精品解析：甘肃部分学校2026-2027学年高三上学期10月阶段检测数学试题A

甘肃部分学校2026-2027学年高三上学期10月阶段检测 数学试题A 考试时间为120分钟，满分150分 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由复数，得，. 又，.故选D. 2. 已知是定义在上奇函数，则实数的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据奇函数的定义即可求出参数的值． 【详解】是定义在上的奇函数，， 即，整理得. ，． 3. 已知数列为等比数列，且，，则（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【详解】设等比数列的公比为，，，，即， 解得.，，，. 4. 已知平面向量，满足，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为平面向量，满足，， 所以，. 则向量在向量上的投影向量为. 5. 在中，角，，的对边分别为，，，且，，成等差数列，.若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列的性质，结合已知条件，先求得，，的关系，再根据向量数量积的计算公式和余弦定理，可得关于的不等式，解不等式即可. 【详解】因为，，成等差数列，所以， 又，所以，， 又，即， 又根据余弦定理可得，即， 又，，代入化简得，解得或（舍）， 即的取值范围为. 6. 已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】函数的定义域为， ，且函数在上单调递减， 在上恒成立，即. 设，，则， 在上单调递增， ，， 即实数的取值范围为. 7. 定义新数列：在数列的所有项中，去掉数列中的项得到的数列.若，，则数列的前130项的和为（ ） A. 16882 B. 16998 C. 17446 D. 17654 【答案】D 【解析】 【分析】根据新数列的定义，结合等差数列的前项和公式，即可求解. 【详解】由题意，，所以数列中的各项均为偶数，所以数列也必须取偶数， 又，所以必须是奇数，即为奇数。 所以，，，， 因为，，，， 所以数列的前130项，即数列的前133项中，去掉第3项，第16项，第65项， 所以数列的前130项和为， 即数列的前130项和为17654. 8. 已知函数满足，且函数的图象关于轴对称，当时，，则、、的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】推导出函数是以为周期的周期函数，利用单调性的定义可证明函数在区间上为增函数，推导出函数的图象关于直线对称，并求得，则，再由函数的周期性、奇偶性得出、、，进而利用单调性比较大小即可. 【详解】因为函数满足，则函数是以为周期的周期函数， 当时，，且函数的图象关于轴对称，即函数为偶函数， 任取、且， 则 ， 因为，则，，所以， 故，即， 所以函数在上单调递增， 所以，， 因为， 由于，所以，即， 由，则函数的图象关于直线对称， 即， 因为，则，且， 所以，即. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知全集为，集合，，则下列结论正确的是（ ） A. 若集合，则实数的取值范围为 B. 若，且，则实数的取值范围为 C. 若，则 D. 若，且“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据各项的描述，应用一元二次不等式的解法、对数函数的性质求对应情况下参数的范围，由集合的交补运算、必要不充分条件求参数范围判断各项的正误. 【详解】由，， A，要使，则须方程的判别式， 即，无解，故错误； B，方程的两个根为、，且， ，则或，又，， ，即，故正确； C，，则或， ，故，故错误； D，，且，则或. “”是“”的必要不充分条件， 是的真子集，则，解得， 实数的取值范围为，故正确. 10. 已知函数在上单调递增，则下列结论正确的是（ ）. A. 函数的图象关于直线对称 B. C. 的最大值为 D. 的最小值为 【答案】AC 【解析】 【分析】先用辅助角公式化简函数，再逐项分析对称轴、单调区间与最值.A，正弦型函数对称轴过最值点，代入计算，此处函数取最大值，故该直线为对称轴；B，先求出单个递增区间长度为，再由开区间完全包含在一个增区间内，可得的范围；C，D，由区间包含关系确定的范围，可取到区间右端点，函数能够取得最大值；而区间左端点取不到，因此无法得到函数的最小值. 【详解】函数. 对于A：，此时函数取得最大值， 直线是函数的对称轴，A正确； 对于B：令，，得单调递增区间为，. 已知在上单调递增，说明该区间必须完全包含在上述某一个单调递增区间内， 因此子区间长度不能超过单个递增区间的总长，区间长度为，故，即. 又，，，B错误； 对于C，D：，. 由，得，, ，，，， 即的最大值为，没有最小值，C正确，D错误. 11. 在中，角，，的对边分别为，，，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，是上的一点，且，，则 C. 若，是上的一点，且，，则 D. 若，是上的一点，且，则的取值范围是 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，利用正弦定理及三角恒等变换即可；对于B，C，利用及余弦定理，列出方程组求解即可；对于D，设，利用可得，在中，利用及三角恒等变换可求出的范围，从而可得的取值范围. 【详解】对于选项A，由可得. 又， 所以，则. 因为，所以，则. 因为，所以，故A错误； 对于选项B，C，由已知得，则. 在中，. 在中，. 又因为，所以， 即.则①. 在中，②. 联立①②，解得.故B正确，C错误； 对于选项D，设，则. 在中，. 在中，. 所以，则. 又因为，所以. 因为，所以. 因为，所以，则，所以. 又，所以，即的取值范围是，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，且，则实数的值为______. 【答案】 【解析】 【详解】由题意，得. ，，解得. 13. 若，则的最大值为______. 【答案】2 【解析】 【分析】根据两个式子的平方和是一个定值，利用重要不等式计算最值即可． 【详解】，，． ， 当且仅当，即时取等号，的最大值为2． 14. 若数列的前项之积满足，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】令可求得的值，推导出，当时，由变形得出，可知数列是等差数列，确定该数列的首项和公差，可求得的值，即可得解. 【详解】因为数列的前项之积满足， 当时，，解得； 若存在，使得，则必有，此时等式不成立， 故对任意的，，则，故对任意的，. 当时，则，整理可得， 所以，故数列是首项为，公差为的等差数列， 所以，故. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数的最小正周期为，且函数的图象经过点. （1）求函数的解析式； （2）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，方程在上有解，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由函数最小正周期及所过点可得函数解析式； （2）由函数图像平移变换知识可得表达式，由题可得范围与值域保持一致，据此可得答案. 【小问1详解】 函数的最小正周期为，，，解得. 又函数的图象过点，，解得. ，， . 【小问2详解】 将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象. 方程在上有解， 的范围与在上的值域保持一致. ，. 由余弦函数的性质，得当时，； 当，即时，， ，，即， 16. 已知数列的前项和为，，. （1）求数列的通项公式； （2）若，设数列的前项和为，证明：. 【答案】（1） （2） 证明：， . 【解析】 【分析】（1）由结合题设可得数列是以为首项，6为公差的等差数列，据此可得答案； （2）由（1）结合裂项求和法可完成证明. 【小问1详解】 由，得， ，即，， 数列是以为首项，6为公差的等差数列， . ， ，. 当时，，满足上式， 数列的通项公式为； 【小问2详解】 略 17. 在中，角，，的对边分别为，，，且. （1）证明：为等腰三角形或直角三角形； （2）若，分别是边，的中点，交于点，且，，求. 【答案】（1）证明：，由正弦定理，得， ，即. ，，，，或， 解得或. 为等腰三角形或直角三角形. （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理进行边角转化，结合倍角公式得到，解正弦方程，即可推导出三角形为等腰或直角三角形； （2）先结合边角关系排除等腰情形，确定三角形为直角三角形，再建立平面直角坐标系，借助向量的夹角公式，即可得到结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1），得或. 若，则，，不满足三角形三边关系，舍去. 若，即，则. 以点为坐标原点，，所在的直线分别为轴、轴， 建立如图所示的平面直角坐标系. 则，，，，， ，， . 18. 如图，在中，，是线段的中点，过点的直线分别交线段，于，两点，，. （1）若，，为的垂心，，求的值； （2）求的值； （3）若，，且，，求的值. 【答案】（1） （2）6 （3） 【解析】 【分析】（1）建立平面直角坐标系，利用垂心性质，由垂直向量数量积为0，求出垂心坐标，再对照向量分解唯一性解出，即可求得的值； （2）先用向量线性运算把用表示，换成的形式，依托三点共线的向量系数和为1，即可推出的值； （3）写出，结合，由得到的关系式，联立第（2）问的等式即可求出，从而求得的值. 【小问1详解】 ，为等腰三角形.设边的中点为，则. 如图，以点为坐标原点，，所在的直线分别为，轴，建立平面直角坐标系. 又，则，，，，. 为的垂心，，，点在直线上. 设，则，，解得， ，. 又，， 则，解得， ，即的值为. 【小问2详解】 ， . 是线段的中点，. ，，，，，，， ，，三点共线，，即. 【小问3详解】 ，，， 由（2），得. ，，且， ， 又，，即. 由（2），得，解得，，. 19. 已知函数（）. （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若，证明：； （3）若，关于的不等式有解，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）证明：当时，，. 设，则，在上单调递增，且， 当时，，单调递减；当时，，单调递增. ，即，当且仅当时取等号. ∴当时，. 设，，则. 在上单调递减，且， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， ，即，当且仅当时取等号. ∴当时，. . ，即得证. （3） 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义及点斜式直线方程求解切线方程即可. （2）构造函数，利用导数可证明；构造函数，利用导数可证明，利用两个不等式即可证明. （3）将不等式转化为，再构造函数，利用的单调性得，再构造函数，求出的最大值即可. 【小问1详解】 由函数，得. 当时，，则. ，， ∴曲线在点处的切线方程为，即. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由不等式，化简得， . 设，则. ，单调递增. ，即. 设，， 则，在上单调递减，且. 当时，，单调递增；当时，，单调递减. . 又有解， ，即，解得， ∴实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 甘肃部分学校2026-2027学年高三上学期10月阶段检测 数学试题A 考试时间为120分钟，满分150分 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知是定义在上奇函数，则实数的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 3. 已知数列为等比数列，且，，则（ ） A. 2 B. C. 4 D. 4. 已知平面向量，满足，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 在中，角，，的对边分别为，，，且，，成等差数列，.若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 定义新数列：在数列的所有项中，去掉数列中的项得到的数列.若，，则数列的前130项的和为（ ） A. 16882 B. 16998 C. 17446 D. 17654 8. 已知函数满足，且函数的图象关于轴对称，当时，，则、、的大小关系为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知全集为，集合，，则下列结论正确的是（ ） A. 若集合，则实数的取值范围为 B. 若，且，则实数的取值范围为 C. 若，则 D. 若，且“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围为 10. 已知函数在上单调递增，则下列结论正确的是（ ）. A. 函数的图象关于直线对称 B. C. 的最大值为 D. 的最小值为 11. 在中，角，，的对边分别为，，，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，是上的一点，且，，则 C. 若，是上的一点，且，，则 D. 若，是上的一点，且，则的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，且，则实数的值为______. 13. 若，则的最大值为______. 14. 若数列的前项之积满足，则__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数的最小正周期为，且函数的图象经过点. （1）求函数的解析式； （2）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，方程在上有解，求实数的取值范围. 16. 已知数列的前项和为，，. （1）求数列的通项公式； （2）若，设数列的前项和为，证明：. 17. 在中，角，，的对边分别为，，，且. （1）证明：为等腰三角形或直角三角形； （2）若，分别是边，的中点，交于点，且，，求. 18. 如图，在中，，是线段的中点，过点的直线分别交线段，于，两点，，. （1）若，，为的垂心，，求的值； （2）求的值； （3）若，，且，，求的值. 19. 已知函数（）. （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若，证明：； （3）若，关于的不等式有解，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $