培优05 圆锥曲线几何条件转化与存在性问题（压轴题专项训练）高二数学人教A版选择性必修第一册

专题05 几何条件转化与存在性 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、垂直条件的代数化 题型二、平行与共线条件的代数化 题型三、比例、等量与中点条件 题型四、存在性与开放性设问 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 解析几何压轴题真正拉开差距的，往往不是联立与韦达，而是把几何条件翻译成代数方程．垂直、平行、共线、比例、等长、中点，每一种条件都有固定的翻译方式：垂直用数量积为零或斜率之积为 ，平行用斜率相等，共线用向量共线，比例用分点坐标公式，等长用两点间距离或垂直平分线．翻译得准，后面的运算才有方向． 存在性与开放性问题的处理主线是“假设—列式—求解—检验”：先假设对象存在，把条件代数化得到方程（组），解出参数后再用 判别式、图形位置、点的范围逐项检验；开放题则先找各条件的等价刻画，把多个条件化为同一组关系式，任选两个即可推出第三个．运算上优先设 、抛物线设点 ，以降低次数． 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、垂直条件的代数化 典例1 已知抛物线 ，过点 的直线 与 交于 两点，圆 是以线段 为直径的圆． (1)证明：坐标原点 在圆 上； (2)设圆 过点 ，求直线 与圆 的方程． 【答案】(1)证明见解析；(2) 或 ，圆 或 【详解】解：(1)由题意直线 不垂直于 轴，设 ，，． 代入 得 ，所以 ，． 于是 ， ， 即 ，所以点 在以 为直径的圆上． (2)点 在圆 上等价于 ，即 ． 由 得 ，代入并利用韦达定理： ， 即 ，化简得 ，所以 或 ． 当 时，， 中点为 ，，圆 ； 当 时，， 中点为 ，， 圆 ． 题型模版 1.特征：题干出现“垂直”“以 为直径的圆过点 ”“”等，本质都是 ． 2.方法：两向量数量积为零；斜率之积为 （先讨论斜率不存在）；抛物线 上两点 满足 ，再用韦达定理整体代入． 3.提醒：设 可避开斜率不存在的讨论；垂直条件化简后常出现“因式 ”，必须说明哪一个根被舍去，如直线不能过已知点． 变式1-1 设 为坐标原点，动点 在椭圆 上，过 作 轴的垂线，垂足为 ，点 满足 ． (1)求点 的轨迹方程； (2)设点 在直线 上，且 ，证明：过点 且垂直于 的直线 过 的左焦点 ． 【答案】(1)；(2)证明见解析 【详解】解：(1)设 ，，则 ． 由 得 ，， 即 ，，代入 得 ，故轨迹为 ． 证明：(2)设 ，则 ． 由 得 ．若 ，则 ，与 矛盾，故 ，． 于是 ，过 且垂直于 的直线斜率为 ， ． 令 ，得 ，所以 恒过左焦点 ． 变式1-2 已知椭圆 的离心率为 ， 分别为 的左、右顶点． (1)求 的方程； (2)若点 在 上，点 在直线 上，且 ，，求 的面积． 【答案】(1)；(2) 【详解】解：(1)由 得 ，故 ，即 ． (2)由题意 ，设 ，，则 ，． 由 得 ；由 得 ． 由 代入得 ，整理得 ， 故 ，代入椭圆得 ． 取 ，则 ，，此时 ； 其余三种情形由对称性面积相同，故 的面积为 ． 变式1-3 已知直线 与抛物线 交于 两点，且 ． (1)求 ； (2)设 为 的焦点， 为 上两点，且 ，求 面积的最小值． 【答案】(1)；(2) 【详解】解：(1)由 代入 得 ． 所以 ，即 ， 化简得 ，解得 （负值舍去），故 ． (2)此时 ．设 ，，则 ， 由 得 ， 即 ．又 ， 所以 ，即 或 ． 而 ，，于是 ． 当 时，； 当 时，． 当 且 时取到最小值，故最小值为 ． 题型二、平行与共线条件的代数化 典例2 已知椭圆 的离心率为 ， 分别为 的上、下顶点， 分别为 的左、右顶点，． (1)求 的方程； (2)点 为第一象限内 上的动点，直线 与直线 交于点 ，直线 与直线 交于点 ，求证：． 【答案】(1)；(2)证明见解析 【详解】解：(1)由 得 ；由 得 ，所以 ． 故 ，其中 ，，，． 证明：(2)设 ，，，则 ． 直线 与 交于 ，由 得 ，即 ． 直线 ，直线 ，联立解得 ． 于是 ， 而 ，故 ． 又 ，所以 ． 题型模版 1.特征：证明两直线平行、三点共线、中点在定直线上、重心落在坐标轴上等． 2.方法：平行 斜率相等或方向向量共线；三点共线 斜率相等；中点 坐标平均；重心 三个顶点坐标的平均．抛物线上的点优先设为 ，可把斜率写成参数式． 3.提醒：斜率不存在的情形必须单独说明；由斜率相等证平行时，还要说明两直线不重合；“ 为 中点”可拆成横、纵坐标两个等式，往往只需用一个． 变式2-1 已知抛物线 的焦点为 ，平行于 轴的两条直线 分别交 于 两点，交 的准线于 两点． (1)若 在线段 上， 是 的中点，证明：； (2)若 的面积是 面积的两倍，求 中点的轨迹方程． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【详解】解：设 ，， 且 ，则 ，，，，，． 证明：(1) 在线段 上等价于 共线，由斜率相等得 ． 此时 ， 而 ，所以 ，即 ． 解：(2)设直线 与 轴交于点 ．由 到准线的距离为 得 ， 由 得 ，即 （ 为原点时 重合，舍去）． 设 中点为 ，则 ，且 ． 又 ，由 得 ，即 ． 变式2-2 已知抛物线 过点 ，过点 的直线 与 交于不同的两点 ，过点 作 轴的垂线分别与直线 交于点 ，其中 为原点． (1)求 的方程，并求其焦点坐标和准线方程； (2)求证： 为线段 的中点． 【答案】(1)，焦点 ，准线 ；(2)证明见解析 【详解】解：(1)把 代入 得 ，故 ， 焦点为 ，准线为 ． 证明：(2)设 ，，由 三点共线得 ， 直线 ，故 ；直线 ，故 ． 要证 为 的中点，只需证 ， 即 ，这正是 与 共线的条件，故结论成立． 变式2-3 已知点 为抛物线 的焦点，过点 的直线交 于 两点，点 在 上，使得 的重心 在 轴上，直线 交 轴于点 ，且 在点 右侧．记 的面积分别为 ． (1)求 的值及 的准线方程； (2)求 的最小值及此时点 的坐标． 【答案】(1)，准线 ；(2)最小值为 ， 【详解】解：(1)由焦点坐标得 ，即 ，故 ，准线为 ． (2)设 ，，．由 过 得 ． 重心 在 轴上，所以 ，即 ．不妨设 ，则 ，． 直线 与 轴交于 ．由 在 右侧得 ，即 ，所以 ． 又 ，计算面积得 ． 令 ，则 ，． 当 时 ，且为极小值点，． 此时 的横坐标为 ，故最小值为 ，． 题型三、比例、等量与中点条件 典例3 已知椭圆 的焦点在 轴上， 是 的左顶点，斜率为 的直线交 于 两点，点 在 上，． (1)当 ， 时，求 的面积； (2)当 时，求 的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【详解】解：设 ，则 ，． 直线 ，与 联立得 ， 同理，直线 的斜率为 ，可得 ． (1)当 ， 时，，且 ， 所以 ． (2)由 得 ，即 ， 整理得 ．因为 ，所以 ． 当 时，上式化为 ，即 ，得 ； 当 时，不等式方向改变，得 ，与 矛盾． 综上 ，即 ． 题型模版 1.特征：出现 、、、平行四边形、中点在曲线上等条件． 2.方法：比例用分点坐标公式 ；等长用两点间距离；平行四边形用对角线互相平分；中点用坐标平均．把条件统一到同一个参数上，再解方程或不等式． 3.提醒：解出参数后必须回代检验：判别式是否为正、点是否在指定支上、是否与已知点重合；范围题要写清端点的取舍理由． 变式3-1 已知抛物线 经过点 ，过点 的直线 与 有两个不同的交点 ，且直线 交 轴于 ，直线 交 轴于 ． (1)求直线 的斜率的取值范围； (2)设 为原点，，，求证： 为定值． 【答案】(1)；(2)定值为 【详解】解：(1)由 在 上得 ，．设 ， 联立得 ，，所以 ． 又直线 均与 轴相交，所以 不能过点 （否则 或 垂直于 轴），即 ． 故 ． 证明：(2)设 ，．由 与 联立得 ，，所以 ． 直线 在 轴上的截距为 ， 又 ，，由 得 ，同理 ． 于是 ， 故 为定值 ． 变式3-2 已知椭圆 ，直线 不过原点 且不平行于坐标轴， 与 有两个交点 ，线段 的中点为 ． (1)证明：直线 的斜率与 的斜率的乘积为定值； (2)若 过点 ，延长线段 与 交于点 ，四边形 能否为平行四边形？若能，求此时 的斜率；若不能，说明理由． 【答案】(1)定值为 ；(2)能， 【详解】证明：(1)设 ，，则 ，． 两式相减得 ， 所以 ，为定值． 解：(2)若四边形 为平行四边形，则对角线 与 互相平分． 因为 是 的中点，所以 也是 的中点，即 ． 设 ，则 在 上，所以 ，即 ． 又 在 上，； 在 上，． 解得 ，，代入 化简得 ， 所以 ．经检验，此时 且 在射线 的延长线上， 故四边形 能为平行四边形， 的斜率为 或 ． 变式3-3 已知椭圆 的右焦点为 ，且经过点 ．设 为原点，直线 与椭圆 交于两个不同点 ，直线 与 轴交于点 ，直线 与 轴交于点 ．若 ，求证：直线 经过定点． 【答案】直线 恒过原点 【详解】证明：设 ，．联立 与 得 ， 所以 ，． 直线 与 轴交于 ，令 得 ，同理 ． 又 ，，所以 ． 于是 ． 由 得 ，解得 （ 不合题意）． 所以 ，即直线 恒过原点 ． 题型四、存在性与开放性设问 典例4 已知双曲线 的右焦点为 ，渐近线方程为 ． (1)求 的方程； (2)过 的直线与 的两条渐近线分别交于 两点，点 在 上，且 ，．过 且斜率为 的直线与过 且斜率为 的直线交于点 ．从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：① 在 上；②；③． 【答案】(1)；(2)证明见解析 【详解】解：(1)由 ，， 得 ，，故 ． 证明：(2)若 轴，则 关于 轴对称，由①③可得 ，此时 关于 轴对称，与 矛盾；又 时 与两渐近线交于同一点，不合题意．故可设 ，其中 且 ．设 ， 与两条渐近线 联立得 中点为 ． 过 且斜率为 的直线与 联立（该直线与一条渐近线平行，故只有一个交点）．令 ， 由 与 得 ；同理令 ，得 ． 代入斜率公式化简得 ． 于是：②；① 在 上 ； ③ 在 的中垂线上 ． 若选①②：由 与 得 ，， 此时 ，即③成立． 若选①③：把 代入 ，解得 ，， 此时 ，即②成立． 若选②③：由 与 得 ，， 此时 ，即①成立．故任取两个条件均可推出第三个． 题型模版 1.特征：“是否存在”“能否为”“选取两个条件证明第三个”，或证明恒过定点、周长（面积）满足某不等式． 2.方法：先假设存在，引入参数列方程（组），解出后再用判别式、图形位置、点的范围检验；开放题先分别写出各条件的等价刻画，再证明“任取两个可推第三个”；证明不等式可先用几何关系放缩，再用函数求最值． 3.提醒：结论必须明确写成“存在，此时……”或“不存在，理由如下”；开放题要写清所选的组合；使用三角形不等式放缩时，等号成立条件往往对应退化情形，要单独说明取不到． 变式4-1 已知圆 ，圆 ，动圆 与圆 外切并与圆 内切，圆心 的轨迹为曲线 ． (1)求 的方程； (2) 是与圆 、圆 都相切的一条直线， 与曲线 交于 两点，当圆 的半径最长时，求 ． 【答案】(1)；(2) 或 【详解】解：(1)设圆 的半径为 ，则 ，，所以 ． 故 的轨迹是以 为焦点、长轴长为 的椭圆，，，， 即 ．当 为左顶点 时 ，故去掉该点． (2)由 知，当 时 最大为 ，此时圆 ． 若 轴，则 ，与 交于 ，． 若 的斜率存在，设 与 轴交于 ．由两圆半径之比为 得 ，解得 ， 故可设 ．由 与圆 相切得 ，所以 ，． 代入椭圆方程得 ，所以 ． 综上， 或 ． 变式4-2 在直角坐标系 中，点 到 轴的距离等于点 到点 的距离，记动点 的轨迹为 ． (1)求 的方程； (2)已知矩形 有三个顶点在 上，证明：矩形 的周长大于 ． 【答案】(1)；(2)证明见解析 【详解】解：(1)设 ，则 ，两边平方得 ， 即 ． 证明：(2)设三个在 上的顶点为 ，，，其中 为直角顶点． 由 得 ，因三点不同，故 ． 记 ，，则 ，且 ， 所以周长为 ． 不妨设 ，则 ．由绝对值不等式，上式不小于 ． 令 ，则 ，， 故 在 处取得最小值 ，从而周长不小于 ． 等号要求 且 或 ，前者使 ，后者使 ，均与三个顶点不同矛盾， 所以矩形的周长严格大于 ． 变式4-3 设抛物线 的焦点为 ，过 且斜率为 的直线 与 交于 两点，． (1)求 的方程； (2)求过点 且与 的准线相切的圆的方程． 【答案】(1)；(2) 或 【详解】解：(1)，设 ，与 联立得 ． 由抛物线定义 ，所以 ， 又 ，故 ，． (2)由(1)得 ，所以 ，． 的中点为 ，中垂线为 ．设圆心为 ， 因圆与准线 相切，半径 ；又圆过 ，所以 ． 解得 或 ，对应 或 ． 故所求圆的方程为 或 ． 变式4-4 已知抛物线 经过点 ． (1)求 的方程及其准线方程； (2)设 为原点，过 的焦点作斜率不为 的直线 交 于 两点，直线 分别交直线 于点 和点 ．求证：以 为直径的圆经过 轴上的两个定点． 【答案】(1)，准线 ；(2)定点 与 【详解】解：(1)把 代入得 ，即 ，故 ，准线为 ． 证明：(2) 的焦点为 ，设 ，，． 联立 得 ，所以 ，． 直线 ，令 得 ，同理 ． 于是 ． 以 为直径的圆方程为 ．令 得 ， 解得 或 ，故圆恒过 轴上的定点 与 ． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．已知 是椭圆 的左、右焦点， 是 的左顶点，点 在过 且斜率为 的直线上， 为等腰三角形，，则 的离心率为 （　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由 写出点 的参数坐标，再判断等腰三角形的腰，最后用点在已知直线上建立 的关系． 【详解】解：设 ，由 可设 ． 因 在过 且斜率为 的直线上，所以 ，解得 ． 若 ，则 在 轴上，与 矛盾；若 ，由余弦定理得 ，即 ，矛盾．所以只能 ． 于是 ，即 ，解得 ，故 ．故选 D． 2．已知 为双曲线 的左、右顶点，点 在 上， 为等腰三角形，且顶角为 ，则 的离心率为 （　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先判断顶角的顶点位置：若顶角在 ，则 在 轴上，与双曲线无交点矛盾；再按顶角在顶点计算 的坐标． 【详解】解：设 ，，． 若顶角在 ，则 ， 在 轴上，但双曲线与 轴无交点，矛盾． 不妨设顶角在 ，则 ，， 所以 ． 代入双曲线方程得 ，即 ，所以 ，．故选 D． 3．已知椭圆 的左顶点为 ，点 均在 上，且关于 轴对称．若直线 的斜率之积为 ，则 的离心率为 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用对称设 ，把斜率之积化为 与 的比，再用椭圆方程消去 ． 【详解】解：设 ，则 ，． 所以 ． 由 在椭圆上得 ， 故 ，从而 ，．故选 A． 4．已知椭圆 ， 为 的两个焦点， 为坐标原点， 为 上一点，，则  （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】焦点三角形中用余弦定理求 ，再用中线长公式求 ． 【详解】解：，，，，． 设 ，，由余弦定理得 ． 又 ，代入得 ，所以 ，． 由中线长公式 ， 故 ．故选 A． 5．若双曲线 的一条渐近线被圆 所截得的弦长为 ，则 的离心率为 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求圆心到渐近线的距离，再用弦长、半径、弦心距的勾股关系列方程． 【详解】解：渐近线为 ，圆心 到它的距离 ． 由弦长公式 得 ，即 ， 所以 ，，．故选 A． 6．已知点 和抛物线 ，过 的焦点且斜率为 的直线与 交于 两点．若 ，则           ． 【答案】 【分析】把 翻译为 ，用 设线可简化运算． 【详解】解：，设 ，，． 代入 得 ，所以 ，． 由 得 ． 由 ，代入化简得 ，即 ， 所以 ．故答案为：． 7．已知曲线 ， 为直线 上的动点，过 作 的两条切线，切点分别为 ． (1)证明：直线 过定点； (2)若以 为圆心的圆与直线 相切，且切点为线段 的中点，求四边形 的面积． 【答案】(1)定点 ；(2) 【分析】(1)写出切线方程，把 的坐标代入得到关于切点横坐标的二次方程，再用韦达定理写出 的方程；(2)用“圆心与切点的连线垂直于切线”列方程求 的坐标． 【详解】解：(1)设 ，，． 因为 ，所以 在 处的切线为 ． 在切线上，所以 ，即 ，同理 ． 故 ，．直线 的斜率为 ， ， 所以 恒过定点 ． (2) 的中点 ．由圆与 相切于 得 ， 所以 ，即 ，解得 ，． 由对称性不妨取 ，则 ，，． 此时 ， 点 到直线 的距离均为 ， 所以四边形 的面积为 ． 8．已知点 是 轴左侧（不含 轴）一点，抛物线 上存在不同的两点 满足 的中点均在 上． (1)设 中点为 ，证明： 轴； (2)若 是半椭圆 上的动点，求 面积的取值范围． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【分析】把“中点在抛物线上”转化为关于 纵坐标的二次方程，用韦达定理得到 ，从而 水平；(2)把面积写成 的函数，再用椭圆方程求范围． 【详解】解：设 ，，． (1) 的中点为 ，它在 上，所以 ， 整理得 ，同理 ． 所以 是方程 的两个根，． 于是 的纵坐标为 ，与 的纵坐标相同，故 轴． (2)由(1)得 ，所以 ， 因此 ． 由 得 ，其中 ， 所以 ，即 ． 故 （左端点为 时的极限值，不取到）． 9．已知椭圆 的离心率为 ， 是 的左顶点． (1)求 的方程； (2)过点 的直线交 于 两点，直线 与 轴的交点分别为 ，证明：线段 的中点为定点． 【答案】(1)；(2)中点 【分析】设 ，用韦达定理表示 ；关键是把 拆成 ，再整体通分． 【详解】解：(1)由 ， 得 ，， 故 ． 证明：(2)设 ，，． 代入 得 ， ， 直线 与 轴交于 ，令 得 ，同理 ． 由 得 ，所以 ． 计算得 ，， 于是 ． 故线段 的中点为 ，为定点． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 几何条件转化与存在性 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、垂直条件的代数化 题型二、平行与共线条件的代数化 题型三、比例、等量与中点条件 题型四、存在性与开放性设问 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 解析几何压轴题真正拉开差距的，往往不是联立与韦达，而是把几何条件翻译成代数方程．垂直、平行、共线、比例、等长、中点，每一种条件都有固定的翻译方式：垂直用数量积为零或斜率之积为 ，平行用斜率相等，共线用向量共线，比例用分点坐标公式，等长用两点间距离或垂直平分线．翻译得准，后面的运算才有方向． 存在性与开放性问题的处理主线是“假设—列式—求解—检验”：先假设对象存在，把条件代数化得到方程（组），解出参数后再用 判别式、图形位置、点的范围逐项检验；开放题则先找各条件的等价刻画，把多个条件化为同一组关系式，任选两个即可推出第三个．运算上优先设 、抛物线设点 ，以降低次数． 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、垂直条件的代数化 典例1 已知抛物线 ，过点 的直线 与 交于 两点，圆 是以线段 为直径的圆． (1)证明：坐标原点 在圆 上； (2)设圆 过点 ，求直线 与圆 的方程． 题型模版 1.特征：题干出现“垂直”“以 为直径的圆过点 ”“”等，本质都是 ． 2.方法：两向量数量积为零；斜率之积为 （先讨论斜率不存在）；抛物线 上两点 满足 ，再用韦达定理整体代入． 3.提醒：设 可避开斜率不存在的讨论；垂直条件化简后常出现“因式 ”，必须说明哪一个根被舍去，如直线不能过已知点． 变式1-1 设 为坐标原点，动点 在椭圆 上，过 作 轴的垂线，垂足为 ，点 满足 ． (1)求点 的轨迹方程； (2)设点 在直线 上，且 ，证明：过点 且垂直于 的直线 过 的左焦点 ． 变式1-2 已知椭圆 的离心率为 ， 分别为 的左、右顶点． (1)求 的方程； (2)若点 在 上，点 在直线 上，且 ，，求 的面积． 变式1-3 已知直线 与抛物线 交于 两点，且 ． (1)求 ； (2)设 为 的焦点， 为 上两点，且 ，求 面积的最小值． 题型二、平行与共线条件的代数化 典例2 已知椭圆 的离心率为 ， 分别为 的上、下顶点， 分别为 的左、右顶点，． (1)求 的方程； (2)点 为第一象限内 上的动点，直线 与直线 交于点 ，直线 与直线 交于点 ，求证：． 题型模版 1.特征：证明两直线平行、三点共线、中点在定直线上、重心落在坐标轴上等． 2.方法：平行 斜率相等或方向向量共线；三点共线 斜率相等；中点 坐标平均；重心 三个顶点坐标的平均．抛物线上的点优先设为 ，可把斜率写成参数式． 3.提醒：斜率不存在的情形必须单独说明；由斜率相等证平行时，还要说明两直线不重合；“ 为 中点”可拆成横、纵坐标两个等式，往往只需用一个． 变式2-1 已知抛物线 的焦点为 ，平行于 轴的两条直线 分别交 于 两点，交 的准线于 两点． (1)若 在线段 上， 是 的中点，证明：； (2)若 的面积是 面积的两倍，求 中点的轨迹方程． 变式2-2 已知抛物线 过点 ，过点 的直线 与 交于不同的两点 ，过点 作 轴的垂线分别与直线 交于点 ，其中 为原点． (1)求 的方程，并求其焦点坐标和准线方程； (2)求证： 为线段 的中点． 变式2-3 已知点 为抛物线 的焦点，过点 的直线交 于 两点，点 在 上，使得 的重心 在 轴上，直线 交 轴于点 ，且 在点 右侧．记 的面积分别为 ． (1)求 的值及 的准线方程； (2)求 的最小值及此时点 的坐标． 题型三、比例、等量与中点条件 典例3 已知椭圆 的焦点在 轴上， 是 的左顶点，斜率为 的直线交 于 两点，点 在 上，． (1)当 ， 时，求 的面积； (2)当 时，求 的取值范围． 题型模版 1.特征：出现 、、、平行四边形、中点在曲线上等条件． 2.方法：比例用分点坐标公式 ；等长用两点间距离；平行四边形用对角线互相平分；中点用坐标平均．把条件统一到同一个参数上，再解方程或不等式． 3.提醒：解出参数后必须回代检验：判别式是否为正、点是否在指定支上、是否与已知点重合；范围题要写清端点的取舍理由． 变式3-1 已知抛物线 经过点 ，过点 的直线 与 有两个不同的交点 ，且直线 交 轴于 ，直线 交 轴于 ． (1)求直线 的斜率的取值范围； (2)设 为原点，，，求证： 为定值． 变式3-2 已知椭圆 ，直线 不过原点 且不平行于坐标轴， 与 有两个交点 ，线段 的中点为 ． (1)证明：直线 的斜率与 的斜率的乘积为定值； (2)若 过点 ，延长线段 与 交于点 ，四边形 能否为平行四边形？若能，求此时 的斜率；若不能，说明理由． 变式3-3 已知椭圆 的右焦点为 ，且经过点 ．设 为原点，直线 与椭圆 交于两个不同点 ，直线 与 轴交于点 ，直线 与 轴交于点 ．若 ，求证：直线 经过定点． 题型四、存在性与开放性设问 典例4 已知双曲线 的右焦点为 ，渐近线方程为 ． (1)求 的方程； (2)过 的直线与 的两条渐近线分别交于 两点，点 在 上，且 ，．过 且斜率为 的直线与过 且斜率为 的直线交于点 ．从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：① 在 上；②；③． 题型模版 1.特征：“是否存在”“能否为”“选取两个条件证明第三个”，或证明恒过定点、周长（面积）满足某不等式． 2.方法：先假设存在，引入参数列方程（组），解出后再用判别式、图形位置、点的范围检验；开放题先分别写出各条件的等价刻画，再证明“任取两个可推第三个”；证明不等式可先用几何关系放缩，再用函数求最值． 3.提醒：结论必须明确写成“存在，此时……”或“不存在，理由如下”；开放题要写清所选的组合；使用三角形不等式放缩时，等号成立条件往往对应退化情形，要单独说明取不到． 变式4-1 已知圆 ，圆 ，动圆 与圆 外切并与圆 内切，圆心 的轨迹为曲线 ． (1)求 的方程； (2) 是与圆 、圆 都相切的一条直线， 与曲线 交于 两点，当圆 的半径最长时，求 ． 变式4-2 在直角坐标系 中，点 到 轴的距离等于点 到点 的距离，记动点 的轨迹为 ． (1)求 的方程； (2)已知矩形 有三个顶点在 上，证明：矩形 的周长大于 ． 变式4-3 设抛物线 的焦点为 ，过 且斜率为 的直线 与 交于 两点，． (1)求 的方程； (2)求过点 且与 的准线相切的圆的方程． 变式4-4 已知抛物线 经过点 ． (1)求 的方程及其准线方程； (2)设 为原点，过 的焦点作斜率不为 的直线 交 于 两点，直线 分别交直线 于点 和点 ．求证：以 为直径的圆经过 轴上的两个定点． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．已知 是椭圆 的左、右焦点， 是 的左顶点，点 在过 且斜率为 的直线上， 为等腰三角形，，则 的离心率为 （　　） A． B． C． D． 2．已知 为双曲线 的左、右顶点，点 在 上， 为等腰三角形，且顶角为 ，则 的离心率为 （　　） A． B． C． D． 3．已知椭圆 的左顶点为 ，点 均在 上，且关于 轴对称．若直线 的斜率之积为 ，则 的离心率为 （　　） A． B． C． D． 4．已知椭圆 ， 为 的两个焦点， 为坐标原点， 为 上一点，，则  （　　） A． B． C． D． 5．若双曲线 的一条渐近线被圆 所截得的弦长为 ，则 的离心率为 （　　） A． B． C． D． 6．已知点 和抛物线 ，过 的焦点且斜率为 的直线与 交于 两点．若 ，则           ． 7．已知曲线 ， 为直线 上的动点，过 作 的两条切线，切点分别为 ． (1)证明：直线 过定点； (2)若以 为圆心的圆与直线 相切，且切点为线段 的中点，求四边形 的面积． 8．已知点 是 轴左侧（不含 轴）一点，抛物线 上存在不同的两点 满足 的中点均在 上． (1)设 中点为 ，证明： 轴； (2)若 是半椭圆 上的动点，求 面积的取值范围． 9．已知椭圆 的离心率为 ， 是 的左顶点． (1)求 的方程； (2)过点 的直线交 于 两点，直线 与 轴的交点分别为 ，证明：线段 的中点为定点． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $