江苏省南京市江北新区2026～2027学年九年级上学期期中模拟数学试卷

2026～2027学年第一学期期中模拟试卷（二） 参考答案与解析 （满分120分，考试时间120分钟） 答案速查　1．A　2．D　3．A　4．D　5．D　6．B 7．，　8．　9．　10．　11．　12．　13．　14．　15．　16．  或    或   一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1．下列方程中，是一元二次方程的是（　　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】A 【解析】  项符合一元二次方程的定义；  项的分母中含未知数，不是整式方程；  项化简后为  ，未知数的最高次数是  ；  项含有两个未知数．故选A． 2．一元二次方程    可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是  ，则另一个一元一次方程是（　　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】D 【解析】由    直接开平方，得    或  ，所以另一个一元一次方程是  ．故选D． 3．在平面直角坐标系中，  是坐标原点，  的半径为  ，若点    的坐标为  ，则点    与    的位置关系是（　　　） A．点    在圆内　　B．点    在圆上　　C．点    在圆外　　D．不能确定 【答案】A 【解析】由勾股定理得  ，所以点    在    内．故选A． 4．已知反比例函数  ，下列说法错误的是（　　　） A．函数图象关于原点成中心对称 B．函数图象在第二、四象限 C．函数图象不可能与坐标轴相交 D．  随    的增大而增大 【答案】D 【解析】，图象位于第二、四象限，且双曲线的两支关于原点成中心对称，图象与坐标轴没有交点，故A、B、C的说法都正确；  中应说“在每一象限内，  随    的增大而增大”，缺少“在每一象限内”这一条件，说法错误．故选D． 5．已知点  ，  都在反比例函数    的图象上，则下列结论一定正确的是（　　　） A． B． C．当    时， D．当    时， 【答案】D 【解析】，图象位于第二、四象限，在每一象限内    随    的增大而增大，且第二象限内的函数值大于第四象限内的函数值． 　　　　当    时，，两点同在第二象限，所以  ，D正确；、  没有限定    的范围，不一定成立；当    时，，两点分属两支，，C错误．故选D． 6．如图，  的半径为  ，  是    的内接等边三角形，点  ，  在圆上，四边形    为矩形，则这个矩形的面积是（　　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】B 【解析】连接  ，．因为四边形    为矩形，所以  ，所以    为    的直径，． 　　　　因为    为    的内接等边三角形，所以  ，所以  ．在Rt  中，，所以矩形的面积为  ．故选B． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 7．方程    的解为                      ． 【答案】， 【解析】由    得  ，即  ，解得  ，． 8．若关于    的一元二次方程    有实数根，则    的取值范围是                      ． 【答案】 【解析】由题意得  ，即  ，解得  ． 9．已知  ，  是关于    的一元二次方程    的两个根，则    的值为                      ． 【答案】 【解析】由根与系数的关系得  ，，所以  ． 10．中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何．”其大意是：一块矩形田地的面积为    平方步，只知道它的长与宽共    步．设这块矩形田地的宽为    步，则可列方程为                      ． 【答案】 【解析】设宽为    步，则长为    步，由长乘宽等于面积得  ． 11．如图，点  ，，  在    上，分别连接  ，，．若  ，，则    的度数是                      ． 【答案】 【解析】连接  ．因为  ，所以  ． 　　　　因为  ，所以  ，所以  ，所以  ． 　　　　在    中，，所以  ． 12．如图，圆形拱门的最下端    在地面上，  为    的中点，  为拱门的最高点，线段    经过拱门所在圆的圆心．若    米，  米，则拱门所在圆的半径为                      米． 【答案】 【解析】连接  ．因为    为    的中点，  经过圆心，所以  ，  米． 　　　　设拱门所在圆的半径为    米，则  ，  米．在Rt  中，，即  ，解得  ，所以拱门所在圆的半径为    米． 13．如图，四边形    是    的内接四边形，  是    的直径，点    在    上．若  ，则    的度数是                      ． 【答案】 【解析】连接  ．因为    是    的直径，所以  ． 　　　　因为    与    都是    所对的圆周角，所以  ，所以  ． 　　　　因为四边形    是    的内接四边形，所以  ． 14．如图，用一把直尺、一块含    角的直角三角板和一个光盘摆放在一起．  为含    角的直角三角板与直尺的交点，  为光盘与直尺唯一的交点，光盘与三角板斜边相切于点  ．若  ，则光盘的直径是                      ． 【答案】 【解析】设光盘所在圆的圆心为  ，连接  ，，．由切线长定理得  ，  平分  ． 　　　　由题意知  ，所以  ，．在Rt  中，，由勾股定理得  ，所以光盘的直径为  ． 15．若扇形的面积是它所在圆的面积的  ，则这个扇形的圆心角的大小是                      ． 【答案】 【解析】设扇形的圆心角为  ，半径为  ，则扇形的面积为  ，圆的面积为  ，所以  ，解得  ． 16．如图，在平面直角坐标系    中，点  ，，  的坐标分别为  ，，．若点    在第一象限内，且横坐标、纵坐标均为整数，  是    的外心，则点    的坐标为                      ． 【答案】  或    或   【解析】因为  ，，所以  ．因为    是    的外心，所以  ． 　　　　设  ，则  ．当    时  ，当    时  ．又点    在第一象限内，且横、纵坐标均为整数，并排除点  ，可得点    的坐标为    或    或  ． 三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（12分）用配方法解下列方程： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1），； 　　　　（2），； 　　　　（3），． 【解析】（1）配方得  ，开平方得  ，所以  ，． 　　　　（2）配方得  ，开平方得  ，所以  ，． 　　　　（3）配方得  ，开平方得  ，所以  ，． 18．（6分）如图，点  ，，，  都在    上，，垂足为  ，． （1）求    的度数； （2）求证：四边形    是菱形． 【答案】（1）； 　　　　（2）见解析． 【解析】（1）因为  ，由垂径定理得  ，所以  ．因为  ，由圆周角定理得  ，所以  ． 　　　　（2）因为  ，所以  ．因为  ，，所以    是等边三角形，所以  ．又  ，所以  ，所以四边形    是菱形． 19．（7分）如图，某校有一块长    米、宽    米的矩形种植园．为了方便耕作管理，在种植园的四周和内部沿两个方向修建宽度相同的小路（图中阴影部分），小路把种植园分成面积均为    平方米的    个矩形地块．请你求出小路的宽度． 【答案】小路的宽度为    米． 【解析】设小路的宽度为    米．利用平移，把小路平移到种植园的边上，则    个矩形地块可拼成一个长为    米、宽为    米的矩形． 　　　　根据题意得  ，整理得  ，解得  ，．因为  ，所以    不合题意，舍去．所以小路的宽度为    米． 20．（7分）已知关于    的一元二次方程  ，其中  ，  满足  ．请判断这个方程根的情况，并说明理由． 【答案】方程有两个不相等的实数根． 【解析】因为  ，所以  ，所以原方程有两个不相等的实数根． 21．（7分）如图，  是函数  （）的图象上一点，直线    分别交    轴、  轴于点  ，，过点    作    轴于点  ，交    于点  ，作    轴于点  ，交    于点  ．已知  ，求    的值． 【答案】． 【解析】因为直线    交    轴于点  ，交    轴于点  ，所以  ，． 　　　　设  ，则  ；令  ，得  ，所以  ． 　　　　所以  ，，所以  ． 　　　　由    得  ，解得  ，即  ．因为  ，所以  ． 22．（7分）某文创公司设计了一款纪念章，成本价为每个    元，以每个不低于成本价且不超过    元的价格销售．售价  （元/个）与每天销售量  （个）的对应值如下表所示： 售价  （元/个） … … 销售量  （个） … … （1）求    与    之间的函数表达式，并写出自变量的取值范围； （2）当售价定为多少元/个时，每天的利润可达到    元？ 【答案】（1）（）； 　　　　（2）售价定为    元/个． 【解析】（1）由表可知    是    的一次函数．设  ，把  ，  代入，得  ，，解得  ，，所以  （）． 　　　　（2）根据题意得  ，整理得  ，解得  ，．因为  ，所以  ．所以当售价定为    元/个时，每天的利润可达到    元． 23．（8分）如图，在平面直角坐标系中，  经过原点  ，与    轴、  轴分别交于点  ，，点    的坐标为  ，点    在    上，且  ．图中阴影部分是以    为直径的半圆与    的两边  ，  之间的部分． （1）求    的半径； （2）求图中阴影部分的面积； （3）求图中阴影部分的周长． 【答案】（1）； 　　　　（2）； 　　　　（3）． 【解析】（1）连接  ．因为  ，所以    为    的直径．因为    与    都是    所对的圆周角，所以  ，所以  ． 　　　　因为  ，所以  ．在Rt  中，，即  ，解得  ，所以    的半径为  ，且  ． 　　　　（2）因为  ，所以    所对的圆心角  ，  所对的圆心角  ． 　　　　． 　　　　（3）阴影部分的周长    的长    的长  ． 24．（7分）如图，两同心圆的大圆半径长为    厘米，小圆半径长为    厘米，大圆的弦    与小圆相切，切点为  ．求弦    的长． 【答案】  厘米． 【解析】连接  ，．因为    与小圆相切于点  ，所以  ，所以  ． 　　　　在Rt  中，  厘米，  厘米，所以    厘米，所以    厘米． 25．（7分）如图，在    中，，，． （1）实践与操作：用直尺和圆规作  ，使圆心    在    边上，且    与边  ，  都相切（保留作图痕迹，不写作法）； （2）推理与计算：求    的半径． 【答案】（1）见解析； 　　　　（2）  的半径为  ． 【解析】（1）因为    与    相切，且圆心    在    上，所以切点为  ，．作    的平分线交    于点  ，以    为圆心、  为半径作圆，则    与    相切于点  ，与    也相切，  即为所求（如图）． 　　　　（2）过点    作  ，垂足为  ．因为    平分  ，，所以  ，即点    在    上，所以    与    相切于点  ． 　　　　在Rt  中，．设    的半径为  ，则  ，，．在Rt  中，，即  ，解得  ，所以    的半径为  ． 26．（10分）分类讨论既是一种重要的策略思想，又是一种重要的数学方法．例如，对于像    这样含有绝对值符号的方程，可采用如下的分类讨论方法： 当    时，原方程可化为  ，解得  ，．因为  ，所以  ； 当    时，原方程可化为  ，解得  ，．因为  ，所以  ． 综上所述，原方程的解为  ，． 请仿照上面的解法，解方程：． 【答案】，． 【解析】当  ，即    时，原方程可化为  ，即  ，解得  ，．因为  ，所以  ． 　　　　当  ，即    时，原方程可化为  ，即  ，解得  ，．因为  ，所以  ． 　　　　综上所述，原方程的解为  ，． 27．（10分）如图，  是▱  的对称中心，  与    相切于点  ． （1）求证：直线    是    的切线．（小明说：可以过点    作    的垂线；小丽说：也可以连接    并延长．请选择其中一位同学的想法，完成证明） （2）当    与    相切时，▱  是菱形吗？请说明理由． 【答案】（1）见解析； 　　　　（2）▱  是菱形． 【解析】（1）方法一（小明的想法）：如图，过点    作  ，垂足为  ，连接  ，，．因为    是▱  的对称中心，所以  ，，  三点共线，且  ，，所以  ． 　　　　因为    与    相切于点  ，所以  ，即  ，所以  ．又  ，所以  （AAS），所以  ，即点    到    的距离等于    的半径，所以直线    是    的切线． 　　　　方法二（小丽的想法）：如图，连接    并延长交    于点  ，连接  ，．同方法一得  ，，  三点共线，，，所以  ．因为    与    相切于点  ，所以  ；因为  ，所以  ，即  ，所以  （AAS），所以  ，所以直线    是    的切线． 　　　　（2）是菱形．理由如下：设点    到  ，  的距离分别为  ，．因为  ，，  都与    相切，所以  （  为    的半径）．因为  ，所以  ，所以  ，所以▱  是菱形． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026～2027学年第一学期南京江北新区期中模拟试卷 九年级数学 （满分120分，考试时间120分钟） 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1．下列方程中，是一元二次方程的是（　　　） A．　　B．　　C．　　D． 2．一元二次方程    可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是  ，则另一个一元一次方程是（　　　） A．　　B．　　C．　　D． 3．在平面直角坐标系中，  是坐标原点，  的半径为  ，若点    的坐标为  ，则点    与    的位置关系是（　　　） A．点    在圆内　　B．点    在圆上　　C．点    在圆外　　D．不能确定 4．已知反比例函数  ，下列说法错误的是（　　　） A．函数图象关于原点成中心对称 B．函数图象在第二、四象限 C．函数图象不可能与坐标轴相交 D．  随    的增大而增大 5．已知点  ，  都在反比例函数    的图象上，则下列结论一定正确的是（　　　） A． B． C．当    时， D．当    时， 6．如图，  的半径为  ，  是    的内接等边三角形，点  ，  在圆上，四边形    为矩形，则这个矩形的面积是（　　　） A．　　B．　　C．　　D． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 7．方程    的解为                      ． 8．若关于    的一元二次方程    有实数根，则    的取值范围是                      ． 9．已知  ，  是关于    的一元二次方程    的两个根，则    的值为                      ． 10．中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何．”其大意是：一块矩形田地的面积为    平方步，只知道它的长与宽共    步．设这块矩形田地的宽为    步，则可列方程为                      ． 11．如图，点  ，，  在    上，分别连接  ，，．若  ，，则    的度数是                      ． 12．如图，圆形拱门的最下端    在地面上，  为    的中点，  为拱门的最高点，线段    经过拱门所在圆的圆心．若    米，  米，则拱门所在圆的半径为                      米． 13．如图，四边形    是    的内接四边形，  是    的直径，点    在    上．若  ，则    的度数是                      ． 14．如图，用一把直尺、一块含    角的直角三角板和一个光盘摆放在一起．  为含    角的直角三角板与直尺的交点，  为光盘与直尺唯一的交点，光盘与三角板斜边相切于点  ．若  ，则光盘的直径是                      ． 15．若扇形的面积是它所在圆的面积的  ，则这个扇形的圆心角的大小是                      ． 16．如图，在平面直角坐标系    中，点  ，，  的坐标分别为  ，，．若点    在第一象限内，且横坐标、纵坐标均为整数，  是    的外心，则点    的坐标为                      ． 三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（12分）用配方法解下列方程： （1）； （2）； （3）． 18．（6分）如图，点  ，，，  都在    上，，垂足为  ，． （1）求    的度数； （2）求证：四边形    是菱形． 19．（7分）如图，某校有一块长    米、宽    米的矩形种植园．为了方便耕作管理，在种植园的四周和内部沿两个方向修建宽度相同的小路（图中阴影部分），小路把种植园分成面积均为    平方米的    个矩形地块．请你求出小路的宽度． 20．（7分）已知关于    的一元二次方程  ，其中  ，  满足  ．请判断这个方程根的情况，并说明理由． 21．（7分）如图，  是函数  （）的图象上一点，直线    分别交    轴、  轴于点  ，，过点    作    轴于点  ，交    于点  ，作    轴于点  ，交    于点  ．已知  ，求    的值． 22．（7分）某文创公司设计了一款纪念章，成本价为每个    元，以每个不低于成本价且不超过    元的价格销售．售价  （元/个）与每天销售量  （个）的对应值如下表所示： 售价  （元/个） … … 销售量  （个） … … （1）求    与    之间的函数表达式，并写出自变量的取值范围； （2）当售价定为多少元/个时，每天的利润可达到    元？ 23．（8分）如图，在平面直角坐标系中，  经过原点  ，与    轴、  轴分别交于点  ，，点    的坐标为  ，点    在    上，且  ．图中阴影部分是以    为直径的半圆与    的两边  ，  之间的部分． （1）求    的半径； （2）求图中阴影部分的面积； （3）求图中阴影部分的周长． 24．（7分）如图，两同心圆的大圆半径长为    厘米，小圆半径长为    厘米，大圆的弦    与小圆相切，切点为  ．求弦    的长． 25．（7分）如图，在    中，，，． （1）实践与操作：用直尺和圆规作  ，使圆心    在    边上，且    与边  ，  都相切（保留作图痕迹，不写作法）； （2）推理与计算：求    的半径． 26．（10分）分类讨论既是一种重要的策略思想，又是一种重要的数学方法．例如，对于像    这样含有绝对值符号的方程，可采用如下的分类讨论方法： 当    时，原方程可化为  ，解得  ，．因为  ，所以  ； 当    时，原方程可化为  ，解得  ，．因为  ，所以  ． 综上所述，原方程的解为  ，． 请仿照上面的解法，解方程：． 27．（10分）如图，  是▱  的对称中心，  与    相切于点  ． （1）求证：直线    是    的切线．（小明说：可以过点    作    的垂线；小丽说：也可以连接    并延长．请选择其中一位同学的想法，完成证明） （2）当    与    相切时，▱  是菱形吗？请说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $