精品解析：安徽合肥市第八中学2026-2027学年高一上学期数学统一作业3

合肥八中2026级高一数学第一学期统一作业3 考试说明： 1.考查范围：必修一第一章，第二章，第三章函数的概念及其表示，函数的单调性； 2.试卷结构：分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）；试卷分值：150分，考试时间：120分钟； 3.所有答案均要答在答题卷上，否则无效.考试结束后只交答题卷. 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则中元素个数为（ ） A. 0 B. 3 C. 5 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据补集的定义即可求出． 【详解】因为，所以， 中的元素个数为， 故选：C． 2. 已知，，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】结合区间的包含关系，根据充要条件的判断方法即得. 【详解】因是的真子集，故是的充分不必要条件. 故选：A. 3. 已知,那么下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式的性质，对A、B、C、D四个选项通过举反例进行一一验证，即可判断出选项. 【详解】对于A，当时，不成立，故A错误； 对于B，若，则或，所以，故B正确； 对于C，若，则当时，不成立，故C错误； 对于D，当时，，故D错误； 故选：B 【点睛】本题主要考查不等式的性质，属于基础题. 4. 下列四组函数和，表示同一函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据同一函数的概念，分别判定两个函数的定义域与对应法则，逐项判定，即可求解. 【详解】由题意，对于A中，函数的定义域为，函数的定义域为， 两函数的定义域不同，所以不是同一函数； 对于B中，函数和函数，两函数的对应法则不同，所以不是同一函数； 对于C中，函数的定义域为，函数的定义域为，两函数的定义域和对应法则都相同，所以是同一函数； 对于D中，函数的定义域为，函数的定义域为两函数的定义域不同，所以不是同一函数； 故选C. 【点睛】本题主要考查了同一函数的判定，其中解答中根据同一函数的概念，分别判定两个函数的定义域和对应法则是否相同是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 5. 已知，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出函数的定义域为，然后解不等式可得出函数的定义域. 【详解】对于函数，，即，解得，所以，函数的定义域为. 对于函数，，解得. 因此，函数的定义域为. 故选A. 【点睛】本题考查具体函数以及复合函数定义域的求解，解题时要注意以下两个问题：定义域为自变量的取值范围、中间变量的取值范围一致，考查计算能力，属于中等题. 6. 已知，则的最小值为（ ） A. 15 B. 16 C. 17 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件等式有且，再应用基本不等式求最值. 【详解】由题设且，则， 所以 当且仅当即时取等号. 故选：C 7. 若不等式对恒成立，则的最大值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，对、分类讨论的符号后可得的符号，从而得，最后结合基本不等式可求的最大值. 【详解】设， 若，则，而对恒成立， 故对恒成立即对恒成立， 而为开口向上的抛物线，故在不恒成立，故舍； 若，则当时，，故在上恒成立； 当时，，故在上恒成立； 而为开口向上的抛物线，故， 故，即， 故，当且仅当时等号成立， 故的最大值为， 故选：D. 8. 已知函数的定义域为区间[m，n]，其中，若f（x）的值域为[-4，4]，则的取值范围是（ ） A. [4，4] B. [2，8] C. [4，8] D. [4，8] 【答案】C 【解析】 【分析】先讨论，再结合二次函数的图象与性质分析时，的最大值与最小值，同理可得时的情况即可得解. 【详解】若，，函数为增函数，时，则，所以， 当时，作图如下， 为使取最大，应使尽量大，尽量小，此时， 由， 即， 所以， 所以，即， 当时，即时，此时在对称轴同侧时最小，由抛物线的对称性，不妨设都在对称轴右侧， 则由， 解得， ， 当且仅当 ,即时取等号，但，等号取不到， ， 时，同理，当时，，当时，， 综上，的取值范围是， 故选：C 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知函数 (a≠0)，下列说法正确的是（ ） A. 当时，在定义域上单调递增 B. 当时，的单调递增区间为 C. 当时，的值域为 D. 当时，的值域为R 【答案】BCD 【解析】 【分析】A.由单调区间不能合并判断；D.由函数的单调性判断；BC.利用函数的图象判断. 【详解】当时，，定义域为． ∵在上单调递增，故A错误； 又当时，，当时，，∴的值域为R，故D正确； 当时，，其图象如图所示： 由图象知：的单调递增区间为,值域为，故 B，C正确． 故选：BCD 10. 已知定义在上的函数满足，且，当时，，则（ ） A. B. C. 在区间上单调递减，在区间上单调递增 D. 不等式的解集是 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于，令，可得，正确；对于，令，可得，正确；对于，利用函数单调性定义可判断出在上单调递增，错误；对于,利用题中条件变形不等式，利用函数单调性转化不等式，解出即可判断. 【详解】对于，令，得，即，正确； 对于，令，得，因为，所以，正确； 对于，对任意，则， 所以，所以在上单调递增，错误； 对于，又， 所以原不等式等价于， 因为在上单调递增，所以，解得正确. 故选： 11. 已知函数定义域为R，最小值记为，则（ ） A. 的最小值为1 B. 的最大值为4 C. 存在唯一的实数 ，使得的图象有一条垂直于x轴的对称轴 D. 在区间上单调，则实数的取值范围为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对不同取值进行分析画出图象求解. 【详解】令，， 故， 当时，如图， 当时，，图象如图， 当时，图象如图，故， 故A错误，BC正确， 对于D，只需，即，故正确. 故选：BCD. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，，则的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用“1”的变形，，，展开后利用基本不等式求最值. 【详解】解：由题得， 则 又 (当且仅当，即时取等号). 所以，当且仅当时取等号. 故答案为：. 13. 若函数满足对任意实数，都有成立，则实数的取值范围是__________________ 【答案】 【解析】 【分析】由可得单调递增，则每一段函数都单调递增，且在分界点处也单调递增，即，解得范围即可 【详解】根据题意，任意实数，都有成立，则单调递增，故分段函数的每一段单调递增，且分界点处单调递增，即，则，即 【点睛】本题考查由不等式判断单调性，分段函数单调性问题，此类问题需注意不仅要使每一段函数单调递增，且分界点处也要单调递增． 14. 若对任意的，不等式恒成立，则的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】等价变形给定不等式，构造函数并确定在上单调性，求出最值并建立不等式，再利用不等式性质求出范围. 【详解】对任意的，不等式恒成立， 函数在上都单调递增，则函数在上单调递增， 则，因此，又，则， 所以的取值范围为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）试判断函数在区间上的单调性，并用函数单调性定义证明； （2）对任意时，都成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）函数在区间上单调递减，以下证明： 设， ， ∵， ∴，，， ∴， ∴在区间上单调递减； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用单调性定义：设并证明的大小关系即可. （2）由（1）及函数不等式恒成立可知：在已知区间上恒成立，即可求的取值范围． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知在上单调递减， ∴当时，取得最小值，即， 对任意时，都成立，只需成立， ∴，解得：． 16. 已知定义在上的函数对任意都有等式成立，且当时，有． （1）求证：函数在上单调递增； （2）若，解关于的不等式. 【答案】（1）证明见解析； （2）①当时，不等式的解集为，②当时，不等式的解集为，③当时，不等式的解集为. 【解析】 【分析】（1）根据函数单调性定义即可证明 在上是增函数； （2）原不等式即为，利用函数的单调性结合分类讨论可求不等式的解. 【小问1详解】 任取，设，则, ，即 所以在上是增函数. 【小问2详解】 ，， 故即为， 而在上是增函数 ，故， 即. ①当时，，故不等式的解集为， ②当时，不等式的解集为， ③当时，不等式的解集为. 综上，当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为. 17. 已知函数. （1）若的解集为或，求的值； （2）若，使不等式成立，求的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】(1)由题意对不等式化简可得，在结合一元二次不等式的解集，可知是方程的根，利用韦达定理求得的值. (2)由题意可知，使不等式成立，等价于，使不等式成立.令，原问题等价于，再利用基本不等式求出的最小值，即可求得的取值范围. 【详解】（1）因为的解集为或， 所以的解集为或，即的解集为或， 所以是方程的根， 所以，所以； （2）， 又，使不等式成立， 即，使不等式成立， 令，则 ， 令，则， 所以 当且仅当，即时取等号； 所以当时，取最小值，， 所以. 【点睛】本题主要考查分式不等式、一元二次不等式的解法，二次函数的性质、基本不等式的应用，体现了转化的数学思想，属于中档题. 18. 学习机是一种电子教学类产品，也统指对学习有辅助作用的所有电子教育器材．学习机较其他移动终端更注重学习资源和教学策略的应用，课堂同步辅导､全科辅学功能､多国语言学习､标准专业词典以及内存自由扩充等功能成为学习机的主流竞争手段，越来越多的学习机产品全面兼容网络学习､情境学习､随身学习机外教､单词联想记忆､同步教材讲解､互动全真题库､权威词典､在线图书馆等多种模式，以及大内存和SD/MMC卡内存自由扩充功能根据市场调查．某学习机公司生产学习机的年固定成本为20万元，每生产1万部还需另投入16万元．设该公司一年内共生产该款学习机万部并全部销售完，每万部的销售收入为万元，且．当该公司一年内共生产该款学习机8万部并全部销售完时，年利润为1196万元；当该公司一年内共生产该款学习机20万部并全部销售完时，年利润为2960万元． （1）写出年利润（万元）关于年产量（万部）的函数解析式； （2）当年产量为多少万部时，公司在该款学习机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润． 【答案】（1） （2）当时，取得最大值为3680万元 【解析】 【分析】（1）根据题意求出，分别求出当时和当时的年利润，即可求解； （2）分类讨论，当时根据二次函数的单调性求出最大值，当时，根据基本不等式求出最大值，综合分析即可求解． 【小问1详解】 因为当生产该款学习机8万部并全部销售完时，年利润为1196万元， 所以，解得， 当该公司一年内共生产该款学习机20万部并全部销售完时，年利润为2960万元， 所以，解得， 当时，， 当时，， 综上． 【小问2详解】 ①当时，单调递增，所以； ②当时，， 由于， 当且仅当，即时取等号， 所以此时的最大值为， 综合①②知，当时，取得最大值为3680万元． 19. 设函数定义域为，如果存在常数满足：任取，都有，则称是L型函数，是这个L型函数的常数. （1）判断函数，是不是L型函数，并说明理由；如果是，给出一个常数； （2）设函数是定义在区间上的L型函数，是一个常数，求证：函数也是L型函数； （3）设函数是定义在上的L型函数，其L常数，且的值域也是，求的解析式. 【答案】（1）是，常数是（）. （2）证明：令， 因为函数的定义域为，所以，解得， 即的定义域为， ，， 因为函数是定义在区间上的L型函数， 所以， 所以函数是L型函数，即函数也是L型函数. （3）的解析式为或. 【解析】 【分析】（1）根据定义型函数的定义求解； （2）根据定义型函数的定义求解； （3）先根据型函数的定义演绎推理求得，再利用分类讨论求出函数的解析式. 【小问1详解】 是，常数是（）. 因为，，， 又，所以，所以， 即当时，任取，，都有， 所以函数，是L型函数，一个常数是. 【小问2详解】 略. 【小问3详解】 假设，，，， 则有，即， 因为，所以，又因为，所以， 所以，所以，因为，所以, 则以下有两种情况和， 若，则有，，解得； 若，则有，，解得， 综上所述，的解析式为或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 合肥八中2026级高一数学第一学期统一作业3 考试说明： 1.考查范围：必修一第一章，第二章，第三章函数的概念及其表示，函数的单调性； 2.试卷结构：分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）；试卷分值：150分，考试时间：120分钟； 3.所有答案均要答在答题卷上，否则无效.考试结束后只交答题卷. 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则中元素个数为（ ） A. 0 B. 3 C. 5 D. 8 2. 已知，，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知,那么下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 4. 下列四组函数和，表示同一函数的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则的最小值为（ ） A. 15 B. 16 C. 17 D. 18 7. 若不等式对恒成立，则的最大值为（ ） A. 2 B. C. D. 8. 已知函数的定义域为区间[m，n]，其中，若f（x）的值域为[-4，4]，则的取值范围是（ ） A. [4，4] B. [2，8] C. [4，8] D. [4，8] 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知函数 (a≠0)，下列说法正确的是（ ） A. 当时，在定义域上单调递增 B. 当时，的单调递增区间为 C. 当时，的值域为 D. 当时，的值域为R 10. 已知定义在上的函数满足，且，当时，，则（ ） A. B. C. 在区间上单调递减，在区间上单调递增 D. 不等式的解集是 11. 已知函数定义域为R，最小值记为，则（ ） A. 的最小值为1 B. 的最大值为4 C. 存在唯一的实数 ，使得的图象有一条垂直于x轴的对称轴 D. 在区间上单调，则实数的取值范围为 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，，则的最小值为___________． 13. 若函数满足对任意实数，都有成立，则实数的取值范围是__________________ 14. 若对任意的，不等式恒成立，则的取值范围为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）试判断函数在区间上的单调性，并用函数单调性定义证明； （2）对任意时，都成立，求实数的取值范围． 16. 已知定义在上的函数对任意都有等式成立，且当时，有． （1）求证：函数在上单调递增； （2）若，解关于的不等式. 17. 已知函数. （1）若的解集为或，求的值； （2）若，使不等式成立，求的取值范围. 18. 学习机是一种电子教学类产品，也统指对学习有辅助作用的所有电子教育器材．学习机较其他移动终端更注重学习资源和教学策略的应用，课堂同步辅导､全科辅学功能､多国语言学习､标准专业词典以及内存自由扩充等功能成为学习机的主流竞争手段，越来越多的学习机产品全面兼容网络学习､情境学习､随身学习机外教､单词联想记忆､同步教材讲解､互动全真题库､权威词典､在线图书馆等多种模式，以及大内存和SD/MMC卡内存自由扩充功能根据市场调查．某学习机公司生产学习机的年固定成本为20万元，每生产1万部还需另投入16万元．设该公司一年内共生产该款学习机万部并全部销售完，每万部的销售收入为万元，且．当该公司一年内共生产该款学习机8万部并全部销售完时，年利润为1196万元；当该公司一年内共生产该款学习机20万部并全部销售完时，年利润为2960万元． （1）写出年利润（万元）关于年产量（万部）的函数解析式； （2）当年产量为多少万部时，公司在该款学习机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润． 19. 设函数定义域为，如果存在常数满足：任取，都有，则称是L型函数，是这个L型函数的常数. （1）判断函数，是不是L型函数，并说明理由；如果是，给出一个常数； （2）设函数是定义在区间上的L型函数，是一个常数，求证：函数也是L型函数； （3）设函数是定义在上的L型函数，其L常数，且的值域也是，求的解析式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $