精品解析：山东省日照市实验高级中学2026-2027学年高三10月月考数学试题

2024级高三上学期第二次阶段性诊断测评 数学试题 2026.10.08 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、考生号、座号填写在相应位置，认真核对条形码上的姓名、考生号和座号，并将条形码粘贴在指定位置上. 2.选择题答案必须使用2B铅笔（按填涂样例）正确填涂；非选择题答案必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚. 3.请按照题号在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.保持卡面清洁，不折叠、不破损. 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，若，则（ ）. A. B. 0 C. 1 D. 或0 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合与元素的属于关系性质，结合集合元素互异性进行求解即可. 【详解】因为， 所以，或， 当时，解得，此时集合不满足集合元素互异性，舍去， 当时，集合，此时集合满足集合元素互异性， 所以. 2. 设向量，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】C 【解析】 【详解】因为， 所以是的充要条件. 3. 设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答. 【详解】函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递减， 则有函数在区间上单调递减，因此，解得， 所以的取值范围是. 故选：D 4. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】， 则， 则． 5. 已知正实数，满足，则的最小值为（ ） A. 5 B. 6 C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】已知，，整理，得， 则，，， 则， 当且仅当，即时，等号成立. 故的最小值为. 6. 已知角的终边与单位圆的交点为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用三角函数的定义求出，再根据诱导公式将原式化简代入计算即得. 【详解】由三角函数定义知， 根据诱导公式可得. 故选： 7. 已知等比数列的前项和为，若，且，则正整数的值为（ ） A. 9 B. 12 C. 15 D. 18 【答案】B 【解析】 【分析】设等比数列的公比为，结合等比数列的性质可得，根据等比数列前项和公式计算可得，进而计算可解. 【详解】设等比数列的公比为， 当时，可得，，，则，． 因为，所以，所以，此时， 又因为，可得， 所以，即． 令，可得，解得或（舍去），所以， 因为，所以， 所以 ，所以， 所以，解得． 8. 已知函数有且仅有三个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】令，利用导函数研究其单调性画出图象，将问题转化为一元二次方程的根的问题即可求解. 【详解】因为有且仅有三个零点，则方程有且仅有三个根， 令，则， 由得；得； 则在单调递增，在上单调递减，则， 因为时；时，且时， 所以的函数图象如图： 因为不是的根， 所以有两个根，其中一个根位于，另一根位于或另一根是， 但方程的两根的乘积为， 所以一个根位于，另一根位于， 则，得， 故的取值范围是. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数（其中为虚数单位），则下列说法正确的是（ ） A. 复数在复平面上对应的点可能落在第四象限 B. C. D. 为实数 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据复数的几何意义，结合三角函数值的范围判断A，复数的模的计算公式判断B，复数的乘法判断C；复数的加法法与除法，判断D． 【详解】对于A，因为，所以只能为正数，可能为正数或负数或零 所以，复数在复平面上对应的点可能落在第四象限，所以正确； 对于B，，所以B不正确； 对于C，．所以C正确； 对于D，为实数，所以D正确； 故选：ACD. 10. 已知向量，满足，，且，则（ ） A. B. C. 与的夹角为 D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据数量积的运算律及夹角公式逐项分析即可得解. 【详解】因为，， 故，故A正确； 因为，，所以，故C正确； 因为，故B错误； 因为，所以，故 D错误. 11. 在中，角，，的对边分别为，，，已知，，成等比数列，，，成等差数列，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据等比中项，等差中项得出，，结合两角和与差的正弦公式，正弦定理，余弦定理即可求解． 【详解】由，，成等比数列得，， 由，，成等差数列得，， 因为， 所以 ， 所以， 由正弦定理得，，故A正确； 则， 代入得，，所以，故C正确； 将代入， 设，则（负值舍去）， 则，显然，所以，故B错误； 所以， 又，所以，故D正确． 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 曲线在处的切线方程为___________． 【答案】 【解析】 【分析】由导数运算法则可求导数，再利用导数求出斜率，由点斜式可得切线方程． 【详解】设， 则； 所以，且， 即直线斜率，过点， 故曲线在处的切线方程为， 即， 故答案为：． 13. 已知函数（，）是奇函数，函数的图象在区间上恰有条对称轴，则的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，由是奇函数求出，再根据对称轴的性质即可求解. 【详解】已知函数，其中，， 由于是奇函数，所以满足，即，得， 又因为，当时，，符合题意，所以，因此函数， 函数的对称轴满足，即， 由于函数的图象在区间上恰有条对称轴，所以不等式恰有两个解， 又因为，所以不等式等价于不等式，即， 在区间要恰有两个整数，这两个整数只能是和，所以，解得， 所以的取值范围为. 14. 已知平面向量序列，其中和均为非零整数，且．对任意正整数，都有．则的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意有当和均取得最小值时，有最小值，不妨取，可得，，运算得解. 【详解】由题意可知，当和均取得最小值时，有最小值. 因为，则，，且均为非零整数， 不妨取，则， 因为对任意的正整数，都有，取，得， 所以， ，当时，，即， 同理，由对任意的正整数，都有， 可得，， 所以，， 所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 函数的最小正周期为，且. （1）求的解析式； （2）将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，求函数在区间上的值域. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据周期公式得，进而由得，再根据即可求得答案； （2）根据函数图象平移得，再根据三角函数的性质求值域即可. 【小问1详解】 解：因为函数的最小正周期为， 所以，解得， 因为， 所以，即， 因为，所以， 所以， 【小问2详解】 解：因为函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象 所以， 因为，所以， 所以，当，即时，有最大值； 当，即时，有最小值； 所以，函数在区间上的值域为 16. 的内角的对边分别为．分别以为边长的正三角形的面积依次为，且． （1）求角； （2）若，，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，化简得到，利用余弦定理求得，即可求解； （2）设，在和中，利用正弦定理化简得到，结合三角函数基本关系式，联立方程组，求得的值. 【小问1详解】 解：由分别以为边长的正三角形的面积依次为， 则，可得， 由余弦定理得， 因为，所以. 【小问2详解】 解：设（其中为锐角）， 在和中，由正弦定理可得且， 于是， 又因为，所以， 化简得， 根据同角三角函数的基本关系式，可得， 因为，联立方程组，解得，即. 17. 已知数列的前项和为，若，，. （1）求的通项公式； （2）记数列的前项和为，证明：. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1） 将已知等式化为相邻项差的关系，两边除以乘积得到倒数差为常数，从而求出通项； （2）将通项代入后再裂项相消求和，之后放缩即得不等式. 【小问1详解】 因为， 所以，即， 所以，由题意知，所以， 所以数列是以为首项，公差为1的等差数列，故， 即，又因为时，，满足该式，所以. 【小问2详解】 因为， 所以 ， 因为，所以，所以 18. 已知函数. （1）若，证明：； （2）若，且对任意，，求的取值范围； （3）若在上单调递增，求的最大值. 【答案】（1）当时，，. 令，得. 当时，，是单调递减函数； 当时，，是单调递增函数. 则，即. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）代入参数得到具体函数,求导判断单调性，根据单调性得到函数最小值，证明最小值非负即可. （2）代入的取值得到含参函数，先求一阶导数，再分析一阶导数的单调性，根据的取值范围分类讨论的单调性，保证时最小值非负，求解对应的范围. （3）函数单调递增等价于导数在上恒成立，先计算导数的导数，然后讨论的正负，再将转化到用表示，构造函数，利用单调性求出最大值即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 方法1： 当时，，易得， ，， 当时，结合（1）易得， 所以在上是单调递增函数， 所以，符合题意． 当时，令，． 因为，所以递增． 又，由(1)得，将换作可得，即， 所以， 所以存在唯一的，使得． 当时，，单调递减，则，不合题意． 综上，实数的取值范围为． 方法2：当时，，易得， 设，当，，所以， 所以在单调递增； 又因为， 当时，，所以在上递增， 所以，符合题意. 当时，，又时，， 存在唯一的，使得. 当时，，递减，所以，不合题意． 综上，实数的取值范围为． 【小问3详解】 方法1：若在上单调递增，则恒成立． 令，则． 当时，，故在上单调递增． ，则，不合题意． 当时，恒成立，所以，此时的最大值为0． 当时，由，得． 当时，，递减； 当时，，递增． 所以， 得，此处不等号可以取等． 所以. 求最值法①：令，，则． 令，得． 当时，，递增； 当时，，递减． 所以． 综上，当且仅当时，取得最大值，且最大值为． 求最值法②： 令，则． 令，，则． 令，得． 当时，，单调递增；时，单调递减． 所以． 综上，当且仅当时，取得最大值，且最大值为． 方法2：若递增，则恒成立． 当时，令，因为，所以递增. 取，则，不合题意. 当时，恒成立，所以，此时的最大值为. 当时，由恒成立，得对恒成立. 令，由，得. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 则. 则，当时等号可以取到， 再令，，然后求解最大值的过程同方法1中的法①、法②. 综上，当且仅当时，取得最大值，且最大值为. 方法3：若单调递增，则恒成立. 当时，可得，解得. 下面证明：当时，存在和，可使恒成立. 当时，，令，则. 当时，，故单调递增. 因为，所以不合题意. 当时，由，得. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 则， 令，则. 令，，则.令，得. 当时，，单调递增；当时，，单调递减. 则. 则不等式的解为， 则的解为. 则时，存在，可使恒成立， 则的最大值为. 19. 对于一个函数和一个点，令，若是取到最小值的点，则称P是M在的“最近点”． （1）对于，求证：对于点，存在点P，使得点P是M在的“最近点”， （2）对于，，请判断是否存在一个点P，它是M在的“最近点”；且直线MP与在点P处的切线垂直； （3）已知在定义域R上存在导函数，且函数在定义域R上恒正，设点，．若对任意的，存在点P同时是，在的“最近点”，试判断的单调性． 【答案】（1） 当时，，当且仅当x＝时取等号， 所以对于点，存在点，使得该点是在的“最近点”； （2）存在 （3） 设，， 求导得， ， 若对任意的，存在点同时是在的“最近点”， 设，则既是的最小值点，也是的最小值点， 又两函数的定义域均为，则也是两函数的极小值点，， 即， ， 于是，即，， 而函数在定义域R上恒正，则恒成立， 接下来证明： 由既是的最小值点，也是的最小值点，得， 即， ， 于是， 即，而， 因此，解得， 即有恒成立，由的任意性，得严格单调递减， 所以函数在R上单调递减. 【解析】 【分析】（1）代入，利用基本不等式即可； （2）由题得，利用导函数得到其最小值，则得到，再证明直线与切线垂直即可； （3）根据题意得到，对两等式化简得，再利用“最近点”的定义得到不等式组，即可证明，最后得到函数单调性. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 依题意，，求导得， 设，求导得， 设，求导得，当时，； 当时，，函数在上单调递减，在上单调递增， 则，，函数在上单调递增，而， 即函数在上单调递增，而，当时，； 当时，，函数在上单调递减，在上单调递增， 则，此时，而， 函数在点P处的切线方程为，而直线的斜率，因此， 所以存在一个点，它是M在的“最近点”，且直线MP与在点P处的切线垂直. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024级高三上学期第二次阶段性诊断测评 数学试题 2026.10.08 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、考生号、座号填写在相应位置，认真核对条形码上的姓名、考生号和座号，并将条形码粘贴在指定位置上. 2.选择题答案必须使用2B铅笔（按填涂样例）正确填涂；非选择题答案必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚. 3.请按照题号在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.保持卡面清洁，不折叠、不破损. 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，若，则（ ）. A. B. 0 C. 1 D. 或0 2. 设向量，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 3. 设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知正实数，满足，则的最小值为（ ） A. 5 B. 6 C. D. 6. 已知角的终边与单位圆的交点为，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知等比数列的前项和为，若，且，则正整数的值为（ ） A. 9 B. 12 C. 15 D. 18 8. 已知函数有且仅有三个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数（其中为虚数单位），则下列说法正确的是（ ） A. 复数在复平面上对应的点可能落在第四象限 B. C. D. 为实数 10. 已知向量，满足，，且，则（ ） A. B. C. 与的夹角为 D. 11. 在中，角，，的对边分别为，，，已知，，成等比数列，，，成等差数列，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 曲线在处的切线方程为___________． 13. 已知函数（，）是奇函数，函数的图象在区间上恰有条对称轴，则的取值范围为________． 14. 已知平面向量序列，其中和均为非零整数，且．对任意正整数，都有．则的最小值为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 函数的最小正周期为，且. （1）求的解析式； （2）将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，求函数在区间上的值域. 16. 的内角的对边分别为．分别以为边长的正三角形的面积依次为，且． （1）求角； （2）若，，求． 17. 已知数列的前项和为，若，，. （1）求的通项公式； （2）记数列的前项和为，证明：. 18. 已知函数. （1）若，证明：； （2）若，且对任意，，求的取值范围； （3）若在上单调递增，求的最大值. 19. 对于一个函数和一个点，令，若是取到最小值的点，则称P是M在的“最近点”． （1）对于，求证：对于点，存在点P，使得点P是M在的“最近点”， （2）对于，，请判断是否存在一个点P，它是M在的“最近点”；且直线MP与在点P处的切线垂直； （3）已知在定义域R上存在导函数，且函数在定义域R上恒正，设点，．若对任意的，存在点P同时是，在的“最近点”，试判断的单调性． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $