精品解析：河北张家口市第二十中学2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测数学试题

2026-2027学年第一学期第一次学情诊断测试 九年级数学试卷 一、选择题（每小题2分，共50分） 1. 下列函数中，是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数定义判断即可． 【详解】解：A、为一次函数，故本选项不符合题意； B、等号右边不是整式，故本选项不符合题意； C、是二次函数，故本选项符合题意； D、化简后没有二次项，故本选项不符合题意． 2. 若是成比例线段，其中，则线段b的长为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了成比例线段的定义，解题的关键是根据成比例线段的定义列出比例式 ，再代入已知线段长度求解； 根据成比例线段的定义得到，代入，，，得到，再利用比例的基本性质求解的值． 【详解】解：∵a，b，c，d是成比例线段， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 3. 两个相似三角形的对应角平分线的比为，则它们的周长比为（ ） A. B. C. D. 以上答案都不对 【答案】A 【解析】 【分析】两个相似三角形的对应边的比，对应角平分线的比，对应中线的比，对应高线的比，周长的比都等于相似比． 【详解】两个相似三角形的对应角平分线的比为， 两个相似三角形的相似比为， 周长的比为． 故选A． 【点睛】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是熟记相似三角形的性质并灵活运用． 4. 关于二次函数，下列说法错误的是（ ）． A. 抛物线开口向上 B. 抛物线的顶点坐标为 C. 抛物线的对称轴为轴 D. 当时，随的增大而增大 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质可以判断各个选项中的说法是否正确． 【详解】解：二次函数中， ， 抛物线开口向上，故A正确，不符合题意； 函数对称轴是y轴，故选项C正确，不符合题意； 把代入中，得， ∴图象的顶点坐标为，故选项B错误，符合题意； ∵图象开口向上，对称轴是y轴， ∴时，y随x的增大而增大，故选项D正确，不符合题意； 故选：B． 5. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题将所求分式拆分变形后，代入已知比例即可计算结果，用到分式的基本运算性质． 【详解】解：∵． 又∵． ∴． 6. 在平面直角坐标系中，将二次函数的图象先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度所得图象的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接根据“左加右减，上加下减”的平移规律解答即可求解． 【详解】解：将二次函数的图象先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度所得图象的函数表达式为． 7. 在如图所示的的方格中，是格点，线段是由线段位似放大得到的，则它们的位似中心可以是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查位似中心的定义，解题关键是理解“位似中心是对应顶点连线的交点”，通过找到对应顶点并分析其连线的交点来确定答案．需找到线段与线段对应顶点（如A与C、B与D）连线的交点，该交点即为位似中心． 【详解】解：位似中心是位似图形中对应顶点连线的交点， 观察方格图中各点位置，连接A与C、B与D，发现这两条线段的交点为点， 因此位似中心是点． 故选：B． 8. 对于二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 图象开口向下 B. 对称轴是直线 C. 与轴的交点是和 D. 当时，随的增大而增大 【答案】B 【解析】 【分析】先将给定二次函数整理为顶点式，再根据二次函数的性质，依次判断各选项的说法，即可得到正确结果． 【详解】解：∵ ，二次项系数， ∴ 抛物线开口向上，选项A错误； ∵ 整理得到的顶点式为， ∴ 图象的对称轴是直线，选项B正确； 令，得，解得， ∴ 抛物线与轴的交点坐标是和，选项C错误； ∵ 抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴ 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，选项D错误． 9. 如图是一架梯子及其侧面示意图，已知，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理列比例式即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴． 10. 下列条件中，不能判定的是（ ） A. B. C. ，且 D. ，且 【答案】D 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定规则逐一判断选项即可得到结果． 【详解】解：∵选项A中，符合两角分别相等的判定规则，∴A可以判定 ； ∵选项B中，符合三边成比例的判定规则，∴B可以判定； ∵选项C中，且相等角是两组比例边的夹角，符合两边成比例且夹角相等的判定规则，∴C可以判定； ∵选项D中，相等的角不是这两组成比例的边的夹角，不满足相似三角形的判定规则，∴D不能判定． 11. 抛物线上部分点的坐标如表，则下列说法错误的是（ ） … 0 1 … … … A. 抛物线开口向下 B. 对称轴为直线 C. 当时，随的增大而减小 D. 抛物线的顶点坐标为 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，关键是利用抛物线上对称点的纵坐标相等确定对称轴，再结合对称轴两侧函数的变化趋势分析相关性质． 【详解】解：对于选项B：∵当和时，的值均为，这两个点关于抛物线的对称轴对称， ∴对称轴为直线，故B选项正确； 对于选项A：观察表格可知，当从增大到时，从减小到，即对称轴右侧随的增大而减小，根据二次函数性质，可知抛物线开口向下，故A选项正确； 对于选项C：∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大，而非减小，故C选项错误； 对于选项D：已知对称轴为直线，对应表格中的， ∴抛物线的顶点坐标为，故D选项正确； 故选：C． 12. 如图，和是以点为位似中心的位似图形，点在线段上．若，则和的面积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查位似变换，根据题意求出，根据相似三角形的性质求出，根据相似三角形的性质计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵和是以点O为位似中心的位似图形， ∴，， ∴， ∴， 则与的面积之比为． 故选：A． 13. 已知二次函数，当时，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数顶点式确定开口方向与对称轴，结合给定的的取值区间，计算顶点及区间端点的函数值，进而确定的取值范围． 【详解】解：二次函数开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为， ， 当时，取得最大值， 当时，， 当时，， ， 当时，的最小值为， 的取值范围是． 14. 黄金分割是汉字结构最基本的审美规律．如图汉字“十”端庄稳重、舒展美观．横竖笔画交点恰好是线段的黄金分割点，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由黄金分割的定义求出，再由计算即可得出结果． 【详解】解：∵点恰好是线段的黄金分割点，， ∴， ∴． 15. 如图，在正方形网格中：，的顶点都在正方形网格的格点上，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，相似三角形的判定．通过构造辅助线，利用等腰直角三角形的性质求出一个角的度数，再通过计算三角形三边的长度，根据三边对应成比例证明两个三角形相似，最后利用相似三角形对应角相等的性质求出目标角的度数． 【详解】解： 取格点P，连接、，则． ∴． 设正方形网格中的每个小正方形的边长都是m，则． 由勾股定理得：，，． ∴，，． ∴． ∴． ∴． 故选B 16. 如图，将矩形划分成四个全等的矩形．若要使每一个矩形与原矩形相似，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了相似多边形的性质，根据全等矩形的性质，得出小矩形的长和宽，从而求出的值． 【详解】解：已知矩形划分成四个全等的矩形， 矩形的宽为，长为， 小矩形的宽为，长为， 矩形与四个小矩形相似， ， ， ，， ． 17. 已知二次函数的图象如图，其中b，c的值可能是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【详解】解：抛物线开口向下， ， 对称轴在轴右侧， ，即， ， 抛物线与轴交点在轴上方， ， 综上所述，，． 18. 如图所示的网格中，每个小正方形边长均为，的三个顶点均在网格线的交点上，点，分别是边，与网格线的交点，连接，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过作辅助线，求得，从而得到相似比，，设，，，再根据，则可求，利用三角形相似，对应边成比例即可求得的长． 【详解】解：如图：延长至点，连接、延长至点，连接， ，， ， ， ， 设，， ， ， ， ，， ， ， ， ． 19. 已知，，在函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用二次函数的对称性，通过比较点到对称轴的距离判断函数值大小． 【详解】解：函数的图象开口向下，对称轴为直线， 点，，到对称轴的距离分别为，，， ∵， ∴． 20. 如图，有一块锐角三角形材料，边，高，要把它加工成正方形零件，使其一边在上，其余两个顶点分别在，上，则这个正方形零件的边长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】证明，根据相似三角形的性质列比例式解答即可． 【详解】解：∵正方形的边在上， ， ． ， ∴ ， ， ， ∴这个正方形零件的边长为． 21. 对于抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 抛物线可以由抛物线平移得到 B. 抛物线的顶点坐标为 C. 当时，x的取值范围是 D. 当时，函数的最大值和最小值分别为和 【答案】C 【解析】 【分析】将抛物线解析式配方化为顶点式，结合二次函数性质逐一判断各选项． 【详解】解：对抛物线解析式配方，得， 抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为． 平移不改变二次项系数的符号与大小，该抛物线二次项系数为，与的二次项系数符号不同， 说法错误，不符合题意； 顶点坐标为，与选项中不符， 说法错误，不符合题意； 令，则， 整理得， 因式分解得， 解得，． 抛物线开口向下， 当时，的取值范围是， 说法正确，符合题意； 对称轴在范围内，且抛物线开口向下， 当时，取最大值，与选项中最大值为不符， 说法错误，不符合题意． 22. 二次函数（k为常数）的对称轴为直线（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：， 故对称轴为直线． 23. 如图，梯形被对角线分成4个小三角形，已知与的面积分别为和．那么梯形的面积是（ ）． A. 144 B. 140 C. 160 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】先求出AO:OC的比值，然后再说明△AOB∽△COD，进而求得△COD、△AOB的面积，最后根据图形求出梯形的面积即可． 【详解】解：∵与的面积分别为和 ∴AO:OC=25:35=5:7 ∵AB//CD ∴∽ ∴ ∴ ∴梯形的面积为：． 故选A． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、梯形的性质以及三角形面积的计算方法，掌握数形结合思想、等高三角形的面积比等于对应底的比以及相似三角形的面积比等于相似比的平方成为解答本题的关键． 24. 中国古代思想家墨子在《墨经》中记载了小孔成像实验，图1是小孔成像示意图，对应的数学模型如图2，光线经过小孔P，物体在幕布上形成倒立的实像（点A，B的对应点分别是，），且，，若，P到的距离，则长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意易得，则有，然后可得，则，进而根据进行求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 25. 如图，在中，，，，点E在边上，以为对角线作，则的长度的最小值为（ ） A. 5 B. 6 C. 6.5 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】设交于点，由勾股定理可得，由平行四边形的性质可得，，由垂线段最短可得，当时，取最小值，此时线段最短，证明，由相似三角形的性质计算即可得出结果． 【详解】解：如图，设交于点， ∵在中，，，， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴由垂线段最短可得，当时，取最小值，此时线段最短， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 二、解答题（50分） 26. 如图，在的网格图中，点O和的顶点均为格点。以O为位似中心，在网格图中作，使与位似，且相似比为． 【答案】 【解析】 【详解】略 27. 已知二次函数． （1）画出该二次函数图象； 列表： x … … y … … 描点、连线： （2）根据图象直接写出函数值大于6时，x的取值范围． 【答案】（1）列表： x … 0 2 4 6 … y … 0 6 8 6 0 … 描点、连线，函数图象如图： （2） 【解析】 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由图象可知，当函数值大于6时，x的取值范围为． 28. 如图，在中，点分别在边上，，为边上的一点（不与点重合），连接，交于点．求证：． 【答案】 证明：由题可知； 两点分别位于上； , 又为公共角； , ， 同理可得 , ． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，根据平行的性质得到、，根据相似三角形的性质可以得到相似比，等量代换即可求解；熟练掌握相似三角形对应边成比例的性质是解题关键. 【详解】略 29. 如图，在中，，点D在边上，且．若，，求线段的长． 【答案】 【解析】 【分析】证明，可得，求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴ 解得． 30. 如图，抛物线． （1）当时，求抛物线的顶点坐标； （2）当时，y的最大值是，求m的值； （3）线段：（P在Q的右边，）与抛物线有且只有一个公共点，直接写出m的取值范围． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）配方成顶点式，即可求解； （2）求得对称轴为直线，由题意可知当时，y的最大值是，据此求解即可； （3）联立得，设，求得两个端点的坐标，利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：当时， ， 抛物线的顶点坐标为； 【小问2详解】 解：，即对称轴为直线， ∵， ∴开口向上， ∵当时，y的最大值是， ∴当时，y的最大值是， ∴，解得； 【小问3详解】 解：线段：，，， 联立得，整理得， 设， 当时，，解得； 当时，，解得； ∵开口向上，对称轴为，对称轴在的右侧， ∴在上单调递减， ∴m的取值范围为． 判别式， 当，则， ∴， 解得， 此时根不在，舍去； 综上m的取值范围为． 31. 如图，在矩形中，，，点从点出发，沿方向匀速运动，点从点出发，沿方向匀速运动，两点同时出发，速度均为，设运动时间为（）． （1）当以，，为顶点的三角形与相似时，求的值； （2）当取何值时，四边形的面积等于？ （3）是否存在某一时刻，使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）或 （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质，求出的长，根据题意求出，推出，再根据相似的判定推出或，运用相似的性质求解即可； （2）过点作，，垂足分别为，，结合矩形的性质分别证明、，再运用相似的性质结合（1）中，，求出，，最后根据代入求解即可； （3）过点作，，垂足分别为，，根据矩形的性质，证明四边形为矩形，运用矩形的性质结合题意，推出，再结合（1）、（2）已求线段的值，代入求解即可． 【小问1详解】 解：∵矩形， ∴， ，， ∴， ∵在中，，，， ∴根据勾股定理得，， ∵由题意可得，， ∴， ∵以，，为顶点的三角形与相似， 又∵， ∴或， ∴或 ∴或， 解方程，得， 解方程，得，（舍去）， 综合上述，当以，，为顶点的三角形与相似时，的值为或； 【小问2详解】 解：如图，过点作，，垂足分别为，， 由（1）得，， ∵矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ ，即， ∴， ∵， ∴，则， 整理得， 解得，（舍去）， ∴时，四边形的面积等于； 【小问3详解】 解：如图，过点作，，垂足分别为，， 由（1）得，， 由（2）得，， ∵矩形， ∴，，， ∵，， ∴四边形为矩形， ∴，，， ∴，， ∵，则， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即，解得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期第一次学情诊断测试 九年级数学试卷 一、选择题（每小题2分，共50分） 1. 下列函数中，是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 若是成比例线段，其中，则线段b的长为( ) A. B. C. D. 3. 两个相似三角形的对应角平分线的比为，则它们的周长比为（ ） A. B. C. D. 以上答案都不对 4. 关于二次函数，下列说法错误的是（ ）． A. 抛物线开口向上 B. 抛物线的顶点坐标为 C. 抛物线的对称轴为轴 D. 当时，随的增大而增大 5. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 在平面直角坐标系中，将二次函数的图象先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度所得图象的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 7. 在如图所示的的方格中，是格点，线段是由线段位似放大得到的，则它们的位似中心可以是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 8. 对于二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 图象开口向下 B. 对称轴是直线 C. 与轴的交点是和 D. 当时，随的增大而增大 9. 如图是一架梯子及其侧面示意图，已知，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 下列条件中，不能判定的是（ ） A. B. C. ，且 D. ，且 11. 抛物线上部分点的坐标如表，则下列说法错误的是（ ） … 0 1 … … … A. 抛物线开口向下 B. 对称轴为直线 C. 当时，随的增大而减小 D. 抛物线的顶点坐标为 12. 如图，和是以点为位似中心的位似图形，点在线段上．若，则和的面积之比为（ ） A. B. C. D. 13. 已知二次函数，当时，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 14. 黄金分割是汉字结构最基本的审美规律．如图汉字“十”端庄稳重、舒展美观．横竖笔画交点恰好是线段的黄金分割点，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 15. 如图，在正方形网格中：，的顶点都在正方形网格的格点上，则的度数为（ ） A. B. C. D. 16. 如图，将矩形划分成四个全等的矩形．若要使每一个矩形与原矩形相似，则的值为（ ） A. B. C. D. 17. 已知二次函数的图象如图，其中b，c的值可能是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 18. 如图所示的网格中，每个小正方形边长均为，的三个顶点均在网格线的交点上，点，分别是边，与网格线的交点，连接，则的长为（ ） A. B. C. D. 19. 已知，，在函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 20. 如图，有一块锐角三角形材料，边，高，要把它加工成正方形零件，使其一边在上，其余两个顶点分别在，上，则这个正方形零件的边长为（ ） A. B. C. D. 21. 对于抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 抛物线可以由抛物线平移得到 B. 抛物线的顶点坐标为 C. 当时，x的取值范围是 D. 当时，函数的最大值和最小值分别为和 22. 二次函数（k为常数）的对称轴为直线（ ） A. B. C. D. 23. 如图，梯形被对角线分成4个小三角形，已知与的面积分别为和．那么梯形的面积是（ ）． A. 144 B. 140 C. 160 D. 无法确定 24. 中国古代思想家墨子在《墨经》中记载了小孔成像实验，图1是小孔成像示意图，对应的数学模型如图2，光线经过小孔P，物体在幕布上形成倒立的实像（点A，B的对应点分别是，），且，，若，P到的距离，则长为（ ） A. B. C. D. 25. 如图，在中，，，，点E在边上，以为对角线作，则的长度的最小值为（ ） A. 5 B. 6 C. 6.5 D. 10 二、解答题（50分） 26. 如图，在的网格图中，点O和的顶点均为格点。以O为位似中心，在网格图中作，使与位似，且相似比为． 27. 已知二次函数． （1）画出该二次函数图象； 列表： x … … y … … 描点、连线： （2）根据图象直接写出函数值大于6时，x的取值范围． 28. 如图，在中，点分别在边上，，为边上的一点（不与点重合），连接，交于点．求证：． 29. 如图，在中，，点D在边上，且．若，，求线段的长． 30. 如图，抛物线． （1）当时，求抛物线的顶点坐标； （2）当时，y的最大值是，求m的值； （3）线段：（P在Q的右边，）与抛物线有且只有一个公共点，直接写出m的取值范围． 31. 如图，在矩形中，，，点从点出发，沿方向匀速运动，点从点出发，沿方向匀速运动，两点同时出发，速度均为，设运动时间为（）． （1）当以，，为顶点的三角形与相似时，求的值； （2）当取何值时，四边形的面积等于？ （3）是否存在某一时刻，使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $