第3章 圆（单元分层自测·能力提升卷）数学新教材苏科版九年级上册

**基本信息** 本单元卷聚焦九年级上册圆的核心内容，通过基础概念辨析、综合推理及创新作图，全面考查圆的性质与应用，适配单元复习能力提升需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|圆心角、圆周角、切线性质|图形辨析结合几何直观，基础概念分层呈现| |填空题|6/18|弧长计算、动态点问题|融入网格与实际测量情境，考查空间观念| |解答题|9/72|切线证明、内接多边形面积、无刻度直尺作图|综合运用圆与三角形、函数知识，突出推理能力与创新意识|

可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第3章圆·能力提升（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 6 1 8 9 10 C B B B A B A D C D 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.90°/90度 12.110°110度 13.25 14.25-1 15.5V3cm 16. 6≤SABMC≤18 三、解答题（共9小题，共72分） 17. 【详解】证明：，AB是直径， ∠ADB=90°，即ADLBE, .∠BAD+∠ABD=90°，∠EAD+∠E=90° …2分 :AD平分∠BAC, ∴.∠BAD=∠EAD, .∠ABD=∠E, .AB=AE.… .4分 18.【详解】证明：四边形ABCD是菱形， .AC⊥BD,即∠AOD=90°，AD=AB=BC=CD ,H是AD的中点， ..OH=AD 2 1/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 同理可得：0E=3B,0r=号5C,OG=CD 1 2 2 2分 ∴.OH=OE=OF=OG ∴.E,F,G,H四点在以点O为圆心，OH为半径的圆上， 即E,F,G,H四点在同一个圆上.4分 19.【详解】解：：正六边形ABCDEF内接于⊙O, ·∠40B=360 =60° 6 ..OA=OB, :∴△AOB是等边三角形， AB=OA=0B=4,.3分 如图，过O作AB的垂线OH, E D 则4H=BH=54B=2,∠AH0=90, .0H=VOA2-AH2=V42-22=25 :.S.am -AB-OH=1x4x2=45 6分 20.【详解】(1)证明：连接0C, B E 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 1分 :CD是OO的切线， 2/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠DCO=∠DCA+∠AC0=90°. .CE⊥AB」 .∠CAE+∠ACE=90°， 3分 又.OC=OA, .∠CAE=∠ACO」 .∠DCA=∠ACE, .CA平分∠DCE. .5分 (2)·∠DCA=∠ACE,∠DCA=25°， ∴.∠ACE=25 又：∠CAE+∠ACE=90°，∠CAE=∠ACO, .∠CAE=∠AC0=65°， .∠AOC=180°-∠CA0-∠AC0=50°， 5065 “AC的长180×气π= 6 8分 21.【详解】(1)解：连接BG 是 的高， G .'AD、BE△ABC ∴.∠AEH=∠BDH=90° :∠AHE=∠BHD .∠DBH=∠EAH,2分 ∠CBG=∠CAG, .∠HBD=∠GBD, 在△BDH与△BDG中， I∠HBD=∠GBD BD=BD ∠BDH=∠BDG=90° 3/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .△BDH≌△BDG(ASA) ..DH=DG 4分 (2)解：连接OB、OG」 A E G :∠BAD=30° .∠BOG=2∠BAG=60°， .OB=OG. ∴△OBG为等边三角形， ∴.BG=OB=OG .6分 ,△BHD≌ABGD .∴.BH=BG=4 0B=0G=4, .S=42.π=16元 8分 22. 【详解】(1)设圆的圆心是O,连接OA,OB,OC,OD B A Hi N- D 0 ,AB是圆内接正六边形的一边， ·AB的度数6×360°=60 ∴.△AOB是等边三角形， … 2分 :'OA=AB=2, 4/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .该圆的半径为2； ,AC是圆内接正方形的一边， 1 AC的度数4×360°=90】 nπr90π×2 :.AC的长=180 =π 180 ;… .4分 (2)设半径是r,作CM L AB交AB延长线于M,CN⊥AD, 由(1)解得 的度数90°-60°=30 BC ,AD是圆内接正三边形的一边， AD的度数3×360°=120° 的度数=120-90°=30 CD BD 的度数=120°-60°=60 .BC=CD,AB=BD, ∴.∠BAC=∠CAD, ..AC ∠BAD, 平分 7分 AB DB. .OB⊥AD, .AD=2AH, :sin∠AOH=AH AO 4H=A0-sin60°= -r, 2 .AD=2AH=√3r, .∵AC ∠BAD, 平分 ..CM=CN, 5/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 S.wc-jAB-CM-r-CM.S..o-AD.CN-xrxCN. .S.mc S..cD=3:3. 10分 23.【详解】(1)证明：，CB,CD分别切⊙O于点B,D, .∠ECO=LBCO,OB⊥BC, ∴.∠ABC=90° .∠BC0+∠COB=90°， .EF⊥OG, ∴.∠EFO=90°， ∴.∠FEB+∠FOE=90° 3分 .∠COB=∠FOE, ∴.∠FEB=∠BCO, ∠FEB=∠ECF; 5分 (2)解：①连接OD C D G CB,CD分别切⊙O于点B,D, .CD=CB=6,OD⊥CE,OB⊥BC, .∠ED0=∠ABC=90°，CE=CD+DE=6+4=10,7分 在RtBCE中，BE=VCE2-BC=V102-6=8 设⊙O的半径为r,则OD=OB=r,OE=8-r, 在RtAODE中，OD+ED2=OE2, :r2+4=(8-} 6/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解得r=3, .回0的半径长为3；10分 24.【详解】(1)，AB,CD是直径， .∠CAD=∠ADB=∠DBC=∠ACB=90°」 .四边形ACBD是矩形；.2分 (2)解：如图所示，连接AC,BD并延长交于点E,连接AD,BC交于点F,连接EF并延长交OO 于G,H,连接AH,HB,BG,GA,则四边形AHBG即为所求. E 4分 图② .ABII CD, .∠ABC=∠DCB .C-BD :∠ABC=∠DAB AD=BC .AF=BF,∠CAB=∠DBA, ∴.EA=EB,即E在AB的垂直平分线上， ..0..6分 AC=BD .∠ABC=∠DAB」 ,FA=FB,即点F在AB的垂直平分线上， .EF垂直平分AB, .GA=GB,HA=HB,GH经过AB的中点， 7/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .GH是⊙0的直径， .∠GBH=∠GAH=90°， .8分 ,AB是⊙O的直径， .∠AGB=∠AHB=90°， ∴四边形AHBG是矩形， 又：GA=GB, 四边形AHBG是正方形. ..10分 25.【详解】(1)证明：如图1中，连接OA,OB ● 是切线， B 图1 .PA .PA⊥OA, ∠PA0=909，………2份 在△PAO和△PBO中， (PA=PB PO=PO OA=OB' ∴.△PAO≌△PBO(SSS) ∠PB0=∠PA0=90°， .PB⊥OB, OB为半径， ∴.PB⊙O 是的切线。4分 (2)证明：如图1中，设∠PAC=a. 8/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B 图1 ∠PA0=90°， .∠0AC=90°-a, OA=OC、 .∠OCA=∠OAC=90°-a. .PA=PB,OA=OB, ∴.PO垂直平分AB, ∠CAB=90°-∠AC0=90°-(90°-a)=& ∠PAC=∠CAB AC平分∠PAB.… 7分 (3)解：如图2中，设AB交OP于点M. 是 的切线， B 图2 .PA,PB⊙O ∴.OP平分∠APB, :AC平分∠PAB, ∴点C是△PAB的内心，设△PAB的内切圆⊙C交PC于H, :⊙0的直径为6， .OA=3, .8分 ~OP垂直平分4BMB=25 9/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AM BM=5 0M=OA-AM2=V32-(√52=2 0C=3, .CH=CM=3-2=1. :点D到OC上各点的最大距离为DH, 最大距离DH=CD+CH=6+1=7.10分 10/10命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第3章圆·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1.如图，下列各角是圆心角的是() A.∠ACO B.∠BED C.∠BOC D.∠BAC 【答案】C 【详解】解：A、∠ACO不是圆心角，不符合题意； B、∠BED不是圆心角，不符合题意： C、∠BOC是圆心角，符合题意： D、∠BAC不是圆心角，不符合题意. 2.如图，A,及，C,D是©0上的四个点，C-Dc,A=25,则∠D的度数是（) A.25° B.40° C.60° D.65° 【答案】B 【详解】解：设OC与BD交于点E,如图所示： 1/28 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5 D :BC=DC.∠A=25 ∴.∠COD=2∠A=50°. :8C=DC,OC为半径， OC⊥BD. .∠OED=90°. .∠D=90°-50°=40° 3.如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O,⊙O的半径为3，则AB的长为() D A.2 B.3 c v3 D 2V3 【答案】B 【详解】解：正六边形ABCDEF内接于⊙O,⊙O的半径为3， ∠AOB= 360° =60° 6 OA=OB=3, .△AOB是等边三角形， .AB=OA=3. 4.如图，PA、PB分别与⊙0相切于A、B,∠P=60°，C为⊙0上一点，则∠ACB的度数为() 2128 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B A.110° B.120° C.125° D.130° 【答案】B 【详解】解：如图所示，连接OA,OB，在优弧AB上取点D,连接AD,BD, y D 是 切线， APBP⊙O ∴.∠OAP=∠OBP=90° ∴.∠A0B=360°-90°-90°-60°=120°， 1 ∴.∠ADB= ∠AOB=60° 2 又圆内接四边形的对角互补， ∴.∠ACB=180°-∠ADB=180°-60°=120° 5.如图，AB是OO的直径，弦CD⊥AB垂足为点M,连接OC,DB.如果OC∥DB,OC=4,那么图 中阴影部分的面积是() B D A.3π B.2π D.4元 【答案】A 【详解】解：OC∥DB, .∠OCD=∠BDC, 3128 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 CD⊥AB, ∴.CM=DM,∠CMO=∠DMB=90° ∴.AOCM三△BDM, .S.OCM =S.BDM ·阴影部分的面积 S扇形0CB :∠OCD=∠BDC,∠COB=2LBDC, ∴.∠COB=2∠OCD .'∠CMO=90° .∠COB=60° 0C=4, nπr260m×428π .阴影部分的面积为S扇形ocB= 。 3603603 6.如图，在△18C中，以8为圆心.B1为半径▣征分别交1C,BC于点D,E,若 CD=AB,∠B=87° DE 则 的度数为() D E A.30° B.31° C.32° D.33 【答案】B 【详解】解：如图，连接BD, D 由题意得，AB=BD, 4/28 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠DAB=∠ADB, .CD=AB ∴CD=BD, ∴.∠DBC=∠C, ,∠ADB=∠DBC+∠C, ∠DAB=∠ADB=2∠DBC=2∠C, :∠ABC=87°，∠BAC+∠C+∠ABC=180°， .∠BAC+∠C=3∠DBC=93°， .∠DBC=31°， .Do 31° 的度数为· 故选：B 7.如图，是由众多边长为2的正三角形组成的网格，B、C、D均为顶点，则 BCD 的长为() 2V分 今 7 14 A.3元 B. c.2π D.3π 【答案】A 【详解】解：如图，由思意可得：O为BCD A,E,F 在圆的圆心，为格点，取格点，连接 OF,BF,BE,DE,AD,OA,OB,OD,BD O OH L AD H ,过作 于“， 5128 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :由题意可得：OF=4=BE=AD,∠OFB=120°=∠BED=∠OAD,BF=OA=DE=2, ∴.AOBF≌ADOA≌△BDE, ..OB=DO=BD. “△BOD为等边三角形， .∠BOD=60°， 由等边三角形的性质可得：∠AOH=30°，OA=2,而∠AH0=90°， .AH=1,0H=V22-P=5 .DH=5, :0D=V52+(5=28=2W7, 60mx2727】 .BCD的长 180 3 故选：A 【点睛】本题考查的是等边三角形的判定与性质，勾股定理的应用，全等三角形的判定与性质，弧长的计 算，三角形的外接圆的圆心的确定，作出图形是解本题的关键， k 8.如图，在平面直角坐标系中，点A,B在反比例函数y=x(k>0:x>0)的图象上，分别以点A,1 为半径作圆，当OA与轴相切，连接4B.若1B=35 ,则k的值为() 6128 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.2 B.3 C.3√2 D.4 【答案】D 【分析】 【详解】解：过A点作AC⊥x轴于点C,过B点作BD上y轴于点D,BD相交于E点， DE- :圆的半径为1，⊙A与y轴相切， A点横坐标为1，B点纵坐标为1， k :点A,B在反比例函数y=x,(x>0)的图象上， A点纵坐标为k,B点横坐标为k, .AE=k-1,BE=k-1, Rt△ABE∠AEB=90°AB=3V2 ,在 中， .AE2+BE2=AB2, (-°+(k-1=18 .k=4或k=-2, :k>0, .k=4. 7/28 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 故选：D, 9.如图， △AB 2W3 C内接于O0,DE是O0的直径，与4C相交于点M且DEL1B,若O0的半径为 BC=2V ,则4M2+CM 的值为() M D E B A.12 B.20 C.24 D.28 【答案】C 【详解】解：过O作OF⊥BC于F,连接OB,OC,BM, y B :.BF=CF-1BC=6 2 :⊙0 V3 的半径为 0F=OB2-BF=2-(6=6=BF, :∠0BF=∠F0B-180°-0EB=45. 2 .OB=OC, :.∠BOC=2∠BOF=90°， :∠A=)∠B0C=45°. 2 8/28 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :直径DE⊥AB, .DE平分AB, ∴.MA=MB, ∴.∠MAB=∠MBA=45°， ∴.∠AMB=90°=∠BMC, .AM+CM2 =BM2+CM2 =BC2=(26=24 10,如图在矩形BCD中，MB=2,D=25,对角线4C与BD交于点0，点P在过B,0,C三点 的圆弧上运动，当4P长取最小值时，P与的长分别为《) 2V3π A.27-25,3 B.27-2V3,π 2V3玩 C.23-2,3 D.2W3-2,元 【答案】D 【详解】解：在矩形1BCD中，4B=2,8C=D=2V5∠ADC-90 ..AC=AB2+BC2=4 ∴.OA=OB=OC=2 9128 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B E 设过B,O,C三点的圆的圆心为M,半径为R,连接MO交BC于点E,连接BM,连接AM,交圆M于点 P', 则点M在BC的垂直平分线上 班0-g 在Rt△OBE中，OE=VOB-BE=1 ∴.ME=MO-OE=R-1 在RtAMBE中，MB=ME2+BE2,即R=(R-'+3 解得R=2, .ME=1 过M作MG⊥AB交AB延长线于G, ,矩形ABCD中，∠ABC=90° ∠GBC=180°-90°=90°， ∴.∠GBC=∠G=∠BEM=90° ∴.四边形BGME是矩形， 则BG=ME=1,GM=BE=V5 ∴.AG=AB+BG=3 在Rt△AGM中，AM=VAG2+GM2=V32+(W5=2V5 AP+PM≥AM ∴当A,P,M共线时，AP取最小值，此时点P在点P的位置， 10/28 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :4Pm=AM-R=2V5-2 在△AMC中，AM2=(25=12,MC=R2=4,AC=4=16 .AM2+MC2=AC2 ∴.∠AMC=90° 0π×2 = 弧CP的长即为 l= 180 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1,如图，在5x5正方形网格中，一条圆弧经过A、五C三点，那么C所对的圆心角度数是 B C 【答案】90°/90度 【分析】 【详解】解：连接AB,BC,分别作AB,BC的垂直平分线，即可得到圆心Q, B C02=Ag2=1P+22=5AC2=1P+32=10 由图可得： Co2+A02=AC2 11/28 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 故∠AQC=90° 即C 90° 所对的圆心角为 故答案为：90° 12.如图，在o0中 0中，ABCD 是两条直径，弦CE川1B,若EC所对圆心角的度数是40°，则∠B0D- E D B 【答案】110°/110度 【详解】解：如图所示，连接OE, :.4c 所对圆心角的度数是 40° .∠C0E=40°， ..OE =OC, :∠0CE=∠0EC=180°-∠C0E=70 2 :CE‖AB .∠AOD=∠OCE=70°， ∴.∠BOD=180°-∠AOD=110°， 故答案为：110°」 A E 13.如图，AB是⊙0的直径，弦CD‖AB,若∠CAB=65°，则∠BCD= 12/28 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C D B 【答案】25 【详解】解：，AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=90° ∠CAB=65°， .∠ABC=90°-65°=25°， CD‖AB, ∴.∠BCD=∠ABC=25°. 14,如图，在矩形1BDE中，以B为圆心，BA为半径画弧交DE于点C,连接BC, BCBD=V5.△BDC的 面积为1，则图中阴影部分的面积为」 (结果保留π和根号) B D C E 【路125-1 【详解】解：：四边形ABDE是矩形， ∴.∠D=90°，ABI/CD :BD=N2△BDC 的面积为1， .CD=2 ∴.BD=CD ∴△BCD是等腰直角三角形， .∠BCD=45°，BC=2 13/28 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AB=BC=2, :AB∥DE, ∴.∠ABC=∠BCD=45°， :图中明影都分的面积=2x反-152-25-1. 360 15.为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为 30°的三角尺和一个刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径。若三角尺与铁环 相切，且测得PA=5cm,则铁环的半径为 O。 0cm51015202530 【答案】v3cm 【详解】解：过O作O0⊥AB于，连接OP、OA,如图， P XA 0cm51015202530 ,AP为⊙O的切线，AQ为⊙O的切线， .AO为∠PAQ的平分线，即∠PAO=∠QAO, 又：∠BAC=60°，∠PAO+∠QAO+∠BAC=180° :∠PA0=∠0A0=60°， ∴.∠P0A=30°， 在Rt△OPA中，PA=5cm,∠POA=30°， ∴.OA=2PA=10cm, 14128 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :0P=V04-PF=Vi02-S=5N5(cm）,即铁环的半径为53cm 16.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=8,BC=6,点D是半径为4的OA上一动点，点M是 CD的中点，则3.9的取值范用是 M B 6≤SBMc≤18 【答案】 【详解】解：取AC的中点N,连接MN,取BC的中点F,连接FV,AD, D B :.FN是△ACB的中位线 NF=2AB=2×公=+，不乙3. ,∠ABC=90°， .NF⊥BC, ,M是CD的中点，N是AC的中点， :MN是△ACD的中位线， N-4D, ,点D在半径为4的⊙A上， 15128 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AD=4, .MN=2,即点M在以N为圆心，2为半径的圆上运动， 设点M到BC的距离为h, ,点M在以N为圆心，2为半径的圆上，且圆心N到BC的距离为4， ∴.NF-MW≤h≤NF+MN, .4-2≤h≤4+2，即2≤h≤6， -1BC.h= S.mc x6xh=3% 1 3x2≤S.BMc≤3x6 .6≤SRNC≤18 三、解答题（共9小题，共72分） 17.(4分)如图，△ABC内接于⊙0，点O在AB上，AD平分∠BAC交⊙0于点D,连接BD,延长AC ,BD相交于点E,求证：AB=AE. E D B 【详解】证明：：AB是直径， .∠ADB=90°，即ADLBE, .∠BAD+∠ABD=90°，∠EAD+∠E=90° 2分 :AD平分∠BAC, ∴，∠BAD=∠EAD, ∴∠ABD=∠E, .AB=AE.… 小分 18.(4分)如图，在菱形ABCD中，点E,F,GH分别为各边的中点.求证：E,F,G,H四点在同 一个圆上. 16/28 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D G B 【详解】证明：：四边形ABCD是菱形， ∴.AC⊥BD,即∠AOD=90°，AD=AB=BC=CD, :H是AD的中点， 同理可得：0E-40,0F-8C,0G= 2分 ∴.OH=OE=OF=OG ∴.E,F,G,H四点在以点O为圆心，OH为半径的圆上， 即E,F,G,H四点在同一个圆上.… 4分 19.(6分)如图，⊙O的半径为4，正六边形ABCDEF内接于⊙0，求△OAB的面积 B 【详解】解：正六边形ABCDEF内接于⊙O, ·∠A0B=360 =60° 6 OA=OB, ∴△AOB是等边三角形， AB=0A=0B=4,.3分 如图，过O作AB的垂线OH, 17128 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B 则4H=8肚-B=2,∠AH0=90, :.0H=VOA2-AH2=V42-22=25 .S.ow=AB.OH-x4x23=4 2 W346分 20.(8分)如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，过点C作⊙O的切线，交BA的延长线于点D, CE⊥AB,垂足为E. D A (I)求证：CA平分∠DCE (2)若∠DCA=25°，1B=6 的长 【详解】(1)证明：连接OC, C E 1分 :CD是⊙O的切线， ∴，∠DCO=∠DCA+∠ACO=90°， CE⊥AB, ∴.∠CAE+∠ACE=90° 3分 18/28 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 又，OC=OA, .∠CAE=∠ACO. .∠DCA=∠ACE, CA平分∠DCE.5分 (2)∠DCA=∠ACE,∠DCA=25°， .∠ACE=25° 又：∠CAE+∠ACE=90°，∠CAE=∠ACO, .∠CAE=∠AC0=65° .∠AOC=180°-∠CAO-∠AC0=50°， 50.65 ·AC的长180x2π=6π 6* 8分 21.(8分)如图，△ABC内接于⊙O,AD、BE是△ABC的高，H是AD、BE的交点，AD的延长线交 ⊙0 于G E G (I)试说明：HD=DG. (2)若∠BAD=30°，BH=4,求⊙0的面积. 【详解】(I)解：连接BG」 A B 是 的高， G ,:AD、BE△ABC 19128 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠AEH=∠BDH=90° :∠AHE=∠BHD ∠DBH=∠EAH, 2分 :∠CBG=∠CAG, ∴.∠HBD=∠GBD. 在△BDH与△BDG中， [∠HBD=∠GBD BD=BD ∠BDH=∠BDG=90 .△BDH≌aBDG(ASA) ∴.DH=DG. 4分 (2)解：连接OB、OG D G .·∠BAD=30° ∴.∠BOG=2∠BAG=60° .OB=OG :∴△OBG为等边三角形， BG=0B=0G .6分 :△BHD≌△BGD, .BH=BG=4, ∴.0B=0G=4, .S=42.元=16π 8分 22.(I0分)如图，AB,AC,AD分别是某圆内接正六边形、正方形、等边三角形的一边.若AB=2, 20/28 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D (1)弧AC的长为一： (2)连接BC,CD,则△ABC与△ACD的面积比为一· 【详解】(1)设圆的圆心是O,连接OA,OB,OC,OD B H D ,AB是圆内接正六边形的一边， .AB的度数6 -×360°=60° .△A0B是等边三角形，2分 .0A=AB=2, 该圆的半径为2： :AC是圆内接正方形的一边， ·AC的度数4×360°=90 nπr90r×2 .AC的长180 180 .4分 (2)设半径是r,作CM⊥AB交AB延长线于M,CN⊥AD 由(1)解得 的度数=90°-60°=30° B ,AD是圆内接正三边形的一边， ·AD的度数3×360°=120 的度数=120°-90°=30 CD 21/28 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BD =120°-60°=60° 的度数 ∴.BC=CD,AB=BD, .∠BAC=∠CAD ∴AC ∠BAD, 平分 .7分 .AB=DB, ∴OB⊥AD, :AD=2AH, :sin∠AOH=AH A0' H=A0-sim60= 2 :AD=2AH=3r, AC ∠BAD, 平分 ∴.CM=CW, 5.w-AB-CM-r.CM.S.o-D.CN-x5rxCN. 2 2 S.c:S.cD=3:3. 10分 23.(10分)如图，AB为⊙O的直径，CB,CD分别切⊙O于点B,D,CD交BA的延长线于点E,CO 的延长线交⊙O于点G,EF⊥OG于点F.若BC=6,DE=4. C D A G 22/28 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (I)求证：∠FEB=∠ECF: (2)求⊙0的半径长； 【详解】(1)证明：CB,CD分别切⊙O于点B,D, ∴.∠ECO=∠BCO,OB⊥BC, .∠ABC=90° ,∠BCO+∠COB=90°， .EF⊥OG, .∠EFO=90°， ∴.∠FEB+∠FOE=90° 3分 ,∠COB=∠FOE, .∠FEB=∠BCO, .∠FEB=∠ECF; 5分 (2)解：①连接OD, O G :CB,CD分别切⊙O于点B,D, CD=CB=6,OD⊥CE,OB⊥BC, .∠ED0=∠ABC=90°，CE=CD+DE=6+4=10,.7分 在RtBCE中，BE=VCE2-BC=V02-6=8 设⊙O的半径为r,则OD=OB=r,OE=8-r, 在RtAODE中，OD+ED2=OE2, 2+4=(8- 23/28 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解得r=3, .⑥0的半径长为3：10分 24.(10分)仅用无刻度的直尺作图，是一种考查灵活运用图形性质和判定的绘图方式，按要求完成下面 仅用无刻度的直尺作图的题目： D 图① 图② (I)如图①，在⊙O内，作任意两条直径AB、CD,顺次连接A、C、B、D,则画出了⊙0的一个内接矩 形，请说明理由； (2)如图②，AB是⊙O的直径，CD是弦，且AB川CD,画出⊙0的内接正方形.（保留画图痕迹，不写作 法) 【详解】(1)AB,CD是直径， ,∠CAD=∠ADB=∠DBC=∠ACB=90° :四边形ACBD是矩形： 2分 (2)解：如图所示，连接AC,BD并延长交于点E,连接AD,BC交于点F,连接EF并延长交⊙O于 G,H,连接AH,HB,BG,GA,则四边形AHBG即为所求. E D .4分 H 图② ABI CD 24/28 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠ABC=∠DCB, .AC-BD :∠ABC=∠DAB AD=BC .AF=BF,∠CAB=∠DBA, 二.EA=EB，,即E在AB的垂直平分线上， 6分 4C=BD .∠ABC=∠DAB. .FA=FB,即点F在AB的垂直平分线上， ,EF垂直平分AB, ∴GA=GB,HA=HB,GH经过AB的中点， :.GH是⊙O的直径， .∠GBH=LGAH=90°， …8分 :AB是⊙O的直径， :.∠AGB=∠AHB=90°， ∴四边形AHBG是矩形， 又，GA=GB ∴四边形AHBG是正方形 10分 25.(10分)如图，P是⊙0外一点，PA是⊙0的切线，A是切点，B是⊙0上一点，且PB=PA,射线 PO交OO于C、D两点. B (1)求证：PB是OO的切线： (2)求证：AC平分∠PAB: 25128 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3)若o 的直径是6,4B=2V5 则点D与△PB的内切圆上各点之间距离的最大值为 【详解】(1)证明：如图1中，连接OA,OB 是切线， 图1 .PA .PA⊥OA, .∠PA0=900,…2份 在△PAO和△PBO中， PA=PB PO=PO OA=OB' .△PAO≌△PBO(SSS) .∠PBO=∠PAO=90°， PB⊥OB, OB为半径， ∴PB⊙O 是 的切线. .4分 (2)证明：如图1中，设∠PAC=a」 B 图1 ∠PA0=90°， .∠OAC=90°-a&, 26/28 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 0A=OC, .∠OCA=∠OAC=90°-a, .PA=PB,OA=OB. ∴.PO垂直平分AB, .∠CAB=90°-∠AC0=90°-(90°-a)= ∴.∠PAC=∠CAB AC平分∠PAB..7分 (3)解：如图2中，设AB交OP于点M, 是 的切线， B 图2 PA,PB⊙O .OP平分∠APB, AC平分∠PAB, ∴点C是△PAB的内心，设△PAB的内切圆OC交PC于H, :⊙0的直径为6。 0A=3... 8分 OP 垂直平分 AB,AB=2V5 .AM BM=5 ..OM=VO-AM=3-(5)=2 0C=3. .CH=CM=3-2=1, :点D到⊙C上各点的最大距离为DH, 最大距离DH=CD+CH=6+1=7.10分 27128 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 28/28………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第3章 圆·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．如图，下列各角是圆心角的是（     ） A． B． C． D． 2．如图，A，B，C，D是上的四个点，，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 3．如图，正六边形内接于，的半径为3，则的长为（   ） A．2 B．3 C． D． 4．如图，、分别与相切于、，，为上一点，则的度数为（     ） A． B． C． D． 5．如图，是的直径，弦垂足为点，连接，．如果，，那么图中阴影部分的面积是（     ） A． B． C． D． 6．如图，在中，以为圆心，为半径画分别交，于点，，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 7．如图，是由众多边长为2的正三角形组成的网格，B、C、D均为顶点，则的长为（   ） A． B． C． D． 8．如图，在平面直角坐标系中，点A，B在反比例函数（，）的图象上，分别以点A，1为半径作圆，当与y轴相切，连接．若，则k的值为（　　） A．2 B．3 C．3 D．4 9．如图，内接于，是的直径，与相交于点M，且，若的半径为， ，则的值为（     ） A．12 B．20 C．24 D．28 10．如图，在矩形中，，，对角线与交于点，点在过，，三点的圆弧上运动，当长取最小值时，与的长分别为（     ） A．， B．， C．， D．， 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．如图，在正方形网格中，一条圆弧经过A、B、C三点，那么所对的圆心角度数是______． 12．如图，在中，是两条直径，弦，若所对圆心角的度数是，则______． 13．如图，是的直径，弦，若，则__________． 15．为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为的三角尺和一个刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径．若三角尺与铁环相切，且测得，则铁环的半径为________． 16．如图，在中，，，，点D是半径为4的上一动点，点M是的中点，则的取值范围是________． 三、解答题（共9小题，共72分） 17．（4分）如图，内接于，点O在上，平分交于点D，连接，延长，相交于点E，求证：． 18．（4分）如图，在菱形中，点E，F，G，H分别为各边的中点．求证：E，F，G，H四点在同一个圆上． 19．（6分）如图，的半径为4，正六边形内接于，求的面积． 20．（8分）如图，是的直径，为上一点，过点作的切线，交的延长线于点，，垂足为． (1)求证：平分． (2)若，，求的长． 21．（8分）如图，内接于，、是的高，H是的交点，的延长线交于G． (1)试说明：． (2)若，，求的面积． 22．（10分）如图，分别是某圆内接正六边形、正方形、等边三角形的一边．若， （1）弧的长为_____； （2）连接，则与的面积比为_____． 23．（10分）如图，为的直径，，分别切于点B，D，交的延长线于点E，的延长线交于点G，于点F．若，． (1)求证：； (2)求的半径长； 24．（10分）仅用无刻度的直尺作图，是一种考查灵活运用图形性质和判定的绘图方式，按要求完成下面仅用无刻度的直尺作图的题目： (1)如图①，在内，作任意两条直径、，顺次连接、、、，则画出了的一个内接矩形，请说明理由； (2)如图②，是的直径，是弦，且，画出的内接正方形．（保留画图痕迹，不写作法） 25．（10分）如图，是外一点，是的切线，是切点，是上一点，且，射线交于、两点． (1)求证：是的切线； (2)求证：平分； (3)若的直径是，，则点与的内切圆上各点之间距离的最大值为______ ． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第3章圆·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分) 1.如图，下列各角是圆心角的是() A.∠ACO B.∠BED C.∠BOC D.∠BAC 2.如图，4，B,C,D是O0上的四个点， BC=DC.∠A=25°，则∠D的度数是() 4 A.25° B.40° C.60° D.65° 3.如图，正六边形ABCDEF内接于⊙0，⊙O的半径为3，则AB的长为() D B A.2 B.3 C v3 D.25 4.如图，PA、PB分别与O0相切于A、B,∠P=60°，C为⊙0上一点，则∠ACB的度数为() 1/9 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A 0 B A.110° B.120° C.125° D.130° 5.如图，AB是OO的直径，弦CD⊥AB垂足为点M,连接OC,DB.如果OC∥DB,OC=4,那么图 中阴影部分的面积是() O M B D 5 A.3 B.2π c. D.4π 6如图，在8C中，以P为圆心，B时为半径面正分别胶1C.C于点D.E,若CD1服1B=87” AE DE 则 的度数为() E A.30° B.31 C.32° D.33° BCD 7.如图，是由众多边长为2的正三角形组成的网格，B、C、D均为顶点，则的长为() 27 万】 7。 14 A.3π B.2 C. D.3x 2/9 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 8.如图，在平面直角坐标系中，点A,B在反比例函数y=X(k>0,x>0)的图象上，分别以点A,1 为半径作圆，当OA与y轴相切，连接1B.若1B=3 ,则k的值为() A.2 B.3 C.3V2 D.4 9.如图，△1BC内接于O0,DE是O0的直径，与4C相交于点M且DE1AB,老O0 的半径为 2W3 BC=26 AM2+CM2 ,则 的值为() M A.12 B.20 C.24 D.28 10,如图，在矩形4BCD中，MB=2,MD=25,对角线4C与D交于点0，点P在过，0，C三点 的圆弧上运动，当1P长取最小值时，4P与CP 的长分别为() D B 2V3n A.27-25,3 B.2W7-2W3,π 3/9 学科网·上好课 www .zxxk.com ◆ 上好每一堂课 2V3n C.23-2,3 D.2W3-2,元 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1.如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过4、B、C三点，那么 C 所对的圆心角度数是 B 12.如图，在O0中，B、CD 两条直径，弦 CEl AB 心所对圆心角的度数是40°， 则<B0D= A 13.如图，AB是⊙O的直径，弦CD‖AB,若∠CAB=65°，则∠BCD= O 0 15.为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为 30°的三角尺和一个刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径.若三角尺与铁环 相切，且测得PA=5cm,则铁环的半径为」 4/9 命学科网·上好课 www.zxxk.com ◆ 上好每一堂课 P A 0cm51015202530 16.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=8,BC=6,点D是半径为4的OA上一动点，点M是 CD的中点，则5C的取值范围是 M 三、解答题（共9小题，共72分） 17.(4分)如图，△ABC内接于⊙O,点O在AB上，AD平分∠BAC交⊙O于点D,连接BD,延长AC ,BD相交于点E,求证：AB=AE. E D 0 B 18.(4分)如图，在菱形ABCD中，点E,F,G,H分别为各边的中点.求证：E,F,G,H四点在同 一个圆上 5/9 命学科网·上好课 www.zxxk.com ◆ 上好每一堂课 D H O B 19.(6分)如图，⊙O的半径为4，正六边形ABCDEF内接于O0,求△OAB的面积. 20.(8分)如图，AB是⊙O的直径，C为O0上一点，过点C作⊙0的切线，交BA的延长线于点D, CE⊥AB,垂足为E. A EO (I)求证：CA平分∠DCE ②若DC1=25°，4B=6,求C的长 6/9 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2L.(8分)如图，△ABC内接于⊙O,AD、BE是△ABC的高，H是AD、BE的交点，AD的延长线交 ⊙0 于G. 0 B D G (I)试说明：HD=DG (2)若∠BAD=30°，BH=4,求⊙0的面积. 22.(10分)如图，AB,AC,AD分别是某圆内接正六边形、正方形、等边三角形的一边.若AB=2, 2 D (1)弧AC的长为一： (2)连接BC,CD,则△ABC与△ACD的面积比为一· 23.(10分)如图，AB为OO的直径，CB,CD分别切OO于点B,D,CD交BA的延长线于点E,CO 的延长线交⊙O于点G,EF⊥OG于点F.若BC=6,DE=4. 7/9 学科网·上好课 www.zxxk.com ◆ 上好每一堂课 D A G (I)求证：∠FEB=∠ECF: (2)求⊙0的半径长： 24.(10分)仅用无刻度的直尺作图，是一种考查灵活运用图形性质和判定的绘图方式，按要求完成下面 仅用无刻度的直尺作图的题目： D D B 图① 图② (I)如图①，在OO内，作任意两条直径AB、CD,顺次连接A、C、B、D,则画出了⊙0的一个内接矩 形，请说明理由； (2)如图②，AB是⊙O的直径，CD是弦，且AB‖CD,画出⊙O的内接正方形.（保留画图痕迹，不写作 法) 8/9 学科网·上好课 www.zxxk.com ◆ 上好每一堂课 25.(10分)如图，P是⊙0外一点，PA是⊙O的切线，A是切点，B是⊙O上一点，且PB=PA,射线 PO交⊙0于C、D两点. B (1)求证：PB是⊙0的切线； (2)求证：AC平分∠PAB: 6)若00的直径是6,4B=25 5,则点D与△P1B的内切圆上各点之间距离的最大值为 9/9