第6章 二次函数（单元自测）数学新教材苏科版九年级下册

第6章 二次函数 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1．下列关于的函数中，属于二次函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数，根据二次函数的定义“形如（为常数，且）的函数叫做二次函数”进行判断即可求解，掌握二次函数的定义是解题的关键． 【解析】、是二次函数，符合题意； 、是一次函数，不合题意； 、是反比例函数，不合题意； 、是正比例函数，不合题意； 故选． 2．关于二次函数，下列说法错误的是（ ） A．y的最大值为1 B．图象与y轴的交点坐标为 C．当时，y的值随x值的增大而减小 D．图象的对称轴是y轴 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，由表达式得到二次函数开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为，进而得到当时，y随x增大而减小，由此即可得到答案． 【解析】∵二次函数解析式为， ∴二次函数开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为，最小值为， ∴A选项错误，符合题意； 当时，，则图象与y轴的交点坐标为，故B选项正确； ∴当时，y随x增大而减小，故C选项正确； ∵对称轴为轴，故D选项正确． 故选A． 3．如图，二次函数的图象与轴交于点，，与轴交于点，若直线的解析式为，则的解集为（ ） A．或 B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，一次函数图象与性质，待定系数法求一次函数参数，熟练掌握函数图象与不等式的关系是解题的关键．先由二次函数可求得点坐标，代入即可得到，然后由变形为，观察图象即可得到答案． 【解析】与轴交于点，即时，， 又点在直线：上， 将代入，得 直线的解析式为 观察图象可知，当时，直线在抛物线的上面，当时，直线在抛物线的下面，当时，直线在抛物线的上面， ，即 观察图象可知，该不等式的解集为：或． 故选D． 4．已知抛物线上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表 x … 0 1 2 3 … y … 3 0 m 3 … ①抛物线开口向下；②；③m的值为0；④图象不经过第三象限；⑤抛物线在y轴左侧的部分y随x的增大而减小．其中正确的结论有（ ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握抛物线与系数的关系，顶点坐标，对称轴，对称性，增减性，是解题的关键．根据抛物线的顶点坐标是，有最小值，判断①；根据抛物线的对称轴是直线，判断②；根据与对称，判断③；根据图象过原点，对称轴在原点右则，判断④；抛物线在直线右侧的部分是上升的．判断⑤． 【解析】由表格可知，抛物线的顶点坐标是，有最小值， ∴抛物线的开口向上，故①错误； 抛物线的对称轴是直线， ∴， ∴，故②正确； ∴当或时，， 故m的值为0，故③正确； ∵图象过原点，对称轴为直线，开口向上， ∴图象不过第三象限，故④正确； ∵抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而减小， ∴抛物线在y轴左侧的部分y随x的增大而减小，故⑤正确． ∴正确的有②③④⑤，共4个． 故选C． 5．已知二次函数的图象如图所示，，是函数图象上的两点，下列结论正确的是（ ）    A． B． C．，则 D．若，则 【答案】B 【分析】该题主要考查了二次函数的图像与系数关系，解答该题的关键是掌握二次函数图像和性质的相关知识点，根据二次函数的系数与图像的关系解答即可． 【解析】A、根据函数图像可得当时，，故A错误； B、根据对称轴为直线可得：故，故B正确； C、根据函数图像可得当，则，故C错误； D、根据函数的对称性得：，则，故D错误； 故选B． 6．如图，二次函数与轴交于点、，与轴交于点，其中．则下列结论： ①；②方程没有实数根；③； ④． 其中错误的个数有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数图象开口，对称轴直线，最值的计算方法是关键． 根据题意得到图象开口向上，对称轴直线为，，则，当时，代入计算可判定①；根据二次函数与直线的位置关系可判定②；根据题意得到，可判定③；根据函数最小值的大小可判定④；由此即可求解． 【解析】二次函数与轴交于点、，图象开口向上， ∴对称轴直线为，， ∴， 当时，， ∴，即， ∴， ∴，故①正确； 图象开口向上，对称轴直线为， ∴当时，函数有最小值，最小值轴的下方， ∴抛物线与直线两个不同的交点， ∴方程有两个不相等的实数根，故②错误； ∵二次函数与轴交于点，其中， ∴当，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得，，故③正确； 当时，函数有最小值，最小值为，， ∴， ∴，故④正确； 综上所述，正确的有①③④，错误的有②， ∴错误的有1个， 故选A ． 7．已知二次函数，的图象经过点图象上有三个，若当时，均有，则下列说法中正确的是（ ） A． B．时，有最大值 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，掌握二次函数图象上的y值与点离对称轴距离与开口方向的关系是解题的关键．由时，均有可知抛物线开口向上，由抛物线开口向上，可知时，y有最小值可判定B选项；再结合抛物线对称轴即可判定A选项；当有，可判定C选项；根据二次函数的性质可判定D选项． 【解析】∵当时，均有， ∴该抛物线的开口方向向上，即， ∴，有最小值，故B错误； ∵二次函数的图象经过点、， ∴对称轴为直线， ∴，则， ∴，故A错误； ∵二次函数的图象经过点、，对称轴为直线， ∴， ∴，C错误； ∵时，均有， ∴点与对称轴直线的对称点为距离大于点与对称轴直线的距离， ∴， ∴或， ∴或， ∴时，符合当时，均有，即D正确． 故选D． 8．如图，二次函数与一次函数的图象交于，两点，已知点，点在轴上，则不等式的解集是（ ） A．或 B．或 C． D． 【答案】C 【解析】对于二次函数，令，则， ∴二次函数的图象与y轴的交点为， ∵对于一次函数，令，则， ∴一次函数的图象与y轴的交点为， ∵两个图象交于，两点，已知点，点在轴上， ． 则不等式可变形为， 即， ∴由图象可得，它的解集是．故选C． 9．已知二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，则下列结论正确的是（ ）． A． B．方程的两根是， C．不等式的解集是 D．当时，随的增大而减小 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据开口方向和与轴的交点得到，故选项错误；根据对称轴和一个与轴的交点可得另一个与轴的交点，即可得到选项正确；根据图象可得不等式的解集是或，当时，随的增大而增大，故、选项错误． 【解析】根据二次函数的图象和性质，逐一分析各选项， 选项：∵抛物线的开口向下， ∴， ∵抛物线与轴的交点在轴正半轴， ∴， ∴，故选项错误； 选项：∵抛物线的对称轴为，与轴的一个交点是， ∴抛物线与轴的另一个交点的横坐标为，即另一个交点坐标是， ∴方程的两根是，，故选项正确； 选项：∵由图象可知当或时，抛物线在轴的下方， ∴不等式的解集是或，故选项错误； 选项：由图象可知，当时，随的增大而增大，故选项错误． 10．如图，平面直角坐标系中，若抛物线的图象与第三象限中的线段AB有公共点，且点A为，点B为，则b的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】当抛物线的对称轴左侧过点B时，b取最大值；当抛物线的对称轴的右侧经过点A时，b取最小值，计算解答即可． 本题考查了抛物线与线段的交点，熟练掌握图象的性质是解题的关键． 【解析】∵， ∴顶点坐标为， 当抛物线经过点B时，得， 解得或， 当抛物线经过点A时，得， 解得或， 故b的取值范围是， 故选B． 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 11．抛物线的对称轴是________． 【答案】直线 【分析】将抛物线的表达式化为顶点式，即可得出答案． 【解析】抛物线， ∴抛物线的对称轴为直线．故答案为直线． 12．如图，二次函数图象的一部分与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，结合图象给出下列结论： ①；②；③（为任意实数）；④若点，，均在二次函数图像上，且满足，则； 其中正确的结论有________． 【答案】①②③④ 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键． 根据二次函数图象的性质，对选项逐一进行判断即可． 【解析】根据图象可知，开口向上， ， ∵抛物线的对称轴为直线， ， ∵抛物线交轴负半轴， ，故①正确，符合题意； ∵抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为，根据抛物线的对称性可得，抛物线与轴的另一个交点坐标为， 将该点坐标代入解析式可得：，故②正确，符合题意； ∵抛物线顶点横坐标为，当时求得值最小，即， ∴无论取何值时，总是大于或等于 即，故③正确，符合题意； 根据绝对值的几何意义可知，分别表示到的距离，根据抛物线图象的性质，距离对称轴越远的点，其坐标就越大，故④正确，符合题意． 故答案为①②③④． 13．在平面直角坐标系中，若抛物线的顶点在轴，则的值为________． 【答案】9 【分析】本题主要考查二次函数的性质，写出二次函数的顶点坐标是解题的关键．先写出抛物线的顶点坐标，再根据已知条件列出关于的方程式即可求得答案． 【解析】， ， 抛物线的顶点在轴， ， ． 故答案为． 14．已知关于的二次函数的最小值为．当变化时，则的最大值为________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握图象开口，对称轴，最值的计算是关键． 根据题意得到当，二次函数的最小值为，由此得到，结合二次函数最值的计算即可求解． 【解析】关于的二次函数， ∵， ∴函数图象开口向上，对称轴直线为， ∴当，二次函数的最小值为， ∴， ∵， ∴关于的二次函数图象开口向下， ∴当，的最大值为， 故答案为 ． 15．设形状相同（即全等）的两条抛物线与，若的顶点在的图象上，且的顶点在的图象上，则称与互为“北斗星链”抛物线.已知的一条“北斗星链”抛物线是，与相交于点，，连接，在线段右上方的抛物线上取点，在线段左下方的抛物线上取点，作四边形，则________，四边形的面积的最大值是________. 【答案】 【分析】求出抛物线的顶点坐标，将其化入抛物线的解析式求出；再分别求出，，然后可求出的长，接着求出过、两点与平行且距离最远的直线的解析式，再求出它们与各自抛物线的交点、，再求出这两条最远的直线之间的距离即可求得四边形面积的最大值． 【解析】∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵的一条“北斗星链”抛物线是， ∴，解得：， ∴抛物线的解析式为； 当时，，解得：，， ∴当时，， 当时，， ∴，， ∴， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， 设过点与直线平行的直线的解析式为， 过点点与直线平行的直线的解析式为， 当两直线离直线都最远时，四边形的面积的最大， 此时两直线分别与抛物线，抛物线只有一个交点， 也就是与都只有一个解， 由得，只有一个解， 所以只有一个解， 所以， 解得：， 过点与直线平行的直线的解析式为， ，解得：， 所以； 由只有一个解得，只有一个解， 所以只有一个解， 所以，解得：， 所以过点点与直线平行的直线的解析式为， ，解得：， 所以， 过作于点， 设直线的解析式为， 则，解得：， 所以直线的解析式为， ，解得：， 所以， 所以， 所以四边形是最大面积为：． 【点睛】本题考查了求二次函数的解析式，待定系数法求一次函数解析式，求四边形的面积的最大值等知识，解题关键是利用待定系数法求一次函数解析式．故答案为① $6$ ② $27$． 16．对于一个二次函数中存在一点，使得，则称为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线“开口大小”为________． 【答案】 【分析】将抛物线化为顶点式求出对应的、的值，由得，解出再代入，即可求解． 【解析】抛物线，，， ，， ， 解得：或， ， ， ， ， 故答案为． 【点睛】本题考查了二次函数的顶点式，二次函数的性质，新定义，解一元二次方程，熟练掌握以上知识是解答本题的关键． 三、解答题（本大题共 9 小题，每小题 8 分，共 72 分） 17．（8分）某村庄为吸引游客，沿绿道旁的母亲河河边打造喷水景观，如图①，为保持绿道地面干燥，水柱呈抛物线状喷入母亲河中．图②是其截面图，已知绿道路面宽米，河道坝高米，当水柱离喷水口处水平距离为2米时，水柱离地面的垂直距离最大，其最大值为4米．以为原点，直线为轴，垂直于路面方向为轴，建立平面直角坐标系． （1）求水柱所在抛物线的函数表达式； （2）出于安全考虑，在河道的坝边处竖直向上安装护栏，若护栏高度为1.2米，判断水柱是否会喷射到护栏上，并说明理由． 【答案】（1） （2） 水柱不会喷射到护栏上 理由如下： 当时， ， 水柱不会喷射到护栏上 【分析】本题考查了二次函数的应用，根据题意列出函数解析式是解题的关键； （1）设该抛物线的函数表达式为，根据该抛物线经过原点，得出，即可求解； （2）将得出，即可求解． 【解析】（1）解：根据题意，得抛物线的顶点坐标为， 设该抛物线的函数表达式为， 该抛物线经过原点， ，解得． 该抛物线的函数表达式为 （2）略 18．（8分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，与轴交于点，顶点为． （1）求抛物线的解析式及顶点的坐标； （2）如图，连接，，若在上方的抛物线上存在点，满足，求点的坐标． 【答案】（1）；； （2）． 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、一次函数与二次函数交点问题等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）将点和点坐标代入求解即可； （2）由题意可知，进而求出解析式，联立方程组求解． 【解析】（1）解：由条件可得， 解得 抛物线， 顶点； （2）解：如图， 当时，， 则， 设直线表达式为，则由题意得： ， 解得： ∴直线表达式为， 由条件可知， 设直线的解析式为， 将点的坐标代入得：， 直线的解析式为， 联立， 解得：舍或， （3）． 19．（8分）如图，抛物线的对称轴l与x轴交于点A，与y轴交于点B． （1）求点A、B的坐标； （2）C为该抛物线上的一个动点，点D为点C关于直线l的对称点（点D在点C的左侧），点M在坐标平面内，请问是否存在这样的点C，使得四边形是正方形？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， （2）存在这样的点C，使得四边形是正方形，点C的坐标为或 【分析】（1）将二次函数化为顶点式，然后求出点A的坐标；把代入抛物线的解析式，求出，得出点B的坐标即可； （2）分两种情况进行讨论，当在x轴下方时，当M在x轴上方时，分别画出图形，求出结果即可． 【解析】（1）解：， ， 当时，， ． （2）解：存在，理由如下： 由题意四边形是正方形，则是以点A为直角顶点的等婹直角三角形． 设， ①当在x轴下方时，如图1，过点C作轴于E，此时是等腰直角三角形， ， ， （舍去），， 此时． ②当M在x轴上方时，如图2，过点C作轴于F， 同理可得：， ， ，（舍去）， 此时． 综上所述，存在这样的点C，使得四边形是正方形，此时点C的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数与坐标轴的交点，二次函数的性质，正方形的性质，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论． 20．（8分）随着劳动教育的开展，某学校在校园开辟了一块劳动教育基地：一面利用学校的墙（墙的最大可用长度为），用长为的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的矩形菜地，在菜地的前端设计了两个宽的小门，便于同学们进入．设边的长为，矩形菜地的面积为． （1）用含的代数式表示（不要求求的取值范围）； （2）若围成的菜地的面积为，求此时的值； （3）可以围成的菜地的面积最大是多少？ 【答案】（1） （2） （3） 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，列代数式，熟练掌握方程的应用和二次函数最值的应用是解题的关键． （1）根据篱笆长为，边的长为，可得，再根据矩形的面积公式求解即可； （2）令，则，即可求解； （3） 由，结合二次函数的性质即可求解． 【解析】（1）解：篱笆长为，边的长为， ， ； （2）当时，， 解得：，， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 围成的菜地的面积为，此时的值为； （3），， 当时，有最大值，最大值为． 21．（8分）已知，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点． （1）求点A、B、C三点的坐标； （2）过点A作交抛物线于点P，求四边形的面积； （3）在（2）的条件下，在线段上是否存在一点M，使的周长最小？若存在，请直接写出周长的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）16 （3）存在， 【分析】（1）分别令，求出点和点，点的坐标即可； （2）先求出直线的解析式，进而求出的解析式，联立抛物线解析式组成方程组求出点的坐标，再利用分割法来求解即可； （3）延长到点，使，过点作轴于点，连接，则与的交点即为点，易得到，进而求出点，易得到解析式，联立直线解析式组成方程组求解． 【解析】（1）解：当时，， 解得； 点坐标为点坐标为； 当时，， 点坐标为． （2）解：， ∴设直线的解析式为：，把代入，得：； 直线解析式：． ，设直线的解析式为：，把代入得： ； 则直线解析式为：， 联立解析式有： 解得，； 点坐标为； ． （3）解：存在． 延长到点，使，过点作轴于点，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ， 与关于对称，且为的中点， 点坐标为，， ∴的周长为：， ∴当在线段上时，的周长最小， 同（2）法可得：直线的解析式为； 联立方程组， 解得 点的坐标为； 此时，， 的周长最小值为； 在线段上存在一点，使的周长最小为． 【点晴】本题考查了二次函数图象与坐标轴交点的坐标的求法，函数图象交点坐标的求法，图形面积的求法，最短路径，二元一次方程组的解法，理解二次函数的图象和性质是解答关键． 22．（8分）已知：直线经过点，抛物线与x轴交于B，C两点（点B在点C的左侧），抛物线的顶点为D，抛物线与交y轴于点E． （1）求点B，点C的坐标（用含字母a的代数式表示）； （2）连接，求线段的最小值； （3）当直线恰好经过点E时，求a的值． 【答案】（1） （2）的最小值为1 (3)， 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，与一次函数的综合问题，二次函数图象与坐标轴的交点问题，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）令，求出，再由又点在直线，得到，即可求出点； （2）先表示出，而，那么，化简转化为二次函数求最值，再求的最小值； （3）设直线为，将代入，求得直线为，可得，那么，由于直线经过点E，则，即可求解． 【解析】（1）解：令，得，， 即与x轴交点为， 又点在直线， ， 点B在点C左边， ； （2）解：∵， ∴对称轴为直线：， 将代入得： ∴， ∵， ∴， 当时最小值为1，即的最小值为1 （3）解：设直线为，将代入 求得，， 直线为， ∵ ∴， 当时 ， 直线经过点E， ，． 23．（8分）解不等式组：． 【答案】 【分析】分别求出每个不等式的解集，再取它们的公共部分即可确定不等式组的解集． 【解析】， 解不等式得， 解不等式得， 解不等式得或， 综上，不等式组的解集为． 24．（8分）在平面直角坐标系中，设二次函数． （1）若a为整数，二次函数图象过点（其中n是正整数），求抛物线的对称轴． （2）若，为抛物线上两个不同的点． ①当时，，求a的值． ②若对于，都有，求a的取值范围． 【答案】（1）对称轴为直线 （2）①；② 【分析】本题考查二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程、二次函数的对称轴公式， （1）把代入，求得，，从而可得，再代入对称轴公式求解即可； （2）①根据对称轴为直线，进行求解即可； ②根据二次函数的图象与性质可得，即可求解． 【解析】（1）解：把代入，得， 解得，，． ∵n是正整数，a为整数， （舍去），．则， ∴对称轴为直线． （2）解：①时，， ，两点关于抛物线的对称轴对称， 则对称轴为直线， ． ②由题意可知，对于任意的，y随x的增大而增大， 可得， 解得． 25．（8分）如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，作直线．    （1）求点、、的坐标； （2）点为抛物线上一点，若，请直接写出点的坐标； （3）点是轴正半轴上一点，若，求点的坐标． 【答案】(1)，， （2）；； （3） 【分析】（1）分别令和，即可求点、、的坐标； （2）先求出的面积，可求的面积为1，从而可以求出的纵坐标，代入抛物线解析式即可求出的坐标； （3）过点作于点，过点作轴于点，过点作于点，先证明，求出点的坐标，再求出直线的函数解析式，令即可求出点的坐标． 【解析】（1）解：令，得： ， 解得：，， ，， 令，得： ， ， 点、、的坐标分别为：、、． （2）， ， 设点的纵坐标为，则有： ， ， 当时， ， 解得：， ， 当时， ， 解得：，， ，或，， 点的坐标为：或，或，． （3）如图，点在轴正半轴上，且，    过点作于点，过点作轴于点，过点作于点， ， ， ， ， ， ， ，， ， 四边形是矩形， ，， 设， ， ， ， ， 解得， ， ， ， 设直线的函数解析式为， 则有：， 解得：， ， 由，得， 点的坐标为． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、用待定系数法求函数解析式、全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是作辅助线构造全等三角形，此题综合性强，属于压轴题． 试卷第1页（共3页） 试卷第 1 页（共 1 页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第6章 二次函数 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1．下列关于的函数中，属于二次函数的是（ ） A． B． C． D． 2．关于二次函数，下列说法错误的是（ ） A．y的最大值为1 B．图象与y轴的交点坐标为 C．当时，y的值随x值的增大而减小 D．图象的对称轴是y轴 3．如图，二次函数的图象与轴交于点，，与轴交于点，若直线的解析式为，则的解集为（ ） A．或 B．或 C． D．或 4．已知抛物线上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表 x … 0 1 2 3 … y … 3 0 m 3 … ①抛物线开口向下；②；③m的值为0；④图象不经过第三象限；⑤抛物线在y轴左侧的部分y随x的增大而减小．其中正确的结论有（ ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 5．已知二次函数的图象如图所示，，是函数图象上的两点，下列结论正确的是（ ）    A． B． C．，则 D．若，则 6．如图，二次函数与轴交于点、，与轴交于点，其中．则下列结论： ①；②方程没有实数根；③； ④． 其中错误的个数有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．已知二次函数，的图象经过点图象上有三个，若当时，均有，则下列说法中正确的是（ ） A． B．时，有最大值 C． D． 8．如图，二次函数与一次函数的图象交于，两点，已知点，点在轴上，则不等式的解集是（ ） A．或 B．或 C． D． 9．已知二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，则下列结论正确的是（ ）． A． B．方程的两根是， C．不等式的解集是 D．当时，随的增大而减小 10．如图，平面直角坐标系中，若抛物线的图象与第三象限中的线段AB有公共点，且点A为，点B为，则b的取值范围是（ ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 11．抛物线的对称轴是________． 12．如图，二次函数图象的一部分与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，结合图象给出下列结论： ①；②；③（为任意实数）；④若点，，均在二次函数图像上，且满足，则； 其中正确的结论有________． 13．在平面直角坐标系中，若抛物线的顶点在轴，则的值为________． 14．已知关于的二次函数的最小值为．当变化时，则的最大值为________． 15．设形状相同（即全等）的两条抛物线与，若的顶点在的图象上，且的顶点在的图象上，则称与互为“北斗星链”抛物线.已知的一条“北斗星链”抛物线是，与相交于点，，连接，在线段右上方的抛物线上取点，在线段左下方的抛物线上取点，作四边形，则________，四边形的面积的最大值是________. 16．对于一个二次函数中存在一点，使得，则称为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线“开口大小”为________． 三、解答题（本大题共 9 小题，每小题 8 分，共 72 分） 17．（8分）某村庄为吸引游客，沿绿道旁的母亲河河边打造喷水景观，如图①，为保持绿道地面干燥，水柱呈抛物线状喷入母亲河中．图②是其截面图，已知绿道路面宽米，河道坝高米，当水柱离喷水口处水平距离为2米时，水柱离地面的垂直距离最大，其最大值为4米．以为原点，直线为轴，垂直于路面方向为轴，建立平面直角坐标系． （1）求水柱所在抛物线的函数表达式； （2）出于安全考虑，在河道的坝边处竖直向上安装护栏，若护栏高度为1.2米，判断水柱是否会喷射到护栏上，并说明理由． 18．（8分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，与轴交于点，顶点为． （1）求抛物线的解析式及顶点的坐标； （2）如图，连接，，若在上方的抛物线上存在点，满足，求点的坐标． 19．（8分）如图，抛物线的对称轴l与x轴交于点A，与y轴交于点B． （1）求点A、B的坐标； （2）C为该抛物线上的一个动点，点D为点C关于直线l的对称点（点D在点C的左侧），点M在坐标平面内，请问是否存在这样的点C，使得四边形是正方形？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由． 20．（8分）随着劳动教育的开展，某学校在校园开辟了一块劳动教育基地：一面利用学校的墙（墙的最大可用长度为），用长为的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的矩形菜地，在菜地的前端设计了两个宽的小门，便于同学们进入．设边的长为，矩形菜地的面积为． （1）用含的代数式表示（不要求求的取值范围）； （2）若围成的菜地的面积为，求此时的值； （3）可以围成的菜地的面积最大是多少？ 21．（8分）已知，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点． （1）求点A、B、C三点的坐标； （2）过点A作交抛物线于点P，求四边形的面积； （3）在（2）的条件下，在线段上是否存在一点M，使的周长最小？若存在，请直接写出周长的最小值；若不存在，请说明理由． 22．（8分）已知：直线经过点，抛物线与x轴交于B，C两点（点B在点C的左侧），抛物线的顶点为D，抛物线与交y轴于点E． （1）求点B，点C的坐标（用含字母a的代数式表示）； （2）连接，求线段的最小值； （3）当直线恰好经过点E时，求a的值． 23．（8分）解不等式组：． 24．（8分）在平面直角坐标系中，设二次函数． （1）若a为整数，二次函数图象过点（其中n是正整数），求抛物线的对称轴． （2）若，为抛物线上两个不同的点． ①当时，，求a的值． ②若对于，都有，求a的取值范围． 25．（8分）如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，作直线．    （1）求点、、的坐标； （2）点为抛物线上一点，若，请直接写出点的坐标； （3）点是轴正半轴上一点，若，求点的坐标． 试卷第1页（共3页） 试卷第 1 页（共 1 页） 学科网（北京）股份有限公司 $