安徽省临泉田家炳实验中学（临泉县教师进修学校）2025-2026学年高二上学期1月月考数学试题

高二数学 (120分钟　150分) 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知点P在以F1,F2分别为左、右焦点的椭圆C:+=1上,若|PF2|=3,则|PF1|= A.3 B.13 C.5 D.7 2.抛物线y2=ax的准线与直线x=2的距离为4,则此抛物线的方程为 A.y2=-24x B.y2=8x C.y2=8x或y2=-24x D.y2=-8x或y2=24x 3.双曲线E:x2-y2=4的左、右焦点分别为F1,F2,右支上有一点M,满足△F1MF2的面积为4,则∠F1MF2= A.45° B.60° C.90° D.30° 4.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的顶点为O,经过点A(x0,16),且F为抛物线C的焦点,若|AF|=5|OF|,则抛物线C的准线方程为 A.x=-4 B.x=4 C.x=8 D.x=-8 5.已知双曲线C:-=1(a>0)的右焦点为F,过点F作直线l与C交于A,B两点,若满足|AB|=5的直线l有且仅有3条,则实数a的值为 A.2 B. C. D.或2 6.已知椭圆Γ:+=1的左、右焦点分别为F1,F2,过原点的直线与椭圆Γ相交于A,B两点,若∠AF2B=120°,则|AF2|·|BF2|= A.20 B.16 C. D. 7.已知A(4,3),若点P是抛物线y2=12x上任意一点,点Q是圆(x-3)2+y2=4上任意一点,则|PA|+|PQ|的最小值为 A.3 B.4 C.5 D.6 8.已知F1,F2为椭圆+=1(a>b>0)的两个焦点,B为椭圆短轴的一个端点,若·≥,则椭圆的离心率的取值范围为 A.,1 B.,1 C.0, D., 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.若方程+=1所表示的曲线为C,则下面结论正确的是 A.若1<t<5,则C为椭圆 B.若t<7,则C为双曲线 C.若C为双曲线,则焦距可以为6 D.若C为焦点在y轴上的椭圆,则9<t<11 10.关于双曲线E:-=1,下列结论正确的是 A.实轴长为49 B.焦距为50 C.渐近线的斜率为± D.渐近线的方程为y=±x 11.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点A(3,1)在C的内侧,点B是抛物线C上的一个动点,且△ABF的周长的最小值为4+,过点F的直线与抛物线交于M,N两点,P为线段MN的中点,则下列结论正确的是 A.p=2 B.若|BF|=3,则B点的坐标为(4,4)或(4,-4) C.若|MN|=8,则点P到y轴的距离为3 D.+=1 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.已知椭圆C:+y2=1,若不过原点且斜率为1的直线l与C相交于A,B两点,且线段AB的中点为M(x0,y0),则=　　　　.  13.已知F2为双曲线-=1(a>0,b>0)的右焦点,经过F2作与双曲线的一条渐近线垂直的直线l,垂足为A,直线l与双曲线的另一条渐近线在第二象限的交点为B.若|AF2|=|BF2|,则双曲线的离心率为　　　　.  14.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点P(x0,2)x0>是抛物线C上一点,以P为圆心的圆与线段PF相交于点Q,与过焦点F且垂直于对称轴的直线交于点A,B.若|AB|=|PF|=|PQ|,且直线PF与抛物线C的另一交点为M,过P,M分别作抛物线的准线的垂线,垂足分别为E,N,则=　　　　.  四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)求适合下列条件的双曲线的标准方程. (1)顶点之间的距离为6,且渐近线的方程为y=±x的双曲线. (2)已知椭圆+=1(a>b>0),则称双曲线-=1为其伴随双曲线.若椭圆C:+=1(0<b<),且其伴随双曲线Γ的离心率为椭圆C的离心率的倍. 16.(15分)一种卫星接收天线的轴截面如图所示,卫星波束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线,经反射聚集到焦点处.已知接收天线的口径(直径)为7.2 m,深度为1.2 m. (1)若以轴截面的顶点为原点,以顶点指向焦点的方向为x轴的正方向建立直角坐标系,求抛物线的标准方程; (2)在第(1)问的条件下,为了增强卫星波束的接收,拟将接收天线的口径增大为9.6 m,求此时卫星波束反射聚集点的坐标. 17.(15分)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±x,F1(-4,0),F2(4,0)分别为双曲线C的左、右焦点. (1)求双曲线C的标准方程; (2)P是双曲线C上异于左、右顶点的一点,过F1作∠F1PF2平分线的垂线,垂足为M,求点M到直线x+y-5=0的距离的最小值. 18.(17分) 在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆+=1(a>b>0)的焦距为2,离心率为,椭圆的右顶点为A. (1)求该椭圆的标准方程; (2)如图,过点D(,-)作直线PQ,交椭圆于不同的两点P,Q,求证:直线AP,AQ的斜率之和为定值. 19.(17分)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,过点F且斜率为的直线交抛物线C于P,Q两点,且|PQ|=. (1)求p的值. (2)设直线l:x=m(m>0)被圆x-2+y-2=截得的弦长为m1. ①求m1;(用m表示) ②若直线l被抛物线C截得的弦长为m2,求的最小值. 参考答案 1.D　因为椭圆C的方程为+=1,所以a=5,b=4,c==3.由椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a=10,且|PF2|=3,所以|PF1|=7. 2.C　抛物线的准线方程为x=-,则=4,得a=8或-24,故所求抛物线的方程为y2=8x或y2=-24x. 3.C　不妨设M(x0,y0)(x0>0,y0>0).由双曲线E:-=1,可得|F1F2|=2=4,因为△F1MF2的面积为4,所以=|F1F2|·|y0|=×4×y0=4,则y0=,又-=4,则x0=,故M(,).所以=(-2-,-),=(2-,-),则·=(-2-)(2-)+(-)2=0,所以⊥,故∠F1MF2=90°. 4.A　因为点A(x0,16)在抛物线C上,且|AF|=5|OF|,所以x0+=,即x0=2p,所以A(2p,16),所以256=4p2,解得p=8,故抛物线C的准线方程为x=-4. 5.D　若直线l的斜率存在且不为0,根据双曲线的对称性,此时满足|AB|=5的直线l的个数为偶数,所以直线l的斜率为0或斜率不存在.当直线l的斜率为0时,A,B为双曲线的左、右顶点,由|AB|=2a=5,得双曲线C的方程为-=1,易得过点F的通径长为=>5,不满足条件.当直线l的斜率不存在时,此时AB为双曲线C过点F的通径,则|AB|==5,解得a=或a=2.当a=时,实轴长为1,因为1<5,所以满足|AB|=5的直线有3条;当a=2时,实轴长为4,因为4<5,所以满足|AB|=5的直线也有3条.故实数a的值为或2. 6.B　由已知可得,a=4,b=2,c=2,F1(-2,0),F2(2,0).如图,连接AF1,BF1,根据椭圆的对称性,可得四边形AF1BF2为平行四边形.由椭圆的定义可得|AF1|+|AF2|=8,所以有(|AF1|+|AF2|)2=|AF1|2+|AF2|2+2|AF1|·|AF2|=64　①.因为∠AF2B=120°,所以∠F1AF2=60°,在△AF1F2中,由余弦定理可得|AF1|2+|AF2|2-2|AF1|·|AF2|cos 60°=|F1F2|2=16,即|AF1|2+|AF2|2-|AF1|·|AF2|=16　②.由①-②得|AF1|·|AF2|=16,故|AF2|·|BF2|=16. 7.C　抛物线y2=12x的焦点为F(3,0),准线为l:x=-3,圆(x-3)2+y2=4的圆心为F(3,0),半径r=2,过点P作PB垂直准线l,垂足为点B(图略).由抛物线的定义可知|PB|=|PF|,则|PA|+|PQ|≥|PA|+|PF|-r=|PA|+|PF|-2=|PA|+|PB|-2≥|AB|-2=4+3-2=5,当且仅当B,P,A三点共线时,等号成立.综上所述,|PA|+|PQ|的最小值为5. 8.C　设点O为椭圆的中心,由椭圆的定义可知|BF1|=|BF2|=a,|OF1|=|OF2|=c,则sin∠OBF1==e,∴cos∠F1BF2=1-2sin2∠OBF1=1-2e2.∵·≥,即(1-2e2)a2≥c2,∴1-2e2≥e2,又0<e<1,∴0<e≤. 9.BCD　对于A项,若方程+=1表示椭圆,则满足解得7<t<9或9<t<11,所以A不正确;对于B项,当t<7时,11-t>0,t-7<0,此时表示焦点在x轴上的双曲线,所以B正确;对于C项,当t=0时,方程-=1,此时双曲线的焦距为6,所以C正确;对于D项,若方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆,则满足解得9<t<11,所以D正确. 10.BD　因为a2=49,b2=576,所以c==25,所以双曲线E的实轴长2a=14,焦距2c=50,故A项错误,B项正确;渐近线的斜率为±=±,则渐近线的方程为y=±x,故C项错误,D项正确. 11.ACD　如图,过点B作准线的垂线,垂足为M',过点A作准线的垂线,垂足为H.由抛物线C:y2=2px(p>0),得准线l的方程为x=-,则由抛物线的定义可知|BF|=|BM'|,∴△ABF的周长为|AB|+|BF|+|AF|=|AB|+|BM'|+|AF|≥|AH|+|AF|=4+,当且仅当A,B,M'三点共线,即点M'与点H重合时取等号,∵|AH|=3+,|AF|==,∴3++=4+,解得p=2,故A项正确.设B点的坐标为(x0,y0),∵|BF|=3,∴x0+1=3,解得x0=2,∴=4×2,解得y0=±2,∴B点的坐标是(2,2)或(2,-2),故B项错误.设点M(x1,y1),N(x2,y2),则|MN|=|MF|+|NF|=x1+x2+2=8,解得x1+x2=6,又P为线段MN的中点,则P,,∴点P到y轴的距离为=3,故C项正确.依题意,过点F的直线的斜率不为0,设过点F的直线为x=my+1,由消去x,得y2-4my-4=0,显然Δ>0,∴y1+y2=4m,y1y2=-4,则x1+x2=m(y1+y2)+2=4m2+2,x1x2==1,∴+=+===1,故D项正确. 12.-9　设A(x1,y1),B(x2,y2).因为A,B两点都在椭圆C:+y2=1上,则两式相减可得+-=0,所以=-·=-·=1,所以=-9. 13.　由题意可设l:y=-(x-c).由得即B,-.由得即A,.∵|AF2|=|BF2|,∴yB=7yA,即-=,∴c2=7(b2-a2)=7(c2-2a2),即3c2=7a2,∴e2=2=,解得e=,即双曲线的离心率为. 14.3　由题意得|PF|=x0+,直线AB的方程为x=,点P到直线AB的距离为x0-.∵以P为圆心的圆与线段PF相交于点Q,与过焦点F且垂直于对称轴的直线交于点A,B,且|AB|=|PQ|,∴|AB|=2x0-,∵|PF|=|PQ|,∴x0+=2x0-,解得x0=,∴(2)2=2p×,又p>0,故p=2,∴抛物线的方程为y2=4x,P(3,2),F(1,0).直线PF的方程为y=(x-1)=x-,与抛物线C的方程联立,得消去y,整理得3x2-10x+3=0,解得x=或3,∴M,-,|FM|=1+=,∴===3. 15.解:(1)当焦点在x轴上时,由=且a=3,得b=,∴所求双曲线的标准方程为-=1;当焦点在y轴上时,由=且a=3,得b=2,∴所求双曲线的标准方程为-=1.∴双曲线的标准方程为-=1或-=1. (2)设椭圆C与其伴随双曲线Γ的离心率分别为e1,e2.依题意可得a2=3,e1=e2,即=,即=×,解得b2=1,∴椭圆C:+x2=1,其伴随双曲线Γ的标准方程为-x2=1. 16.解:(1)依据题意建立如图所示的直角坐标系,设抛物线的方程为y2=2px(p>0),把(1.2,3.6)代入方程中,得3.62=2p·1.2⇒p=5.4,所以抛物线的标准方程为y2=10.8x. (2)设增大接收天线口径后的抛物线的方程为y2=2mx(m>0),把(1.2,4.8)代入方程中,得4.82=2m·1.2⇒m=9.6,所以焦点的坐标为(4.8,0). 17.解:(1)由双曲线的渐近线方程为y=±x,得a=b,又F1(-4,0),F2(4,0)分别为双曲线C的左、右焦点,所以c=4,所以a=b=4,故双曲线的标准方程为-=1. (2)由题意,延长PF2,且与F1M交于一点N,如图所示.由于F1M⊥PM,且PM为∠F1PF2的平分线,所以|PF1|=|PN|,且M点为线段F1N的中点.不妨假设点P在双曲线C的右支上,由于|PF1|-|PF2|=2a=8,故|PN|-|PF2|=|F2N|=8,由于O,M分别为F1F2,F1N的中点,所以|OM|=|F2N|=4,故点M的轨迹是以原点为圆心,4为半径的圆,轨迹方程为x2+y2=16(x≠±4),点M到直线x+y-5=0的距离的最小值为原点到直线的距离减去半径4,即-4=1. 18.解:(1)由题意可知,椭圆+=1(a>b>0)的焦点在x轴上,2c=2,c=,椭圆的离心率e==,则a=,b2=a2-c2=1,则椭圆的标准方程为+y2=1. (2)证明:设点P(x1,y1),Q(x2,y2).当斜率不存在时,且右顶点为A(,0),则x=与椭圆只有一个交点,不合题意.故由题意可设PQ的方程为y=k(x-)-,联立方程组整理得(3k2+1)x2-6k(k+1)x+9k2+18k+6=0,由Δ=108k2(k+1)2-4×3(3k2+6k+2)(3k2+1)=-72k-24>0,得k<-,由韦达定理可知x1+x2=,x1x2=,则y1+y2=k(x1+x2)-2k-2=,则由kAP+kAQ=+=,y1x2+y2x1=[k(x1-)-]x2+[k(x2-)-]x1=2kx1x2-(k+1)(x1+x2)=-,得kAP+kAQ===. ∴直线AP,AQ的斜率之和为定值. 19.解:(1)设过点F且斜率为的直线方程为y=x-,代入y2=2px(p>0),得3x2-5px+=0.设P(x1,y1),Q(x2,y2),则Δ=(-5p)2-4×3×=16p2>0,x1+x2=,所以|PQ|=x1+x2+p==,则p=2. (2)①因为圆的方程为x-2+y-2=,所以m1=2=. ②联立得y=±2,即有m2=4. 所以==≥==,当且仅当m=时,等号成立,经检验,m=满足条件,故的最小值为. ( 第 11 页 共 11 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $