精品解析：河北邯郸市育华中学2026-2027学年上学期九年级10月学情自测数学试题

数学 一、选择题（共12小题，每题3分，共36分） 1. 下列函数中，属于二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 若反比例函数的图象经过点，则该反比例函数的图象分别位于（ ） A. 第一、第三象限 B. 第一、第四象限 C. 第二、第三象限 D. 第二、第四象限 3. 抛物线的顶点坐标是，且形状及开口方向与抛物线相同，则a，c的值分别为（ ） A. ，2 B. ， C. ，2 D. ， 4. 在平面直角坐标系中，将函数的图象先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 5. 下列数中，能使不等式成立的的值为（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 6. 如图，点在抛物线上，若点的横坐标为2，则点到轴的距离为（ ） A. 2 B. 3 C. 10 D. 11 7. 如下是嘉嘉求抛物线的顶点坐标的过程，则（ ） 解： ……① ……② ∴抛物线的顶点坐标为……③ A. 该过程完全正确 B. 该过程从①开始出错 C. 该过程从②开始出错 D. 该过程从③开始出错 8. 多人花样跳绳形式多样、对场地要求低、操作简单、健身效果明显，受到大众的喜爱．如图，绳被甩至最高处时的形状满足抛物线，甩绳的两名同学两手之间的距离，两人甩绳之手距地面的距离均为，则绳的最高点与地面之间的距离为（ ） A. B. C. D. 9. 二次函数的图象在平面直角坐标系中的位置如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 若x和y成反比例关系，则的值是（ ） x 2 a y 6 b A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 11. 已知抛物线 经过点，．若 ，且 ，则的取值可以是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 12. 如图1，在正方形中，是边上一点，动点从处出发沿向目的地运动，同时动点从处出发沿向目的地运动，它们同时到达终点．设为（单位：），的面积为（单位：），关于的函数图象如图2所示，当点在线段上运动时，该时段函数图象的最高点坐标为．下列选项错误的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共15分） 13. 计算：________． 14. 二次函数的部分对应值如下表： … … … … 由表可知该二次函数的图象对称轴为直线________． 15. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，，若，则m的值是________． 16. 用绘图软件绘制抛物线与动直线相交于两点，图1为时的视窗情形． （1）图1中，两交点之间的距离为______； （2）视窗的大小不变，但其可视范围可以变化，且变化前后原点始终在视窗中心（例如：将图1中坐标系的单位长度变为原来的2倍，如图2，其可视范围就由及变成了及），若与的交点分别是点和点，为能看到抛物线在点，之间的一整段图像，需要将图1中坐标系的单位长度至少变为原来的倍，整数的值是______． 三、解答题（共8道小题，共69分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 用运算律或乘法公式可以简化运算，例如： ． （1）证明，并用以上方法计算； （2）计算：． 19. 约定：如果抛物线的顶点在直线上，那么我们把这样的抛物线叫做“完美抛物线”，根据约定，解答下列问题： （1）抛物线_________“完美抛物线”（填“是”或“不是”）； （2）如图，已知“完美抛物线”的顶点为A，将该抛物线沿直线向上平移，点A平移到点B，设点B的横坐标为． ①求点A的坐标； ②若，求平移后的抛物线的解析式． 20. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，． （1）求m的取值范围； （2）若，求m的值． 21. 如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于，两点． （1）求的函数解析式； （2）求的函数解析式； （3）求的面积． 22. 某商店销售一种商品，童威经市场调查发现：该商品的周销售量（件）是售价（元/件）的一次函数，其售价、周销售量、周销售利润（元）的三组对应值如下表： 售价（元/件） 50 60 80 周销售量（件） 100 80 40 周销售利润（元） 1000 1600 1600 注：周销售利润＝周销售量×（售价－进价） （1）①求关于的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围） ②该商品进价是_________元/件；当售价是________元/件时，周销售利润最大，最大利润是__________元 （2）由于某种原因，该商品进价提高了元/件，物价部门规定该商品售价不得超过65元/件，该商店在今后的销售中，周销售量与售价仍然满足（1）中的函数关系．若周销售最大利润是1400元，求的值 23. 嘉淇设计了一个程序，如图，抛物线为导电的线缆，第一象限内有一矩形区域，边，分别在y轴，x轴上，点B的坐标为，其中矩形的顶点A，D对应有两个通电开关． （1）点A的坐标为 ； （2）当时，写出此时抛物线L的对称轴和y的最小值； （3）抛物线L的位置随a的变化而变化． ①用含a的式子表示抛物线L顶点P的坐标，并说明无论a如何变化，点P都在一条确定的直线上； ②当导电线缆L的顶点P在矩形的边上时，求点P的坐标； （4）当导电线缆L与线段有交点时，即可通电，直接写出符合条件的整数a的个数为 ． 24. 根据以下信息，探索完成任务： 探索目的 制作简易水流装置 信息1 如图，是进水通道，是出水通道，是圆柱形容器的底面直径，从将圆柱形容器注满水，内部安装调节器，使水流从B处流出且呈抛物线形．以点O为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，水流最终落到x轴上的点M处． 信息2 圆柱的高为，点A到圆柱顶端的距离为，轴，，，B为水流所在抛物线的顶点，点A，B，O，E，M均在同一平面内． 问题解决 （1）填空：的长度为________，该抛物线顶点坐标为（ ）． 任务二 （2）求水流所在抛物线的函数解析式． 任务三 （3）现有一个底面半径为，高为的圆柱形水杯，将该水杯底面圆的圆心恰好放在点M处，水流是否能流到圆柱形水杯内？请通过计算说明理由．（圆柱形水杯的厚度忽略不计） 任务四 （4）水杯的底面在x轴上运动，为了使水流能流到圆柱形水杯内，直接写出长的最大整数值为______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学 一、选择题（共12小题，每题3分，共36分） 1. 下列函数中，属于二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的定义，判断各选项是否符合形如（、、为常数，）的整式函数，且最高次项次数为2． 【详解】解：选项A：中含有（即项），不是整式，不符合二次函数定义，故A不符合题意； 选项B：最高次项次数为1，是一次函数，不符合二次函数定义，故B不符合题意； 选项C：符合（，，）的形式，是二次函数，故C符合题意； 选项D：展开为，最高次项次数为1，是一次函数，不符合二次函数定义，故D不符合题意． 2. 若反比例函数的图象经过点，则该反比例函数的图象分别位于（ ） A. 第一、第三象限 B. 第一、第四象限 C. 第二、第三象限 D. 第二、第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的解析式，反比例函数的性质，设反比例函数，根据反比例函数的图象经过点可得出，进而可得出该反比例函数的图象分别位于第一、第三象限． 【详解】解：设反比例函数， ∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴该反比例函数的图象分别位于第一、第三象限， 故选：A 3. 抛物线的顶点坐标是，且形状及开口方向与抛物线相同，则a，c的值分别为（ ） A. ，2 B. ， C. ，2 D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了利用抛物线的性质求解参数，抛物线的形状和开口方向由二次项系数a决定，形状与开口方向相同的抛物线二次项系数a相同，再将顶点坐标代入解析式即可求出c． 【详解】∵抛物线的形状及开口方向与相同， ∴， ∵抛物线的顶点坐标是， ∴将，代入解析式得： ， ∴． 4. 在平面直角坐标系中，将函数的图象先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数图象平移的“左加右减，上加下减”法则即可解答． 【详解】解：∵ 函数图象向左平移2个单位长度， ∴ 平移后表达式为． ∵ 再向下平移1个单位长度， ∴ 最终表达式为，即． 5. 下列数中，能使不等式成立的的值为（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了解一元一次不等式， 解不等式，求出满足条件的的范围，再结合选项判断． 【详解】解： 移项得， 合并得， 两边同时除以3得： ∴检验各选项，能使不等式成立的的值为0． 故选：D． 6. 如图，点在抛物线上，若点的横坐标为2，则点到轴的距离为（ ） A. 2 B. 3 C. 10 D. 11 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，将代入解析式，先求出点P的纵坐标即可解答． 【详解】解：将代入解析式中，则， ∴点到轴的距离． 故选：B． 7. 如下是嘉嘉求抛物线的顶点坐标的过程，则（ ） 解： ……① ……② ∴抛物线的顶点坐标为……③ A. 该过程完全正确 B. 该过程从①开始出错 C. 该过程从②开始出错 D. 该过程从③开始出错 【答案】B 【解析】 【详解】解： 抛物线的顶点坐标为． 题目步骤①中，减去的未乘括号外的系数3，过程从①开始出错． 8. 多人花样跳绳形式多样、对场地要求低、操作简单、健身效果明显，受到大众的喜爱．如图，绳被甩至最高处时的形状满足抛物线，甩绳的两名同学两手之间的距离，两人甩绳之手距地面的距离均为，则绳的最高点与地面之间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握待定系数法是解题关键．先利用待定系数法求出的值，再求出点的坐标，由此即可得． 【详解】解：由题意可知，点的坐标为， 将点代入得：， 解得， 则抛物线的解析式为， 当时，， 所以， 因为两人甩绳之手距地面的距离均为， 所以绳的最高点与地面之间的距离为， 故选：C． 9. 二次函数的图象在平面直角坐标系中的位置如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数图象得到，再判断一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象即可． 【详解】解：二次函数的图象开口向下， ， 对称轴在轴右侧， ， ， 抛物线与轴的交点在轴的正半轴， ； 一次函数经过第一、二、四象限， 反比例函数图象在第一、三象限； 只有C选项同时符合两个函数的位置特点． 10. 若x和y成反比例关系，则的值是（ ） x 2 a y 6 b A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】根据反比例关系得到求解即可； 【详解】 x和y成反比例关系，，， ， ，， ，， ． 11. 已知抛物线 经过点，．若 ，且 ，则的取值可以是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】先将A、 B两点横坐标代入抛物线解析式，得到 关于n的表达式，再结合 和 的条件列不等式，求出n的取值范围，即可判断符合条件的选项． 【详解】解：∵ 抛物线 经过点 ， ， ∴将 代入解析式得 ， 将 代入解析式得 ， ∵ ， 且 ， ∴ ， ∴ 解得 观察选项，只有符合该范围． 12. 如图1，在正方形中，是边上一点，动点从处出发沿向目的地运动，同时动点从处出发沿向目的地运动，它们同时到达终点．设为（单位：），的面积为（单位：），关于的函数图象如图2所示，当点在线段上运动时，该时段函数图象的最高点坐标为．下列选项错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先设正方形边长为，根据动点从到的路程为、动点从沿到的路程为且二者同时到达终点，得出的速度是的倍，即的运动路程为；再分三段讨论的运动位置：当在上运动时，写出的面积表达式，代入、求出的长度，即可判断选项；当在上运动时，写出对应的面积表达式，代入、和已求得的，求出正方形边长，即可判断选项B；当在上运动时，此时在线段上，写出面积的二次函数表达式并化为顶点式，得到顶点坐标即该时段函数图象的最高点，即可判断选项C和D． 【详解】解：设正方形边长为，则动点从到的路程为，动点从沿到的路程为， ∵二者同时到达终点， ∴点的速度是点的倍，即的运动路程为， 当在上运动（即）时，的纵坐标为， 的面积， 将，代入，得 ， 解得， ∴选项A正确，该选项不符合题意； 当在上运动（即）时，的纵坐标为， 的面积， 将，，代入，得 ， 解得，即正方形边长， ∴选项B正确，该选项不符合题意； 当在上运动（即）时，的纵坐标为， 此时在线段上，， 的面积， 这是开口向下的二次函数，顶点坐标为， ∴，， ∴选项C正确，该选项不符合题意； 选项D错误，该选项符合题意． 二、填空题（每题3分，共15分） 13. 计算：________． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 14. 二次函数的部分对应值如下表： … … … … 由表可知该二次函数的图象对称轴为直线________． 【答案】 【解析】 【分析】从表格中找到函数值相等的两个点，借助二次函数的对称性推导对称轴位置． 【详解】解：从表格中可知，当和时，对应的值都为， ∵二次函数图象上纵坐标相等的两个点关于对称轴对称， ∴对称轴为这两个点横坐标的中点，计算得直线． 15. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，，若，则m的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】结合已知的两根倍数关系，利用根与系数的关系求出两根的值，再通过两根积的关系求解，同时验证判别式满足方程有两个不等实根的要求． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴根据根与系数的关系，可得 ，， ∵ ∴将代入，得 ， ∴， 解得， ∴， ∴ ∵ ∴， 解得， 验证：当时，方程的判别式，符合题设中方程有两个不相等实数根的条件． 16. 用绘图软件绘制抛物线与动直线相交于两点，图1为时的视窗情形． （1）图1中，两交点之间的距离为______； （2）视窗的大小不变，但其可视范围可以变化，且变化前后原点始终在视窗中心（例如：将图1中坐标系的单位长度变为原来的2倍，如图2，其可视范围就由及变成了及），若与的交点分别是点和点，为能看到抛物线在点，之间的一整段图像，需要将图1中坐标系的单位长度至少变为原来的倍，整数的值是______． 【答案】 ①. 2 ②. 6 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的性质，求解线段长度的最值，不等式的应用，理解题意，建立方程或不等式是解本题的关键． （1）把代入解方程可得A，B的坐标，从而可得答案； （2）先求解．结合抛物线m的对称轴为直线．点P与点Q关于对称，可得．通过P，Q两点坐标可知，若能看到m在点P，Q之间的一整段图象，应使视窗下边缘在P，Q两点下方，视窗左右边缘没有影响，可得，从而可得答案． 【详解】解：（1）将代入中， 得，解得， ∴点，点， ∴． 故答案为：2 （2）将代入到中，得， ∴． ∵， ∴抛物线m的对称轴为直线． ∵点P与点Q关于对称， ∴． 通过P，Q两点坐标可知，若能看到m在点P，Q之间的一整段图象，应使视窗下边缘在P，Q两点下方，视窗左右边缘没有影响， ∴，解得， 故最小整数k的值为6． 故答案为：6 三、解答题（共8道小题，共69分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1），； （2），． 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）利用直接开平方法解方程即可； （2）把方程左边分解因式，再化为两个一次方程求解即可． 【小问1详解】 解：， ∴， 解得：，； 【小问2详解】 解：， ∴， ∴或， 解得：，． 18. 用运算律或乘法公式可以简化运算，例如： ． （1）证明，并用以上方法计算； （2）计算：． 【答案】（1） 证明：左边， 右边， ∴ 左边=右边，成立； （2） 【解析】 【分析】（1）化简等式右侧验证等式成立；将101凑整为整百数相关形式，套用所得公式简化计算； （2）利用平方性质将负数平方转化为正数平方，凑整后套用公式计算. 【小问1详解】 证明见答案， 取，， 代入公式得： ； 【小问2详解】 解：     . 19. 约定：如果抛物线的顶点在直线上，那么我们把这样的抛物线叫做“完美抛物线”，根据约定，解答下列问题： （1）抛物线_________“完美抛物线”（填“是”或“不是”）； （2）如图，已知“完美抛物线”的顶点为A，将该抛物线沿直线向上平移，点A平移到点B，设点B的横坐标为． ①求点A的坐标； ②若，求平移后的抛物线的解析式． 【答案】（1）不是 （2）①② 【解析】 【分析】(1)先化将解析式成顶点式,再根据约定将顶点坐标代入即可得解; (2)①根据约定将顶点坐标代入即可得解,②先根据题意得出，再根据两点间距离公式求出值进行取舍,得出点B的坐标,最后由平移的规律即可得解． 【小问1详解】 解：∵抛物线, ∴顶点坐标为, 将 代入得 , 顶点不在直线上, 抛物线不是“完美抛物线”； 【小问2详解】 解：①由抛物线解析式可知，其顶点的坐标为, ∵完美抛物线”的顶点为A， 顶点在直线上,将 代入,得 , 点的坐标为； ② 抛物线沿直线 向上平移，点 平移到 点 ， 点 在直线 上, ∴点 的坐标为 , ，，且 ， 根据两点间距离公式得：, 两边平方得, , , , 解得 或 ， ∴ 或 , ， , 点 的坐标为 , 平移不改变抛物线的形状和开口方向， 平移后的抛物线二次项系数仍为 , 平移后的抛物线解析式为, ∴展开得． 20. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，． （1）求m的取值范围； （2）若，求m的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可知，代入求解即可． （2）根据根与系数的关系得出，，代入到，得出关于m的一元二次方程，利用因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，， ∴，， 将，，代入， ∴，即， ∴， 解得， 由（1）知， ∴． 21. 如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于，两点． （1）求的函数解析式； （2）求的函数解析式； （3）求的面积． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）把点代入，即可； （2）把点代入，求出点的坐标，再根据待定系数法求出的解析式，即可； （3）连接，，根据，即可． 【小问1详解】 解：∵点在的图像上， ∴, 解得：， ∴； ∴的函数解析式；． 【小问2详解】 解：∵点在双曲线上， ∴, 解得：， ∴点， ∵点，点在一次函数上， ∴ 解得：， ∴， 的函数解析式为：． 【小问3详解】 解：连接，， 设直线与轴的交点为点， ∴当时，，即； ∴ ． 22. 某商店销售一种商品，童威经市场调查发现：该商品的周销售量（件）是售价（元/件）的一次函数，其售价、周销售量、周销售利润（元）的三组对应值如下表： 售价（元/件） 50 60 80 周销售量（件） 100 80 40 周销售利润（元） 1000 1600 1600 注：周销售利润＝周销售量×（售价－进价） （1）①求关于的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围） ②该商品进价是_________元/件；当售价是________元/件时，周销售利润最大，最大利润是__________元 （2）由于某种原因，该商品进价提高了元/件，物价部门规定该商品售价不得超过65元/件，该商店在今后的销售中，周销售量与售价仍然满足（1）中的函数关系．若周销售最大利润是1400元，求的值 【答案】（1）①与的函数关系式是；②40，70，1800；（2）5. 【解析】 【分析】(1)①设与的函数关系式为，根据表格中的数据利用待定系数法进行求解即可； ②设进价为a元，根据利润=售价-进价，列方程可求得a的值，根据“周销售利润＝周销售量×(售价－进价)”可得w关于x的二次函数，利用二次函数的性质进行求解即可得； (2)根据“周销售利润＝周销售量×(售价－进价)”可得，进而利用二次函数的性质进行求解即可. 【详解】(1)①设与的函数关系式为，将(50，100)，(60，80)分别代入得， ，解得，，， ∴与的函数关系式是； ②设进价为a元，由售价50元时，周销售是为100件，周销售利润为1000元，得 100(50-a)=1000， 解得：a=40， 依题意有， = = ∵， ∴当x=70时，w有最大值为1800， 即售价为70元/件时，周销售利润最大，最大为1800元， 故答案为40，70，1800； (2)依题意有， ∵，∴对称轴， ∵，∴抛物线开口向下， ∵，∴随的增大而增大， ∴当时，∴有最大值， ∴， ∴. 【点睛】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，弄清题意，找准各量间的关系正确列出函数解析式是解题的关键. 23. 嘉淇设计了一个程序，如图，抛物线为导电的线缆，第一象限内有一矩形区域，边，分别在y轴，x轴上，点B的坐标为，其中矩形的顶点A，D对应有两个通电开关． （1）点A的坐标为 ； （2）当时，写出此时抛物线L的对称轴和y的最小值； （3）抛物线L的位置随a的变化而变化． ①用含a的式子表示抛物线L顶点P的坐标，并说明无论a如何变化，点P都在一条确定的直线上； ②当导电线缆L的顶点P在矩形的边上时，求点P的坐标； （4）当导电线缆L与线段有交点时，即可通电，直接写出符合条件的整数a的个数为 ． 【答案】（1） （2）抛物线的对称轴为直线，y的最小值为 （3）①抛物线L顶点P的坐标为，点P始终在直线上； ②当导电线缆L的顶点P在矩形的边上时，点P的坐标为或 （4）4 【解析】 【分析】（1）首先已知点B的坐标，即可得到和的长度，再利用矩形的性质，得到的长度，即可得到点A的坐标． （2）首先将代入抛物线L的解析式中，得到一个新的不含未知数a的解析式，将其转化为顶点式，即可得到抛物线L的对称轴和y的最小值． （3）①将抛物线L的解析式直接转化为顶点式，即可得到抛物线L顶点P的坐标，再发现顶点P的横坐标与纵坐标都含有同一未知数a，即确定点P在一条确定的直线上； ②先利用顶点P的坐标分别在矩形的四条边上进行分类讨论，确定点P的坐标是否在边上即可． （4）先明确导电线缆L与y轴的交点在线段上，即可将点A与点D的坐标分别代入交点中，进而得到a的取值范围，再判断在取值范围中存在多少整数点即可． 【小问1详解】 解：∵点B的坐标为， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：当时，， ∴抛物线的对称轴为直线，y的最小值为； 【小问3详解】 解：①∵， ∴抛物线L顶点P的坐标为， ∴点P始终在直线上； ②∵点P始终在直线上， 当时，， ∴此时点，不在边上， ∴不符合题意，舍去； 当时，， ∴此时点，，在边上， ∴符合题意； 当时，， ∴此时点，不在边上， ∴不符合题意，舍去； 当时，， ∴此时点，，在边上， ∴符合题意； 答：当导电线缆L的顶点P在矩形的边上时，点P的坐标为或； 【小问4详解】 解：∵当导电线缆L与线段有交点时，即可通电， ∴导电线缆L与y轴的交点在线段上， 令，则， ∴导电线缆L与y轴的交点为， 当经过点D时，将，代入，得， ∴解得：或， 当经过点A时，将，代入，得， ∴解得：， ∴或， 当时，或， 当时，或2， 答：整数a的个数为4． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，抛物线的解析式，含参的抛物线解析式等知识点，将抛物线转化为顶点式和求解含参的抛物线是解题的关键． 24. 根据以下信息，探索完成任务： 探索目的 制作简易水流装置 信息1 如图，是进水通道，是出水通道，是圆柱形容器的底面直径，从将圆柱形容器注满水，内部安装调节器，使水流从B处流出且呈抛物线形．以点O为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，水流最终落到x轴上的点M处． 信息2 圆柱的高为，点A到圆柱顶端的距离为，轴，，，B为水流所在抛物线的顶点，点A，B，O，E，M均在同一平面内． 问题解决 （1）填空：的长度为________，该抛物线顶点坐标为（ ）． 任务二 （2）求水流所在抛物线的函数解析式． 任务三 （3）现有一个底面半径为，高为的圆柱形水杯，将该水杯底面圆的圆心恰好放在点M处，水流是否能流到圆柱形水杯内？请通过计算说明理由．（圆柱形水杯的厚度忽略不计） 任务四 （4）水杯的底面在x轴上运动，为了使水流能流到圆柱形水杯内，直接写出长的最大整数值为______． 【答案】（1）； （2）或 （3）解：水流不能流到圆柱形水杯内，理由如下： ∵现有一个底面半径为，高为的圆柱形水杯，将该水杯底面圆的圆心恰好放在点M处， ∴圆柱形水杯口最左端到点的距离是， 当时，， ∵， ∴水流不能流到圆柱形水杯内. （4） 【解析】 【分析】(1) 根据题意得出，抛物线顶点坐标为； (2) 待定系数法求解析式，即可求解； (3) 圆柱形水杯口最左端到点O的距离是9，将代入二次函数解析式，比较大小即可求解. (4)先设出水杯口最左端的坐标，水杯最右端的坐标，代入解析式求出，得出的取值范围，进而即得解． 【小问1详解】 解：由题意可得：， ∵轴，， ∴B的横坐标为5，， ∴该抛物线顶点坐标为； 【小问2详解】 解：∵该抛物线顶点坐标为， 设抛物线解析式为， 将点代入得，， 解得：， ∴抛物线解析式为或； 【小问3详解】 略； 【小问4详解】 解：由题意设水杯口最左端的坐标，水杯最右端的坐标， ∴将代入得， 解方程得：，(不符合题意；舍去)； 将代入得， 解方程得：，(不符合题意；舍去)； ∴， ∵， ∴， ∴长的最大整数值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $