主题4 第10章 第4节 古典概型与事件的独立性（配套练习Word版）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮课时作业（北师大版）

**基本信息** 聚焦古典概型与事件独立性，通过基础到综合的题型设计，系统覆盖定义应用、事件关系判断及概率计算，培养数学推理与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础应用|10题|古典概型计算、独立事件概率、互斥对立判断|从古典概型定义出发，结合事件关系（互斥、对立、独立），推导概率公式（加法、乘法）的直接应用| |综合提升|6题|多事件概率综合、情境化问题（如游戏、抽奖）|以实际情境为载体，整合分步计数、分类讨论思想，深化概率模型构建与复杂事件分解能力|

课时冲关65　古典概型与事件的独立性 [基础训练组] 1．有4名志愿者参加社区服务，服务星期六、星期日两天．若每天从4人中任选两人参加服务，则恰有1人连续参加两天服务的概率为(　　) A.　　 B. C.　　 D. 解析：B　[不妨设4名志愿者分别为a，b，c，d，假设a连续参加两天的社区服务，剩下的3人中抽取2人参加服务，共有A＝6种方法，所以恰好有1人连续参与两天服务的总数为4×6＝24种．总的情况数为C×C＝36种． 故恰有1人连续参加两天服务的概率为＝.] 2．男女生共8人，从中任选3人，出现2名男生，1名女生的概率为，则其中女生人数是(　　) A．2人 B．3人 C．2人或3人 D．4人 解析：C　[设女生人数是x人，则男生有(8－x)人， 又∵从中任选3人，出现2个男生，1个女生的概率为，∴＝，∴x＝2或3.] 3．某大学选拔新生补充进“篮球”“电子竞技”“国学”三个社团，据资料统计，新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立，2026年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的“篮球”“电子竞技”“国学”三个社团的概率依次为m，，n，已知三个社团他都能进入的概率为，至少进入一个社团的概率为，且m＞n.则m＋n＝(　　) A. B. C. D. 解析：C　[由题知三个社团都能进入的概率为，即m××n＝⇒m×n＝， 又因为至少进入一个社团的概率为， 即一个社团都没能进入的概率为1－＝，即(1－m)××(1－n)＝⇒1－m－n＋m×n＝，整理得m＋n＝.] 4．某军事训练模拟软件设定敌机的耐久度为100%，当耐久度降到0%及以下，就判定敌机被击落．对空导弹的威力描述如下：命中机头扣除敌机100%耐久度，命中其他部位扣除敌机60%耐久度．假设训练者使用对空导弹攻击敌人，其命中非机头部位的命中率为50%，命中机头部位的命中率为25%，未命中的概率为25%，则训练者恰能在发出第二发对空导弹之后成功击落敌机的概率为(　　) A. B. C. D. 解析：D　[用A，B，C分别表示命中机头，命中非头部位和未命中三个事件，则P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝， 又训练者每次是否击中敌机相互独立，利用独立事件乘法公式及互斥事件加法可得训练者恰能在发出第二发对空导弹之后成功击落敌机的概率：P＝P(CA)＋P(BA)＋P(BB)＝P(C)P(A)＋P(B)P(A)＋P(B)P(B)＝.] 5．口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状相同小球，从中取出2球，事件A＝“取出的两球同色”，事件B＝“取出的2球中至少有一个黄球”，事件C＝“取出的2球至少有一个白球”，事件D＝“取出的2球不同色”，E＝“取出的2球中至多有一个白球”．下列判断中正确的是(　　) A．P(A＋B)＝P(A)＋P(B) B．P(C)＋P(D)＝1 C．P(C∪E)＝1 D．P(B)＝P(C) 解析：C　[依题意，P(A)＝＝，P(B)＝1－＝，P(A)＋P(B)＝＞1，而P(A＋B)≤1，A不正确； P(C)＝1－＝，P(D)＝1－P(A)＝，P(C)＋P(D)＞1，B不正确；事件C是含有1个白球与含有两个白球的两个互斥事件和，事件E是含有1个白球与没有白球的两个互斥事件和，事件C∪E是必然事件，因此P(C∪E)＝1，C正确；因P(B)＝，P(C)＝，则P(B)≠P(C)，即D不正确．] 6．(多选)若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则(　　) A．“从甲、乙、丙、丁、戊五人中录用三人”的样本空间中共10个样本点 B．“甲、乙、丙至少有两人被录用”的概率为 C．“丁、戊至多有一人被录用” 的概率为 D．“甲或乙被录用”的概率为 解析：ABD　[由题意，从五位大学毕业生中录用三人，所有不同的可能结果有(甲，乙，丙)，(甲，乙，丁)，(甲，乙，戊)，(甲，丙，丁)，(甲，丙，戊)，(甲，丁，戊)，(乙，丙，丁)，(乙，丙，戊)，(乙，丁，戊)，(丙，丁，戊)，共10种，选项A正确；其中“甲、乙、丙至少有两人被录用”的所有不同的可能结果有(甲，乙，丙)，(甲，乙，丁)，(甲，乙，戊)，(甲，丙，丁)，(甲，丙，戊)，(乙，丙，丁)，(乙，丙，戊)，共7种，故“甲、乙、丙至少有两人被录用”的概率为.选项B正确；其中“丁、戊至多有一人被录用”的对立事件“丁、戊两人都被录用”的所有不同的可能结果有 (甲，丁，戊), (乙，丁，戊)，(丙，丁，戊)，共3种，故“丁、戊至多有一人被录用”的概率为1－＝.选项C错误；其中“甲或乙被录用” 的对立事件“甲与乙都未被录用”的所有不同的可能结果只有(丙，丁，戊)这1种，故“甲或乙被录用” 的概率为1－＝.选项D正确．] 7．(多选)某商场推出抽奖活动，在甲抽奖箱中有四张有奖奖票．六张无奖奖票；乙抽奖箱中有三张有奖奖票，七张无奖奖票．每人能在甲乙两箱中各抽一次，以A表示在甲抽奖箱中中奖的事件，B表示在乙抽奖箱中中奖的事件，C表示两次抽奖均未中奖的事件．下列结论中正确的是(　　) A．P(C)＝ B．事件A与事件B相互独立 C．P(AB)与P(C)和为54% D．事件A与事件B互斥 解析：ABC　[P(A)＝＝，P(B)＝， 在甲抽奖箱抽奖和在乙抽奖箱抽奖互不影响，故事件A和事件B相互独立，B项正确，P(C)＝＝，故A正确； P(AB)＝P(A)P(B)＝， P(AB)＋P(C)＝＝54%，故C正确；事件A与事件B相互独立而非互斥，故D错误．] 8．如图，甲、乙做游戏，两人通过划拳(剪刀、石头、布)比赛决胜谁首先到达第3格，并规定从0格出发，每次划拳赢的一方往右前进一格，输的一方原地不动，平局时两人都往右前进一格．如果一方连续赢两次，那么他将额外获得右前进一格的奖励，除非已经到达第3格，当有任何一方到达第3格时游戏结束，则游戏结束时恰好划拳3次的概率为(　　) 0 1 2 3 A. B. C. D. 解析：D　[设事件“第i(i∈N*)次划拳甲赢”为Ai，事件“第i(i∈N*)次划拳甲平局”为Bi，事件“第i(i∈N*)次划拳甲输”为Ci， 则P(Ai)＝P(Bi)＝P(Ci)＝， 则游戏结束时恰好划拳3次的概率为P(X＝3)＝2P(A1)P(B2)P(A3)＋2P(B1)P(A2)P(A3)＋ P(B1)P(B2)P(B3)＋2P(A1)P(B2)P(B3) ＋2P(B1)P(A2)P(B3)＋2P(B1)P(B2)P(A3)＋2P(C1)P(A2)P(A3) ＝2×××＋2×××＋××＋2×××＋2×××＋2×××＋2×××＝.] 9．一个箱子里装有5件产品，包括2件一等品，2件二等品，1件次品，从中任意不放回地随机抽取，每次1件，直到取到次品为止，则此过程中恰好把2件一等品全部取出的概率为________． 解析：记事件M＝“取到次品停止时恰好把2件一等品全部取出”， A＝“第3次取到次品，前2次取出的全是一等品”， B＝“第4次取到次品，前3次取出的含2件一等品和1件二等品”， C＝“第5次取到次品，前4次取出的含2件一等品和2件二等品”， 则P(M)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝＋＋＝＝， 所以此过程中恰好把2件一等品全部取出的概率为. 答案： 10．在某大型活动中，甲、乙等五名志愿者被随机地分到A，B，C，D四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者． (1)求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率； (2)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率； (3)求五名志愿者中仅有一人参加A岗位服务的概率． 解：(1)记“甲、乙两人同时参加A岗位服务”为事件EA，那么P(EA)＝＝，即甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率是. (2)记“甲、乙两人同时参加同一岗位服务”为事件E，那么P(E)＝＝，所以甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是P()＝1－P(E)＝. (3)有两人同时参加A岗位服务的概率P2＝＝，所以仅有一人参加A岗位服务的概率P1＝1－P2＝. [能力提升组] 11．(多选)拋掷一枚质地均匀的骰子，观察向上的面出现的点数，在下列事件中与事件“出现的点数为偶数”相互独立的事件为(　　) A．“出现的点数为奇数” B．“出现的点数大于2” C．“出现的点数小于4” D．“出现的点数小于3” 解析：BD　[分别记“出现的点数为偶数”，“出现的点数为奇数”，“出现的点数大于2”，“出现的点数小于4”，“出现的点数小于3”为事件E，F，M，N，H，则P(E)＝P(F)＝，P(M)＝，P(N)＝，P(H)＝，P(EM)＝，P(EN)＝，P(EH)＝. 因为E，F为对立事件，所以E，F不相互独立； 因为P(EM)＝＝P(E)P(M)，所以E，M相互独立； 因为P(EN)≠P(E)P(N)，所以E，N不相互独立； 因为P(EH)＝＝P(E)P(H)，所以E，H相互独立， 所以与事件“出现的点数为偶数”相互独立的事件有“出现的点数大于2”和“出现的点数小于3”．] 12．(多选)某商场为了促进销售，对于进入商场的人员，可以进入商场掷骰子进行奖励，规定每位进入商场的人员可以随机投掷一颗质地均匀的正方体的骰子，每面上分别写着1,2,3,4,5,6，随机投掷该骰子三次，三次投掷向上点数分别为a1，a2，a3，若满足|a1－a2|＋a3＝1，|a1－a2|＋a3＝2，|a1－a2|＋a3＝3，分别为一等奖，二等奖，三等奖，只有这三个等次奖，则(　　) A．中一等奖的概率为 B．中二等奖的概率为 C．中三等奖的概率为 D．没有中奖的概率为 解析：AC　[根据题意，所有可能的情况为6×6×6＝63，对A，其中满足|a1－a2|＋a3＝1的情况为a3＝1，a1－a2＝0，a1＝a2，有6种情况，即a1，a2同时为1,2,3,4,5,6，且a3＝1，故发生的概率P＝＝，故选项A正确； 对B，满足|a1－a2|＋a3＝2的情况，当a3＝2，a1－a2＝0，有6种情况，即a1，a2同时为1,2,3,4,5,6，且a3＝2；当a3＝1，a1－a2＝±1，有10种情况，即a1，a2分别为1,2或2,3或3,4或4,5或5,6以及a2，a1分别为1,2或2,3或3,4或4,5或5,6，且a3＝1， 故发生的概率P＝＝，故选项B错误； 对C，满足|a1－a2|＋a3＝3的情况，当a3＝3，a1－a2＝0，有6种情况， 即a1，a2同时为1,2,3,4,5,6，且a3＝3， 当a3＝2，a1－a2＝±1有10种情况； 即a1，a2分别为1,2或2,3或3,4或4,5或5,6以及a2，a1分别为1,2或2,3或3,4或4,5或5,6，且a3＝2， 当a3＝1，a1－a2＝±2有8种情况， 即a1，a2分别为1,3或2,4或3,5或4,6以及a2，a1分别为1,3或2,4或3,5或4,6，且a3＝1， 故可得发生的概率P＝＝，故选项C正确； 对D，没有中奖的概率为1－－－ ＝，故选项D错误．] 13．(多选)以石墨烯电池、量子计算、AI等颠覆性技术为引领的前沿趋势，正在或将重塑世界工业的发展模式，对人类生产力的创新提升意义重大，我国某公司为了抢抓机遇，成立了A、B、C三个科研小组针对某技术难题同时进行科研攻关，攻克技术难题的小组会受到奖励．已知A、B、C三个小组攻克该技术难题的概率分别为，，，且三个小组各自独立进行科研攻关．下列说法正确的是(　　) A．三个小组都受到奖励的概率是 B．只有A小组受到奖励的概率是 C．只有C小组受到奖励的概率是 D．受到奖励的小组数的期望值是 解析：AD　[设A、B、C三个小组攻克该技术难题分别为事件A、B、C，即P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，A，B，C相互独立， P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝×× ＝，A正确； P(A )＝P(A)P()P()＝××＝，B错误； 只有丙小组受到奖励的概率是P(C) ＝××＝，C错误； 设受到奖励的小组数为X，则X的值为0,1,2,3， P(X＝0)＝P()＝P()P()P() ＝××＝， P(X＝1)＝P(A)P()P()＋P()P(B)P()＋P()P()P(C)＝××＋××＋××＝， P(X＝2)＝P(A)P(B)P()＋P(A)P()P(C)＋P()P(B)P(C) ＝××＋××＋××＝， P(X＝3)＝P(ABC)＝， 所以EX＝1×＋2×＋3×＝.D正确．] 14．有甲、乙两个口袋，甲口袋装有2个红球，乙口袋装有1个红球，2个白球，有放回地从两个口袋中各取1个球，并记为1次取球，若取到的2个球均为红球，则停止取球；否则在两个口袋中各加进1个白球，然后再按照以上规则取球，直到取到的2个球均为红球为止．记Ak＝“取了k次球后停止取球”(k＝1,2,3，…)，则P(A1)＝__________；P(A4)＝__________. 解析：(1)依题意第一次从两个口袋均取出红球，故P(A1)＝×＝. (2)依题意前三次取球均不为两个红球，第4次取球为两个红球． 故P(A4)＝×××＝×××＝. 答案：　 15．已知有黑、白两种除颜色外完全相同的若干小球，放入三个相同的空箱子中，已知三个箱子中小球的数量之比为5∶4∶6，其中黑球占比分别为40%、25%、50%.若从三个箱子中各取一球，则取得的球均为黑球的概率为__________；若将三个箱子中的球全倒入一个箱子内，则从中取得一个白球的概率为__________． 解析：设三个箱子中的球的个数分别为5n,4n,6n，所以总数为15n， 则第一个箱子中黑球个数为40%×5n＝2n，白球个数为3n； 第二个箱子中黑球个数为25%×4n＝n，白球个数为3n； 第三个箱子中黑球个数为50%×6n＝3n，白球个数为3n； 由古典概型的概率公式知，三个箱子中取到黑球的概率分别为，，， 记“从三个箱子中各取一个球，取到的球都是黑球”为事件A，因为从三个箱子中取球相互独立，所以P(A)＝××＝＝0.05； 记“三个箱子中的球全倒入一个箱子内，则从中取得一个白球”为事件B， 黑球总共有2n＋n＋3n＝6n个，白球共有9n个，所以由古典概型的概率公式知，P(B)＝＝＝0.6. 答案：0.05　0.6 16．甲、乙两班进行消防安全知识竞赛，每班出3人组成甲乙两支代表队，首轮比赛每人一道必答题，答对则为本队得1分，答错或不答都得0分，已知甲队3人每人答对的概率分别为，，，乙队每人答对的概率都是，设每人回答正确与否相互之间没有影响，用X表示甲队总得分． (1)求X＝2的概率； (2)求甲队和乙队得分之和为4的概率． 解：(1)X＝2，则甲队有两人答对，一人答错， 故P(X＝2)＝××＋××＋××＝. (2)设甲队和乙队得分之和为4为事件A，设乙队得分为Y，则Y～B. P(X＝1)＝××＋××＋××＝， P(X＝3)＝××＝， P(Y＝1)＝C··2＝， P(Y＝2)＝C·2·＝， P(Y＝3)＝C3＝， ∴P(A)＝P(X＝1)P(Y＝3)＋P(X＝2)P(Y＝2)＋P(X＝3)·P(Y＝1) ＝×＋×＋×＝. 学科网（北京）股份有限公司 $