精品解析：甘肃省兰州市永登县第六中学2026-2027学年第一学期第二次月考高三数学试题

甘肃省永登县六中2026~2027学年第一学期第二次月考 高三数学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3．考试结束后，请将答题卡上交. 4．本卷主要命题范围：集合与常用逻辑用语，不等式，函数的概念与性质. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知命题，，则命题p的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 已知，正整数能被整除，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 若，则下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 设，则（ ） A. B. C. D. 5. 若且，则的值与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 不能确定 6. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 7. 若，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数为奇函数，则的值是（ ） A. 2或3 B. 1或3 C. 3 D. 2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 10. 对于给定的实数a，关于实数x的一元二次不等式的解集可能为（ ） A. B. C. D. 或 11. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 集合的真子集的个数是__________． 13. 某商店销售两款商品，利润（单位：元）分别为和，其中为销量（单位：袋），若本周销售两款商品一共20袋，则能获得的最大利润为______元. 14. 已知关于的不等式恰有3个整数解，则实数的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知全集，集合，． （1）当时，求，； （2）若，求的取值集合． 16. 设函数． （1）将函数写成分段函数的形式并画出其图象； （2）写出函数的单调区间和值域． 17. 已知，，且. （1）求ab的最大值； （2）求的最小值. 18. 若函数是定义在上的偶函数，当时，． （1）求函数的表达式； （2）若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围． 19. 已知函数，且. （1）求的值； （2）判断函数在上的单调性，并证明； （3）若对任意的恒成立，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 甘肃省永登县六中2026~2027学年第一学期第二次月考 高三数学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3．考试结束后，请将答题卡上交. 4．本卷主要命题范围：集合与常用逻辑用语，不等式，函数的概念与性质. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知命题，，则命题p的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题易求. 【详解】根据全称量词命题的否定为存在量词命题知： 命题，的否定为：，. 故选：C 2. 已知，正整数能被整除，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】借助充分条件与必要条件的性质判断即可得. 【详解】由题知命题表示正整数a能被2整除， 而能被4整除的正整数一定能被2整除，故能够推出， 而能被2整除的正整数不一定能被4整除，如6，故无法推出， 故是的必要不充分条件． 故选：B． 3. 若，则下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】代入特殊值以及不等式的性质即可求解. 【详解】当，，时，满足，不满足，故A错误； 当，，时，满足，不满足，故B错误； 因为，所以，因为，所以， 所以，故C正确； 当，，时，满足，不满足，故D错误. 故选：C. 4. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用分段函数求值方法求解即可. 【详解】因为， 所以， 故选：D. 5. 若且，则的值与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】借助作差法及配方法比大小即可得. 【详解】， 由且，故，即. 故选：C. 6. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】，故是奇函数， 图象关于原点对称，故A、B错误； ，故在上单调递增， 故C正确，D错误． 7. 若，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用基本不等式即可得解. 【详解】由，可得， ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为， 故选：B. 8. 已知函数为奇函数，则的值是（ ） A. 2或3 B. 1或3 C. 3 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据奇函数定义以及其定义域关于原点对称解方程可知，可得结果. 【详解】因为为奇函数， 所以，解得或． 当时，，故不合题意，舍去； 当时，，故符合题意． 所以， 故选：C． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】AC 【解析】 【分析】根据同一函数定义依次判断求解即可. 【详解】对于A，与定义域相同，对应关系完全一致，是同一函数，故A正确； 对于B，，，对应关系不相同，不是同一函数，故B错误； 对于C，与，定义域相同，对应关系完全一致，是同一函数，故C正确； 对于D，定义域为，定义域为， 两函数定义域不相同，不是同一函数，故D错误. 10. 对于给定的实数a，关于实数x的一元二次不等式的解集可能为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】AB 【解析】 【详解】已知，不等式，则， 而方程的两根是， 当，即时，不等式的解集为，对应选项A； 当，即时，不等式变为，无解； 当，即 时，不等式的解集为，对应选项B. 综上所述，结合选项可知AB正确. 11. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】将所有集合统一分母，通过分子奇偶区分元素类型，快速判断集合交、并、包含关系，子集判断题优先取特殊值验证，快速排除错误选项，提升解题效率. 【详解】A选项，，所以的元素都不是整数，而的元素都是整数，所以，A正确； B选项，举反例，取中元素，若，不是整数，说明，故不是子集，B错误； C选项，， 故，C正确； D选项， ， ， 故，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 集合的真子集的个数是__________． 【答案】7 【解析】 【分析】．先根据题意写出集合的具体元素，再利将其真子集的个数给求出来即可. 【详解】因为， 则的元素个数为，故A有个真子集． 故答案为：. 13. 某商店销售两款商品，利润（单位：元）分别为和，其中为销量（单位：袋），若本周销售两款商品一共20袋，则能获得的最大利润为______元. 【答案】162 【解析】 【分析】设该商店销售商品袋，则商品袋，根据题意求得利润的函数解析式，结合二次函数的性质，即可求解． 【详解】设该商店销售商品袋，则商品袋， 所以可获得的利润， ，当或7时，利润最大，最大利润为162元. 故答案为：162. 14. 已知关于的不等式恰有3个整数解，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】先求解含绝对值的不等式，再结合恰有3个整数解可得不等式组，解不等式组可得答案. 【详解】因为，所以，即， 由于不等式恰有3个整数解，则这三个整数解分别是2，3，4， 所以，解得， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知全集，集合，． （1）当时，求，； （2）若，求的取值集合． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由表示出集合，然后根据集合的交并补的定义求解； （2）由题可知，然后利用包含关系列不等式组求解. 【小问1详解】 时，， 则； 或， 则. 【小问2详解】 由可得， 则，解得， 所以的取值集合是. 16. 设函数． （1）将函数写成分段函数的形式并画出其图象； （2）写出函数的单调区间和值域． 【答案】（1），图象： （2）单调递增区间为，单调递减区间为，值域为 【解析】 【分析】（1）去掉绝对值符号将函数写成分段函数，再画出函数图象； （2）结合函数图象得到函数的单调区间与最小值，即可求出函数的值域. 【小问1详解】 因为， 所以， 所以的图象如下所示： 【小问2详解】 由（1）中函数图象可知，的单调递增区间为，单调递减区间为， 又，所以的值域为. 17. 已知，，且. （1）求ab的最大值； （2）求的最小值. 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】（1）根据基本不等式，即可求解； （2）根据，代入，转化为二次函数求最小值. 【小问1详解】 ，，得， 当时，等号成立， 所以的最大值为2； 【小问2详解】 ， ， 当时，时，取得最小值. 18. 若函数是定义在上的偶函数，当时，． （1）求函数的表达式； （2）若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）利用奇偶性求对称区间的解析式即可； （2）利用作图思想，得到函数的递减区间，然后确定参数满足的不等式组进行求解即可. 【小问1详解】 由题意得，当时，， 所以函数的表达式为； 【小问2详解】 由（1）的解析式，作出的图象如图所示， 可知函数在和上单调递减， 又函数在区间上单调递减， 所以或，解得． 所以实数的取值范围是． 19. 已知函数，且. （1）求的值； （2）判断函数在上的单调性，并证明； （3）若对任意的恒成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2）由（1）知，， 在上的单调递减， 证明如下：任取，设， ， 因为， 所以，故在上的单调递减. （3） 【解析】 【分析】（1）根据列式求解； （2）根据单调性的定义证明函数的单调性即可； （3）通过换元法，根据基本不等式求出的最小值，结合恒成立通过最值得关于的不等式，解不等式即可求解参数范围. 【小问1详解】 因为，代入得：即， 解得：. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 对任意的，， 因为，令， ， 根据基本不等式性质，， 当且仅当即时，等号成立，所以， 所以， 可转化为即， 解得：. 所以的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $