江苏南京师范大学附属扬子中学2026～2027学年高一上学期第一次月考数学试卷

2026—2027学年第一学期10月调研考试 高一数学 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上． 1．命题“，”的否定是（　　） A．， B．， C．， D．， 2．已知全集 ，集合 ，集合 ， 则图中阴影部分表示的集合是（　　） A． B． C． D． 3．不等式 的解集是（　　） A． B． C． D． 4．若 ，，，则（　　） A． B． C． D． 5．设 ，则“”是“”的（　　） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．关于 的方程 有下列四个命题： 甲：该方程两根异号； 乙： 是该方程的根； 丙：该方程两根之和为 2； 丁： 是该方程的根． 如果这四个命题中只有一个假命题，则该命题是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 7．若不等式 在 上恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 8．设集合 ，若非空集合 同时满足：①；②（其中 表示 中元素的个数， 表示集合 中最小的元素）， 则称集合 为 的一个好子集，则 的所有好子集的个数为（　　） A．9 B．10 C．11 D．12 二、选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得 6 分，部分选对得部分分，不选或有错选的得 0 分． 9．已知 ，，则下列说法正确的是（　　） A． B． C． D． 10．已知关于 的不等式 的解集为 ，则下列说法正确的是（　　） A． B．不等式 的解集为 C． D．若函数 的两个零点分别为 和 ，则 ， 11．已知 ，，且 ，则下列说法正确的是（　　） A． 的最大值是 B． 的最小值是 4 C． 的最小值是 2 D． 的最小值是 三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 12．已知 ，则 的最小值是______． 13．已知关于 的不等式 在 上有解，则实数 的最大值是______． 14．已知 ，且对于任意 ，不等式 恒成立， 则 的最小值是______． 四、解答题：本大题共 5 小题，共 77 分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分 13 分） (1)求值 ； (2)已知 ，求 的值． 16．（本题满分 15 分） 不等式 的解集为 ，不等式 的解集为 ． (1)求 和 ； (2)已知“”是“”的必要条件，求实数 的取值范围． 17．（本题满分 15 分） 如图，某物流公司拟建一个长方体仓库，其底面为矩形，面积是 ，高为 10 m．前后两堵墙的造价为 100 元每平方米，左右两堵墙的造价为 200 元每平方米；屋顶与地面造价共 10000 元．设底面的一边 长为 m． (1)若要求总造价不超过 110000 元，求 的取值范围； (2)当 为多少时，总造价最小?并求出最小总造价． 18．（本题满分 17 分） 已知关于 的不等式 的解集为 ，其中 ． (1)若集合 ，求 的值； (2)求不等式的解集 ； (3)是否存在实数 ，使上述不等式的解集 中恰有 3 个整数?若存在，求出 的取值范围；若不存在，请说明理由． 19．（本题满分 17 分） 已知集合 ，若集合 满足如下两个性质： ①； ②对任意 ， 与 中至少有一个属于集合 ； 则称集合 为“联合体集合”． (1)分别判断 与 是否为“联合体集合”，直接给出结论，不需要说明理由； (2)若集合 是“联合体集合”，且 ，求集合 ； (3)若集合 是“联合体集合”，求 的值(用含 的代数式表示)． 2026—2027学年第一学期10月调研考试 高一数学 1 页（共 4 页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年第一学期10月调研考试 高一数学 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B C C B A D C D AB BD ACD 1．命题“，”的否定是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】全称命题的否定：把“”改为“”，并把“”改为“”． 【解答】命题“，”是特称命题，其否定为“，”． 2．已知全集 ，集合 ，集合 ， 则图中阴影部分表示的集合是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由 Venn 图读出阴影部分为 中不属于 的元素，再求 ． 【解答】图中阴影部分为 （ 中不属于 的元素）． 因为 ，，所以 ． 又 ，所以 ． 3．不等式 的解集是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】移项化为一元二次不等式，注意开口方向与根的分布． 【解答】由 得 ，即 ， 解得 ，所以解集为 ． 4．若 ，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先算三个数的值，再比较大小：，，． 【解答】，，， 所以 ． 5．设 ，则“”是“”的（　　） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】把“”化成 ，再与 比较包含关系． 【解答】由 得 ，解得 ． 因为 是 的真子集，即“”能推出“”，反之不成立， 所以“”是“”的充分且不必要条件． 6．关于 的方程 有下列四个命题： 甲：该方程两根异号； 乙： 是该方程的根； 丙：该方程两根之和为 2； 丁： 是该方程的根． 如果这四个命题中只有一个假命题，则该命题是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【分析】逐一假设某个命题为假，检验其余三个能否同时成立． 【解答】若甲假，则乙、丙、丁真：由乙、丁知两根为 3 和 1，此时两根之积为 3>0，甲确实为假，但丙“两根之和为 2”也是假（和为 4），出现两个假命题，不符； 若乙假，则甲、丙、丁真：由丁知 是根，由丙知另一根为 1，则两根同号，甲为假，也不符； 若丙假，则甲、乙、丁真：由乙、丁知两根为 3 和 1，此时两根同号，甲为假，不符； 若丁假，则甲、乙、丙真：由乙知 是根，由丙知另一根为 ，此时两根之积为 ，甲（两根异号）成立，符合题意． 故只有丁是假命题． 7．若不等式 在 上恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】按二次项系数为 0 与不为 0 讨论，注意 且 ． 【解答】当 时， 或 ． 若 ，则 恒成立，符合；若 ，则 不恒成立，舍去． 当 ，即 时，需 ， 即 ，，解得 ． 当 时，抛物线开口向下，不可能恒大于 0． 综上， 的取值范围是 ． 8．设集合 ，若非空集合 同时满足：①；②（其中 表示 中元素的个数， 表示集合 中最小的元素）， 则称集合 为 的一个好子集，则 的所有好子集的个数为（　　） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】D 【分析】按最小元素 分类，数出满足 的集合个数． 【解答】设 ，则 且其余元素都大于 ，又 ． 当 时， 不可能； 当 时，只能 ，共 1 个； 当 时， 或 2：，，，，共 4 个； 当 时，：，，，，共 4 个； 当 时，：，，共 2 个； 当 时，：，共 1 个． 所以共有 个． 9．已知 ，，则下列说法正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】先由对数定义求 ，再用对数运算性质逐项验证． 【解答】由 得 ，A 正确； ，B 正确； ，C 错误； ，D 错误． 10．已知关于 的不等式 的解集为 ，则下列说法正确的是（　　） A． B．不等式 的解集为 C． D．若函数 的两个零点分别为 和 ，则 ， 【答案】BD 【分析】由解集得 且两根为 1、3，用韦达定理把 用 表示后逐项判断． 【解答】由 的解集为 知 ，且 1，3 是方程 的两根，A 错误； 由韦达定理 ，，得 ，． B： 即 ，因为 ，所以 ，解集为 ，B 正确； C：，C 错误； D：，两个零点为 0 和 4，即 ，，D 正确． 11．已知 ，，且 ，则下列说法正确的是（　　） A． 的最大值是 B． 的最小值是 4 C． 的最小值是 2 D． 的最小值是 【答案】ACD 【分析】用基本不等式或柯西不等式求各式的值，并检验等号成立的条件． 【解答】A：，所以 ，当且仅当 ， 时取等号，A 正确； B：，最小值为 ，B 错误； C：，所以 ，当且仅当 时取等号，C 正确； D：， 又 ，所以 ， 故原式 ，D 正确． 12．已知 ，则 的最小值是______． 【答案】4 【分析】配凑成 ，再用基本不等式． 【解答】因为 ，所以 ， ， 当且仅当 ，即 时取等号，故最小值为 4． 13．已知关于 的不等式 在 上有解，则实数 的最大值是______． 【答案】9 【分析】“有解”等价于 ． 【解答】不等式 有解，等价于 ，解得 ， 所以实数 的最大值是 9． 14．已知 ，且对于任意 ，不等式 恒成立， 则 的最小值是______． 【答案】6 【分析】先由“对任意 恒成立”确定 的关系（三次函数必须出现重根），再求最小值． 【解答】设 ，其三个零点为 ，，． 因为 ，所以 为正零点；若三个零点互不相同，则 在最大零点与中间零点之间取负值，与 对任意 恒成立矛盾． 故必有重根．若 ，则 ，当 且 时 ，矛盾；若 ，则 ，矛盾； 所以只能 ，即 ，此时 对任意 恒成立，符合题意． 于是 ，当且仅当 时取等号， 所以 的最小值是 6． 15．（本题满分 13 分） (1)求值 ； (2)已知 ，求 的值． 【答案】(1)；(2) 【分析】(1)先算分数指数幂，再用 化简对数式；(2)先平方求 ，再平方求 ． 【解答】(1)， ， 所以原式 ． (2)由 两边平方得 ，所以 ， 再两边平方得 ，所以 ． 16．（本题满分 15 分） 不等式 的解集为 ，不等式 的解集为 ． (1)求 和 ； (2)已知“”是“”的必要条件，求实数 的取值范围． 【答案】(1)，；(2) 【分析】(1)因式分解求解两个不等式；(2)“”是“”的必要条件即 ，注意 是开区间，端点要严格比较． 【解答】(1)由 得 ，解得 ， 所以 ． 由 得 ，所以 ． (2)因为“”是“”的必要条件，所以 ， 即对任意 都有 ， 所以 ，解得 ， 即实数 的取值范围是 ． 17．（本题满分 15 分） 如图，某物流公司拟建一个长方体仓库，其底面为矩形，面积是 ，高为 10 m．前后两堵墙的造价为 100 元每平方米，左右两堵墙的造价为 200 元每平方米；屋顶与地面造价共 10000 元．设底面的一边 长为 m． (1)若要求总造价不超过 110000 元，求 的取值范围； (2)当 为多少时，总造价最小?并求出最小总造价． 【答案】(1)；(2) 时总造价最小，最小总造价为 90000 元 【分析】设 ，则 ，把四面墙与屋顶、地面的造价相加，再用基本不等式求最值． 【解答】(1)设 m，则 m．前后两面墙的面积为 m²，左右两面墙的面积为 m²． 总造价 ． 由 得 ，即 ， 整理得 ，即 ，解得 ． (2)因为 ，所以 ， 当且仅当 ，即 ， 时取等号， 所以当 m 时总造价最小，最小总造价为 元． 18．（本题满分 17 分） 已知关于 的不等式 的解集为 ，其中 ． (1)若集合 ，求 的值； (2)求不等式的解集 ； (3)是否存在实数 ，使上述不等式的解集 中恰有 3 个整数?若存在，求出 的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；(2)答案见解析；(3)存在， 【分析】先把不等式因式分解为 ，再按 的符号与两根 、3 的大小分类讨论． 【解答】(1)由 得 ． 因为解集为 ，所以 ，且 ，即 ． （检验： 时不等式为 ，即 ，解集为 ．） (2)当 时，不等式为 ，即 ，； 当 时，，且开口向下，； 当 时，两根为 与 3： 若 ，则 ，； 若 ，则 ，； 若 ，则 ，． (3)由 (2) 知，只有当 时 可能是有限个整数；其余情形 均含无穷多个整数或为空集， 中不可能恰有 3 个整数． 要使 中恰有 3 个整数，这 3 个整数只能是 4，5，6， 所以 ，解得 ． 所以存在满足条件的 ，其取值范围是 ． 19．（本题满分 17 分） 已知集合 ，若集合 满足如下两个性质： ①； ②对任意 ， 与 中至少有一个属于集合 ； 则称集合 为“联合体集合”． (1)分别判断 与 是否为“联合体集合”，直接给出结论，不需要说明理由； (2)若集合 是“联合体集合”，且 ，求集合 ； (3)若集合 是“联合体集合”，求 的值(用含 的代数式表示)． 【答案】(1) 不是“联合体集合”， 是“联合体集合”；(2)；(3) 【分析】(1)按定义逐对检验；(2)(3)先取 得 ，即 ，再利用 推导． 【解答】(1)对 ：取 ，则 ，，不满足②，故 不是“联合体集合”； 对 ：，，，，， 但 ，各对均满足②，故 是“联合体集合”． (2)由②，取 ：因为 ，所以 ，又 且 最小，故 ． 再取 ，：，故 ，又 ，所以 ， 而 ，故 ，即 ，所以 ． 检验：，，，，均满足②，故 ． (3)由 (2) 知 ．对任意 ，因为 ，由②得 ． 于是映射 把 中除 外的 个元素映为 中 个互不相同的元素，且 只在 时成立，故这 个元素恰为 中除 外的元素． 因此 ， 左边 ，记 ，得 ， 又 ，整理得 ，即 ． 2026—2027学年第一学期10月调研考试 高一数学 1 页（共 4 页） 学科网（北京）股份有限公司 $