第05讲 椭圆及其性质（专项训练）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测

**基本信息** 以题型为纲系统覆盖椭圆核心知识，从定义应用到实际建模，梯度设计培养数学思维与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |模拟·基础演练|10题型43题|覆盖定义、方程、几何量等核心概念，聚焦基础运算与辨析|从定义生成标准方程，推导几何量关系，构建“概念-性质-应用”逻辑链| |重难·创新演练|12题|融合黄金椭圆、向量等新考法，突出动态最值与实际情境|深化离心率范围、焦点三角形等重难，关联数学眼光与建模能力| |真题·实战演练|5题|聚焦离心率、焦点三角形等高频考点，强化综合应用|对接高考命题趋势，提升用数学语言解决复杂问题的能力|

第05讲 椭圆及其性质 目 录 模拟·基础演练 2 题型01 椭圆的定义及其应用 2 题型02 椭圆的标准方程 4 题型03 椭圆方程的充要条件 7 题型04 椭圆的焦距与长轴、短轴 8 题型05 椭圆中的焦点三角形 10 题型06 椭圆上两线段的和差最值问题 14 题型07 椭圆的离心率及范围 18 题型08 椭圆的轨迹问题 22 题型09 与椭圆有关的范围(最值) 24 题型10 椭圆的实际应用 27 重难·创新演练 30 真题·实战演练 40 模拟·基础演练 考查重点：椭圆定义的理解与应用、椭圆标准方程求解、二元二次方程表示椭圆的条件辨析、长轴短轴焦距等基础几何量运算、焦点三角形周长面积与边角计算、椭圆上动点线段和差最值、离心率及离心率范围求解、动点轨迹方程推导、椭圆内点与弦相关范围最值运算、椭圆实际背景模型应用。 题型01 椭圆的定义及其应用 1.（2026.·陕西西安·模拟）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在上，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据椭圆方程求出的值，再利用椭圆定义求出，最后在中运用余弦定理求出，进而得到的值. 【详解】由题意得，.若，则， 由余弦定理得， 因为，所以. 2.（2026·山东·模拟）已知分别为椭圆的左、右焦点，过的直线与交于两点，线段的中点在轴上，且，若，则的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析可知为等边三角形，结合长度关系可得，，即可得椭圆方程. 【详解】因为分别为，的中点，则， 且，则，即，可得， 又因为，则，可知为等边三角形， 且，则，， 可得，，即，， 则，所以椭圆的标准方程为. 3.已知动点满足，则动点M的轨迹方程是 ． 【答案】 【分析】设，分析可知动点M的轨迹是以为焦点的椭圆，进而可得和方程. 【详解】设， 因为，可得， 可知动点M的轨迹是以为焦点的椭圆， 且，则， 所以动点M的轨迹方程是. 故答案为：. 4.（2026·河北张家口·模拟）已知是椭圆上的动点，，且，则 . 【答案】5 【详解】根据椭圆的定义确定点的轨迹，进而得到椭圆参数，再由椭圆参数关系求参数值. 【分析】因为， 所以点的轨迹是以为焦点的椭圆. 易知，即， 所以. 故答案为：5 5．已知椭圆的左、右焦点分别为为上一动点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先根据椭圆、、之间的关系，求出，再根据椭圆的定义，把换成，最后根据，代入即可. 【详解】设椭圆的半焦距为，则，， 因为，即，所以，即. 故答案为：. 题型02 椭圆的标准方程 6．已知椭圆的一个焦点，为上一点，满足，，则椭圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，设出椭圆方程，再建立方程组，利用待定系数法求解即得. 【详解】依题意，椭圆的焦点在轴上，设椭圆为，， 则，即，解得，又， 因此，解得，所以椭圆的标准方程为. 故选：B 7．与双曲线有公共焦点，且离心率为的椭圆方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出双曲线的焦点，即得c的值，可设出椭圆的标准方程，根据离心率以及，求出的值. 【详解】设椭圆的方程为：，双曲线的焦点为， 所以，又因为离心率为，所以，所以，又因为， 所以圆的方程为. 故选：C. 8．（2026·辽宁模拟）已知椭圆，直线与C交于M，N两点，与两坐标轴分别交于点A，B，且M，N是线段的三等分点，则C的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平面向量的线性运算的坐标表示结合题意先求出，再代入椭圆方程求解即可. 【详解】由直线，不妨设，设， 则，如图，因为M，N是线段的三等分点， 则，，则，解得，，，，则，又M，N两点在椭圆上，所以，解得， 所以椭圆的方程为. 故选：A. 9．已知椭圆上任意一点到的两个焦点的距离之和为. (1)求的方程； (2)已知直线与相交于A，B两点，若，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知焦点及定义计算求解椭圆方程； （2）先联立方程组得出根与系数的关系，再结合弦长公式代入计算求解参数. 【详解】（1）由题意可得解得故的方程为. （2）联立，得.，解得. 设，则， ，解得，即的值为. 题型03 椭圆方程的充要条件 10．已知曲线，设，曲线是焦点在坐标轴上的椭圆，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据方程表示焦点在坐标轴上的椭圆求出的取值范围，然后根据充分条件、必要条件的定义进行判定即可． 【详解】因为是焦点在坐标轴上的椭圆，所以，解得：且， 所以“”是“曲线是焦点在坐标轴上的椭圆”的必要不充分条件． 故选：B． 11．方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则，解得，即m的取值范围为． 12．方程 表示焦点在 y 轴上的椭圆，则 k 的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定的椭圆方程及焦点位置列不等式求解. 【详解】由方程 表示焦点在 y 轴上的椭圆，得，解得， 所以k 的取值范围为. 故选：C 13．（多选）已知方程，则下列说法正确的有（   ） A．若，此时方程为椭圆，离心率为 B．若，此时方程为双曲线，其渐近线为 C．若方程表示双曲线，则 D．若方程表示椭圆，则 【答案】AB 【分析】AB求出具体的方程可判断；C根据可求；D根据，，可求. 【详解】若，则为椭圆，，则离心率为， 故A正确；若，则为双曲线，则渐近线方程为，故B正确； 若方程表示双曲线，则，得或，故C错误； 若方程表示椭圆，则，得且，故D错误. 故选：AB 题型04 椭圆的焦距与长轴、短轴 14．已知椭圆的右焦点为，则的长轴长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可知椭圆的焦点在轴上，且，由椭圆中的平方关系可求得的值，进而可求得长轴长. 【详解】因为椭圆的右焦点为，所以，且焦点在轴上， 所以，解得，所以椭圆的长轴长为． 故选：B. 15.设椭圆的标准方程为，若焦距为2，则的值等于（   ） A．7 B．7或5 C．10 D．10或2 【答案】B 【分析】根据椭圆中，，的关系求解即可. 【详解】因为焦距为2，所以. 当焦点在轴上，此时，且，解得； 当焦点在轴上，此时，且，解得. 综上，的值为7或5. 故选：B 16．已知椭圆的焦距为4，则离心率（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分类讨论焦点的位置，根据的关系列方程求解即可求出离心率. 【详解】由题：焦距为4，所以 若焦点在轴上，则,此时离心率为， 若焦点在轴上，则（舍）， 故选：C. 17．已知椭圆的离心率为，短轴长为2，则（   ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】由离心率、短轴长以及的关系式，建立方程组，可得答案. 【详解】由题可知，所以. 故选：A. 18．（多选）（2026·甘肃庆阳·模拟）已知椭圆：，则（    ） A．的焦点在轴上 B．的焦距为10 C．的离心率为 D．的长轴长是短轴长的5倍 【答案】BC 【分析】根据椭圆的几何性质即可逐一求解. 【详解】对于椭圆：，可得， 故椭圆的焦点在轴上，焦距为，离心率为， 长轴长为，短轴长为，故AD错误，BC正确. 故选：BC 题型05 椭圆中的焦点三角形 19.（2026·云南保山·二模）设椭圆的离心率为，，，分别为其左、右焦点，点为椭圆短轴的一个端点，且的面积为2，则椭圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由椭圆离心率为，得，即，又因为，所以， 又点为椭圆短轴顶点，则，解得，所以， 即椭圆的方程为. 20．（2026·浙江·二模）已知椭圆，为椭圆的左､右焦点，点为椭圆上在第一象限内的一点，且的面积为，则的角平分线所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作出图形，利用的面积，结合椭圆方程求得点，再由角平分线定理求得点。即可求得的角平分线所在的直线方程. 【详解】如图，由可得椭圆的半焦距，则，    于是的面积为，取，代入，可得， 则直线轴，且， 设的角平分线交轴于点，则， 又，则得，故， 则直线的斜率为，其方程为，即. 21．（多选）（2026·湖南邵阳·模拟）已知是椭圆上一点，、为其左、右焦点，且的面积为，则下列说法正确的是（    ） A．点纵坐标为 B．的周长为 C． D．的内切圆半径为 【答案】BCD 【分析】利用三角形的面积公式可判断A选项；利用椭圆的定义可判断B选项；设，利用三角形的面积公式、余弦定理、同角三角函数的基本关系可得出关于、的方程，解出的值，可判断C选项；利用等面积法可判断D选项. 【详解】对于A选项，在椭圆中，，，， ，则、， 设点，，，故选项A错误； 对于B选项，由椭圆的定义可知， 的周长为，故选项B正确； 对于C选项，设，，可得， 由余弦定理可得 ， 所以， 所以，解得，故选项C正确， 对于D选项，设的内切圆半径为， 则， ，故选项D正确. 故选：BCD. 22（25-26高三上·广东深圳·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线交于，两点，若为等边三角形，则的焦距为___________ 【答案】 【分析】由题意得，进而得，再由椭圆的定义得，进而求解. 【详解】由为等边三角形，所以，根据对称性可知，， 又，所以， 所以，， 所以. 故答案为： 23.已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，，过且垂直于的直线与椭圆C交于D，E两点，，则的周长是________． 【答案】8 【分析】根据已知得到为等边三角形，为的垂直平分线，进而有的周长等于，结合椭圆的定义求三角形的周长，再联立直线与椭圆并应用韦达定理、弦长公式列方程求椭圆参数，即可得周长. 【详解】因为，即，则， 即，， 则，故， 故为等边三角形，为的垂直平分线， 所以，，则的周长等于， 其中，则的周长为， 又因为直线的斜率为， 则直线的斜率为，可得直线为， 联立方程，消去y得， 且，可得， 设，则， 故，解得，故， 则的周长为. 故答案为：8. 题型06 椭圆上两线段的和差最值问题 24．（2026·广西·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为A，点M在C上，若周长的最大值为8，则C的焦距为（    ） A．3 B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】利用椭圆的定义将周长的最大值问题转化为求的最大值即可求出，再求出焦距即可. 【详解】由题意知，，且， 则， 由椭圆的定义可知，， 则的周长为， 因为，等号成立时三点共线， 所以周长的最大值为，得，则，得， 故C的焦距为. 25．已知是椭圆的左焦点，为上一点，，则的最小值为（   ） A． B． C．4 D． 【答案】D 【分析】根据椭圆的定义可：，得，当，，三点共线时取得最小值，进行求解即可． 【详解】解：设椭圆的右焦点为， 易知，， 由，得， 根据椭圆的定义可得：， 所以，当且仅当，，三点共线时等号成立， 所以的最小值为， 故选：D． 26．已知椭圆的右焦点为，且过点，为上一动点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题目条件求椭圆的方程，进而由椭圆的定义及两点间线段最短求两线段长度之和的最大值 【详解】设半焦距为，因为，故. 又过点，故. 由椭圆得，代入解得，.即，. 所以的方程为.    设的左焦点为，故. 根据椭圆的几何性质可知， 由于两点之间线段最短，所以. 因此. 当且仅当，，在一条直线上时，等号成立. 故选： 27（多选）（2026·辽宁锦州·模拟预测）分别为椭圆和双曲线上的点，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】利用椭圆的定义将椭圆上动点到同侧焦点的距离转化为到异侧焦点的距离，结合三角形两边之差小于第三边的性质构造不等关系；同时利用双曲线定义区分左右支，将双曲线上动点到焦点的距离进行转化，并运用三角形两边之和大于第三边的性质推导出最值. 【详解】由椭圆可得：，，左右焦点为、， 由椭圆的定义：对椭圆上任意点，，得， 因此：， 由三角形不等式：， 又，则， 故，故A错误，B正确； 由双曲线可得：，，焦点同样为、， 由双曲线的定义：若在右支：，得， 因此：， 由三角形不等式：，得， 若在左支：，得， 因此， 综上，总有，故C正确，D错误. 28.（2026·山东淄博·二模）椭圆C：的左右焦点分别为，，点，P为C上一动点，则的最小值为______． 【答案】/ 【分析】根据椭圆的定义及线段和差关系即可求解． 【详解】依题意可得，， 将点代入椭圆C，有，则点在椭圆C内， 由椭圆的定义可知，即， 所以， 所以的最小值为． 题型07 椭圆的离心率及范围 29．（2026·黑龙江模拟）已知椭圆的离心率为，则（   ） A．2 B． C．4或 D．或2 【答案】C 【分析】由椭圆方程可知对和进行分类讨论，再由离心率公式代入计算可得结果. 【详解】根据椭圆方程可知， 当时，可得，所以离心率， 解得；当时，可得，所以离心率， 解得，所以；所以或4. 故选：C 30.（2026·河北保定·模拟）已知椭圆的左右焦点分别为，点在上，点在轴上，，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先设出相关点的坐标，然后根据向量关系以及椭圆的定义和性质来求解离心率. 【详解】设，，，，，， 又，，解得，， 此时，，，，解得， 又点在上，，，， 又，即，解得，， 即. 故选： 31.（2026·江苏南京·三模）如图，焦点在轴上的椭圆，分别是左右焦点，过的直线交椭圆于两点，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由椭圆的定义可得，，利用比例关系求得，，由，在，中，利用余弦定理建立方程求出，得解. 【详解】由椭圆的定义，，，且，， 所以设，，则，， 所以，，所以，， 设椭圆的半焦距为， 在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得， 由， ，即， 化简得，即， 所以椭圆的离心率. 32.（25-26高三下·安徽合肥·阶段检测）已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆C上存在一点P使，且△F1PF2为锐角三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，由正弦定理可得，由两角和的正弦公式和倍角公式化简可得，结合的范围和余弦函数的单调性即可得出答案. 【详解】设，则，由三角形的内角和为， 所以，在中，由正弦定理可得： ， 由可得：， 所以， 因为 ，因为， 因为△F1PF2为锐角三角形，所以，解得：， 所以，所以，因为在上单调递减， 所以在上单调递减，所以 33．若椭圆上存在一点到其左右焦点的距离之比为，则椭圆离心率的取值范围为 . 【答案】 【分析】由椭圆的定义结合比例易得，再由椭圆上任意一点到焦点的距离满足即可解出答案. 【详解】记左右焦点分别为，由题意， 由椭圆的定义知， 所以， 椭圆上任意一点到焦点的距离满足：且 所以 所以椭圆离心率的取值范围为. 故答案为：. 题型08 椭圆的轨迹问题 34.已知，，直线相交于点P，且直线与直线的斜率之积为，则点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直线斜率的概念，列出方程，求出结果即可. 【详解】设点，则，且， 可得，化简得，即，且. 故选：D. 35．在平面直角坐标系中，满足，、分别为的重心、内心，若轴，则点的轨迹方程为 . 【答案】 【分析】根据重心的性质和内心的性质，求出两点的坐标，根据线段平行轴，纵坐标相等，列出坐标的关系式，求出轨迹方程. 【详解】设，则重心，设内切圆半径为， 又，所以， 因为，则，又，所以， 所以点的轨迹方程为. 故答案为：. 36．在平面直角坐标系中，已知动点到定点的距离和它到定直线的距离之比为，记的轨迹为曲线． (1)求的方程； (2)已知点在曲线上，若直线与曲线交于、两点，且直线与的斜率互为相反数，求的中点与的最小距离．. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，根据题意可得出关于、的等式，化简可得出曲线的方程； （2）设直线的斜率为，则直线的斜率为，设、，将直线的方程与曲线的方程联立，根据韦达定理可求出点的坐标，进而可得出点的坐标，可得出点的坐标，进而可求出点所在定直线的方程，求出点到定直线的距离，即为所求. 【详解】（1）设，由题意得，，化简得， 所以曲线的方程为. （2）由于直线与的斜率互为相反数， 不妨设直线的斜率为，则直线的斜率为，、， 则直线的方程为，如下图所示： 联立，整理可得， 可得，又，可得，    即， 同理用代替可得， 因此可得的中点，因此可得， 所以可得点在直线上， 可得点与的最小距离即为点到直线的距离， 当且仅当时，取得最小值. 因此，的最小值为. 题型09 与椭圆有关的范围(最值) 37．（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点A，B均在C上，其中，则（   ） A．椭圆C的长轴长为 B．椭圆C的离心率为 C．点在椭圆C内 D．的值可以是6 【答案】BC 【分析】根据题意先求，进而得即可判断ABC，对于D设，则，利用的范围即可判断. 【详解】由题意有，所以椭圆方程为，所以，所以椭圆的长轴长为，故A错误； 离心率为，故B正确； 又因为，故C正确； 设，， 所以， 又，所以，又，故D错误， 故选：BC. 38.（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，点）是椭圆E上的一个动点，则下列说法正确的是（    ） A．椭圆E的长轴长为5 B．椭圆E的离心率为 C． D．恰好存在两个点P使得 【答案】BC 【分析】由椭圆的方程可得，即可判断AB；由判断C，确定P点所在方程，联立椭圆方程可求出符合题意的点的个数，判断D. 【详解】对于椭圆，，故椭圆长轴长为，A错误； 椭圆离心率为，B正确； 点）是椭圆E上的一个动点，则，即，C正确； 由可知P点位于以为直径的圆上，， 则该圆方程为，联立，解得， 则或或或，故满足题意的点P有4个，D错误， 故选：BC 39．（2026·辽宁沈阳·二模）已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为．若椭圆C上存在不同的两点A，B，使得，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】设，，由得到两点坐标之间的关系，再结合点在椭圆上，点的横坐标满足，得到不等式即可求得结果. 【详解】已知椭圆方程为，离心率，则， 如图所示，设左右焦点分别为，，椭圆上的点，， 由题意得，即， 由于都在椭圆上，则有，，代入，得，由可得：，整理得， 再代入得， 整理得， 当时，得，显然不符合条件； 当时，得，符合条件； 当且时，解得，代入，则，化简得，为了使点在椭圆范围内，则点的横坐标需要满足，即，解得.而当或时，与平行，即点，重合，不符合条件.综上所述，的取值范围为. 40．（2026·重庆渝中·二模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上一点． (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线过点，且与椭圆相交于，两点，为坐标原点，求面积的最大值及此时的方程． 【答案】(1) (2)最大值，的方程为 【分析】（1）本问利用椭圆的定义求出，代入点坐标求出，从而求出椭圆标准方程； （2）设直线方程与椭圆方程联立，根据韦达定理，表示出三角形面积，利用基本不等式求出面积最大值，从而求出直线方程. 【详解】（1）解：（1）由两点间距离公式可得，，根据椭圆的定义可得，所以， 又点在椭圆上，代入得，解得，因此椭圆的方程为． （2）（2）设直线为，，， 联立，化简得， 则，，， ， 由基本不等式得， 当且仅当，即，亦即时等号成立, 此时取最大值为，所以的方程为. 题型10 椭圆的实际应用 41.油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，北京市文化宫开展油纸伞文化艺术节活动中，某油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞伞沿是一个半径为2的圆，圆心到伞柄底端距离为2，当阳光与地面夹角为时，在地面形成了一个椭圆形影子，且伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，若该椭圆的离心率为e，则（    ）      A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意先求得短半轴长，再根据正弦定理求得，进而根据离心率的公式求解即可 【详解】因伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上， 由图可知，椭圆的短半轴长， 在中，， 由正弦定理得： ， 所以，    故选：D. 42．北斗卫星导航系统是我国航天事业的重要成果，北斗卫星的运行轨道是以地球的球心为一个焦点的椭圆，平均轨道高度约为2万千米到3.6万千米，属于中高地球轨道.某颗北斗卫星运动至近地点时，距离地球表面高度约为1.56万千米；运动至远地点时，距离地球表面高度约为3.16万千米.已知地球的半径约为0.64万千米，则该卫星运行轨迹的标准方程可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用长轴长为，近地点离焦点距离为，即可得椭圆参数的取值，从而可得椭圆方程. 【详解】由题意知，卫星的运行轨迹为椭圆，地球的球心为该椭圆的一个焦点， 设椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为，则由题可知， 近地点到焦点距离为：， 即，所以椭圆方程可以为：， 故选：B． 43．如图所示，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.根据椭圆的光学性质解决下面的题目：已知曲线C的方程为，其左、右焦点分别是，，直线l与椭圆C切于点P，且，过点P且与直线l垂直的直线与椭圆长轴交于点M，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据椭圆定义和光的反射定理，以及角平分线定理可得 【详解】由已知得，，由椭圆定义可得， 根据光的反射定理可得为的角平分线， 由正弦定理， 所以，，又 所以即. 故选：D. 重难·创新演练 设题创新: 结合黄金椭圆新定义命题，椭圆与圆、向量、等比数列综合，利用椭圆光学性质、角平分线定理解题，焦点三角形多角度约束求离心率，椭圆内部动点衍生最值，多选辨析椭圆几何结论，结合传统文化、航天卫星实际情境，直线与椭圆相交衍生定点、对称、向量条件综合大题。 1．【新考法】（2026·河北衡水·模拟）已知直线与圆交于两点，，直线与椭圆切于点，若以，两点为切点的圆的两条切线交于点，为坐标原点，则（   ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】C 【分析】设出点、，利用椭圆上的点的切线性质及圆的切点弦性质可表示出，即可得、坐标关系，再利用数量积的坐标公式计算即可得. 【详解】设，，有，即， 由直线与椭圆切于点，则，即，由为点关于圆的切点弦，则，故，故，则. 2．（2026·山西临汾·模拟）椭圆的左、右焦点分别为，，点为椭圆上的点，则面积的最大值是（   ） A．12 B．15 C．20 D．25 【答案】A 【分析】利用焦点三角形的几何性质求解即可. 【详解】的面积为 所以 故选：A. 3．【新融合】（2026·广东东莞·二模）椭圆的左、右焦点为为坐标原点，为椭圆上一点，，且成等比数列，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由椭圆的定义得，再结合成等比数列得，再用坐标表示焦半径并结合可得. 【详解】设椭圆半焦距为，，左右焦点. 由椭圆的定义得：，因为成等比数列， 故，即，得： . 对两边平方：代入 整理得：①，由，得. 所以②，联立①②得：，，即，因此，.所以椭圆的离心率为. 4．【新角度】（2026·山西运城·二模）已知点在椭圆的内部，为的左焦点，为上的动点，若的最大值大于，则的离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设的右焦点为，因为点在的内部，所以． 由椭圆的定义知，所以， 则， 则的最大值为，所以， 又，所以，此时满足， 所以的离心率． 5．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知椭圆的右焦点为，左顶点为，点在椭圆上，若，且，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出点的坐标，代入椭圆方程，化简求值. 【详解】过点作于点，因为，所以为的中点， 由题可知，所以， 又，所以，， 所以，， 设，则， 所以， 因为点在椭圆上，所以， 用替换，化简得：， 即，因为， 所以. 6．【新思维】（2026·上海崇明·二模）已知，，，，其中，点P为平面内一点，记点到，的距离分别为，，则下列条件中能使点的轨迹为椭圆的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据椭圆的定义可判断A的真假；求点的轨迹方程，判断BCD的真假. 【详解】对于A，因为，所以点轨迹为线段，故A错误； 对于B，设，则由，所以点轨迹为圆，故B错误； 对于C，由， 因为，方程可化为，所以点轨迹为椭圆，故C正确； 对于D，由， ①当且，即时， 去绝对值可得，即， 此时结合约束条件可知点的轨迹为垂直于轴的线段； ②当且，即且， 去绝对值可得，即， 此时结合约束条件可知点的轨迹为垂直于轴的线段； ③当且，即且， 去绝对值可得，即， 此时结合约束条件可知点的轨迹为垂直于轴的线段； ④当且，即且， 去绝对值可得，即， 此时结合约束条件可知点的轨迹为垂直于轴的线段； 综上可知点轨迹为四条线段，故D错误. 7．【新考法】（多选）（2026·广东肇庆·二模）已知椭圆为的右焦点，点在上，且关于轴对称，分别为线段的中点，为坐标原点，则（    ） A． B．的最小值为 C． D．存在点，使得 【答案】BCD 【分析】设的左焦点为，利用对称性，如，，取具体的点验证是否有判断A，利用椭圆上点到焦点距离的最值判断B，结合椭圆定义判断C，设，由求出判断D. 【详解】对于选项A，由题意得，如图，设的左焦点为，连接，由的对称性知且，则，由，取点，得，故A错误； 对于选项B，因为为线段的中点，所以，因为的最小值为，所以的最小值为，即，故B正确； 对于选项C，因为分别为线段的中点，所以，由椭圆的定义知，故C正确； 对于选项D，设，则，且，由，得，所以.，若，则，此时，故存在点，使得，故D正确. 8．【新思维】（多选）（2026·内蒙古赤峰·三模）定义离心率是的椭圆为“黄金椭圆”．已知“黄金椭圆”的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，上、下顶点分别为，则下列说法正确的是（    ） A．短半轴长为 B．成等比数列 C． D．的外接圆半径为 【答案】BCD 【分析】结合椭圆的几何性质，可判定A错误；求得，得到，可判定B正确；由，结合，可判定C正确；证得，结合直角三角形的性质，可判定D正确． 【详解】对于A，由椭圆，可得，即， 因为椭圆离心率，则，所以， 短半轴长为，不等于，所以A错误； 对于B，由选项A知：，可得， 则，即，所以成等比数列，故B正确； 对于C，由， 由选项B知，可得，即， 因为所以，故C正确； 对于D，由， 可得，即， 则直角的外接圆半径，故D正确． 9．（2026·四川泸州·模拟）已知椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，直线与的另一个交点为，若，则的值为___________． 【答案】3 【分析】设，根据椭圆定义可得，，进而可得，即可得结果. 【详解】由题意可知：，， 设，则，， 若，则，解得，可得，，所以. 10．（2026·山西吕梁·模拟）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过点的直线交C于A，B两点，若，，则椭圆C的方程为_______. 【答案】 【分析】先利用椭圆的定义设出线段长度，结合已知条件求出各边长度，再用余弦定理建立关于的方程，进而求出，得到椭圆方程. 【详解】设，则，。因为，所以。 根据椭圆的定义可得，得，因此，。在中，； 在中，，，， 由，得， 对用余弦定理， 对用余弦定理：， 所以化简得：，又椭圆中， 所以，即。因此椭圆的方程为。 11．（2026·重庆·模拟预测）已知椭圆的四个顶点围成的四边形面积为，离心率. (1)求出椭圆的标准方程； (2)过椭圆的上焦点作直线与椭圆交于，两点，是否存在直线使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）根据离心率以及四边形面积解方程可求得，，得出椭圆方程； （2）显然直线斜率不存在时不合题意，设出直线方程并与椭圆方程联立，利用韦达定理以及向量关系，可求得直线方程. 【详解】（1）由，得， 由椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为， 可得，即， 再由，解得，， 所以椭圆的方程为. （2）由（1）知，设点，， 当直线的斜率不存在时，，此时交点为和, 不满足，舍去； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 联立，消去得到， 其中，且； ，，即； 因此，解得； 解得，即， 直线的方程为. 12．【新思维】（2026·天津河西·模拟）已知椭圆（）的焦距为4，且经过点. (1)求椭圆的标准方程； (2)设A为椭圆C的右顶点，不过点A的直线l与椭圆C相交于不同的两点P、Q，直线AP、AQ分别交y轴于M、N，若，的面积为，求直线l的方程. 【答案】(1) (2)或. 【分析】(1)将点的坐标代入方程，结合解方程即可求解； (2)设直线l的方程为（斜率必不为0）与椭圆方程联立，得到根与系数关系，分别表示直线AP、AQ的方程，求出M、N的坐标，结合，化简可得的值，利用弦长公式结合化简即可求解. 【详解】（1）由题意，椭圆的焦距，所以.因为，所以.将点代入椭圆方程，得：，去分母化简，得： .因为，所以.从而.故椭圆的标准方程为：. （2）由（1）知，右顶点，左焦点 设直线l的方程为（斜率必不为0） 代入椭圆方程： . 设，所以， 直线AP过点和，其方程为： 令，得交点M的纵坐标：同理可得交点N的纵坐标： 因为 所以 由已知 ，解得 所以直线l必定恒过左焦点此时直线方程为 判别式 恒成立 由于直线l的x轴截距为，以原点到x轴交点的线段长度为底， 高即为，面积S为： 由已知，可得： 整理得：即 解得. 综上所述，满足条件的直线l的方程为或. 真题·实战演练 高频考点：椭圆定义求方程、焦点三角形计算、离心率求值与范围、椭圆上动点距离最值、直线和椭圆联立韦达定理应用。 1．（2026·上海·高考真题）在中，，，．已知点，，分别为椭圆的上、下、右顶点，以及两个焦点中的三点，求椭圆的离心率__________． 【答案】 【分析】根据椭圆对称性分析各点的可能性情况，分情况讨论求的值，即可得离心率. 【详解】因为， 根据对称性可知：点其中一个为上下顶点，一个为右顶点，一个为焦点，不妨取上顶点. ①当点中一个为上顶点，一个为右顶点，一个为左焦点，如图1 则或，解得或无解； ②当点中一个为上顶点，一个为右顶点，一个为右焦点，如图2， 则或，方程组均无解； 综上所述：，，，所以离心率. 2．（2026·北京·高考真题）已知椭圆：（）的一个顶点是，离心率为． (1)求的方程； (2)过点，斜率为的直线交椭圆于、两点，关于的对称点为，交于，若，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用顶点坐标及离心率计算即可得； （2）设出直线，联立曲线方程可得与交点横坐标有关韦达定理，结合题目所给条件计算可得点、点坐标，再利用点到直线距离公式与两点间距离公式可表示出与，结合题目所给条件与韦达定理计算即可得解. 【详解】（1）由题意可得，则，即，故的方程为； （2）由题意可得，设、， 由关于直线对称的点为，则， 联立，消去得：， 由，故在椭圆内部，故恒成立，有、， 则， ， ，联立， 则，即， 整理得，即， 点到直线的距离，点到直线的距离， 又，则，， 故 ， 即有，若，则，无解，不符； 则，有，解得； 故. 3．（2026·天津·高考真题）已知椭圆（）的离心率为，椭圆被直线截得的线段长为． (1)求的标准方程； (2)斜率为的直线与圆相切，且该直线交椭圆于，（），是椭圆的上顶点．记直线，的斜率分别为，，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据椭圆的离心率可知，，然后将代入椭圆方程即可求解； （2）根据直线与圆相切即可求出，分类讨论即可. 【详解】（1）由于椭圆的离心率为，所以，即， 由于，所以， 将代入椭圆方程，得，即，解得，即， 由题意，所截得的线段长为，所以，解得，从而， 所以椭圆的方程为. （2）由（1）可知，，所以圆的方程为， 设直线的方程为，因为直线与圆相切，如图所示， 则圆心到直线的距离，解得， 椭圆上顶点，分两种情况讨论： ①当时，直线的方程为，代入椭圆方程， 化简得，解得或， 则当时，，当时，，由于，所以， 则，，此时； ②当时，直线的方程为，代入椭圆方程， 化简得，解得或， 当时，，当时，，由于，所以， 则，，此时. 综上所述，的值为. 4．（2025·北京·高考真题）已知椭圆的离心率为，椭圆E上的点到两焦点的距离之和为4. (1)求椭圆E的方程； (2)设O为坐标原点，点在椭圆E上，直线与直线，分别交于点A，B．设与的面积分别为，比较与的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据椭圆定义以及离心率可求出，再根据的关系求出，即可得到椭圆方程； （2）法一：联立直线方程求出点坐标，即可求出，再根据，即可得出它们的大小关系. 法二：利用直线的到角公式或者倾斜角之间的关系得到，再根据三角形的面积公式即可解出. 【详解】（1）由椭圆可知，，所以，又，所以，， 故椭圆E的方程为； （2）联立，消去得，， 整理得，①， 又，所以，， 故①式可化简为，即，所以， 所以直线与椭圆相切，为切点. 设，易知，当时，由对称性可知，． 故设，易知， 联立，解得， 联立，解得， 所以 ， ， 故． 法二：不妨设，易知，当时，由对称性可知，． 故设， 联立，解得， 联立，解得， 若，则， 由对称性，不妨取，则， ，，所以， 同理，当时，， 当时，则，，, 又，所以， 所以 ， ， 则，即， 所以. 5．（2025·天津·高考真题）已知椭圆的左焦点为F，右顶点为A，P为上一点，且直线的斜率为，的面积为，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)过点P的直线与椭圆有唯一交点B（异于点A），求证：PF平分. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意，利用椭圆的离心率得到，再由直线的斜率得到，从而利用三角形的面积公式得到关于的方程，解之即可得解； （2）联立直线与椭圆方程，利用其位置关系求得，进而得到直线的方程与点的坐标，法一：利用向量的夹角公式即可得证；法二：利用两直线的夹角公式即可得证；法三利用正切的倍角公式即可得证；法四：利用角平分线的性质与点线距离公式即可得证. 【详解】（1）依题意，设椭圆的半焦距为， 则左焦点，右顶点，离心率，即， 因为为上一点，设， 又直线的斜率为，则，即， 所以，解得，则，即， 因为的面积为，，高为， 所以，解得， 则，， 所以椭圆的方程为. . （2）由（1）可知，，， 易知直线的斜率存在，设其方程为，则，即， 联立，消去得，， 因为直线与椭圆有唯一交点，所以， 即，则，解得，则， 所以直线的方程为， 联立，解得，则， 以下分别用四种方法证明结论： 法一：则， 所以， ， 则，又， 所以，即平分. 法二：所以，，， 由两直线夹角公式，得，， 则，又， 所以，即平分. 法三：则，， 故， 又， 所以，即平分. 法四：则， 所以直线的方程为，即， 则点到直线的距离为， 又点到直线的距离也为， 所以平分. 2 / 49 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第05讲 椭圆及其性质 目 录 模拟·基础演练 2 题型01 椭圆的定义及其应用 2 题型02 椭圆的标准方程 2 题型03 椭圆方程的充要条件 3 题型04 椭圆的焦距与长轴、短轴 3 题型05 椭圆中的焦点三角形 4 题型06 椭圆上两线段的和差最值问题 5 题型07 椭圆的离心率及范围 5 题型08 椭圆的轨迹问题 6 题型09 与椭圆有关的范围(最值) 7 题型10 椭圆的实际应用 8 重难·创新演练 9 真题·实战演练 11 模拟·基础演练 考查重点：椭圆定义的理解与应用、椭圆标准方程求解、二元二次方程表示椭圆的条件辨析、长轴短轴焦距等基础几何量运算、焦点三角形周长面积与边角计算、椭圆上动点线段和差最值、离心率及离心率范围求解、动点轨迹方程推导、椭圆内点与弦相关范围最值运算、椭圆实际背景模型应用。 题型01 椭圆的定义及其应用 1.（2026.·陕西西安·模拟）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在上，且，则（   ） A． B． C． D． 2.（2026·山东·模拟）已知分别为椭圆的左、右焦点，过的直线与交于两点，线段的中点在轴上，且，若，则的标准方程为（   ） A． B． C． D． 3.已知动点满足，则动点M的轨迹方程是 ． 4.（2026·河北张家口·模拟）已知是椭圆上的动点，，且，则 . 5．已知椭圆的左、右焦点分别为为上一动点，则的取值范围是 ． 题型02 椭圆的标准方程 6．已知椭圆的一个焦点，为上一点，满足，，则椭圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 7．与双曲线有公共焦点，且离心率为的椭圆方程为（   ） A． B． C． D． 8．（2026·辽宁模拟）已知椭圆，直线与C交于M，N两点，与两坐标轴分别交于点A，B，且M，N是线段的三等分点，则C的方程为（   ） A． B． C． D． 9．已知椭圆上任意一点到的两个焦点的距离之和为. (1)求的方程； (2)已知直线与相交于A，B两点，若，求的值. 题型03 椭圆方程的充要条件 10．已知曲线，设，曲线是焦点在坐标轴上的椭圆，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 11．方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 12．方程 表示焦点在 y 轴上的椭圆，则 k 的取值范围为（    ） A． B． C． D． 13．（多选）已知方程，则下列说法正确的有（   ） A．若，此时方程为椭圆，离心率为 B．若，此时方程为双曲线，其渐近线为 C．若方程表示双曲线，则 D．若方程表示椭圆，则 题型04 椭圆的焦距与长轴、短轴 14．已知椭圆的右焦点为，则的长轴长为（    ） A． B． C． D． 15.设椭圆的标准方程为，若焦距为2，则的值等于（   ） A．7 B．7或5 C．10 D．10或2 16．已知椭圆的焦距为4，则离心率（   ） A． B． C． D． 17．已知椭圆的离心率为，短轴长为2，则（   ） A． B． C．1 D． 18．（多选）（2026·甘肃庆阳·模拟）已知椭圆：，则（    ） A．的焦点在轴上 B．的焦距为10 C．的离心率为 D．的长轴长是短轴长的5倍 题型05 椭圆中的焦点三角形 19.（2026·云南保山·二模）设椭圆的离心率为，，，分别为其左、右焦点，点为椭圆短轴的一个端点，且的面积为2，则椭圆的方程为（   ） A． B． C． D． 20．（2026·浙江·二模）已知椭圆，为椭圆的左､右焦点，点为椭圆上在第一象限内的一点，且的面积为，则的角平分线所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 21．（多选）（2026·湖南邵阳·模拟）已知是椭圆上一点，、为其左、右焦点，且的面积为，则下列说法正确的是（    ） A．点纵坐标为 B．的周长为 C． D．的内切圆半径为 22（25-26高三上·广东深圳·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线交于，两点，若为等边三角形，则的焦距为___________ 【答案】 23.已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，，过且垂直于的直线与椭圆C交于D，E两点，，则的周长是________． 题型06 椭圆上两线段的和差最值问题 24．（2026·广西·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为A，点M在C上，若周长的最大值为8，则C的焦距为（    ） A．3 B． C．1 D．2 25．已知是椭圆的左焦点，为上一点，，则的最小值为（   ） A． B． C．4 D． 26．已知椭圆的右焦点为，且过点，为上一动点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 27（多选）（2026·辽宁锦州·模拟预测）分别为椭圆和双曲线上的点，，则（   ） A． B． C． D． 28.（2026·山东淄博·二模）椭圆C：的左右焦点分别为，，点，P为C上一动点，则的最小值为______． 题型07 椭圆的离心率及范围 29．（2026·黑龙江模拟）已知椭圆的离心率为，则（   ） A．2 B． C．4或 D．或2 30.（2026·河北保定·模拟）已知椭圆的左右焦点分别为，点在上，点在轴上，，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 31.（2026·江苏南京·三模）如图，焦点在轴上的椭圆，分别是左右焦点，过的直线交椭圆于两点，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 32.（25-26高三下·安徽合肥·阶段检测）已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆C上存在一点P使，且△F1PF2为锐角三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（　　） A． B． C． D． 33．若椭圆上存在一点到其左右焦点的距离之比为，则椭圆离心率的取值范围为 . 题型08 椭圆的轨迹问题 34.已知，，直线相交于点P，且直线与直线的斜率之积为，则点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 35．在平面直角坐标系中，满足，、分别为的重心、内心，若轴，则点的轨迹方程为 . 36．在平面直角坐标系中，已知动点到定点的距离和它到定直线的距离之比为，记的轨迹为曲线． (1)求的方程； (2)已知点在曲线上，若直线与曲线交于、两点，且直线与的斜率互为相反数，求的中点与的最小距离．. 题型09 与椭圆有关的范围(最值) 37．（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点A，B均在C上，其中，则（   ） A．椭圆C的长轴长为 B．椭圆C的离心率为 C．点在椭圆C内 D．的值可以是6 38.（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，点）是椭圆E上的一个动点，则下列说法正确的是（    ） A．椭圆E的长轴长为5 B．椭圆E的离心率为 C． D．恰好存在两个点P使得 39．（2026·辽宁沈阳·二模）已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为．若椭圆C上存在不同的两点A，B，使得，则的取值范围是______． 40．（2026·重庆渝中·二模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上一点． (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线过点，且与椭圆相交于，两点，为坐标原点，求面积的最大值及此时的方程． 题型10 椭圆的实际应用 41.油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，北京市文化宫开展油纸伞文化艺术节活动中，某油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞伞沿是一个半径为2的圆，圆心到伞柄底端距离为2，当阳光与地面夹角为时，在地面形成了一个椭圆形影子，且伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，若该椭圆的离心率为e，则（    ）      A． B． C． D． 42．北斗卫星导航系统是我国航天事业的重要成果，北斗卫星的运行轨道是以地球的球心为一个焦点的椭圆，平均轨道高度约为2万千米到3.6万千米，属于中高地球轨道.某颗北斗卫星运动至近地点时，距离地球表面高度约为1.56万千米；运动至远地点时，距离地球表面高度约为3.16万千米.已知地球的半径约为0.64万千米，则该卫星运行轨迹的标准方程可以是（    ） A． B． C． D． 43．如图所示，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.根据椭圆的光学性质解决下面的题目：已知曲线C的方程为，其左、右焦点分别是，，直线l与椭圆C切于点P，且，过点P且与直线l垂直的直线与椭圆长轴交于点M，则（    ） A． B． C． D． 重难·创新演练 设题创新: 结合黄金椭圆新定义命题，椭圆与圆、向量、等比数列综合，利用椭圆光学性质、角平分线定理解题，焦点三角形多角度约束求离心率，椭圆内部动点衍生最值，多选辨析椭圆几何结论，结合传统文化、航天卫星实际情境，直线与椭圆相交衍生定点、对称、向量条件综合大题。 1．【新考法】（2026·河北衡水·模拟）已知直线与圆交于两点，，直线与椭圆切于点，若以，两点为切点的圆的两条切线交于点，为坐标原点，则（   ） A．4 B．8 C．12 D．16 2．（2026·山西临汾·模拟）椭圆的左、右焦点分别为，，点为椭圆上的点，则面积的最大值是（   ） A．12 B．15 C．20 D．25 3．【新融合】（2026·广东东莞·二模）椭圆的左、右焦点为为坐标原点，为椭圆上一点，，且成等比数列，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 4．【新角度】（2026·山西运城·二模）已知点在椭圆的内部，为的左焦点，为上的动点，若的最大值大于，则的离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知椭圆的右焦点为，左顶点为，点在椭圆上，若，且，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 6．【新思维】（2026·上海崇明·二模）已知，，，，其中，点P为平面内一点，记点到，的距离分别为，，则下列条件中能使点的轨迹为椭圆的是（   ） A． B． C． D． 7．【新考法】（多选）（2026·广东肇庆·二模）已知椭圆为的右焦点，点在上，且关于轴对称，分别为线段的中点，为坐标原点，则（    ） A． B．的最小值为 C． D．存在点，使得 8．【新思维】（多选）（2026·内蒙古赤峰·三模）定义离心率是的椭圆为“黄金椭圆”．已知“黄金椭圆”的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，上、下顶点分别为，则下列说法正确的是（    ） A．短半轴长为 B．成等比数列 C． D．的外接圆半径为 9．（2026·四川泸州·模拟）已知椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，直线与的另一个交点为，若，则的值为___________． 10．（2026·山西吕梁·模拟）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过点的直线交C于A，B两点，若，，则椭圆C的方程为_______. 11．（2026·重庆·模拟预测）已知椭圆的四个顶点围成的四边形面积为，离心率. (1)求出椭圆的标准方程； (2)过椭圆的上焦点作直线与椭圆交于，两点，是否存在直线使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由. 12．【新思维】（2026·天津河西·模拟）已知椭圆（）的焦距为4，且经过点. (1)求椭圆的标准方程； (2)设A为椭圆C的右顶点，不过点A的直线l与椭圆C相交于不同的两点P、Q，直线AP、AQ分别交y轴于M、N，若，的面积为，求直线l的方程. 真题·实战演练 高频考点：椭圆定义求方程、焦点三角形计算、离心率求值与范围、椭圆上动点距离最值、直线和椭圆联立韦达定理应用。 1．（2026·上海·高考真题）在中，，，．已知点，，分别为椭圆的上、下、右顶点，以及两个焦点中的三点，求椭圆的离心率__________． 2．（2026·北京·高考真题）已知椭圆：（）的一个顶点是，离心率为． (1)求的方程； (2)过点，斜率为的直线交椭圆于、两点，关于的对称点为，交于，若，求． 3．（2026·天津·高考真题）已知椭圆（）的离心率为，椭圆被直线截得的线段长为． (1)求的标准方程； (2)斜率为的直线与圆相切，且该直线交椭圆于，（），是椭圆的上顶点．记直线，的斜率分别为，，求． 4．（2025·北京·高考真题）已知椭圆的离心率为，椭圆E上的点到两焦点的距离之和为4. (1)求椭圆E的方程； (2)设O为坐标原点，点在椭圆E上，直线与直线，分别交于点A，B．设与的面积分别为，比较与的大小． 5．（2025·天津·高考真题）已知椭圆的左焦点为F，右顶点为A，P为上一点，且直线的斜率为，的面积为，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)过点P的直线与椭圆有唯一交点B（异于点A），求证：PF平分. 2 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $