第05讲 古典概型与概率的基本性质（专项训练）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测

第05讲 古典概型与概率的基本性质 目 录 模拟·基础演练 2 题型01 求简单的古典概型问题 2 题型02 向量中的古典概型 2 题型03 几何中的古典概型 3 题型04 函数中的古典概型 4 题型05 数列中的古典概型 5 题型06 有放回与无放回的古典概型问题 5 题型07 概率的基本性质 6 题型08 古典概型与统计的综合 7 重难·创新演练 8 真题·实战演练 10 模拟·基础演练 考查重点：简单古典概型求解，向量、几何、函数、数列背景下的古典概型，区分有放回与无放回抽样，概率基本性质运用，古典概型与统计综合应用，覆盖古典概型核心基础考点，侧重样本点计数、跨模块融合与概率性质辨析。 题型01 求简单的古典概型问题 1．（2025·福建宁德·模拟预测）从1，2，3，4，5这5个数字中随机抽取2个不同的数字，这两个数字互质的概率为_________. 2．（2025·江苏宿迁·一模）甲、乙、丙、丁四名教师带领学生参加校园植树活动，教师随机分成三组，每组至少一人，则甲、乙不在一组的概率为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·云南昆明·三模）一个袋中装有红、黄、蓝、绿四个大小形状完全相同的球，从中一次性摸出2个球，则两个球中没有红球的概率是______． 4．（2025·河北张家口·二模）有四张完全一样正面分别标有字母A，B，C，D的卡片，将其背面朝上并洗匀，从中随机抽取两张，则抽取的两张卡片上的字母为A和C的概率是__________． 5．（2026·宁夏中卫·二模）袋中有写有数字1，2，3的卡片各2张，从中不放回地取出2张卡片，则取出的卡片上的数字之和为3的倍数的概率为__________. 6．（2025·江苏镇江·模拟预测）已知总体分为A，B两层，且A层与B层的个体数之比为3∶1，用比例分配的分层随机抽样的方法从总体中抽取一个容量为8的样本．若B层中的个体甲、乙均被抽到的概率为，则总体的个体数为（    ）． A．7 B．20 C．28 D．32 题型02 向量中的古典概型 7．（2025·河南平顶山·一模）已知向量，，从6张大小相同分别标有号码的卡片中，有放回地抽取两张，、分别表示第一次、第二次抽取的卡片上的号码，则满足的概率是（    ） A． B． C． D． 8．（2025·吉林白城·二模）从集合中随机地取一个数，从集合中随机地取一个数，则向量与向量垂直的概率为（    ） A． B． C． D． 9．（2025·吉林白山·二模）将一枚质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为、、、、、）先后抛掷两次，记第一次和第二次向上的点数分别为、，设向量，，则的概率为（    ） A． B． C． D． 10．（2025·江苏扬州·二模）已知向量，（且），，则满足的概率为______． 11．（2026·山东淄博·二模）如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，以为起点，再从，，，四个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为，则事件“”的概率为__________． 12．（2025·云南玉溪·二模）已知平行六面体，在中任取3个向量，则能构成空间的一个基底的概率为_________． 题型03 几何中的古典概型 13．（2025·黑龙江鹤岗·模拟预测）以平行六面体的任意三个顶点为顶点作三角形，从中随机取出两个三角形，则这两个三角形不共面的概率为（    ） A． B． C． D． 14．（2025·甘肃庆阳·二模）从正五棱锥P-ABCDE的6个顶点中任取2个顶点，则这2个顶点所在的直线与直线AB是异面直线的概率为（   ） A． B． C． D． 15．（2026·广东佛山·模拟预测）如图，在三棱锥中，平面，，现从该三棱锥的个表面中任选个，则选取的个表面互相垂直的概率为（    ）    A． B． C． D． 16．（2026·广东汕尾·模拟预测）从正方体的8个顶点中取出三个顶点构成三角形，其中为直角三角形的概率为________． 17．（2025·辽宁锦州·一模）从正四面体的顶点及其棱的中点共10个点中，任取3个点，则这三个点构成的三角形为等边三角形的概率为____________． 18．（2025·湖南长沙·一模）已知点A，B，C，D，E，F均匀分布在圆O上，从这6个点中任取三个点，则以这三个点为顶点的三角形是等腰三角形的概率为_________. 题型04 函数中的古典概型 19．（2025·河南南阳·二模）有以下6个函数：①；②；③；④；⑤；⑥.记事件为“从中任取的1个函数是奇函数”，事件为“从中任取的1个函数是偶函数”，事件的对立事件分别为，则（    ） A． B． C． D． 20．（2025·山东烟台·模拟预测）在区间上任取一个整数，则使函数存在两个不同零点的概率为（    ） A． B． C． D． 21．（2025·吉林通化·模拟预测）设，，则函数．在区间上是减函数的概率为________；从可能的中随机抽取两个，则它们在处的切线互相平行的概率为________． 22．（2025·贵州铜仁·模拟预测）若存在实数、，使得函数的图象将圆分成周长、面积均相等的两部分，则称函数为“美好函数”．若从“，，，，，”这6个表达式中随机选一个，则函数是“美好函数”的概率为_____. 23．（2026·湖北武汉·二模）设，，，函数，从有序实数对中随机抽取一个，则函数恰有三个零点的概率为__________． 24．（2026·湖南张家界·二模）将一颗质地均匀的骰子连续投掷两次，朝上的点数依次为b和c，则函数图象与x轴无公共点的概率是______． 题型05 数列中的古典概型 25．（2026·浙江宁波·二模）（多选）已知数列的前n项和为，且或的概率均为.设能被3整除的概率为，则（    ） A． B． C． D．当时， 26．（2025·吉林松原·模拟预测）已知数列的通项公式为，则从该数列的前10项中随机取出不同的两项，和为奇数的概率为__________. 27．（2025·广东梅州·三模）记为数列的前n项和，且，已知每一项中每个数字出现的可能性相同，则是奇数的概率为______． 28．（2026·四川遂宁·模拟预测）已知数列是公比不为1的等比数列，从中任取四项，则这四项依然构成等比数列的概率为_______________． 29．（2026·山西长治·三模）投掷一枚质地均匀的硬币，正反面出现的概率都是，这样反复投掷，数列定义如下：若，则事件“”的概率为______． 30．（2025·安徽滁州·三模）若数列满足，则称此数列为“准等差数列”．现从这10个数中随机选取4个不同的数，则这4个数经过适当的排列后可以构成"准等差数列"的概率是__________． 题型06 有放回与无放回的古典概型问题 31．（2025·四川眉山·模拟预测）有6个除颜色外完全相同的球，其中3个黄球，3个白球，依次从中无放回地随机抽取，每次取1个球，直到取出2个黄球时停止取球．记为停止取球时所取出的球的个数，则的数学期望为（    ） A．2 B． C．3 D． 32．（2025·江西宜春·三模）某超市举行抽奖活动，规则如下：从装有编号四个小球的抽奖箱中，每次取出1个小球，记下编号后放回，连续取2次，取出的2个小球号码之和等于7中一等奖，等于6中二等奖，等于5中三等奖，则顾客参与抽奖1次中奖的概率是（    ） A． B． C． D． 33．（2025·广西崇左·模拟预测）（多选）一个不透明的袋子中装有10个球，其中6个白球，4个红球，除颜色外其他都相同，现甲、乙、丙三人依次从袋中不放回摸出一个球，则（   ） A．甲摸到红球的概率为 B．乙摸到红球的概率为 C．甲、乙都摸到红球的概率为 D．乙、丙都摸到红球的概率为 34．（2025·湖北孝感·二模）袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球、1只红球、2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色相同的概率为_______． 35．（2025·湖南郴州·三模）一个不透明的盒子里装有2个红球、3个白球、4个黑球，这些球除颜色外完全相同.每次从中随机摸出1个球，记录颜色后不放回，连续摸3次.设事件A为“三次摸球中，恰好有两次颜色相同”，则______. 36．（2025·山东聊城·一模）一个袋子里有大小和质地相同的5个球，标号为1，2，3，4，5，从中有放回地随机取球，每次取1个球，共取5次，把每次取出的球的标号排成一列数，则这列数中恰有4个不相同的数的概率为________． 题型07 概率的基本性质 37．（2025·贵州贵阳·三模）某快递站智能分拣系统，统计3条分拣线的包裹状态如下： 项目 分拣线① 分拣线② 分拣线③ 总计 标准件包裹 18件 12件 10件 40件 特殊件包裹 8件 6件 6件 20件 总计 26件 18件 16件 60件 若从中任意抽取一件包裹，则该包裹是特殊件包裹或是分拣线③的包裹的概率为（    ） A． B． C． D． 38．（2025·四川雅安·模拟预测）甲乙两队进行篮球决赛，采取五局三胜制，假设每一局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，如果甲队先赢一局，则甲赢下比赛的概率为___________. 39．（2025·江苏盐城·一模）已知全集是一个六元集合，任取的两个子集、（、可以相等），记事件；记事件．则（   ） A． B． C． D． 40．（2026·湖北黄石·二模）一个口袋中有标号为1，2，3的小球各一个，小球的大小相同､质地均匀.每次从中取出一个球，记下号码后放回，当三种号码的小球全部取出时即停止，则恰好取5次小球时停止的概率为（    ） A． B． C． D． 41．（2025·辽宁抚顺·二模）城市地铁极大的方便了城市居民的出行，南昌地铁1号线是南昌市最早建成并成功运营的一条地铁线.已知1号地铁线的每辆列车有6节车厢，从5月1日起实行“夏季运行模式”，其中2节车厢开启强冷模式，2节车厢开启中冷模式，2节车厢开启弱冷模式.现在有甲、乙、丙3人同一时间同一地点乘坐同一趟地铁列车，由于个人原因，甲不选择强冷车厢，乙不选择弱冷车厢，丙没有限制，但他们都是独立而随机的选择一节车厢乘坐，则甲、乙、丙3人中恰有2人在同一车厢的概率为________． 42．（2025·吉林吉林·一模）2019年10月20日，第六届世界互联网大会发布了15项“世界互联网领先科技成果”，其中有5项成果均属于芯片领域，分别为华为高性能服务器芯片“鲲鹏920”、清华大学“面向通用人工智能的异构融合天机芯片”“特斯拉全自动驾驶芯片”寒武纪云端AI芯片“思元270”赛灵思“Versal自适应计算加速平台”.现有3名学生从这15项“世界互联网领先科技成果”中分别任选1项进行了解，且学生之间的选择互不影响，则至少有1名学生选择“芯片领域”的概率为________. 题型08 古典概型与统计的综合 43．（2026·四川巴中·一模））编号1，2，3，4，5，6的六个小球，有放回地抽取三次，记表示前两个球号码的平均数，记表示三个球号码的平均数，则与之差的绝对值不超过0.1的概率是______． 44．（2025·湖南怀化·三模）已知是的第70百分位数，在中随机取两个数，这两个数一个比大，另一个比小的概率为（    ） A． B． C． D． 45．（2025·山东枣庄·一模）某班级准备了五种课外活动供同学们选择，活动时间分别为，现有三位同学依次选择一种活动并完成，要求三位同学所选活动不同．记表示前两位同学选择的活动时间的平均数，记表示三位同学选择的活动时间的平均数，则与的比值大于1的概率为______． 46．（2025·广东阳江·二模）某校有8名学生参加物理知识竞赛，其成绩如下：65，71，78，82，85，88，90，93，假设这8名学生成绩的第60百分位数是N.若在这8人中随机选取两人，则这两人的成绩都低于N的概率为______． 47．（2026·海南三亚·二模）在1,2,3,6这组数据中随机取出三个数，则数字3是这三个不同数字的中位数的概率是__________． 重难·创新演练 设题创新：依托电路、生物繁衍等现实情境命题，跳出简单枚举计数套路，融合概率概念易错辨析，结合事件逻辑关系抽象判断，还联动方程思想求解概率参数，侧重考查概念深挖、信息提取与逻辑推理的综合解题能力。 1．（2025·安徽铜陵·一模）已知数列是公差不为0的等差数列，若从，，…，中任取四项，则这四项依然构成等差数列的概率为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·河北秦皇岛·一模）【新考法】已知，则数能被整除的概率为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·湖南株洲·模拟预测）在正方体中，E，F，G分别为，，的中点，若从正方体的八个顶点中任取两个不同的顶点，记事件M为“所取两个顶点的连线与平面平行”，则事件M发生的概率为（   ） A． B． C． D． 4．（2026·广西柳州·模拟预测）【新角度】某学校随机将16名学生平均分成两个小组，分别参加数学和物理兴趣小组，学生学号为1，2，3，..，16，设数学小组里的学生最小学号为，最大学号为，物理小组里的学生最小学号为，最大学号为，则“”的概率为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·江苏南京·三模）一个书包中有标号为“”的张卡片.一个人每次从中拿出一张卡片，并且不放回；如果他拿出一张与已拿出的卡片中有相同标号的卡片，则他将两张卡片都扔掉；如果他手中有3张单张卡片或者书包中卡片全部被拿走，则操作结束.记书包中卡片全部被拿走的概率为，则（    ） A． B． C． D． 6．（2025·广东清远·一模）已知一组均为正整数的数据丢失了其中一个，另外六个数据分别是13，8，26，8，11，8，若这组数据的平均数、中位数、众数满足，现从已知的6个数据中任意抽一个记为y，则的概率为_____________． 7．（2025·陕西宝鸡·三模）已知集合，，现随机从M和N中各抽取3个不同的数分别组成最大的三位数m，n，则事件“”的概率为________． 8．（2025·广西来宾·三模）高中数学全国通用）某校三个年级举办乒乓球比赛，每个年级选派4名选手参加比赛，组委会随机将这12名选手分成6组，每组2人，则在上述分组方式中每组的2人均来自不同年级的概率为_____． 9．（2025·云南昭通·二模）【新考法】如图，在正方体中，为的中点，从除外的11条棱的中点及正方体的8个顶点共19个点中随机选取2个点与构成三角形，则能构成______个三角形．从这些三角形中随机选取一个三角形，恰好是以为顶角顶点的等腰三角形的概率为______．（均用数字作答） 10．（2025·黑龙江七台河·模拟预测）箱中有连续编号1到15的小球，现从箱中一次随机取出5个球，若已知取出的5个球的编号中位数为9，则这5个球中的最大编号与最小编号之差恰好等于9的概率为__________． 11．（2025·宁夏吴忠·二模）某校篮球队的成员是来自学校高一10个班的12位同学，其中高一（3）班、高一（7）班各出2人，其余班级各出1人，从这12人中要选6人作为主力队员，则这6名主力队员来自不同的班级的概率为________． 12．（2025·福建南平·三模）现有四位同学（两男两女），随机地站到的方格场地中（每人站一格，每格至多一人），则两个男生既不同行也不同列，同时两个女生也既不同行也不同列的概率为__________. 真题·实战演练 高频考点：古典概型样本点计数、基本事件辨析、概率基本性质、互斥对立事件概率运算、简单实际情境概率求解；近三年以小而精的选择填空为主，侧重基础+中档综合，突出样本识别、计数分析、情境应用三大热点。 1．（2025·安徽铜陵·一模）已知数列是公差不为0的等差数列，若从，，…，中任取四项，则这四项依然构成等差数列的概率为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·河北秦皇岛·一模）已知，则数能被整除的概率为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·湖南株洲·模拟预测）在正方体中，E，F，G分别为，，的中点，若从正方体的八个顶点中任取两个不同的顶点，记事件M为“所取两个顶点的连线与平面平行”，则事件M发生的概率为（   ） A． B． C． D． 4．（2026·广西柳州·模拟预测）某学校随机将16名学生平均分成两个小组，分别参加数学和物理兴趣小组，学生学号为1，2，3，..，16，设数学小组里的学生最小学号为，最大学号为，物理小组里的学生最小学号为，最大学号为，则“”的概率为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·江苏南京·三模）一个书包中有标号为“”的张卡片.一个人每次从中拿出一张卡片，并且不放回；如果他拿出一张与已拿出的卡片中有相同标号的卡片，则他将两张卡片都扔掉；如果他手中有3张单张卡片或者书包中卡片全部被拿走，则操作结束.记书包中卡片全部被拿走的概率为，则（    ） A． B． C． D． 6．（2025·广东清远·一模）已知一组均为正整数的数据丢失了其中一个，另外六个数据分别是13，8，26，8，11，8，若这组数据的平均数、中位数、众数满足，现从已知的6个数据中任意抽一个记为y，则的概率为_____________． 7．（2025·陕西宝鸡·三模）已知集合，，现随机从M和N中各抽取3个不同的数分别组成最大的三位数m，n，则事件“”的概率为________． 8．（2025·广西来宾·三模）高中数学全国通用）某校三个年级举办乒乓球比赛，每个年级选派4名选手参加比赛，组委会随机将这12名选手分成6组，每组2人，则在上述分组方式中每组的2人均来自不同年级的概率为_____． 9．（2025·云南昭通·二模）如图，在正方体中，为的中点，从除外的11条棱的中点及正方体的8个顶点共19个点中随机选取2个点与构成三角形，则能构成______个三角形．从这些三角形中随机选取一个三角形，恰好是以为顶角顶点的等腰三角形的概率为______．（均用数字作答） 10．（2025·黑龙江七台河·模拟预测）箱中有连续编号1到15的小球，现从箱中一次随机取出5个球，若已知取出的5个球的编号中位数为9，则这5个球中的最大编号与最小编号之差恰好等于9的概率为__________． 11．（2025·宁夏吴忠·二模）某校篮球队的成员是来自学校高一10个班的12位同学，其中高一（3）班、高一（7）班各出2人，其余班级各出1人，从这12人中要选6人作为主力队员，则这6名主力队员来自不同的班级的概率为________． 12．（2025·福建南平·三模）现有四位同学（两男两女），随机地站到的方格场地中（每人站一格，每格至多一人），则两个男生既不同行也不同列，同时两个女生也既不同行也不同列的概率为__________. 19 / 21 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第05讲 古典概型与概率的基本性质 目 录 模拟·基础演练 1 题型01 求简单的古典概型问题 2 题型02 向量中的古典概型 3 题型03 几何中的古典概型 6 题型04 函数中的古典概型 9 题型05 数列中的古典概型 13 题型06 有放回与无放回的古典概型问题 16 题型07 概率的基本性质 18 题型08 古典概型与统计的综合 21 重难·创新演练 23 真题·实战演练 31 模拟·基础演练 考查重点：简单古典概型求解，向量、几何、函数、数列背景下的古典概型，区分有放回与无放回抽样，概率基本性质运用，古典概型与统计综合应用，覆盖古典概型核心基础考点，侧重样本点计数、跨模块融合与概率性质辨析。 题型01 求简单的古典概型问题 1．（2025·福建宁德·模拟预测）从1，2，3，4，5这5个数字中随机抽取2个不同的数字，这两个数字互质的概率为_________. 【答案】/0.9 【详解】抽取的情况包含，共10种情况， 这两个数字互质的情况有9种，则这两个数字互质的概率为. 2．（2025·江苏宿迁·一模）甲、乙、丙、丁四名教师带领学生参加校园植树活动，教师随机分成三组，每组至少一人，则甲、乙不在一组的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】人分组，每组至少人，分组模式只能是（一组2个人，另外两组各1个人）， 总组数为， 甲乙绑定成2人组，剩下丙、丁各自一组，只有1种分法， 所以甲乙不在一组的概率为． 3．（2025·云南昆明·三模）一个袋中装有红、黄、蓝、绿四个大小形状完全相同的球，从中一次性摸出2个球，则两个球中没有红球的概率是______． 【答案】 / 【详解】从个不同的球中一次性摸出个，不考虑取球顺序， 等可能基本事件的总数为 . 设事件为“摸出的两个球中没有红球”，则事件等价于从黄、蓝、绿个非红球中摸出个， 所以事件包含的基本事件数为 . 根据古典概型的概率计算公式，可得所求概率为. 4．（2025·河北张家口·二模）有四张完全一样正面分别标有字母A，B，C，D的卡片，将其背面朝上并洗匀，从中随机抽取两张，则抽取的两张卡片上的字母为A和C的概率是__________． 【答案】 【详解】总的抽取方式为从张中选2张的组合数， 即 成功的情况是抽到和，只有一种组合. 因此，所求概率为成功情况除以总情况数： 5．（2026·宁夏中卫·二模）袋中有写有数字1，2，3的卡片各2张，从中不放回地取出2张卡片，则取出的卡片上的数字之和为3的倍数的概率为__________. 【答案】 【详解】由题意知：取出的2张卡片上的数字分别为1，2或2张卡片上的数字都是3， 所求概率. 6．（2025·江苏镇江·模拟预测）已知总体分为A，B两层，且A层与B层的个体数之比为3∶1，用比例分配的分层随机抽样的方法从总体中抽取一个容量为8的样本．若B层中的个体甲、乙均被抽到的概率为，则总体的个体数为（    ）． A．7 B．20 C．28 D．32 【答案】C 【详解】设B层中含有的个体数为n，则总体中的个体数为， 则从总体中抽取一个容量为8的样本，应从B层中抽取2个． 由题意知B层中的甲、乙均被抽到的概率为，解得， 所以总体的个体数为28． 题型02 向量中的古典概型 7．（2025·河南平顶山·一模）已知向量，，从6张大小相同分别标有号码的卡片中，有放回地抽取两张，、分别表示第一次、第二次抽取的卡片上的号码，则满足的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设表示一个基本事件，则两次抽取卡片的所有基本事件有个， 由，即， 故满足的基本事件有共个， 所以所求概率为. 故选：D. 8．（2025·吉林白城·二模）从集合中随机地取一个数，从集合中随机地取一个数，则向量与向量垂直的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：从集合中随机地取一个数，中随机地取一个数，共有12种取法， 当向量与向量，，故或共2种取法， 则所求概率. 故选：D. 9．（2025·吉林白山·二模）将一枚质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为、、、、、）先后抛掷两次，记第一次和第二次向上的点数分别为、，设向量，，则的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得． 由题意可知将该枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，共有种情况， 其中满足的的情况为、、、、、 、、、、、、，共有种等可能情况， 所以所求概率为． 10．（2025·江苏扬州·二模）已知向量，（且），，则满足的概率为______． 【答案】 【详解】因为且，所以， 由，， 所以， 解得， 又，所以时， 所以概率为， 故答案为：. 11．（2026·山东淄博·二模）如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，以为起点，再从，，，四个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为，则事件“”的概率为__________． 【答案】 【详解】 底面, ， 以为起点，再从，，，四个点中任取两点分别为终点得到两个向量所有的基本事件为： 共6个， 事件“”的基本事件为：共4个， 则事件“”的概率为 . 故答案为 . 【点睛】本题考查古典概型，空间直线的位置关系，找准线线垂直是关键. 12．（2025·云南玉溪·二模）已知平行六面体，在中任取3个向量，则能构成空间的一个基底的概率为_________． 【答案】/ 【详解】已知平行六面体，如图， 在中任取3个向量，总数为， 即共有10组不同的取法， 其中， 因为， 所以这3个向量共面，不能构成空间的基底； 其中， 因为， 所以这3个向量共面，不能构成空间的基底， 则共面的向量有2组，其余8组取法中的3个向量不共面， 所以，所求概率为. 题型03 几何中的古典概型 13．（2025·黑龙江鹤岗·模拟预测）以平行六面体的任意三个顶点为顶点作三角形，从中随机取出两个三角形，则这两个三角形不共面的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：平行六面体有个顶点， 任意取构成的三角形个数为， 即从56个三角形中任取两个三角形， 现共面的情况为表面个面与个对角面，每个面构成个三角形， 设任取两个三角形不共面为事件“”， ， 故选：A． 14．（2025·甘肃庆阳·二模）从正五棱锥P-ABCDE的6个顶点中任取2个顶点，则这2个顶点所在的直线与直线AB是异面直线的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】这个试验的样本空间为 ，共包含15个样本点．记事件“这2个顶点所在的直线与直线AB是异面直线”，则 ，包含3个样本点，所以． 故选：B. 15．（2026·广东佛山·模拟预测）如图，在三棱锥中，平面，，现从该三棱锥的个表面中任选个，则选取的个表面互相垂直的概率为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由已知平面，，可得，从该三棱锥的个面中任选个面共有种不同的选法，而选取的个表面互相垂直的有种情况，故所求事件的概率为． 故选：A． 【点睛】本题考查古典概型概率，解题关键是求出基本事件的个数． 16．（2026·广东汕尾·模拟预测）从正方体的8个顶点中取出三个顶点构成三角形，其中为直角三角形的概率为________． 【答案】 【详解】从正方体的8个顶点中取出3个，共有种取法. 正方体有6个表面和6个对角面，它们都是矩形(包括正方形)而每一个矩形中都有4个直角三角形， 所以共有个直角三角形. 故构成直角三角形的概率为. 故答案为：. 17．（2025·辽宁锦州·一模）从正四面体的顶点及其棱的中点共10个点中，任取3个点，则这三个点构成的三角形为等边三角形的概率为____________． 【答案】/0.2 【详解】解：如图，①在正四面体中，四个面为全等的正三角形，每个大正三角形中，由3个顶点和三条边的3个中点，取3个点，可以形成5个正三角形，共计种， ②平行于正四面体每个表面均有1个正三角形， 综上所述，共计有24个正三角形， 所以构成等边三角形的概率为． 故答案为：. 18．（2025·湖南长沙·一模）已知点A，B，C，D，E，F均匀分布在圆O上，从这6个点中任取三个点，则以这三个点为顶点的三角形是等腰三角形的概率为_________. 【答案】/0.4 【详解】由题意所有情况有：, ，共20种， 根据图知其中满足题意的有：，共8种， 故以这三个点为顶点的三角形是等腰三角形的概率为， 故答案为：.    题型04 函数中的古典概型 19．（2025·河南南阳·二模）有以下6个函数：①；②；③；④；⑤；⑥.记事件为“从中任取的1个函数是奇函数”，事件为“从中任取的1个函数是偶函数”，事件的对立事件分别为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题可知，对于①：，则，解得， 所以，故为偶函数且为奇函数； 对于②为奇函数；对于③为奇函数；对于④为偶函数； 对于⑤：定义域为，为非奇非偶函数； 对于⑥为非奇非偶函数； 则事件为：①，②，③；事件为：④，⑤，⑥； 事件为：①，④；事件为：②，③，⑤，⑥； 事件为：①，②，③，④；为：⑤，⑥； 所以，，，， ，， 所以，，故A、C错误； 又为：①；所以为：②，③，④，⑤，⑥，所以， 则，故B错误； 因为，所以，D正确. 故选：D. 20．（2025·山东烟台·模拟预测）在区间上任取一个整数，则使函数存在两个不同零点的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为函数存在两个不同零点， 所以有两个不同的根， 所以，解得或， 在区间上任取一个整数，共有16种取法， 能使使函数存在两个不同零点的取法有13种， 所以使函数存在两个不同零点的概率为. 故选：C. 21．（2025·吉林通化·模拟预测）设，，则函数．在区间上是减函数的概率为________；从可能的中随机抽取两个，则它们在处的切线互相平行的概率为________． 【答案】 /0. 75 【详解】（1）由可得，的组合共有4种：， 函数对称轴为且开口朝上，若在上是减函数， 则需满足对称轴，即，满足的组合有， 由古典概型概率公式得所求概率为； （2）由（1）可知满足条件的共4个，从中随机抽取2个，有种取法， 对求导得，则在处的切线斜率为， 两条切线平行等价于对应斜率相等，即两个函数的值相等， 可知只有和满足相等，故只有1种符合条件的取法，所求概率为. 22．（2025·贵州铜仁·模拟预测）若存在实数、，使得函数的图象将圆分成周长、面积均相等的两部分，则称函数为“美好函数”．若从“，，，，，”这6个表达式中随机选一个，则函数是“美好函数”的概率为_____. 【答案】 【详解】圆，即，其圆心为， 因为函数的图像将圆分成周长、面积均相等的两部分， 所以函数的图象关于中心对称， 所以“美好函数”应该是一个中心对称函数. 是中心对称函数， 将，平移，使得其对称中心与圆心重合时， 可以将圆分成周长、面积均相等的两部分，符合题意， 是偶函数，其图象关于y轴对称，不符合题意， 都是非奇非偶函数，其图象不关于原点对称，不符合题意. 所以，从6个函数的表达式中随机选一个，则函数是“美好函数”的概率为. 故答案为： 23．（2026·湖北武汉·二模）设，，，函数，从有序实数对中随机抽取一个，则函数恰有三个零点的概率为__________． 【答案】 【详解】函数的定义域为R，求导得， 由，得或；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减， 函数在处取得极大值，在处取得极小值， 由，得，因此函数恰有三个零点，当且仅当，即， 由，，得有序实数对共有对， 当时，；当时，；当时，， 因此满足函数恰有三个零点的有序实数对共有对， 所以函数恰有三个零点的概率为. 24．（2026·湖南张家界·二模）将一颗质地均匀的骰子连续投掷两次，朝上的点数依次为b和c，则函数图象与x轴无公共点的概率是______． 【答案】 【详解】一颗质地均匀的骰子连续投掷两次，不同结果有： ， ， ，共36个， 函数图象与x轴无公共点，即，解得， 则点有，共7个， 所以函数图象与x轴无公共点的概率. 故答案为： 题型05 数列中的古典概型 25．（2026·浙江宁波·二模）（多选）已知数列的前n项和为，且或的概率均为.设能被3整除的概率为，则（    ） A． B． C． D．当时， 【答案】BC 【详解】由题可知，，故B正确； 被3整除的余数有3种情况，分别为0，1，2， 所以，则，所以， 即，所以， A错误，C正确； ，令，则，所以，故D错误. 故选：BC. 26．（2025·吉林松原·模拟预测）已知数列的通项公式为，则从该数列的前10项中随机取出不同的两项，和为奇数的概率为__________. 【答案】 【详解】的前10项为，，共有6个奇数､4个偶数， 当取到两项为一奇一偶时，和为奇数， 故和为奇数的概率为. 故答案为：. 27．（2025·广东梅州·三模）记为数列的前n项和，且，已知每一项中每个数字出现的可能性相同，则是奇数的概率为______． 【答案】 【详解】记“为奇数”的概率为，“为奇数”的概率为， 分析可知，当为奇数时，若，则仍然为奇数， 当为偶数时，若或3，则为奇数，从而， 即，即，又，， 所以数列为等比数列， 所以，即， 故． 故答案为： 28．（2026·四川遂宁·模拟预测）已知数列是公比不为1的等比数列，从中任取四项，则这四项依然构成等比数列的概率为_______________． 【答案】 【详解】从20项中任取4项，共有种情况， 假设任取的4项为 ， 若这四项依然构成等比数列，则构成等差数列， 设公差为，则满足， 对公差进行一一列举： 当时，的范围是，共有17种； 当时，的范围是，共有14种； 当时，的范围是，共有11种； 当时，的范围是，共有8种； 当时，的范围是，共有5种； 当时，的范围是，共有2种， 所以共有种情况， 所以这四项依然构成等比数列的概率为. 故答案为：. 29．（2026·山西长治·三模）投掷一枚质地均匀的硬币，正反面出现的概率都是，这样反复投掷，数列定义如下：若，则事件“”的概率为______． 【答案】 【详解】说明前8次中有3次是，5次是1， 故概率为． 故答案为：. 30．（2025·安徽滁州·三模）若数列满足，则称此数列为“准等差数列”．现从这10个数中随机选取4个不同的数，则这4个数经过适当的排列后可以构成"准等差数列"的概率是__________． 【答案】 【详解】和为5有2种组合，和为6有2种组合， 和为7有3种组合，和为8有3种组合， 和为9有4种组合，和为10有4种组合， 和为11有5种组合， 和为12有4种组合，和为13有4种组合， 和为14有3种组合，和为15有3种组合， 和为16有2种组合，和为17有2种组合， 所以. 故答案为： 题型06 有放回与无放回的古典概型问题 31．（2025·四川眉山·模拟预测）有6个除颜色外完全相同的球，其中3个黄球，3个白球，依次从中无放回地随机抽取，每次取1个球，直到取出2个黄球时停止取球．记为停止取球时所取出的球的个数，则的数学期望为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】D 【详解】由题意知X是停止时取出球的个数，X的可能取值：， 时，， 时，， 时，， 时，， 数学期望． 32．（2025·江西宜春·三模）某超市举行抽奖活动，规则如下：从装有编号四个小球的抽奖箱中，每次取出1个小球，记下编号后放回，连续取2次，取出的2个小球号码之和等于7中一等奖，等于6中二等奖，等于5中三等奖，则顾客参与抽奖1次中奖的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为每次取球都有4种可能，且取2次，根据分步乘法计数原理，总的基本事件数种， 小球号码之和等于7的情况有，共2种情况； 号码之和等于6的情况有，共3种情况； 号码之和等于5的情况有，共4种情况， 所以中奖的情况数种，所以中奖的概率为. 故选：D. 33．（2025·广西崇左·模拟预测）（多选）一个不透明的袋子中装有10个球，其中6个白球，4个红球，除颜色外其他都相同，现甲、乙、丙三人依次从袋中不放回摸出一个球，则（   ） A．甲摸到红球的概率为 B．乙摸到红球的概率为 C．甲、乙都摸到红球的概率为 D．乙、丙都摸到红球的概率为 【答案】ABC 【详解】甲、乙、丙依次从袋中不放回的摸出一个球，则每个人摸到红球的概率，AB正确； 甲乙都摸到红球的概率，C正确； 乙丙都摸到红球的概率为，D错误． 34．（2025·湖北孝感·二模）袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球、1只红球、2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色相同的概率为_______． 【答案】 【详解】根据题意，记白球为A，红球为B，黄球为、，则一次取出2只球， 基本事件为、、、、、共6种， 其中2只球的颜色相同只有共1种；故所求的概率是． 35．（2025·湖南郴州·三模）一个不透明的盒子里装有2个红球、3个白球、4个黑球，这些球除颜色外完全相同.每次从中随机摸出1个球，记录颜色后不放回，连续摸3次.设事件A为“三次摸球中，恰好有两次颜色相同”，则______. 【答案】 【详解】为保证每次摸球结果的等可能性，把2个红球分别记为，；3个白球分别记为，，；4个黑球分别记为，，，. 9个球看成不同的元素，则样本空间的样本点总数为. “三次摸球中，恰好有两次颜色相同”分为“两次红球，一次非红球”、“两次白球，一次非白球”、“两次黑球，一次非黑球”三种情况； 事件“两次红球，一次非红球”的样本点个数为：； 事件“两次白球，一次非白球”的样本点个数为：； 事件“两次黑球，一次非黑球”的样本点个数为：； 所以. 36．（2025·山东聊城·一模）一个袋子里有大小和质地相同的5个球，标号为1，2，3，4，5，从中有放回地随机取球，每次取1个球，共取5次，把每次取出的球的标号排成一列数，则这列数中恰有4个不相同的数的概率为________． 【答案】 【详解】由题知是有放回地取球，所以每次都有5种不同取法，总取法有种， 而这列数中恰有4个不相同的数的取法有种， 故这列数中恰有4个不相同的数的概率为． 题型07 概率的基本性质 37．（2025·贵州贵阳·三模）某快递站智能分拣系统，统计3条分拣线的包裹状态如下： 项目 分拣线① 分拣线② 分拣线③ 总计 标准件包裹 18件 12件 10件 40件 特殊件包裹 8件 6件 6件 20件 总计 26件 18件 16件 60件 若从中任意抽取一件包裹，则该包裹是特殊件包裹或是分拣线③的包裹的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设事件“包裹是特殊件包裹”，“包裹是分拣线③的包裹”， 则. 38．（2025·四川雅安·模拟预测）甲乙两队进行篮球决赛，采取五局三胜制，假设每一局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，如果甲队先赢一局，则甲赢下比赛的概率为___________. 【答案】 【详解】因为甲已经取胜一局，所以只需要考虑剩下的情况， 若前三局甲胜，甲获胜的概率为， 若打完四局后甲获胜，第四局甲必须获胜，甲获胜的概率为， 若打完五局后甲获胜，第五局甲必须获胜，甲获胜的概率为， 所以甲获胜的概率是. 故答案为：. 39．（2025·江苏盐城·一模）已知全集是一个六元集合，任取的两个子集、（、可以相等），记事件；记事件．则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为全集是一个六元集合，所以任取的两个子集、，能形成对集合，即基本事件总数为. 中任一元素，满足事件，有以下三种情况，且；所以所含基本事件个数; 中任一元素满足事件，有以下三种情况， 且；所以所含基本事件个数为， 事件表示且同时成立，所以，此时可以是的任意子集，有个，即事件所含基本事件有个， 所以. 40．（2026·湖北黄石·二模）一个口袋中有标号为1，2，3的小球各一个，小球的大小相同､质地均匀.每次从中取出一个球，记下号码后放回，当三种号码的小球全部取出时即停止，则恰好取5次小球时停止的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题可知分两种情况，取到的标号的次数为3,1,1或2，2,1，这两种情况是互斥的， 当取到的标号的次数为3,1,1时，试验发生包含的事件共有个，满足条件的事件有个， ∴这种情况的概率为； 当取到的标号的次数为2,2,1时，试验发生包含的事件共有个，满足条件的事件有个， ∴这种情况的概率为； 故恰好取5次小球时停止的概率为. 故选：B 41．（2025·辽宁抚顺·二模）城市地铁极大的方便了城市居民的出行，南昌地铁1号线是南昌市最早建成并成功运营的一条地铁线.已知1号地铁线的每辆列车有6节车厢，从5月1日起实行“夏季运行模式”，其中2节车厢开启强冷模式，2节车厢开启中冷模式，2节车厢开启弱冷模式.现在有甲、乙、丙3人同一时间同一地点乘坐同一趟地铁列车，由于个人原因，甲不选择强冷车厢，乙不选择弱冷车厢，丙没有限制，但他们都是独立而随机的选择一节车厢乘坐，则甲、乙、丙3人中恰有2人在同一车厢的概率为________． 【答案】 【详解】因为甲乙丙在同一车厢的概率为，甲乙在同一车厢的概率为， 甲丙在同一车厢的概率为，乙丙在同一车厢的概率为， 则甲乙丙恰有人在同一车厢的概率为. 故答案为：· 42．（2025·吉林吉林·一模）2019年10月20日，第六届世界互联网大会发布了15项“世界互联网领先科技成果”，其中有5项成果均属于芯片领域，分别为华为高性能服务器芯片“鲲鹏920”、清华大学“面向通用人工智能的异构融合天机芯片”“特斯拉全自动驾驶芯片”寒武纪云端AI芯片“思元270”赛灵思“Versal自适应计算加速平台”.现有3名学生从这15项“世界互联网领先科技成果”中分别任选1项进行了解，且学生之间的选择互不影响，则至少有1名学生选择“芯片领域”的概率为________. 【答案】 【详解】第六届世界互联网大会发布了15项“世界互联网领先科技成果”，其中有5项成果均属于芯片领域，现有3名学生从这15项“世界互联网领先科技成果”中分别任选1项进行了解，且学生之间的选择互不影响,基本事件总数n=15×15×15=3375， 至少有1名学生选择“芯片领域”的对立事件是没有学生选择“芯片领域”， 则至少有1名学生选择“芯片领域”的概率. 【点睛】概率的计算: (1) 等可能性事件的概率一般用列举法列举出基本事件（也可用排列组合计算事件个数）,直接套公式求概率； (2)互斥（对立）事件、相互独立事件（条件概率）套公式求概率 (3)二项分布（超几何分布）直接套公式求概率. 题型08 古典概型与统计的综合 43．（2026·四川巴中·一模））编号1，2，3，4，5，6的六个小球，有放回地抽取三次，记表示前两个球号码的平均数，记表示三个球号码的平均数，则与之差的绝对值不超过0.1的概率是______． 【答案】 【详解】记依次抽取的3个球的号码分别为，则共有种情况． 由题可令，即． 当时，，满足不等式的数组为，共1种情况． 当时，，满足不等式的数组为，共3种情况． 当时，，满足不等式的数组为，共5种情况． 当时，，满足不等式的数组为，共5种情况． 当时，，满足不等式的数组为，共3种情况． 当时，，满足不等式的数组为，共1种情况． 综上，满足条件的共有18种情况，故． 故答案为： 44．（2025·湖南怀化·三模）已知是的第70百分位数，在中随机取两个数，这两个数一个比大，另一个比小的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，所以第70百分位数为第6个数，即7，随机取两个不同的数共有种结果，一个小于7､一个大于7共有种结果，所以概率. 故选：. 45．（2025·山东枣庄·一模）某班级准备了五种课外活动供同学们选择，活动时间分别为，现有三位同学依次选择一种活动并完成，要求三位同学所选活动不同．记表示前两位同学选择的活动时间的平均数，记表示三位同学选择的活动时间的平均数，则与的比值大于1的概率为______． 【答案】 【详解】记三位同学选择的活动时间依次为，则共有种情况； 由题可令，即， 当时，， 满足不等式的数组有， 共种情况． 当时，， 满足不等式的数组有，共种情况． 当时，，满足不等式的数组有，共种情况． 当时，，不存在满足不等式的数组． 当时，，不存在满足不等式的数组． 综上，满足条件的共有26种情况，故． 故答案为：. 46．（2025·广东阳江·二模）某校有8名学生参加物理知识竞赛，其成绩如下：65，71，78，82，85，88，90，93，假设这8名学生成绩的第60百分位数是N.若在这8人中随机选取两人，则这两人的成绩都低于N的概率为______． 【答案】 【详解】因为，所以这8人成绩的第60百分位数是从小到大排列的第5个数，即， 若在这8人中随机选取两人，共有28种情况，分别是，，，，，，， 其中两人的成绩都低于的情况有6种， 分别为， 所以在这8人中随机选取两人，则这两人的成绩都低于N的概率为. 故答案为：． 47．（2026·海南三亚·二模）在1,2,3,6这组数据中随机取出三个数，则数字3是这三个不同数字的中位数的概率是__________． 【答案】 【详解】在1，2，3，6这组数据中随机取出三个数，基本事件总数， 数字3是这三个不同数字的中位数包含的基本事件有：136，236，有2个基本事件， ∴数字3是这三个不同数字的中位数的概率是. 点睛：有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数． (1)基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举．(2)注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用. 重难·创新演练 设题创新：依托电路、生物繁衍等现实情境命题，跳出简单枚举计数套路，融合概率概念易错辨析，结合事件逻辑关系抽象判断，还联动方程思想求解概率参数，侧重考查概念深挖、信息提取与逻辑推理的综合解题能力。 1．（2025·安徽铜陵·一模）已知数列是公差不为0的等差数列，若从，，…，中任取四项，则这四项依然构成等差数列的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】首先计算总基本事件数：从项中任取项，总事件数为. 设原等差数列的公差为，若抽取的四项成等差数列，则，， 代入通项公式得，化简得， 同理可得，即抽取的四项下标也成等差数列. 设抽取的四项下标公差为，则四项下标可表示为，其中： 当时，，共组； 当时，，共组； 当时，，共组； 当时，，无符合条件的组. 因此符合条件的基本事件数为，故所求概率. 2．（2025·河北秦皇岛·一模）【新考法】已知，则数能被整除的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】考查时，则、、都能被整除， 接下来只需要考查能被整除即可， 但、、、为、、、的一个排列， 由于、、、都不能被整除，则不能被整除，所以能被整除， 则或或或或或或或， 当时，则或， 则当或或或或或或，都有种情况， 即当时，不同的排序方法种数为种， 故当时，每种排序方法种数都为种， 由古典概型的概率公式可知，数能被整除的概率为. 3．（2025·湖南株洲·模拟预测）在正方体中，E，F，G分别为，，的中点，若从正方体的八个顶点中任取两个不同的顶点，记事件M为“所取两个顶点的连线与平面平行”，则事件M发生的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 如图所示，作的中点，连接， 可知，可知， 所以点在同一平面上， 可知面平行的对角线有共6条， 所有从正方体的八个顶点中任取两个不同的顶点的连线有条， 则. 4．（2026·广西柳州·模拟预测）【新角度】某学校随机将16名学生平均分成两个小组，分别参加数学和物理兴趣小组，学生学号为1，2，3，..，16，设数学小组里的学生最小学号为，最大学号为，物理小组里的学生最小学号为，最大学号为，则“”的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】将这16个学生随机分为两组参加数学和物理两个兴趣小组，共有种方法， 假设1号参加数学兴趣小组，则数学兴趣小组中学生最大学号为11， 故16号学生参加物理兴趣小组，则物理兴趣小组中学生的最小学号为6， 从而学号为1到5的学生均参加数学兴趣小组， 学号为7、8、9、10的学生有任意2个参加数学兴趣小组， 满足要求的情况数为； 假设1号参加物理兴趣小组，同样有6种情况， 综上，共有种，满足要求，所以“”的概率为， 故选： C. 5．（2025·江苏南京·三模）一个书包中有标号为“”的张卡片.一个人每次从中拿出一张卡片，并且不放回；如果他拿出一张与已拿出的卡片中有相同标号的卡片，则他将两张卡片都扔掉；如果他手中有3张单张卡片或者书包中卡片全部被拿走，则操作结束.记书包中卡片全部被拿走的概率为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】若，书包中有标号为“”的张卡片， 则他手中不可能有3张单张卡片，即书包中卡片必全部被拿走，故. 由于从张卡片中任取张共有种选法，可分两类： 一类是前张卡片为张单张（操作结束，不可能全部卡片被拿走）； 另一类是前张卡片中含一对卡片. 由前张卡片中含一对卡片的选法共有种， 故前张卡片中含一对卡片的概率为 ； 而将这一对卡片拿掉后，相当于从对卡片中已拿出一张卡片， 即在前张卡片中含一对卡片的条件下，书包中全部卡片被拿走的概率为， 则由概率乘法公式可知，，且. 所以. 故选：C. 6．（2025·广东清远·一模）已知一组均为正整数的数据丢失了其中一个，另外六个数据分别是13，8，26，8，11，8，若这组数据的平均数、中位数、众数满足，现从已知的6个数据中任意抽一个记为y，则的概率为_____________． 【答案】或  ． 【详解】设丢失的数据为x，则七个数据的平均数，众数．若，则中位数为8，此时，解得（舍去）；若，则中位数为x，此时，解得；若，则中位数为11，此时，解得．故丢失的数据或．当时，，此时的概率为；当时，，此时的概率为 7．（2025·陕西宝鸡·三模）已知集合，，现随机从M和N中各抽取3个不同的数分别组成最大的三位数m，n，则事件“”的概率为________． 【答案】/ 【详解】设事件“”为事件A，三位数m，n的百位数分别为， 满足有三种情况： 若，此时恒成立，则； 若，此时恒成立，则； 若，则， 且，由对称性可知， 可得； 所以. 8．（2025·广西来宾·三模）高中数学全国通用）某校三个年级举办乒乓球比赛，每个年级选派4名选手参加比赛，组委会随机将这12名选手分成6组，每组2人，则在上述分组方式中每组的2人均来自不同年级的概率为_____． 【答案】 【详解】首先将12名选手分成6组的方法数． 设三个年级选派的选手4人组分别为，考虑组4名选手，与之配对的只能是来自组和组的各2名选手， 同时组和组的另2名选手再进行配对，即满足题意的分组方法数． 所以每组的2人均来自不同年级的概率为． 故答案为： 9．（2025·云南昭通·二模）【新考法】如图，在正方体中，为的中点，从除外的11条棱的中点及正方体的8个顶点共19个点中随机选取2个点与构成三角形，则能构成______个三角形．从这些三角形中随机选取一个三角形，恰好是以为顶角顶点的等腰三角形的概率为______．（均用数字作答） 【答案】 170 【详解】从除外的11条棱的中点及8个顶点中随机选取2个点与构成三角形， 而，，三点在一条棱上，不能构成三角形， 所以能构成个三角形． 其中，除了外，其他的点按照离的距离远近可分为4个平行平面， （由各点均为正方体各棱的中点，由面面平行的判定定理可知，，互相平行） 如图， 分别记为平面，，，（过且与其他平面平行）． ①对于平面，，每个平面上有4个棱的中点， 任取2个点都能与构成以为顶角顶点的等腰三角形，共有个． ②对于平面，有4个正方体的顶点， 任取2个点都能与构成以为顶角顶点的等腰三角形，有个， 再加上，的两个中点又构成一个以为顶角顶点的等腰三角形， 共构成7个以为顶角顶点的等腰三角形； ③对于平面，，与构成1个以为顶角顶点的等腰三角形． 综合①②③，共有个以为顶角顶点的等腰三角形， 因此，所求概率为． 10．（2025·黑龙江七台河·模拟预测）箱中有连续编号1到15的小球，现从箱中一次随机取出5个球，若已知取出的5个球的编号中位数为9，则这5个球中的最大编号与最小编号之差恰好等于9的概率为__________． 【答案】 【详解】设取出的5个球编号从小到大排列为， 由已知中位数为9即，则需从中选取，需从中选取， 故基本事件总数为． 若满足最大编号与最小编号之差为9，设，则． 由知， 由即知，且即，故， 此时的选法总数为， 求和得符合条件的事件数为， 故所求概率为． 11．（2025·宁夏吴忠·二模）某校篮球队的成员是来自学校高一10个班的12位同学，其中高一（3）班、高一（7）班各出2人，其余班级各出1人，从这12人中要选6人作为主力队员，则这6名主力队员来自不同的班级的概率为________． 【答案】 【详解】从12人中选6人，有种； 由题意，当6人来自除高一（3）班、高一（7）班以外的8个班时，有种； 当6人有1人来自高一（3）班或高一（7）班，其余5人来自另外的8个班时，有种； 当6人有1人来自高一（3）班、1人来自高一（7）班，其余4人来自另外的8个班时，有种， 故共有种． ∴这6名主力队员来自不同的班级的概率为. 12．（2025·福建南平·三模）现有四位同学（两男两女），随机地站到的方格场地中（每人站一格，每格至多一人），则两个男生既不同行也不同列，同时两个女生也既不同行也不同列的概率为__________. 【答案】 【详解】从16个格子中选4个排4个人有种排法， 两个男生既不同行也不同列的排法有种排法， 两个女生也既不同行也不同列的排法数有种排法， 两名女生与两名男生排在一起的排法有， 两名女生中有一名与男生排在一 起的排法有， 所以两个男生既不同行也不同列，同时两个女生也既不同行也不同列（每人一格）有种， 所以两个男生既不同行也不同列，同时两个女生也既不同行也不同列的概率为： . 故答案为：. 真题·实战演练 高频考点：古典概型样本点计数、基本事件辨析、概率基本性质、互斥对立事件概率运算、简单实际情境概率求解；近三年以小而精的选择填空为主，侧重基础+中档综合，突出样本识别、计数分析、情境应用三大热点。 1．（2025·安徽铜陵·一模）已知数列是公差不为0的等差数列，若从，，…，中任取四项，则这四项依然构成等差数列的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】首先计算总基本事件数：从项中任取项，总事件数为. 设原等差数列的公差为，若抽取的四项成等差数列，则，， 代入通项公式得，化简得， 同理可得，即抽取的四项下标也成等差数列. 设抽取的四项下标公差为，则四项下标可表示为，其中： 当时，，共组； 当时，，共组； 当时，，共组； 当时，，无符合条件的组. 因此符合条件的基本事件数为，故所求概率. 2．（2025·河北秦皇岛·一模）已知，则数能被整除的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】考查时，则、、都能被整除， 接下来只需要考查能被整除即可， 但、、、为、、、的一个排列， 由于、、、都不能被整除，则不能被整除，所以能被整除， 则或或或或或或或， 当时，则或， 则当或或或或或或，都有种情况， 即当时，不同的排序方法种数为种， 故当时，每种排序方法种数都为种， 由古典概型的概率公式可知，数能被整除的概率为. 3．（2025·湖南株洲·模拟预测）在正方体中，E，F，G分别为，，的中点，若从正方体的八个顶点中任取两个不同的顶点，记事件M为“所取两个顶点的连线与平面平行”，则事件M发生的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 如图所示，作的中点，连接， 可知，可知， 所以点在同一平面上， 可知面平行的对角线有共6条， 所有从正方体的八个顶点中任取两个不同的顶点的连线有条， 则. 4．（2026·广西柳州·模拟预测）某学校随机将16名学生平均分成两个小组，分别参加数学和物理兴趣小组，学生学号为1，2，3，..，16，设数学小组里的学生最小学号为，最大学号为，物理小组里的学生最小学号为，最大学号为，则“”的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】将这16个学生随机分为两组参加数学和物理两个兴趣小组，共有种方法， 假设1号参加数学兴趣小组，则数学兴趣小组中学生最大学号为11， 故16号学生参加物理兴趣小组，则物理兴趣小组中学生的最小学号为6， 从而学号为1到5的学生均参加数学兴趣小组， 学号为7、8、9、10的学生有任意2个参加数学兴趣小组， 满足要求的情况数为； 假设1号参加物理兴趣小组，同样有6种情况， 综上，共有种，满足要求，所以“”的概率为， 故选： C. 5．（2025·江苏南京·三模）一个书包中有标号为“”的张卡片.一个人每次从中拿出一张卡片，并且不放回；如果他拿出一张与已拿出的卡片中有相同标号的卡片，则他将两张卡片都扔掉；如果他手中有3张单张卡片或者书包中卡片全部被拿走，则操作结束.记书包中卡片全部被拿走的概率为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】若，书包中有标号为“”的张卡片， 则他手中不可能有3张单张卡片，即书包中卡片必全部被拿走，故. 由于从张卡片中任取张共有种选法，可分两类： 一类是前张卡片为张单张（操作结束，不可能全部卡片被拿走）； 另一类是前张卡片中含一对卡片. 由前张卡片中含一对卡片的选法共有种， 故前张卡片中含一对卡片的概率为 ； 而将这一对卡片拿掉后，相当于从对卡片中已拿出一张卡片， 即在前张卡片中含一对卡片的条件下，书包中全部卡片被拿走的概率为， 则由概率乘法公式可知，，且. 所以. 故选：C. 6．（2025·广东清远·一模）已知一组均为正整数的数据丢失了其中一个，另外六个数据分别是13，8，26，8，11，8，若这组数据的平均数、中位数、众数满足，现从已知的6个数据中任意抽一个记为y，则的概率为_____________． 【答案】或  ． 【详解】设丢失的数据为x，则七个数据的平均数，众数．若，则中位数为8，此时，解得（舍去）；若，则中位数为x，此时，解得；若，则中位数为11，此时，解得．故丢失的数据或．当时，，此时的概率为；当时，，此时的概率为 7．（2025·陕西宝鸡·三模）已知集合，，现随机从M和N中各抽取3个不同的数分别组成最大的三位数m，n，则事件“”的概率为________． 【答案】/ 【详解】设事件“”为事件A，三位数m，n的百位数分别为， 满足有三种情况： 若，此时恒成立，则； 若，此时恒成立，则； 若，则， 且，由对称性可知， 可得； 所以. 8．（2025·广西来宾·三模）高中数学全国通用）某校三个年级举办乒乓球比赛，每个年级选派4名选手参加比赛，组委会随机将这12名选手分成6组，每组2人，则在上述分组方式中每组的2人均来自不同年级的概率为_____． 【答案】 【详解】首先将12名选手分成6组的方法数． 设三个年级选派的选手4人组分别为，考虑组4名选手，与之配对的只能是来自组和组的各2名选手， 同时组和组的另2名选手再进行配对，即满足题意的分组方法数． 所以每组的2人均来自不同年级的概率为． 故答案为： 9．（2025·云南昭通·二模）如图，在正方体中，为的中点，从除外的11条棱的中点及正方体的8个顶点共19个点中随机选取2个点与构成三角形，则能构成______个三角形．从这些三角形中随机选取一个三角形，恰好是以为顶角顶点的等腰三角形的概率为______．（均用数字作答） 【答案】 170 【详解】从除外的11条棱的中点及8个顶点中随机选取2个点与构成三角形， 而，，三点在一条棱上，不能构成三角形， 所以能构成个三角形． 其中，除了外，其他的点按照离的距离远近可分为4个平行平面， （由各点均为正方体各棱的中点，由面面平行的判定定理可知，，互相平行） 如图， 分别记为平面，，，（过且与其他平面平行）． ①对于平面，，每个平面上有4个棱的中点， 任取2个点都能与构成以为顶角顶点的等腰三角形，共有个． ②对于平面，有4个正方体的顶点， 任取2个点都能与构成以为顶角顶点的等腰三角形，有个， 再加上，的两个中点又构成一个以为顶角顶点的等腰三角形， 共构成7个以为顶角顶点的等腰三角形； ③对于平面，，与构成1个以为顶角顶点的等腰三角形． 综合①②③，共有个以为顶角顶点的等腰三角形， 因此，所求概率为． 10．（2025·黑龙江七台河·模拟预测）箱中有连续编号1到15的小球，现从箱中一次随机取出5个球，若已知取出的5个球的编号中位数为9，则这5个球中的最大编号与最小编号之差恰好等于9的概率为__________． 【答案】 【详解】设取出的5个球编号从小到大排列为， 由已知中位数为9即，则需从中选取，需从中选取， 故基本事件总数为． 若满足最大编号与最小编号之差为9，设，则． 由知， 由即知，且即，故， 此时的选法总数为， 求和得符合条件的事件数为， 故所求概率为． 11．（2025·宁夏吴忠·二模）某校篮球队的成员是来自学校高一10个班的12位同学，其中高一（3）班、高一（7）班各出2人，其余班级各出1人，从这12人中要选6人作为主力队员，则这6名主力队员来自不同的班级的概率为________． 【答案】 【详解】从12人中选6人，有种； 由题意，当6人来自除高一（3）班、高一（7）班以外的8个班时，有种； 当6人有1人来自高一（3）班或高一（7）班，其余5人来自另外的8个班时，有种； 当6人有1人来自高一（3）班、1人来自高一（7）班，其余4人来自另外的8个班时，有种， 故共有种． ∴这6名主力队员来自不同的班级的概率为. 12．（2025·福建南平·三模）现有四位同学（两男两女），随机地站到的方格场地中（每人站一格，每格至多一人），则两个男生既不同行也不同列，同时两个女生也既不同行也不同列的概率为__________. 【答案】 【详解】从16个格子中选4个排4个人有种排法， 两个男生既不同行也不同列的排法有种排法， 两个女生也既不同行也不同列的排法数有种排法， 两名女生与两名男生排在一起的排法有， 两名女生中有一名与男生排在一 起的排法有， 所以两个男生既不同行也不同列，同时两个女生也既不同行也不同列（每人一格）有种， 所以两个男生既不同行也不同列，同时两个女生也既不同行也不同列的概率为： . 故答案为：. 19 / 21 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $