)，则M(O，P)=|x|+|y|=|x|+|kx-k+1|. 若k=0，则M(O，P)=|x|+|1|≥1=D(O，Q)min，符合题意； 若k≠0，则M(O，P)=|x|+|k|x-=f(x)， 根据分段函数的性质可知M(O，P)min=minf(0)，f， f(0)=|k-1|≥，f=≥恒成立，当且仅当k=1时取等号. 综上所述，直线l的方程为y=1或y=x. ( 第 13 页 共 14 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $