安徽省临泉田家炳实验中学（临泉县教师进修学校）2025-2026学年高一上学期1月月考数学试题

高一数学 (120分钟　150分) 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.sin(-1950°)= A. B.- C. D.- 2.声音是由物体的振动产生的能而引起听觉的波,我们听到的声音多为复合音.若一个复合音的数学模型是函数f(x)=cos x+sin 2x(x∈R),则f(x)在[-π,π]上的零点个数是 A.1 B.2 C.3 D.4 3.在平面直角坐标系xOy中,角α和角β的顶点均与原点O重合,始边均与x轴的非负半轴重合,它们的终边关于x轴对称.若tan α=,则tan β= A. B.- C.- D. 4.函数f(x)=sin(10x+10-x)的图象大致为 A. B. C. D. 5.已知sin θ+sinθ+=1,则sinθ-= A. B. C.- D.- 6.将函数y=sin x-cos x图象上所有的点向左平移m(m>0)个单位长度后,得到函数g(x)的图象,其图象关于y轴对称,则m的最小值是 A. B. C. D. 7.我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》一书时介绍了“赵爽弦图”,如图所示,它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形,记直角三角形中较大的锐角为α,大正方形的边长为a,小正方形的边长为b.若=,则= A. B. C. D. 8.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)ω>0,0<φ<的部分图象如图所示,且f(x1)+f(x2)=0,|x2-x1|<,则f(x1+x2)= A. B. C.- D.- 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.下列各式中,值为的是 A.cos2-sin2 B.sin 51°sin 9°-sin 141°cos 9° C. D.sin 50°(1+tan 10°) 10.下列结论正确的是 A.若sin α·tan α>0,则角α的终边在第一象限或第四象限 B.已知扇形的周长为30 cm,圆心角为3 rad,则此扇形的面积为27 cm2 C.函数f(x)=sin2x+cos x的最大值为 D.若α,β∈0,,sin α+cos α=,sin 2α-cos 2β=0,则tan β=3 11.某过山车轨道是依据正弦曲线设计安装的,在时刻t(单位:s)时过山车(看作质点)离地平面的高度h(单位:m)满足h(t)=Asin(ωt+φ)+B,A>0,ω>0,|φ|<.已知当t=5时,过山车到达第一个最高点,最高点距地面52 m,当t=11时,过山车到达第一个最低点,最低点距地面12 m,则 A.A=30 B.ω= C.过山车启动时距地面32-10 m D.一个周期内过山车距离地平面不低于42 m的时间是4 s 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.若tan θ=-5,则=　　　　.  13.已知锐角α,β满足sin α=,cos(α+β)=-,则cos β=　　　　.  14.已知函数f(x)=sin4x+的图象与曲线y=cosx+都关于直线x=m(-π<m<2π)对称,写出一个符合条件的m的值:　　　　.  四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)已知角α的终边经过点P(-3,4). (1)求的值; (2)求2sin2(5π-α)-3cos+αsin-α+1的值. 16.(15分)已知函数f(x)=sin xcos x-cos2x+. (1)求函数f(x)的单调递减区间及图象的对称轴; (2)求函数f(x)在区间-,上的值域. 17.(15分)已知函数f(x)=2cos(ωx+φ)(ω>0,φ∈[0,π]). (1)若函数y=f(x)为偶函数,求cos2φ的值; (2)若f(x)在[a,b]上单调,求b-a的取值范围;(结果用ω表示) (3)若φ=,且f(x)在-,上单调,求ω的取值范围. 18.(17分) 已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<的图象在一个周期内经过点A,2,B-,-2,且f(x)的图象关于直线x=对称. (1)若f(x)在-,m上的最大值为2,求实数m的最小值; (2)若存在x∈,,使得不等式f(x)≤2a+3成立,求a的取值范围; (3)若g(x)=fx+π+2,且g(x)在[0,b]上有且仅有5个零点,求b的取值范围. 19.(17分) 如图,某市在两条直线公路OA,OB上修建地铁站A和B,∠AOB=150°,为了方便市民出行,要求公园O到AB的距离为0.2 km,设∠BAO=θ. (1)试求AB的长度l关于θ的函数关系式;(△AOB的面积S=·OA·OB·sin∠AOB) (2)问当θ取何值时,才能使AB的长度最短,并求其最短距离. 参考答案 1.B　sin(-1950°)=sin(-360°×6+210°)=sin 210°=sin(180°+30°)=-sin 30°=-. 2.B　cos x+sin 2x=cos x+sin xcos x=cos x(1+sin x)=0,得cos x=0或sin x=-1.又x∈[-π,π],∴x=-或. 3.B　因为角α和角β的终边关于x轴对称,即β=-α,所以tan β=tan(-α)=-tan α=-. 4.D　由f(-x)=sin[10-x+10-(-x)]=sin(10-x+10x)=f(x),且函数f(x)的定义域为R,即f(x)为偶函数,排除选项A;由f(0)=sin(100+100)=sin 2∈(0,1),排除选项B,C. 5.C　由sin θ+sinθ+=sin θ+sin θ+cos θ=sin θ+cos θ=sinθ+=1, 得sinθ+=,所以sinθ-=-sinθ-+π=-sinθ+=-. 6.C　令y=f(x)=sin x-cos x=2sinx-,将函数f(x)图象上所有的点向左平移m(m>0)个单位长度后可得函数g(x)=2sinx-+m的图象.因为g(x)的图象关于y轴对称,所以g(x)为偶函数,所以m-=+kπ,k∈Z,解得m=+kπ,k∈Z.当k=0时,m=,m取到最小正值. 7.C　由题意可得== =sin α(sin α-cos α)===,解得tan α=或-(舍去). 因为α是直角三角形中较大的锐角,所以<α<,所以cos α====,所以sin α=tan α·cos α=. 又直角三角形的直角边分别为asin α,acos α,则b=asin α-acos α,所以=sin α-cos α=-=. 8.C　由题图知f(0)=sin φ=,又0<φ<,故φ=.又f=sinω×+=0,由“五点法作图”知,×ω+=π,解得ω=2,所以f(x)=sin2x+.又因为f(x1)+f(x2)=0,且|x2-x1|<,则为函数f(x)的零点,2·+=kπ,k∈Z,即x1+x2=kπ-,故f(x1+x2)=fkπ-=sin2kπ-+=-. 9.ACD　cos2-sin2=cos×2=cos =,A项是;sin 51°sin 9°-sin 141°cos 9°=sin 51°sin 9°-cos 51°cos 9°=-cos(51°+9°)=-cos 60°=-,B项不是;===,C项是;sin 50°(1+tan 10°)==·=·=,D项是. 10.AC　由sin α·tan α>0,即sin α与tan α同号,则角α的终边在第一象限或第四象限,故A项正确;令扇形的半径为r,则2r+3r=5r=30⇒r=6 cm,所以此扇形的面积为×3×62=54 cm2,故B项不正确;因为f(x)=sin2x+cos x=1-cos2x+cos x=-cos x-2+,又因为cos x∈[-1,1],所以当cos x=时,f(x)取得最大值;由sin α+cos α=,两边平方得1+sin 2α=,所以cos 2β=sin 2α=,故cos2β-sin2β=,因为cos2β+sin2β=1,所以==,解得tan2β=,又因为β∈0,,所以tan β=,故D项不正确. 11.BCD　由题意知,周期T满足=11-5=6,解得T=12,所以ω==.又因为解得所以h(t)=20sint+φ+32.由h(5)=52,得20sin+φ+32=52,sin+φ=1,φ=-+2kπ,k∈Z.因为|φ|<,所以φ=-,所以h(t)=20sint-+32.A=20,故A项错误;ω=,故B项正确;h(0)=20sin-+32=32-10,故C项正确;h(t)≥42,20sint-+32≥42,则+2kπ≤t-≤+2kπ,即3+12k≤t≤7+12k,k∈Z,所以一个周期内过山车距离地平面不低于42 m的时间是4 s,故D项正确. 12.　===. 13.　因为α,β为锐角,所以cos α==,所以0<α+β<π, 所以sin(α+β)==,cos β=cos(β+α-α)=cos(β+α)cos α+sin(β+α)·sin α=-×+×=. 14.本题答案不唯一,只要写出-,,这3个值的任意1个即可　依题意可得f(x)=sin4x+,因为曲线y=f(x)与y=cosx+的图象都关于直线x=m对称,则即因为-π<m<2π,所以当k1=0,k2=1时,m=;当k1=-4,k2=0时,m=-;当k1=4,k2=2时,m=.故m=-,,. 15.解:(1)由题意可得sin α==,cos α==-,tan α==-, ∴====. (2)由(1)知tan α=-,∴cos 2α====-,sin 2α====-.∵2sin2(5π-α)=2sin2α=1-cos 2α,cos+α=-sin α,sin-α=-cos α,∴2sin2(5π-α)-3cos+αsin-α+1=1-cos 2α-3sin αcos α+1=2-cos 2α-sin 2α=2+-×-=,即2sin2(5π-α)-3cos+αsin-α+1=. 16.解:(1)由已知可得f(x)=sin2x-,所以由2kπ+≤2x-≤2kπ+(k∈Z),可得kπ+≤x≤kπ+(k∈Z),所以函数f(x)的单调递减区间为kπ+,kπ+(k∈Z).由2x-=kπ+(k∈Z),得x=+(k∈Z),所以函数f(x)的图象的对称轴为直线x=+(k∈Z). (2)当-≤x≤时,-≤2x-≤,则-1≤sin2x-≤,因此函数f(x)在区间-,上的值域为-1,. 17.解:(1)若函数y=f(x)为偶函数,则φ=0或φ=π,即cos2φ=1. (2)若f(x)在[a,b]上单调,则b-a≤=,故实数b-a的取值范围为0,. (3)若φ=,则f(x)=-2sin ωx.当x∈-,时,ωx∈-ω,ω,∵f(x)在-,上单调,∴解得ω≤,又ω>0,故ω∈0,. 18.解:(1)由题意可得A=2,T=2--=π,ω>0,因为T=,所以ω=2. 因为点A,2在f(x)的图象上,所以f=2sin2×+φ=2,所以+φ=2kπ+(k∈Z),所以φ=2kπ-(k∈Z).因为|φ|<,所以只有当φ=-时满足要求,故f(x)=2sin2x-.因为f(x)在-,m上的最大值为2,所以sin2x-在-,m上的最大值为1,所以2m-≥,所以m≥,所以m的最小值为. (2)因为x∈,,所以2x-∈,.当2x-=,即x=时,f(x)取得最小值,最小值为f=-2.因为存在x∈,,使得不等式f(x)≤2a+3成立,所以f(x)min≤2a+3,即2a+3≥-2,解得a≥-,即a的取值范围为-,+∞. (3)由(1)可知g(x)=2sin2x++2.令g(x)=0,有sin2x+=-1,即2x+=+2kπ(k∈Z),得x=kπ+(k∈Z).因为g(x)在[0,b]上有且仅有5个零点,所以≤b<,所以b的取值范围为,. 19.解:(1)设OA=a,OB=b,作OD⊥AB于点D,如图.由题意知,×0.2×l=absin 150°,解得l=ab.又a=,b=,代入得l=(0°<θ<30°). (2)由(1)知l=== ==,当2θ+60°=90°,即θ=15°时,分母最大,此时l的值最小.故当θ=15°时,AB的长度最短,最短距离为==. ( 第 7 页 共 8 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $