培优06 圆锥曲线非对称韦达与综合压轴问题（压轴题专项训练）高二数学人教A版选择性必修第一册

专题06 非对称韦达与综合压轴 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、非对称韦达：定比条件的消元 题型二、定比点差法：从定点引出的弦 题型三、斜率之和为定值的整体处理 题型四、过定点弦与定点、定直线 题型五、含参分类与多问递进 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 韦达定理给出的永远是 与 这样的对称式，而压轴题的条件常常“偏心”：、、．这类题的分水岭不在联立，而在于如何把非对称条件化为对称量．只会机械联立，就会在两根之差的符号、定比的方向上反复出错． 本专题沿着两条主线展开：一是平方消元，把 与韦达定理联立，平方后消去 ，得到只含参数的方程；二是定比点差，把定比分点写成坐标的线性组合，两式相减直接读出斜率．同时要养成先判位置、再定符号的习惯：定点在弦上还是弦外，决定 的正负；范围题不仅要解出参数，还要回代 并说明端点能否取到． 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、非对称韦达：定比条件的消元 典例1 已知抛物线 ，过点 的直线 与 交于 两点，若 ，求 的方程与 ． 【答案】； 【分析】条件只涉及一个交点，不能直接套和积；设 后，由 判断两点在 同侧，从而 ，再平方消元． 【详解】解：设 ，，．代入 得 ， 所以 ，，可见 在 的同侧，故由 得 ． 于是 ，即 ，． 此时 ，， ， 直线的斜率 ，即 ． 题型模版 1.特征：条件中出现 、、 等只“偏爱”一个交点的关系，而韦达定理给的是对称式． 2.方法：联立后写出 、，把定比条件平方：由 得 ，从而消去 ，得到只含参数的方程；焦点弦也可用 （抛物线）或 （椭圆）整体处理． 3.提醒：定比有“同向”与“反向”之分： 中 表示 在线段 上， 表示 在延长线上．平方后必须回代检验 ，并核对点的位置是否与题设一致． 变式1-1 已知椭圆 的左焦点为 ，过 的直线 与 交于 两点，若 ，求 的斜率与 ． 【答案】； 【详解】解：，，，离心率 ，故 ． 设 ，，．联立得 ， 可算得 ，代入 得 ， 所以 ，． 由 得 ；由 得 ． 于是 ，所以 ， ． 变式1-2 已知抛物线 的焦点为 ，斜率为 的直线 与 交于 两点，与 轴的交点为 ． (1)若 ，求 的方程； (2)若 ，求 ． 【答案】(1)；(2) 【详解】解：(1)由题意 ，设 ，，． 由抛物线定义，，所以 ． 联立 与 得 ，故 ， 解得 ，即 ． (2)令 得 ．由 得 ． 与 联立，解得 ，． 代入 得 ，化简得 ， 解得 （此时 ）． 于是 ，，． 变式1-3 已知双曲线 ，过点 的直线 与 的右支交于 两点，若 ，求 的方程与 ． 【答案】； 【详解】解：点 满足 ，在双曲线两支之间的区域内，故 在线段 上， 由 得 ，即 ． 所以 ，．由 ， 消去 得 ． 代入 得 ，解得 ，． 于是 ，，， ， 故 ，． 题型二、定比点差法：从定点引出的弦 典例2 已知抛物线 ，过点 的直线 与 交于 两点，若 ，求 的方程与 ． 【答案】； 【分析】点 在抛物线开口内部，故 在线段 上， 与 反向．把定比分点写成 ，与抛物线方程联立作差，可绕开韦达定理． 【详解】解：点 满足 ，在抛物线开口内部，故 在线段 上， 由 得 ，即 ． 所以 ，． 又 ，，由 得 ． 代入 得 ，，于是 ，． ， 故 ，． 题型模版 1.特征：直线过定点 ， 共线且 ；或已知弦 的中点 （此时 ）． 2.方法：把 写成定比分点：，得到 、；再与曲线方程联立消元．若只求中点弦斜率，直接把两交点坐标代入曲线方程作差，得 （椭圆）等结论． 3.提醒：作差后得到的是必要条件，必须检验 或“点在曲线内部”；定比的符号由 在弦上还是弦外决定，写错符号会得到完全不同的斜率． 变式2-1 已知斜率为 的直线 与椭圆 交于 两点，线段 的中点为 ． (1)证明：； (2)设 为 的右焦点， 为 上一点，且 ，证明 成等差数列，并求该数列的公差． 【答案】(1)证明见解析；(2)公差为 【详解】证明：(1)设 ，，则 ，． 两式相减得 ， 所以 ． 因 在椭圆内部，，所以 ，故 ． 解：(2)由 及 得 ． 因 在椭圆上，，所以 ，此时 ， 直线 过 ，即 ． 于是 ，， ， 又 ，所以 ，即三边成等差数列． 联立 与椭圆得 ，， 故公差为 ． 变式2-2 已知双曲线 ，以点 为中点的弦 所在直线的方程为           ，           ． 【答案】； 【详解】解：设 ，，则 ，． 两式相减得 ， 所以 ，直线为 ． 代入双曲线方程得 ，， 所以 ． 变式2-3 已知抛物线 ，过点 的直线 与 交于 两点，若 ，求 的方程与 ． 【答案】； 【详解】解：点 满足 ，在抛物线开口内部，故 在线段 上， 由 得 ，即 ． 所以 ，．由 ， 得 ， 代入 得 ，，于是 ，， ， 故 ，． 题型三、斜率之和为定值的整体处理 典例3 已知抛物线 ，点 在 上，直线 交 于 两点（ 与 不重合），且直线 的斜率之和为 ． (1)求 的斜率； (2)若 ，求 的方程． 【答案】(1)；(2) 【分析】斜率之和为 是非对称条件的典型：通分后分子关于 仍不对称，但可整体用韦达定理代入，最后因式分解出“直线过 ”的增根并舍去． 【详解】解：(1)设 ，，，代入 得 ， 则 ，． 由 得 ，由 通分，分子为 ， 代入韦达定理化简得 ．因 过 时 ，题设 与 不重合， 所以 ，即 的斜率为 ． (2)此时 ，与 联立得 ， 所以 ， 解得 （此时 ），故 ． 题型模版 1.特征：条件形如 、 或 ，其中 为定点， 在曲线上． 2.方法：设 （ 在 轴上时更简）或 ，把 通分，分子必为 与 的一次组合，再用韦达定理整体代入；若条件为斜率之积，直接写成 ． 3.提醒：通分后分母为 对应 或 垂直于 轴，需要单独排除；因式分解后“直线过定点”的根是增根，必须说明舍去理由． 变式3-1 设椭圆 的右焦点为 ，过 的直线 与 交于 两点，点 的坐标为 ． (1)当 与 轴垂直时，求直线 的方程； (2)设 为坐标原点，证明：． 【答案】(1)；(2)证明见解析 【详解】解：(1)当 轴时，，代入得 或 ， 所以直线 的方程为 ． (2)证明：当 与 轴垂直时，由对称性知 ． 当 的斜率存在时，设 ，联立 得 ， 则 ，． 因 在 轴上， 等价于 ，而 ， 分子 ，所以 ． 变式3-2 已知椭圆 ， 为椭圆上一点，直线 不经过 且与 交于 两点，若直线 与 的斜率之和为 ，证明： 过定点． 【答案】定点 【详解】证明：设 ，，， 联立 得 ， 则 ，． 由 得 ， 代入韦达定理化简得 ，即 ，所以 ． 于是 ，恒过定点 ． 注：当 轴时， 也过点 ，且斜率之和为 ，结论仍成立； 当 时 ，直线过 ，不合题意，故 ． 题型四、过定点弦与定点、定直线 典例4 已知 分别为椭圆 的左、右顶点， 为 的上顶点，， 为直线 上的动点， 与 的另一交点为 ， 与 的另一交点为 ． (1)求 的方程； (2)证明：直线 过定点． 【答案】(1)；(2)定点 【分析】“第三点转移”是定点问题的常见结构：先由定点 与顶点连线求出 的坐标，再让 与 轴相交，用三点共线算截距． 【详解】解：(1)，，，则 ，， 由 得 ，故 ． 证明：(2)设 ，则 ，． 把 代入 得 ，其一根为 ，故 ； 同理把 代入 得 ，其一根为 ，故 ． 设直线 交 轴于 ，由 三点共线得 ， 代入 的坐标化简得 ，与 无关． 故直线 恒过定点 ． 题型模版 1.特征：动直线过已知点（或参数点），与曲线交于两点，再由“第三点”（顶点、定点、切点）连线产生新的交点，证明新直线过定点或新点在定直线上． 2.方法：设过定点的直线为 ，先求两交点（或韦达），再用“点在直线上”写出第三点坐标；证明定点时可先取两条特殊直线猜出定点，再用一般情形验证． 3.提醒：算第三点坐标时优先用曲线方程降次（如 把 换成 ），避免高次；最后要说明特殊直线（斜率不存在）也满足结论． 变式4-1 已知椭圆 ， 在 上，过点 的直线交 于 两点，直线 与 轴的交点分别为 ． (1)求 的离心率； (2)证明：线段 的中点为定点． 【答案】(1)；(2)定点 【详解】解：(1)，，，所以 ． 证明：(2)显然直线不垂直于 轴（否则只交于 一点），设其方程为 ， 代入 得 ， 则 ，． 直线 的方程为 ，由 得 ， 同理 ，所以 ． 故线段 的中点的纵坐标为 ，横坐标为 ，即中点为定点 ． 变式4-2 已知椭圆 ， 为椭圆上一点， 为 上异于 的两点，且 ，， 为垂足． (1)证明：存在定点 ，使 为定值； (2)求该定值． 【答案】(1)存在定点 ；(2) 【详解】证明：(1)设 ，代入 得 ， 则 ，． 由 得 ， 代入韦达定理化简得 ． 因 不过 ，即 ，所以 ． 设 ，由 得 ， 把 代入并化简得 ． 所以 在以 为圆心、 为半径的圆上， 即存在定点 ，使 为定值． 题型五、含参分类与多问递进 典例5 已知椭圆 的焦点在 轴上， 是 的左顶点，斜率为 的直线交 于 两点，点 在 上，． (1)当 ， 时，求 △ 的面积； (2)当 时，求 的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【分析】参数藏在椭圆里，“焦点在 轴上”给出 ；第(2)问先用弦长公式把 表示为 的函数，再由 解不等式，是典型的含参分类． 【详解】解：由焦点在 轴上得 ，，，． 过 且斜率为 的弦长 ， 同理 （因 的斜率为 ，）． (1)当 时，，． 由 得 ，即 ，故 ． 此时 ，代入椭圆得 ，解得 （另一根为 的横坐标 ）， 所以 ，，，， 故 ． (2)由 得 ，即 ， 解得 ． 由 得 ． 若 ，则 要求 ，此时不等式化为 ， 即 ，与 矛盾； 若 ，不等式化为 ，即 ，得 ． 所以 的取值范围是 ． 题型模版 1.特征：题目含参数（曲线参数 、直线斜率 ），或第二问需按位置关系、根的符号分类，答案常为范围或两解． 2.方法：先把“焦点在 轴上”等条件翻译成参数不等式；联立后写出 、根的和积，再把几何条件（垂直、倍分）代入；范围题最后用函数单调性或不等式求值域． 3.提醒：范围端点要单独验证能否取到；出现“两解”时须说明取舍理由（如点在第二象限、）． 变式5-1 已知双曲线 ， 为其右焦点，过 的直线 与 的右支交于 两点． (1)求 的斜率 的取值范围； (2)若 ，求 的方程． 【答案】(1)；(2) 【详解】解：(1)，设 ，代入 得 ． 要使 与右支交于两点，需 ，且两根均大于 ． 此时 ，， 而 ，对称轴 ，故两根均大于 ． 所以 ，即 ． (2)由 及 得 ， 由 得 ．因 ，所以 ， 解得 ，即 ，故 ． 变式5-2 已知 是椭圆 的两个焦点，点 在 上， 为坐标原点． (1)若 △ 为等边三角形，求 的离心率； (2)如果存在点 ，使得 ，且 △ 的面积等于 ，求 的值和 的取值范围． 【答案】(1)；(2)， 【详解】解：(1)若 △ 为等边三角形，则 ， 此时 ，， 所以 ，． (2)由 得 ， 又 ，所以 ． 于是 ，即 ，所以 ，． 要使这样的点 存在，关于 的方程 需有实根， 所以 ，即 ． 故 ， 的取值范围是 ． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．已知椭圆 的焦点为 ，，过 的直线与 交于 两点．若 ，，则 的方程为 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设 ，用椭圆定义把 用 表示，再由 求出 与 的关系，最后让点 的坐标满足椭圆方程． 【详解】解：设 ，则 ，．由椭圆定义 ， 由 得 ，即 ，从而 ，． 于是 在 的中垂线上，．因 在线段 上， 是 延长线上的点， 且 ，故 ． 代入椭圆方程得 ，所以 ，， 即 ．故选 A． 2．已知双曲线 ， 为坐标原点， 为 的右焦点，过 的直线与 的两条渐近线的交点分别为 ．若 △ 为直角三角形，则  （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】两渐近线的夹角为 ，故直角顶点只能是 或 ；由 确定直线斜率，再求两交点坐标． 【详解】解：渐近线为 ，两渐近线的夹角为 ，故直角顶点只能是 或 ． 不妨设 在 上且 ，则 ， 直线 ，与 联立得 ， 与 联立得 ， 所以 ．故选 A． 3．设 是双曲线 的左、右焦点， 为坐标原点，过 作 的一条渐近线的垂线，垂足为 ．若 ，则 的离心率为 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】焦点到渐近线的距离为 ，垂足满足 ；再用 的坐标表达 ，把条件化为 的方程． 【详解】解：不妨取渐近线 ，则 ，，． 所以 ． 由 得 ，故 ．故选 A． 4．已知椭圆 的右焦点为 ，过 的直线与 交于 两点，若 ，则  （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】椭圆焦点弦满足 ，代入倍分条件即可整体求出两段焦半径． 【详解】解：，，对焦点弦有 ． 设 ，则 ，所以 ，解得 ． 故 ．故选 A． 5．已知 是双曲线 的左、右焦点，点 在 的右支上，若 ，且 ，则 的离心率为 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先用双曲线定义求出 ，再在直角三角形 中用勾股定理建立 的关系． 【详解】解：由双曲线定义 ，所以 ，． 由 得 ， 即 ，所以 ，．故选 A． 6．已知抛物线 的焦点为 ，过 的直线与 交于 两点，若 ，则           ． 【答案】 【分析】抛物线焦点弦满足 ，代入倍分条件求两段焦半径． 【详解】解：，对焦点弦有 ． 设 ，则 ，所以 ，解得 ． 故 ．故答案为：． 7．已知 是双曲线 的左、右焦点，点 在 的右支上，若 ，且 ，则 的离心率为           ． 【答案】 【分析】在直角三角形 中，用斜边 和角 表示两直角边，再由双曲线定义求离心率． 【详解】解：在直角三角形 中，，， 所以 ，． 由双曲线定义 ，得 ， 故 ．故答案为：． 8．已知点 ，椭圆 的离心率为 ， 是椭圆的右焦点，直线 的斜率为 ， 为坐标原点． (1)求 的方程； (2)设过点 的动直线 与 相交于 两点，当 △ 的面积最大时，求 的方程． 【答案】(1)；(2) 【分析】第(2)问把面积写成关于斜率 的单变量函数：以 为底时，底与高中的 恰好约去，面积化简为 ． 【详解】解：(1)设 ，由 得 ． 又 ，所以 ，，故 ． (2)显然 不垂直于 轴（否则面积为 ），设 ， 代入椭圆得 ，由 得 ． 设 ，，则 ， 点 到 的距离 ，所以 ． 令 ，则 ，当且仅当 时取等号， 此时 ，即 ， 故 ． 9．已知椭圆 的离心率为 ， 分别为 的左、右顶点． (1)求 的方程； (2)若点 在 上，点 在直线 上，且 ，，求 △ 的面积． 【答案】(1)；(2) 【分析】“等长且垂直”意味着 是 旋转 得到的向量，用旋转而不是硬算距离，可迅速定出 的坐标． 【详解】解：(1)由 得 ， 故 ，即 ． (2)由题意 ，．设 ，，则 ，． 由 且 知 是 旋转 所得， 即 或 ． 若 ，则 ，；代入 得 ， 此时 或 ；若 ，则 ，同理 或 ． 以 ， 为例，，， ； 其余三种情形代入同样得 ． 故 △ 的面积为 ． 10．设圆 的圆心为 ，直线 过点 且与 轴不重合， 交圆 于 两点，过 作 的平行线交 于点 ． (1)证明 为定值，并写出点 的轨迹方程； (2)设点 的轨迹为曲线 ，直线 交 于 两点，过 且与 垂直的直线与圆 交于 两点，求四边形 面积的取值范围． 【答案】(1)，轨迹为 ；(2) 【分析】第(1)问用平行线与等腰三角形转化 ；第(2)问注意四边形 的两条对角线 与 垂直，面积等于对角线乘积的一半． 【详解】解：(1)圆 ，，半径 ． 因 ，所以 ；又 ，所以 ， 故 ，，从而 ． 所以点 的轨迹是以 为焦点的椭圆（去掉与 轴的交点），，，， 即 ． (2)设 ，与 联立得 ， 则 ． 过 且垂直于 的直线为 ，圆心 到它的距离 ， 所以 ． 四边形 的对角线 ，故 ． 令 ，则 ，在 上单调递减， 所以 ；当 轴（即 ）时，，，． 故四边形 面积的取值范围为 ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 非对称韦达与综合压轴 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、非对称韦达：定比条件的消元 题型二、定比点差法：从定点引出的弦 题型三、斜率之和为定值的整体处理 题型四、过定点弦与定点、定直线 题型五、含参分类与多问递进 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 韦达定理给出的永远是 与 这样的对称式，而压轴题的条件常常“偏心”：、、．这类题的分水岭不在联立，而在于如何把非对称条件化为对称量．只会机械联立，就会在两根之差的符号、定比的方向上反复出错． 本专题沿着两条主线展开：一是平方消元，把 与韦达定理联立，平方后消去 ，得到只含参数的方程；二是定比点差，把定比分点写成坐标的线性组合，两式相减直接读出斜率．同时要养成先判位置、再定符号的习惯：定点在弦上还是弦外，决定 的正负；范围题不仅要解出参数，还要回代 并说明端点能否取到． 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、非对称韦达：定比条件的消元 典例1 已知抛物线 ，过点 的直线 与 交于 两点，若 ，求 的方程与 ． 题型模版 1.特征：条件中出现 、、 等只“偏爱”一个交点的关系，而韦达定理给的是对称式． 2.方法：联立后写出 、，把定比条件平方：由 得 ，从而消去 ，得到只含参数的方程；焦点弦也可用 （抛物线）或 （椭圆）整体处理． 3.提醒：定比有“同向”与“反向”之分： 中 表示 在线段 上， 表示 在延长线上．平方后必须回代检验 ，并核对点的位置是否与题设一致． 变式1-1 已知椭圆 的左焦点为 ，过 的直线 与 交于 两点，若 ，求 的斜率与 ． 变式1-2 已知抛物线 的焦点为 ，斜率为 的直线 与 交于 两点，与 轴的交点为 ． (1)若 ，求 的方程； (2)若 ，求 ． 变式1-3 已知双曲线 ，过点 的直线 与 的右支交于 两点，若 ，求 的方程与 ． 题型二、定比点差法：从定点引出的弦 典例2 已知抛物线 ，过点 的直线 与 交于 两点，若 ，求 的方程与 ． 题型模版 1.特征：直线过定点 ， 共线且 ；或已知弦 的中点 （此时 ）． 2.方法：把 写成定比分点：，得到 、；再与曲线方程联立消元．若只求中点弦斜率，直接把两交点坐标代入曲线方程作差，得 （椭圆）等结论． 3.提醒：作差后得到的是必要条件，必须检验 或“点在曲线内部”；定比的符号由 在弦上还是弦外决定，写错符号会得到完全不同的斜率． 变式2-1 已知斜率为 的直线 与椭圆 交于 两点，线段 的中点为 ． (1)证明：； (2)设 为 的右焦点， 为 上一点，且 ，证明 成等差数列，并求该数列的公差． 变式2-2 已知双曲线 ，以点 为中点的弦 所在直线的方程为           ，           ． 变式2-3 已知抛物线 ，过点 的直线 与 交于 两点，若 ，求 的方程与 ． 题型三、斜率之和为定值的整体处理 典例3 已知抛物线 ，点 在 上，直线 交 于 两点（ 与 不重合），且直线 的斜率之和为 ． (1)求 的斜率； (2)若 ，求 的方程． 题型模版 1.特征：条件形如 、 或 ，其中 为定点， 在曲线上． 2.方法：设 （ 在 轴上时更简）或 ，把 通分，分子必为 与 的一次组合，再用韦达定理整体代入；若条件为斜率之积，直接写成 ． 3.提醒：通分后分母为 对应 或 垂直于 轴，需要单独排除；因式分解后“直线过定点”的根是增根，必须说明舍去理由． 变式3-1 设椭圆 的右焦点为 ，过 的直线 与 交于 两点，点 的坐标为 ． (1)当 与 轴垂直时，求直线 的方程； (2)设 为坐标原点，证明：． 变式3-2 已知椭圆 ， 为椭圆上一点，直线 不经过 且与 交于 两点，若直线 与 的斜率之和为 ，证明： 过定点． 题型四、过定点弦与定点、定直线 典例4 已知 分别为椭圆 的左、右顶点， 为 的上顶点，， 为直线 上的动点， 与 的另一交点为 ， 与 的另一交点为 ． (1)求 的方程； (2)证明：直线 过定点． 题型模版 1.特征：动直线过已知点（或参数点），与曲线交于两点，再由“第三点”（顶点、定点、切点）连线产生新的交点，证明新直线过定点或新点在定直线上． 2.方法：设过定点的直线为 ，先求两交点（或韦达），再用“点在直线上”写出第三点坐标；证明定点时可先取两条特殊直线猜出定点，再用一般情形验证． 3.提醒：算第三点坐标时优先用曲线方程降次（如 把 换成 ），避免高次；最后要说明特殊直线（斜率不存在）也满足结论． 变式4-1 已知椭圆 ， 在 上，过点 的直线交 于 两点，直线 与 轴的交点分别为 ． (1)求 的离心率； (2)证明：线段 的中点为定点． 变式4-2 已知椭圆 ， 为椭圆上一点， 为 上异于 的两点，且 ，， 为垂足． (1)证明：存在定点 ，使 为定值； (2)求该定值． 题型五、含参分类与多问递进 典例5 已知椭圆 的焦点在 轴上， 是 的左顶点，斜率为 的直线交 于 两点，点 在 上，． (1)当 ， 时，求 △ 的面积； (2)当 时，求 的取值范围． 题型模版 1.特征：题目含参数（曲线参数 、直线斜率 ），或第二问需按位置关系、根的符号分类，答案常为范围或两解． 2.方法：先把“焦点在 轴上”等条件翻译成参数不等式；联立后写出 、根的和积，再把几何条件（垂直、倍分）代入；范围题最后用函数单调性或不等式求值域． 3.提醒：范围端点要单独验证能否取到；出现“两解”时须说明取舍理由（如点在第二象限、）． 变式5-1 已知双曲线 ， 为其右焦点，过 的直线 与 的右支交于 两点． (1)求 的斜率 的取值范围； (2)若 ，求 的方程． 变式5-2 已知 是椭圆 的两个焦点，点 在 上， 为坐标原点． (1)若 △ 为等边三角形，求 的离心率； (2)如果存在点 ，使得 ，且 △ 的面积等于 ，求 的值和 的取值范围． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．已知椭圆 的焦点为 ，，过 的直线与 交于 两点．若 ，，则 的方程为 （　　） A． B． C． D． 2．已知双曲线 ， 为坐标原点， 为 的右焦点，过 的直线与 的两条渐近线的交点分别为 ．若 △ 为直角三角形，则  （　　） A． B． C． D． 3．设 是双曲线 的左、右焦点， 为坐标原点，过 作 的一条渐近线的垂线，垂足为 ．若 ，则 的离心率为 （　　） A． B． C． D． 4．已知椭圆 的右焦点为 ，过 的直线与 交于 两点，若 ，则  （　　） A． B． C． D． 5．已知 是双曲线 的左、右焦点，点 在 的右支上，若 ，且 ，则 的离心率为 （　　） A． B． C． D． 6．已知抛物线 的焦点为 ，过 的直线与 交于 两点，若 ，则           ． 7．已知 是双曲线 的左、右焦点，点 在 的右支上，若 ，且 ，则 的离心率为           ． 8．已知点 ，椭圆 的离心率为 ， 是椭圆的右焦点，直线 的斜率为 ， 为坐标原点． (1)求 的方程； (2)设过点 的动直线 与 相交于 两点，当 △ 的面积最大时，求 的方程． 9．已知椭圆 的离心率为 ， 分别为 的左、右顶点． (1)求 的方程； (2)若点 在 上，点 在直线 上，且 ，，求 △ 的面积． 10．设圆 的圆心为 ，直线 过点 且与 轴不重合， 交圆 于 两点，过 作 的平行线交 于点 ． (1)证明 为定值，并写出点 的轨迹方程； (2)设点 的轨迹为曲线 ，直线 交 于 两点，过 且与 垂直的直线与圆 交于 两点，求四边形 面积的取值范围． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $