精品解析：江苏省海安高级中学2026-2027学年高一上学期10月月考数学试题

高一数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 已知全集，集合，，则 A. B. C. D. 2. 命题，的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 4. 设，则“”是“”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知关于的一元二次不等式的解集为或，则不等式的解集是（ ） A. B. 或 C. D. 或 6. 已知集合，，若，则所有的取值构成的集合为（ ） A. B. C. D. 7. 若方程有两个不相等的实数根，且仅有一个根在区间（2，3）内，则实数的取值范围是（ ） A. （3，4） B. （2，3） C. （1，3） D. （1，2） 8. 已知命题：“，”，命题：“，”.若两个命题中全称量词命题是假命题，另一个命题是真命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分． 9. 下列命题为假命题的是（ ） A. “”是“”的必要不充分条件 B. 若，，则 C. 方程有两个负根的充要条件是 D. 已知集合，且，则m的取值构成的集合为 10. 设正实数满足，则（ ） A. 有最大值为 B. 有最小值为 C. 有最大值为 D. 有最小值为5 11. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，如：，，高斯函数在现实生活中有着广泛的应用，诸如停车收费，出租车收费等均按“高斯函数”进行计费，以下关于“高斯函数”的描述，正确的是（ ） A. 不等式的解集为 B. 若，恒成立，则实数 C. 不等式的解集为 D. 若不等式的解集为，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 不等式的解集为或，则________． 13. 不等式成立的一个充分不必要条件是，则的取值范围为________． 14. 对于实数x，y，z，记为x，y，z中的最大者，例如：，，．设实数，，，且或，则的最小值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）若不等式对一切恒成立，求实数a的取值范围． （2）若不等式对一切恒成立，求实数x的取值范围． 16. 计算下列各式的值． （1）； （2）； （3）已知，，为正实数，，，求的值． 17. 已知集合，集合． （1）若，求的取值范围； （2）在中有且仅有两个整数，求的取值范围． 18. 回答下列问题： （1）已知，且，求的最小值； （2）已知，若，求的最大值． 19. 若集合，其中，，…，为非空集合，，则称集合为集合的一个划分． （1）写出集合的所有不同的2划分； （2）设为有理数集的一个2划分，且满足对任意，任意，都有，判断命题“中的元素存在最大值，中的元素存在最小值．”的真假，并说明理由． （3）设集合，对于集合的任意一个3划分，证明：存在，存在，，使得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 已知全集，集合，，则 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题根据交集、补集的定义可得.容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查. 【详解】，则 故选：A 【点睛】易于理解集补集的概念、交集概念有误. 2. 命题，的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，利用全称量词命题与存在量词命题的关系，准确改写，即可求解. 【详解】因为存在量词命题的否定为全称量词命题， 可得命题，的否定是：，. 故选：A 3. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由，即得， 则得， 所以不等式的解集为． 4. 设，则“”是“”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】求出的解集，根据两解集的包含关系确定. 【详解】等价于，故推不出； 由能推出． 故“”是“”的必要不充分条件． 故选B． 【点睛】充要条件的三种判断方法： (1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断； (2)集合法：根据由p，q成立的对象构成的集合之间的包含关系进行判断； (3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题． 5. 已知关于的一元二次不等式的解集为或，则不等式的解集是（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知一元二次不等式的解集，结合韦达定理得到与的关系，代入所求不等式化简后即可求解. 【详解】因为关于的一元二次不等式的解集为或， 所以，且是方程的两个实根. 由韦达定理得：， 整理得，，其中. 将代入不等式， 可得：， 因为，可得：，即：， 则，解得或， 即所求不等式的解集为或. 6. 已知集合，，若，则所有的取值构成的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】至多一个解，当时，无解，故， 当时，，解得， 当时，， 故所有的取值构成的集合为. 7. 若方程有两个不相等的实数根，且仅有一个根在区间（2，3）内，则实数的取值范围是（ ） A. （3，4） B. （2，3） C. （1，3） D. （1，2） 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数图像列不等式，通过解一元二次不等式可解得结果. 【详解】因为方程有两个不相等的实数根，且仅有一个根在区间（2，3）内，所以①当时，，，； ②令，，方程另一解为，不适合； ③令，，方程另一解为，不适合. 综上的取值范围是， 故选：D. 【点睛】本题考查根据二次函数零点分布求参数，考查基本分析求解能力，属中档题. 8. 已知命题：“，”，命题：“，”.若两个命题中全称量词命题是假命题，另一个命题是真命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先确定全称量词命题为假、存在量词命题为真，分别求出两个命题对应的取值范围，取交集即可得到结果. 【详解】命题为存在量词命题，命题为全称量词命题，由题意得为假命题，为真命题， ① 当为假命题时，其否定“”为真命题， 即二次方程有两个不相等的实根， 故判别式，得，即，解得或； ② 当为真命题时，因为的取值范围是，的最大值是， 只需即可满足条件，故为真命题时， 取上述两个范围的交集，可得实数的取值范围是. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分． 9. 下列命题为假命题的是（ ） A. “”是“”的必要不充分条件 B. 若，，则 C. 方程有两个负根的充要条件是 D. 已知集合，且，则m的取值构成的集合为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用必要不充分条件定义判断A；求出集合判断B；利用充要条件的定义，举例说明判断C；利用集合的互异性确定判断D. 【详解】对于A，只能得到集合有公共元素，并不能得到， 反之，由，可能有，此时， 因此“”是“”的既不充分也不必要条件，A是假命题； 对于B，依题意，，，，B不是假命题； 对于C，其充要条件是且，解得，C是假命题； 对于D，由集合，得，因此m的取值构成的集合中不含元素1，D是假命题. 故选：ACD 10. 设正实数满足，则（ ） A. 有最大值为 B. 有最小值为 C. 有最大值为 D. 有最小值为5 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用已知条件，结合基本不等式，通过配凑变形、平方转化、消元后1的代换技巧逐一计算每个选项的最值，判断对错. 【详解】对于A：​， 当且仅当时等号成立， 故的最大值为，A正确； 对于B：， 由A知的最大值为， 因此的最小值为​， 当且仅当时等号成立， 即最小值为​，故B正确； 对于C：设​，平方得： ， 因为，因此，即​， 但等号成立条件为，结合解得， 不满足是正实数，等号取不到，因此不存在最大值，故C错误； 对于D：将代入，可得， 因， 故， 当且仅当，即​时等号成立，此时有最小值为，故D正确. 【点睛】本题考查基本不等式求最值，核心是掌握基本不等式及其推论，常用配凑变形、平方转化、1的代换技巧，使用时必须验证等号成立条件是否满足给定范围. 11. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，如：，，高斯函数在现实生活中有着广泛的应用，诸如停车收费，出租车收费等均按“高斯函数”进行计费，以下关于“高斯函数”的描述，正确的是（ ） A. 不等式的解集为 B. 若，恒成立，则实数 C. 不等式的解集为 D. 若不等式的解集为，则 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A选项，根据“高斯函数”的定义和性质，解不等式判断选项A；对于B选项，求出的取值，结合不等式恒成立求出的取值范围，判断选项B；对于C选项，解二次不等式结合高斯函数的定义和性质判断选项C；对于D选项，首先根据不等式的解集确定的可以取值，然后逐一代入不等式中求解参数的取值范围并判断选项. 【详解】对于A选项，满足不等式的整数为，，， 时，对应；时，对应；时，对应， 满足不等式的区间为，故A选项错误； 对于B选项，当时，的取值为，，，， 令，不等式对恒成立， 当时，代入得，解得：； 当时，代入得，解得：； 当时，代入得，解得：； 当时，代入得，解得：； 综上可得：，故B选项正确； 对于C选项，由，解得：， 是整数，故无满足条件的整数解， 解集为，故C选项错误； 对于D选项，不等式的解集为，则， 令，不等式化为， 当时，由，即，可得：，即， 当时，需满足，解得：， 当时，需满足，解得：， 综上可得：，故D选项正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 不等式的解集为或，则________． 【答案】 【解析】 【分析】由分式不等式解集的形式，可得不等式的分子与分母对应的二次方程或一次方程的根，从而求得，，的值. 【详解】因为，即，由不等式的解集可得， 令，得，解得：或. 由不等式的解集可得与是方程的解， 所以，解得：. 13. 不等式成立的一个充分不必要条件是，则的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【详解】不等式的解集为， 因为不等式成立的一个充分不必要条件是，所以，解得， 当时为，此时是不等式成立的充要条件， 所以的取值范围为. 14. 对于实数x，y，z，记为x，y，z中的最大者，例如：，，．设实数，，，且或，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】结合给定条件进行分类讨论和等量代换. 【详解】设，则，三式相加得， 当时，，所以，结合，可得， 代入，得，所以； 当时，，结合，可得，即， 由，得，代入，得，解得. 验证，当时，取，，，满足，，，且， 则，，，即， 所以的最小值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）若不等式对一切恒成立，求实数a的取值范围． （2）若不等式对一切恒成立，求实数x的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）对二次项系数分类讨论，结合判别式可得结果； （2）变换主元，结合一次函数的性质可得结果. 【详解】（1）因为对一切恒成立 ①当a=3时，恒成立，所以a=3符合题意 ②当时，，则 综上，a的取值范围为. （2）因为不等式对一切恒成立 所以对一切恒成立 令，则 ， 所以 所以a的取值范围为. 16. 计算下列各式的值． （1）； （2）； （3）已知，，为正实数，，，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ． 【小问3详解】 设，所以，，， 因为，则，即， 所以，则． 17. 已知集合，集合． （1）若，求的取值范围； （2）在中有且仅有两个整数，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）解不等式求出，根据可得，分类讨论确定集合B，列出相应不等式，即可求解； （2）根据（1）中对a的分类讨论，确定集合B，结合中有且仅有两个整数，列出相应不等式，即可求解. 【小问1详解】 由，所以． 由， 因为，所以， 当时，即时，不等式为，显然该不等式解集为空集， 即，显然成立； 当时，即时，， 要想，只需，而，所以； 当时，即时，， 要想，只需，而，所以， 综上所述：的取值范围为； 【小问2详解】 由（1）可知：当时，，此时不符合题意； 由（1）可知：当时，，， 该区间的中点为， 要想中有且仅有两个整数，这两个整数只能是，故只需， 由，显然，所以， 由（1）可知：时，此时，， 要想中有且仅有两个整数，这两个整数只能是，故只需， 由，而，即， 综上所述：的取值范围为. 18. 回答下列问题： （1）已知，且，求的最小值； （2）已知，若，求的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 因为，且， 所以 ， 等号成立时且，即， 故的最小值为 【小问2详解】 因为，所以，所以， 即，得或， 因为，所以，所以，所以， 所以，当且仅当，即时取等号， 所以的最大值为 19. 若集合，其中，，…，为非空集合，，则称集合为集合的一个划分． （1）写出集合的所有不同的2划分； （2）设为有理数集的一个2划分，且满足对任意，任意，都有，判断命题“中的元素存在最大值，中的元素存在最小值．”的真假，并说明理由． （3）设集合，对于集合的任意一个3划分，证明：存在，存在，，使得． 【答案】（1），， （2）该命题为假命题，理由如下： 假设命题为真，则不妨设中元素的最大值为，中元素的最小值为，由题可知：，所以， 因为为中元素的最大值，所以， 因为为中元素的最小值，所以， 因为，所以， 这与矛盾，所以假设不成立，即命题不可能成立； （3）由于集合中有16个元素，所以，，中至少有一个集合至少包含6个元素， 不妨设中至少包含6个元素， 设，，，，，，且， 假设对任意，对任意，都有， 那么，，，，， 又因为，，，，， 所以，，，，， 则，中必有一个集合至少包含，，，，中的3个元素， 不妨设这3个元素为， 由假设可知：，，， 对任意，，存在，， 都有， 又因为，而，与假设矛盾， 所以假设不成立，即存在，存在，，使得． 【解析】 【分析】（1）根据题意，3 个元素拆成两非空子集，只能是 “1 个元素 + 2 个元素” 的组合，即可求解； （2）采用反证法，假设不同集合分别有最大值和最小值，则可推导出有理数不符合题意，即可证明； （3）利用反证法，假设任意集合内任意两数之差都不在这个集合内，以及元素与集合之间的关系即可证明； 【详解】（1）集合的所有不同的2划分为，， （2）略 （3）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $