精品解析：江苏淮安市北京师范大学淮安学校2026-2027学年高一上学期10月质量检测数学试卷

北京师范大学淮安学校高一10月质量检测 学校：＿＿＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿＿＿　班级：＿＿＿＿＿＿　考号：＿＿＿＿＿＿ 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 若关于的不等式有解，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 的值为（ ） A. 4 B. 1 C. 6 D. 3 5. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 6. 已知正实数，满足，则的最小值为（ ） A. 5 B. 6 C. D. 7. 设，是一元二次方程的两根，则等于（ ） A. 1 B. 5 C. 11 D. 13 8. 已知，且，记为的最大值，记为的最大值.已知，对任意，恒成立，则的最大值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设，、是正整数，且，则下列各式中，正确的有（ ） A. B. C. D. 10. 下列命题是正确的是（ ） A. 函数的定义域是 B. 与是同一个函数 C. 不等式的解集为 D. 若，，则 11. 大数据时代，需要对数据库进行检索，检索过程中有时会出现笛卡尔积现象，而笛卡尔积会产生大量的数据，对内存、计算资源都会产生巨大压力，为优化检索软件，编程人员需要了解笛卡尔积两个集合和，用中元素为第一元素，中元素为第二元素构成有序对，所有这样的有序对组成的集合叫做与的笛卡尔积，又称直积，记为．即．关于任意非空集合，下列说法错误的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知命题：“，”为真命题，则实数的取值范围是_______ 13. 函数的值域为________. 14. 、为正实数，若，，则的最小值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，集合或． （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围； （3）设，，若是的充分条件，求实数的取值范围． 16. （1）计算：. （2）计算：. （3）已知，求的值. 17. 中欧班列是推进“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措，作为中欧铁路在东北地区的始发站，沈阳某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一面高为3m，底面积为，且背面靠墙的长方体形状的保管员室，由于保管员室背面靠墙，无需建造费．因此，甲工程队给出的报价如下：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体的报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元，设屋子的左右两面墙的长度均为x m（）． （1）当左右两面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？ （2）现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元（），若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，求a的取值范围． 18. 已知关于的不等式，其中，，． （1）若不等式的解集为，求关于的不等式的解集； （2）若，时，不等式的解集为，求的取值范围． （3）若，求该不等式的解集（解集用表示） 19. 我们约定：在平面直角坐标系中，当点的坐标满足时，称点为“靓点”．请你根据该约定，解答下列问题： （1）若点为“靓点”，则点是否为“靓点”？请作出你的判断并给出证明； （2）当时，求证：关于的函数（，为常数）的图象上总存在两个不同的“靓点”； （3）已知关于的二次函数（为常数）的图象上存在三个不同的“靓点”：，，，且满足，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京师范大学淮安学校高一10月质量检测 学校：＿＿＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿＿＿　班级：＿＿＿＿＿＿　考号：＿＿＿＿＿＿ 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为集合， 所以. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】由或或. 所以时，必成立； 当时，可以不成立，如时，但不成立. 所以“”是“”的充分不必要条件. 3. 若关于的不等式有解，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】对参数分、、三类讨论，结合一次不等式、二次不等式有解的条件分别求取值范围，最终取并集即可得到结果. 【详解】当时，不等式化为，解得，存在解，符合题意； 当时，二次函数开口向上，必然存在使得，故符合题意； 当时，二次函数开口向下，若不等式有解，则需，解得， 又，所以. 综上，的取值范围为. 4. 的值为（ ） A. 4 B. 1 C. 6 D. 3 【答案】B 【解析】 【详解】 . 5. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】函数的定义域指的是自变量的取值范围，先由此求出中的范围，再求的定义域. 【详解】由的定义域为，由，可得， 对于函数,令，得， 所以函数的定义域为. 6. 已知正实数，满足，则的最小值为（ ） A. 5 B. 6 C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】已知，，整理，得， 则，，， 则， 当且仅当，即时，等号成立. 故的最小值为. 7. 设，是一元二次方程的两根，则等于（ ） A. 1 B. 5 C. 11 D. 13 【答案】A 【解析】 【分析】将目标式子转换为，再结合韦达定理即可求解. 【详解】设，是一元二次方程的两根， 则， . 故选：A. 8. 已知，且，记为的最大值，记为的最大值.已知，对任意，恒成立，则的最大值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据基本不等式求出，的值，则恒成立可化为恒成立；令，得到；再根据一元二次不等式恒成立求解即可. 【详解】因为，，所以， 因为，所以， 因为，所以，当且仅当时取等号， 所以，当且仅当时取等号，故的最大值为1，即. 因为，所以， 所以，即，当且仅当时取等号， 所以的最大值为2，即. 则对，恒成立， 可化为对，恒成立. 令，则，故. 对，恒成立， 可化为对，恒成立. 因为，所以， 所以，此时， 所以， 当，，时，等号成立. 此时成立， 所以的最大值为. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设，、是正整数，且，则下列各式中，正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】逐项用分数指数幂与根式的意义判断，注意时根式与指数幂可以互化. 【详解】A项，由分数指数幂的意义，（），正确； B项，，，两者相等，正确； C项，且时，正确； D项，，不等于，错误. 10. 下列命题是正确的是（ ） A. 函数的定义域是 B. 与是同一个函数 C. 不等式的解集为 D. 若，，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】求解定义域即可判断A；根据同一函数的定义即可判断B；根据分式不等式的解法求解不等式即可判断C；根据不等式的性质即可判断D． 【详解】对于A，由，得或，所以定义域为，正确； 对于B，定义域为，定义域为， 所以与不是同一个函数，错误； 对于C，，解得，正确； 对于D，因为，所以， 又，所以，正确． 11. 大数据时代，需要对数据库进行检索，检索过程中有时会出现笛卡尔积现象，而笛卡尔积会产生大量的数据，对内存、计算资源都会产生巨大压力，为优化检索软件，编程人员需要了解笛卡尔积两个集合和，用中元素为第一元素，中元素为第二元素构成有序对，所有这样的有序对组成的集合叫做与的笛卡尔积，又称直积，记为．即．关于任意非空集合，下列说法错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】举例说明判断，利用给定定义结合集合运算的意义推理判断. 【详解】对于，若， 则，故A错误； 对于，若， 则， 而，故错误； 对于，若，则， ，故C错误： 对于D，任取元素，则且， 则且， 于是且，即， 反之若任取元素， 则且， 因此且，即且， 所以，即，故D正确． 故选：ABC． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知命题：“，”为真命题，则实数的取值范围是_______ 【答案】 【解析】 【分析】将恒成立不等式变形为对恒成立，利用基本不等式求的最小值即可得到的取值范围. 【详解】命题“，”为真命题，则对任意恒成立， 时，，当且仅当即时等号成立，因此在上的最小值为4 ， 所以，即实数的取值范围是. 13. 函数的值域为________. 【答案】 【解析】 【分析】令，转换成二次函数即可求解. 【详解】令，则， 的图像开口向下，对称轴， ∴在上是减函数， ， 所以的值域为. 故答案为： 14. 、为正实数，若，，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】由条件得到，再令，得到，，结合基本不等式求得即可求解. 【详解】由，得， 所以， 令，则， 所以， 且，且， 解得：，即，当且仅当，即时取等号， 所以， 即的最小值为2， 故答案为：2 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，集合或． （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围； （3）设，，若是的充分条件，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）当时，求出集合，利用补集和并集的定义可求得集合； （2）根据交集的运算可得出关于的不等式组，即可解得实数的取值范围； （3）分析可知，可得出关于实数的不等式，解之即可. 【小问1详解】 当时，或，则， 又因为，故. 【小问2详解】 因为，集合或，且， 所以，解得，故实数的取值范围是. 【小问3详解】 因为是的充分条件，则，所以或，解得或， 因此实数的取值范围是或. 16. （1）计算：. （2）计算：. （3）已知，求的值. 【答案】（1）（2）（3） 【解析】 【分析】（1）把根式化成分数指数幂，注意、、； （2）用对数运算性质合并； （3）把、化成以为底的对数后相加. 【详解】（1）原式. （2）原式. （3）由得，由得， 所以，， 故. 17. 中欧班列是推进“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措，作为中欧铁路在东北地区的始发站，沈阳某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一面高为3m，底面积为，且背面靠墙的长方体形状的保管员室，由于保管员室背面靠墙，无需建造费．因此，甲工程队给出的报价如下：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体的报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元，设屋子的左右两面墙的长度均为x m（）． （1）当左右两面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？ （2）现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元（），若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，求a的取值范围． 【答案】（1）当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低 （2） 【解析】 【分析】（1）首先由题意抽象出甲工程队的总造价的函数，再利用基本不等式求最值，结合等号成立的条件，即可求解； （2）由题意，转化为不等式恒成立，参变分离后，根据基本不等式，即可得答案. 【小问1详解】 设甲工程队的总造价为元，依题意，左右两面墙的长度均为（）， 则屋子前面新建墙体长为， 所以 即， 当且仅当，即时，等号成立， 故当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为元； 【小问2详解】 由题意可知，当对任意的恒成立， 即，所以，即， 因为， 当且仅当，，即时，的最小值为12， 即，所以的取值范围是. 18. 已知关于的不等式，其中，，． （1）若不等式的解集为，求关于的不等式的解集； （2）若，时，不等式的解集为，求的取值范围． （3）若，求该不等式的解集（解集用表示） 【答案】（1） （2） （3）当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为； 当时，解集为；当时，解集为. 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式、一元二次函数及一元二次方程之间的关系，得到，，的关系，进而求解不等式. （2）当，时，不等式变为，对分情况讨论，若二次函数解集为空集，说明该函数开口向下且与轴最多只有1个交点，列出不等式组即可求出范围. （3）当时，化简不等式，对分情况讨论，然后求解不等式即可. 【小问1详解】 因为不等式的解集为，所以，且的两根为和2， 由韦达定理知，，，所以，， 所以不等式可化为，，即， 又，所以，解得或. 故不等式的解集为. 【小问2详解】 当，时，不等式可化为. 当时，不等式可化为，此时解集为，满足题意； 当时，不等式的解集为， 则，解得. 综上， . 故的取值范围为. 【小问3详解】 当时，不等式可化为，即. 当时，不等式变为，解得； 当时，的两根为和，且， 此时不等式的解集为； 当时，的两根为和， 当，即时，此时不等式的解集为； 当，即时，不等式可化为，即，此时解集为； 当，即时，此时不等式的解集为； 综上，若，该不等式的解集为： 当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为； 当时，解集为；当时，解集为. 19. 我们约定：在平面直角坐标系中，当点的坐标满足时，称点为“靓点”．请你根据该约定，解答下列问题： （1）若点为“靓点”，则点是否为“靓点”？请作出你的判断并给出证明； （2）当时，求证：关于的函数（，为常数）的图象上总存在两个不同的“靓点”； （3）已知关于的二次函数（为常数）的图象上存在三个不同的“靓点”：，，，且满足，求的值． 【答案】（1）点是“靓点”，证明如下： 点为“靓点”， ， ，， 将代入上式，得， ， 点是“靓点”． （2）证明：将代入，得， 整理得， ， 判别式 ， ，， ， 该一元二次方程有两个不相等的实数根， 将代入方程左边，得， 方程的两个根都不等于1，即对应的点均满足“靓点”定义， 又，两个不同的对应两个不同的， 函数的图象上总存在两个不同的“靓点”． （3） 【解析】 【分析】（1）根据“靓点”的定义，直接计算坐标的和与积，把代入并验证，满足定义证明结论； （2）把代入靓点公式，整理得出一元二次方程，计算判别式，得出方程有两个不等实根，补充验证进而证明结论； （3）把二次函数代入靓点公式，因式分解得出，利用靓点个数得出二次方程有两个不等实根，利用韦达定理结合靓点变形建立关于的方程，解方程求出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 将代入得，， 整理得， 关于的二次函数（为常数）的图象上存在三个不同的“靓点”， 令，则方程有两个不相等的实数根，， ， 或， 将代入得， ， ， ， 方程有两个不相等的实数根，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 整理得， （不符合题意，舍去）或， 的值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $