精品解析：安徽合肥卓越中学2026-2027学年第一学期第一次单元质量检测高二数学试卷

合肥卓越中学2026-2027学年第一学期第一次单元质量检测 高二数学试卷 考试时间：120分钟 试卷总分：150分 命题人：周毅 【考生注意】 1．答题前，务必将姓名、班级填写在答题卡规定位置. 2．所有作答内容一律写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3．考试结束，只上交答题卡，试卷自行留存. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，，则（ ） A. B. C. D. 3. 若四点共面，其中，则（ ） A. 9 B. 12 C. 15 D. 18 4. 如图，在四面体中， 点在上，且，点是中点，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知平面α的一个法向量，点在α内，则点到α的距离为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 6. 设，则“”是“直线：与直线：平行”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 8. 斗拱是中国建筑上特有的构件，是较大建筑物的柱与屋顶之间的过渡部分，用于支撑上部突出的屋檐，如图（1），其简化结构如图（2），其中是两两互相垂直的线段，为斗拱，满足，且和都为钝角．若，，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每个题所给的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法中，正确的有（ ） A. 点斜式可以表示任何直线 B. 直线在轴上的截距为 C. 直线关于点对称的直线方程是 D. 过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程是 10. 已知是空间的一个基底，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 向量、、一定共面 C. 向量在基底下的坐标是 D. 对空间中任意向量，都存在唯一的有序实数组，使得 11. 在棱长为2的正方体中，、、分别为、、的中点，则下列选项正确的是（ ） A. B. 直线与所成角的余弦值为 C. 三棱锥的体积为 D. 存在实数、使得 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为____． 13. 若点为直线上的动点，则的最小值为______． 14. 已知在平面内，点到直线的距离．此公式可推广到空间内，为求解点到平面的距离多添了一种方法．现在空间直角坐标系中，定义：平面的一般方程为，则点到平面的距离．如图，底面边长为2，高为1的正四棱锥中，点到侧面的距离等于___________． （备注：不在同一条直线上的任意三点可以确定一个平面） 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量. （1）求向量的坐标； （2）求与夹角的正弦值. 16. 已知直线与． （1）若，求； （2）若直线在轴和轴上的截距相等，求的方程． 17. 设直线与直线交于P点. （1）当直线m过P点，且与直线垂直时，求直线m的方程； （2）当直线m过P点，且坐标原点O到直线m的距离为1时，求直线m的方程. 18. 在长方体中，，点分别是直线，直线的中点. （1）求证：平面； （2）求点F到平面的距离； （3）求直线与平面的夹角的余弦值. 19. 如图，是圆O的直径，垂直于圆O所在的平面，，，点C是圆O上不同于的任意一点，E为的中点． （1）证明：平面； （2）若直线与平面所成的角为，求二面角的余弦值； （3）若点为圆O（含圆周）内任意一点，它到点的距离与到直线的距离相等，求三棱锥体积的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 合肥卓越中学2026-2027学年第一学期第一次单元质量检测 高二数学试卷 考试时间：120分钟 试卷总分：150分 命题人：周毅 【考生注意】 1．答题前，务必将姓名、班级填写在答题卡规定位置. 2．所有作答内容一律写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3．考试结束，只上交答题卡，试卷自行留存. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线倾斜角与斜率的关系即可得解. 【详解】直线的斜率， 设直线的倾斜角为, 则， 又，所以， 即直线的倾斜角为. 故选：C. 2. 已知向量，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为，， 所以． 3. 若四点共面，其中，则（ ） A. 9 B. 12 C. 15 D. 18 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间共面向量基本定理即可求解. 【详解】因为四点共面， 所以存在实数使得，且. 设，则由，得， 故， 又，解得． 故选：A 4. 如图，在四面体中， 点在上，且，点是中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量的加减及数乘运算即可求解. 【详解】由题意， 由可得：， 点是中点，故， 即. 故选：C 5. 已知平面α的一个法向量，点在α内，则点到α的距离为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题意得， 又知平面α的一个法向量，则点B到平面α的距离为. 6. 设，则“”是“直线：与直线：平行”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据两直线的位置关系并验证求得或，结合充分条件、必要条件的定义即可下结论. 【详解】由题意知，若，则， 即，解得或或， 当时，轴，，符合题意； 当时，，，符合题意； 当时，，与重合，不符合题意, 综上，或. 所以“”是“”的充分不必要条件, 故选：A 7. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据投影向量的计算公式求解即可. 【详解】设向量、的夹角为，因为在上的投影向量为:， 又因为，， 所以， ， ， 所以向量在向量上的投影向量：， 故A选项正确. 8. 斗拱是中国建筑上特有的构件，是较大建筑物的柱与屋顶之间的过渡部分，用于支撑上部突出的屋檐，如图（1），其简化结构如图（2），其中是两两互相垂直的线段，为斗拱，满足，且和都为钝角．若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】以为原点，建立空间直角坐标系，设，设点，得到，根据题意，列出方程，求得，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】以为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，设，可得， 所以， 设点，可得，则， 由，可得， ，可得， 所以， 即，所以. 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每个题所给的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法中，正确的有（ ） A. 点斜式可以表示任何直线 B. 直线在轴上的截距为 C. 直线关于点对称的直线方程是 D. 过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程是 【答案】BC 【解析】 【分析】根据直线点斜式方程的限制条件可判断A选项；利用直线截距的定义可判断B选项；利用点到直线的距离公式求出对称的直线方程，可判断C选项；求出过点且在两坐标轴上截距相等的直线的方程，可判断D选项. 【详解】对于A选项，点斜式不表示倾斜角为的直线，A错； 对于B选项，在直线的方程中，令，可得， 所以，直线在轴上的截距为，B对； 对于C选项，直线关于点对称的直线方程为，其中， 则，可得，因为，解得， 所以，直线关于点对称的直线方程是，C对； 对于D选项，若所过直线过原点，该直线的斜率为，此时，所求直线方程为， 若所求直线不过原点，设所求直线方程为，则，解得， 此时，所求直线方程为， 综上所述，过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程是或，D错. 故选：BC. 10. 已知是空间的一个基底，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 向量、、一定共面 C. 向量在基底下的坐标是 D. 对空间中任意向量，都存在唯一的有序实数组，使得 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用空间向量基底的概念逐项判断即可. 【详解】对于A，因为是空间的一个基底，若， 假设、、不全为零，不妨设，则， 所以、、共面，矛盾，故，同理可得，，即，A对； 对于B，假设、、共面， 则存在、，使得， 即， 根据A可知，该方程组无解，假设不成立， 故向量、、不共面，B错； 对于C，向量在基底下的坐标是，C对； 对于D，由B可知，向量、、一定不共面， 则可作为空间向量的一组基底， 故空间中任意向量，都存在唯一的有序实数组， 使得，D对. 11. 在棱长为2的正方体中，、、分别为、、的中点，则下列选项正确的是（ ） A. B. 直线与所成角的余弦值为 C. 三棱锥的体积为 D. 存在实数、使得 【答案】BCD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，对于A，计算的值即可判断；对于B，计算的值即可判断；对于C，等体积法即可计算求解；对于D，由计算求出即可得解. 【详解】由题可建立如图所示的空间直角坐标系， 则 对于A：因为,故与不垂直，故A错误； 对于B：， ， 所以直线与所成角的余弦值为，故B正确； 对于C：，故C正确； 对于D：, 若存在实数使得，则， 即，解得，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为____． 【答案】 【解析】 【详解】依题意，点关于平面对称的点的坐标为． 13. 若点为直线上的动点，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】由可看成点与定点的距离，结合点到直线的距离公式，即可求解. 【详解】由可看成点与定点的距离， 因为点为直线上的动点， 则点到直线的距离为， 所以的最小值为. 故答案为：. 14. 已知在平面内，点到直线的距离．此公式可推广到空间内，为求解点到平面的距离多添了一种方法．现在空间直角坐标系中，定义：平面的一般方程为，则点到平面的距离．如图，底面边长为2，高为1的正四棱锥中，点到侧面的距离等于___________． （备注：不在同一条直线上的任意三点可以确定一个平面） 【答案】 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，写出点的坐标，由待定系数法求得面的方程，由定义求得点到面的距离. 【详解】以底面的中心为原点，建立空间直角坐标系， 则，，，，. 设平面的一般方程为（,）. 将三点坐标代入方程得 解得，，. 由不全为知，代入方程得， 化简得. 根据空间点到平面的距离公式，点到平面的距离： . 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量. （1）求向量的坐标； （2）求与夹角的正弦值. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量平行坐标关系，可求得m，n值，即可得坐标，根据向量垂直坐标关系，可求得k值，即可得坐标. （2）由（1）得与坐标，根据向量夹角公式，结合同角三角函数关系，即可得答案. 【小问1详解】 因为，且， 所以，解得，所以； 因为，所以， 解得，所以. 【小问2详解】 由（1）得， 则， ， 所以， 所以. 16. 已知直线与． （1）若，求； （2）若直线在轴和轴上的截距相等，求的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由，根据两直线的位置关系的判定方法，得到方程，即可求解； （2）根据题意，分别令和，求得直线在坐标轴上的截距，列出方程，求得的值，进而得到直线的方程. 【小问1详解】 解：由直线与 若，可得，即，解得． 【小问2详解】 解：由题意知，直线在轴和轴上的截距均不为0， 令，可得，令，可得， 因为直线在轴和轴上的截距相等，所以，解得， 把代入直线的方程，可得，即． 故直线的方程为． 17. 设直线与直线交于P点. （1）当直线m过P点，且与直线垂直时，求直线m的方程； （2）当直线m过P点，且坐标原点O到直线m的距离为1时，求直线m的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）由题意求得，利用两直线的位置关系求出直线m的斜率，结合直线的点斜式方程即可求解； （2）易知当直线m的斜率不存在时，直线m的方程为；当直线m的斜率存在时，设直线m的方程为，利用点到直线的距离公式建立关于k的方程，结合直线的点斜式方程即可求解. 【小问1详解】 由，解得，即点. 由直线可知：. ，直线m的斜率，又直线m过点， 故直线m的方程为：，即. 【小问2详解】 因为直线m过点， ①当直线m的斜率存在时，可设直线m的方程为，即. 由坐标原点O到直线m的距离，解得， 因此直线m的方程为：，即. ②当直线m的斜率不存在时，直线m的方程为，验证可知符合题意. 综上所述，所求直线m的方程为或. 18. 在长方体中，，点分别是直线，直线的中点. （1）求证：平面； （2）求点F到平面的距离； （3）求直线与平面的夹角的余弦值. 【答案】（1）以点为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示， 则，， 因为，， 设为平面的法向量， 则，可取， 因为，所以， 又平面， 所以平面； （2）2 （3） 【解析】 【分析】（1）以点为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，证明直线的方向向量与平面的法向量垂直，即可得证； （2）求出直线与平面所成的角正弦值，从而可求出答案； （3）利用向量法即可求得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设直线与平面所成的角为， ， 则， 所以点F到平面的距离为； 【小问3详解】 设直线与平面所成的角为， ， 则， 所以直线与平面的夹角的余弦值为. 19. 如图，是圆O的直径，垂直于圆O所在的平面，，，点C是圆O上不同于的任意一点，E为的中点． （1）证明：平面； （2）若直线与平面所成的角为，求二面角的余弦值； （3）若点为圆O（含圆周）内任意一点，它到点的距离与到直线的距离相等，求三棱锥体积的取值范围． 【答案】（1） 因为平面，且平面，所以， 因为点在以为直径的圆上，所以， 又因为平面平面， 所以平面． （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的性质得，再根据直径的特点得，最后利用线面垂直的判定即可证明； （2）取中点为，连结，利用余弦定理得，再次在中利用余弦定理即可得到答案； （3）过点作，垂足为，利用线面垂直的判定定理即可得到平面，再求出，最后根据锥体的体积公式即可得到范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，平面，所以， 因为，所以， 因为平面，则为直线与平面所成的角，即， 所以，因为为中点，所以， 所以三角形为等边三角形，取中点为，连结，则， 过作交于点，则为的平面角． 在直角三角形中，， 在三角形中，由余弦定理得， 所以，所以． 在三角形中，由余弦定理得. 【小问3详解】 过点作，垂足为， 因为平面，且平面，所以， 因为平面平面， 所以平面，过点作，垂足为，连结， 因为平面平面，所以， 因为平面平面，所以平面， 因为平面，所以，即为点到直线的距离． 因为，所以， 所以点在的角平分线上，所以，所以， 所以点在直线上， 所以，因为， 所以，即三棱锥体积的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $