重难点专训01 排列组合易错题型五大考法（专项训练）（上海专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

重难点专训01 排列组合易错题型 内容导航 解题方法及技巧提炼 1 题型通法及变式提升 3 题型1 相邻问题（捆绑法） 3 题型2 不相邻问题（插空法） 3 题型3 特殊元素优先（数字组数） 4 题型4 分组与分配（平均分组陷阱） 4 题型5 隔板法与间接法 5 重难专题分层过关练 6 巩固过关 6 创新提升 6 解题方法及技巧提炼 类型1：相邻问题——捆绑法 【特征】要求某些元素必须排在一起。 【通法】将相邻元素“捆绑”视为一个整体，先与其他元素排列，再考虑捆绑内部的排列。 【易错点】忘记捆绑内部的排列！如甲乙相邻，内部有A(2,2)=2种。 类型2：不相邻问题——插空法 【特征】要求某些元素互不相邻。 【通法】先排其余无限制元素，形成空隙，再将不相邻元素插入空隙中。 【易错点】n个元素排列形成n+1个空隙（含两端），别漏了两端的位置。 类型3：特殊元素/位置优先法 【特征】某些元素有特殊要求（不能在首位、必须在中间），或某些位置有特殊限制。 【通法】先安排特殊元素或特殊位置，再安排其余元素。 【易错点】数字组数问题中，首位不能为0，这是最常遗漏的限制。 类型4：分组问题（均匀分组陷阱） 【特征】将元素分成若干组。 【通法】不均匀分组：直接逐组C选取；均匀分组（各组人数相同）：选完后要除以相同组数的阶乘A(k,k)，因为组与组之间没有区别。 【易错点】平均分成不命名的堆时忘记除以阶乘，导致重复计数。 类型5：分配问题（分给不同对象） 【特征】将元素分给不同的人/位置（甲乙丙不同）。 【通法】因为对象有区别，不需要除阶乘。直接C(n₁,k₁)×C(n₂,k₂)×…即可。 【对比】“分成三堆”（无名字）要除A(3,3)；“分给甲乙丙三人”（有名字）不除。 类型6：隔板法（相同元素分配） 【特征】n个相同元素分给m个不同对象，每人至少1个。 【通法】在n个元素的n-1个空隙中插入m-1块隔板，方法数为C(n-1, m-1)。 【前提】元素必须相同！元素不同不能用隔板法。每人至少1个，允许0个时先补1个再用。 类型7：定序问题——倍缩法 【特征】某些元素的相对顺序固定（如甲必须在乙前面）。 【通法】先全排列，再除以固定顺序元素的全排列。n个元素中m个定序：A(n,n)/A(m,m)。 类型8：间接法（排除法） 【特征】出现“至少”“至多”“不都”等词语。 【通法】总数减去不符合条件的情况数。通常比直接分类更简单。 【易错点】“至少1个”= 全部 - “0个”，别重复也别遗漏。 类型9：染色问题 【特征】给区域/图形染色，相邻区域不同色。 【通法】按区域顺序分步染色，优先处理相邻区域最多的那块；环形染色注意最后一块与第一块的关系。 类型10：几何计数 【特征】数线段、三角形、四边形的个数。 【通法】线段=C(n,2)；三角形=C(n,3)减去三点共线的情况；四边形=C(n,4)减去共线情况。 题型通法及变式提升 题型1 相邻问题（捆绑法） 1．等6人在某博物馆前排成一列进入馆内参观，其中相邻，则不同的排队方法有__________种.（用数字作答） 2．某校艺术节汇演，已知高一、高二、高三分别选送了4、3、2个节目，若高二的节目必须相邻，则共计有______种出场顺序. 3．（2026·上海虹口·三模）甲、乙等共3人排成一排，则甲和乙不相邻的概率为_____________． 4．以0、1、2、3、4中随机选取4个不同的数排成一个四位数．已知3和4相邻，则该数为偶数的概率为______． 5．用、、、、、组成没有重复数字的六位数，要求所有相邻两个数字的奇偶性都不同，且和相邻，这样的六位数一共有______个. 6．在日日新一次活动后，参加活动的5名男生和3名女生排成一行拍照留念，其中男生甲和女生乙是小组长，在下列不同条件下，求排列方法的数量： (1)要求男女两名小组长相邻； (2)要求女生小组长不在排头和排尾，并且她左右两边各有一名女生； (3)要求男女两名小组长都不在排头和排尾，并且男生小组长左右各有一名女生，女生小组长左右各有一名男生. 题型2 不相邻问题（插空法） 7．在某次数学兴趣小组交流活动中，四名男生与三名女生坐成一排，则三名女生两两不相邻的概率为__________. 8．（2026·上海杨浦·模拟预测）将复旦附中顶呱呱七个字打乱，要求“复旦附中”四个字互不相邻，“顶呱呱”三个字互不相邻，构成一个新的七字排列词，则这样的七字排列词的个数为__________． 9．（25-26高三上·上海·期末）有个男孩和个女孩排成一列，个女孩互不相邻的站法种数为_____________. 10．人并排站成一行，如果甲、乙两人必须不相邻，那么不同的排法种数是_____． 11．红､绿､蓝三色的同质小球各2个排成一排，同色球不相邻的排法有__________种.（结果用数值表示） 题型3 特殊元素优先（数字组数） 12．5人站成一排，其中甲站中间，共有______种排法.(用具体数字作答) 13．6个人站成一排，若甲在乙左边，则有__________种排法.（结果用数值表示） 14．（26-27高三上·上海浦东新·阶段检测）把1，2，3，4，5这五个数随机地排成一列组成一个数列，则该数列先严格减后严格增的概率为______． 15．背面标有不同序号的9张字母卡片排成单词“aftermath”，现将它们随机打乱重排，得到的字母卡片序列中恰好出现单词“math”的概率是________（结果用最简分数表示）． 16．（2026高三下·上海·竞赛）设，且，由a，a，b，c能构成_________个不同的四位数． 17．（2025·上海·模拟预测）在1、2、3、4、5的所有排列、、、、中，满足条件，，的排列的个数是________． 18．（25-26高二下·上海·期末）将3×3方格表的每个方格染成黑色或白色，满足没有两行中三个格子的染色方式完全相同，也没有两列完全相同，则不同的染色方法数为_____________. 19.从这个数中选择若干个不重复的数字． (1)能组成多少个无重复数字且不含的四位数？ (2)能组成多少个无重复数字且被整除的四位数？ (3)能组成多少个无重复数字且小于的数？ 题型4 分组与分配（平均分组陷阱） 20．某校高二年级有6个班，现有4名插班生安排到该年级的两个班中，且每班安排2名，则不同的安排方案种数为（   ） A． B． C． D． 21．将序号分别为1，2，3，4的4张参观券全部分给3人，每人至少1张，则不同的分法种数是_______． 22．（2026·上海·三模）将甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者分配到A、B、C、D四个特殊家庭开展帮扶，每个家庭至少安排一名志愿者，则志愿者甲恰好被安排在A家庭的概率为________． 23．（2026·上海杨浦·模拟预测）满足定义域为{1，2，3，4，5}，值域为{1，2，3}的函数个数为__________． 24．5名同学分成三组，每组至少1人有_____________种分法． 25．高二年级14个班级开展5人制足球班赛，赛制采用单场淘汰制，即通过抽签确定每轮比赛对阵安排，每场均分出胜负，胜者晋级下一轮，败者淘汰（其中第二轮比赛会有一支队伍轮空，从而直接晋级），直至决出最后的冠军.同时由于场地与时间限制，每天至多安排两场比赛，若当天安排两场比赛，则两场比赛将同时进行. (1)若不设三､四名决赛，求按此赛制决出冠军共需要进行的比赛场次； (2)第一轮比赛对阵安排确定后，体育组打算将本轮比赛安排在4天内进行，若班在该轮比赛时没有其他比赛同时进行，求满足该要求的排法数； (3)两个班均晋级第二轮比赛，求随机抽签确定对阵安排后，两个班没有相互遭遇的概率； (4)若本次比赛增设三、四名决赛，且班最终分获本次班赛的冠，亚，季军，现需要从这三支队伍选出5人，组成高二年级足球阵容，要求三支队伍均有人入选，求冠军队入选人数至少两人选法数. 题型5 隔板法与间接法 26．从4位男老师和4位女老师中选出3名教师，派到3个班担任班主任（每班1位班主任），要求这3名班主任中男、女教师都要有，则不同的选派方案共有（     ）种 A．48 B．288 C．312 D．336 27．某校开设5门知识类选修课和4门技能类选修课.学生需从中选修3门，且至少包含一门知识类选修课，则不同的选课方案共有______种.（用数字作答） 28．有10个评优指标分到3个不同的班级.若每班至少分配到1个指标，则指标个数的不同分配方法共有__________种. 29．某停车场有一整排11个空车位．甲、乙、丙三辆不同的车去停放，要求每辆车左右两侧都有空车位且甲车在乙、丙两车之间，则共有______种不同的停放方式． 30．15个相同的小球放入编号为1，2，3的盒子内，盒子内的小球数不小于编号数，则不同的放法有______种. 31．设数列是项数为10的有穷数列，且对任意，，都有．若数列满足：①若，则；②存在，使得；则满足条件的数列共有________个(结果用数值表示)． 重难专题分层过关练 巩固过关 1．（2026·上海闵行·二模）小闵同学打算将“20260407”中的8个数字“”进行排列得到密码.如果排列时要求两个“2”相邻且三个“0”不相邻，那么小闵可以设置的不同密码的个数为______. 2．某次文艺晚会上计划演出7个节目，其中2个歌曲节目，3个舞蹈节目，2个小品节目，现需要制作节目单. (1)若要求3个舞蹈节目相邻，有多少种不同的排法？ (2)若要求2个小品节目不相邻，有多少种不同的排法？ (3)由于特殊原因，需要在定好的节目单上新加两个不同的节目，但不改变原来节目的相对顺序，有多少种不同的排法？ 3．有4名男生、3名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数（列式-最后用数字作答）. (1)全体排成一排，女生必须站在一起； (2)全体排成一排，女生互不相邻； (3)已知甲、乙是这7人中的两人，甲不站在排头，乙不站在排尾； 创新提升 1．（25-26高三下·上海·阶段检测）高三拍毕业照时，、、、、五位同学站成一排照相，在、两位同学不相邻的条件下，、相邻的概率为_______. 2．（2025·上海闵行·一模）某校的5位老师甲、乙、丙、丁、戊排成一排照相，其中甲、乙必须相邻，且甲不站在两端，则不同的排法种数为________ 3．（2025·上海徐汇·一模）从20名男生和18名女生中选取5人组成一个宣传小组，其中男生和女生都不少于2人的选法有__________种． 4．（24-25高三下·上海虹口·期中）已知个小球的编号为、、、，从中有放回地摸取小球三次，并依次记录其编号，若这三个编号成等差数列，则共有______种不同的摸取方法. 5．设集合A是由所有满足下面条件的有序实数组构成的：每一个元素等于0、1、中之一，其中，2，3，4，5.那么集合A中满足条件“”的元素个数为______. 6．已知有穷数列的首项为1，末项为10，且任意相邻两项之间满足，则符合上述要求的不同数列的个数为______． 7．《水浒传》、《三国演义》、《西游记》和《红楼梦》被称为中国古代四大名著．书架的某一层上有4本不同的文学书，现将四大名著各一本插入这4本书形成的5个空隙中，要求原有书的顺序不变且四大名著中至少有3本相邻，则不同的插法共有______种．（结果用数值表示） 8．某校艺术节总汇演，已知高一，高二，高三分别选送了4，3，2个节目，若高二的节目彼此都不相邻，高三的节目必须相邻，共计有__________种出场顺序.(用具体数字作答) 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专训01 排列组合易错题型 内容导航 解题方法及技巧提炼 1 题型通法及变式提升 3 题型1 相邻问题（捆绑法） 3 题型2 不相邻问题（插空法） 5 题型3 特殊元素优先（数字组数） 6 题型4 分组与分配（平均分组陷阱） 9 题型5 隔板法与间接法 11 重难专题分层过关练 14 巩固过关 14 创新提升 15 解题方法及技巧提炼 类型1：相邻问题——捆绑法 【特征】要求某些元素必须排在一起。 【通法】将相邻元素“捆绑”视为一个整体，先与其他元素排列，再考虑捆绑内部的排列。 【易错点】忘记捆绑内部的排列！如甲乙相邻，内部有A(2,2)=2种。 类型2：不相邻问题——插空法 【特征】要求某些元素互不相邻。 【通法】先排其余无限制元素，形成空隙，再将不相邻元素插入空隙中。 【易错点】n个元素排列形成n+1个空隙（含两端），别漏了两端的位置。 类型3：特殊元素/位置优先法 【特征】某些元素有特殊要求（不能在首位、必须在中间），或某些位置有特殊限制。 【通法】先安排特殊元素或特殊位置，再安排其余元素。 【易错点】数字组数问题中，首位不能为0，这是最常遗漏的限制。 类型4：分组问题（均匀分组陷阱） 【特征】将元素分成若干组。 【通法】不均匀分组：直接逐组C选取；均匀分组（各组人数相同）：选完后要除以相同组数的阶乘A(k,k)，因为组与组之间没有区别。 【易错点】平均分成不命名的堆时忘记除以阶乘，导致重复计数。 类型5：分配问题（分给不同对象） 【特征】将元素分给不同的人/位置（甲乙丙不同）。 【通法】因为对象有区别，不需要除阶乘。直接C(n₁,k₁)×C(n₂,k₂)×…即可。 【对比】“分成三堆”（无名字）要除A(3,3)；“分给甲乙丙三人”（有名字）不除。 类型6：隔板法（相同元素分配） 【特征】n个相同元素分给m个不同对象，每人至少1个。 【通法】在n个元素的n-1个空隙中插入m-1块隔板，方法数为C(n-1, m-1)。 【前提】元素必须相同！元素不同不能用隔板法。每人至少1个，允许0个时先补1个再用。 类型7：定序问题——倍缩法 【特征】某些元素的相对顺序固定（如甲必须在乙前面）。 【通法】先全排列，再除以固定顺序元素的全排列。n个元素中m个定序：A(n,n)/A(m,m)。 类型8：间接法（排除法） 【特征】出现“至少”“至多”“不都”等词语。 【通法】总数减去不符合条件的情况数。通常比直接分类更简单。 【易错点】“至少1个”= 全部 - “0个”，别重复也别遗漏。 类型9：染色问题 【特征】给区域/图形染色，相邻区域不同色。 【通法】按区域顺序分步染色，优先处理相邻区域最多的那块；环形染色注意最后一块与第一块的关系。 类型10：几何计数 【特征】数线段、三角形、四边形的个数。 【通法】线段=C(n,2)；三角形=C(n,3)减去三点共线的情况；四边形=C(n,4)减去共线情况。 题型通法及变式提升 题型1 相邻问题（捆绑法） 1．等6人在某博物馆前排成一列进入馆内参观，其中相邻，则不同的排队方法有__________种.（用数字作答） 【答案】 【详解】两人看作一个整体，内部有种排法， 整体和剩下4人，构成5个元素全排列有种排法， 故共有种， 故相邻，则不同的排队方法有240种. 2．某校艺术节汇演，已知高一、高二、高三分别选送了4、3、2个节目，若高二的节目必须相邻，则共计有______种出场顺序. 【答案】30240 【详解】将高二的3个节目捆绑为一个元素，等价于7个元素的外部排列，再乘以捆绑体内部3个节目的排列，即. 3．（2026·上海虹口·三模）甲、乙等共3人排成一排，则甲和乙不相邻的概率为_____________． 【答案】 【详解】3人全排列，总的基本事件数为种， 若3人排成一排，甲乙不相邻，则甲乙分别在两端，第三个人在中间，甲乙可交换顺序，共种符合条件的排列， 所以甲和乙不相邻的概率为：. 4．以0、1、2、3、4中随机选取4个不同的数排成一个四位数．已知3和4相邻，则该数为偶数的概率为______． 【答案】 【详解】先把3和4看做一个整体，有种排法，从0、1、2、中选2个数，有， 选法不含0即，共有种； 选法含0有2种：全排列再减掉0在千位的不合理排列， 共有种；因此共有种， 个位为0：则3和4相邻和一个非0数进行排列，共有； 个位为2：另外一个数为0时，有2种；另外一个数为1时， 有种；共种； 个位为4：相邻十位数一定是3，剩下两个位置从0,1,2中选两个进行排列， 有种； 故共有种；故所求概率为 5．用、、、、、组成没有重复数字的六位数，要求所有相邻两个数字的奇偶性都不同，且和相邻，这样的六位数一共有______个. 【答案】 【详解】由题意可知，奇数和偶数间隔排开， （1）若首位排奇数， ①若首位为，则第位排，则第、位排剩余的两个奇数，第、位排剩余两个偶数， 此时符合条件的六位数的个数为个； ②若排在第位，则可排在第位或第位，第、位排剩余两个奇数，剩余两个偶数排剩余两个位置， 此时符合条件的六位数的个数为个； ③若排在第位，则可排在第位或第位，第、位排剩余两个奇数，剩余两个偶数排剩余两个位置， 此时符合条件的六位数的个数为个； （2）若首位排偶数， ①若首位排，则排在第位，则第、位排剩余的两个偶数，第、位排剩余两个奇数， 此时符合条件的六位数的个数为个； ②若首位排，则可排在第位或第位， 若排在第位，则排在第位，排在第位或第位，剩余的两个奇数排在剩余的两个位置上， 此时符合条件的六位数的个数为个； 若排在第位，则排在第位，排在第位或第位，剩余的两个奇数排在剩余的两个位置上， 此时符合条件的六位数的个数为个. 综上所述，符合条件的六位数的个数为个. 6．在日日新一次活动后，参加活动的5名男生和3名女生排成一行拍照留念，其中男生甲和女生乙是小组长，在下列不同条件下，求排列方法的数量： (1)要求男女两名小组长相邻； (2)要求女生小组长不在排头和排尾，并且她左右两边各有一名女生； (3)要求男女两名小组长都不在排头和排尾，并且男生小组长左右各有一名女生，女生小组长左右各有一名男生. 【详解】（1）用捆绑法先排其余6名成员，有种排法， 再把两名组长捆绑起来排进去，考虑2名组长交换，共， 因此共有种不同排法. （2）第一步考虑两名女生和女组长绑一起，让女组长排中间，则共有， 第二步考虑5名男生和这个捆绑的整体一起排序，则有种， 因此共有种不同排法. （3）第一步考虑两名女生和男组长绑一起，让男组长排中间，则共有， 考虑两名男生和女组长绑一起，让女组长排中间，则共有， 第二步考虑余下2名男生和这两个捆绑的整体一起排序，则有种， 因此共有种不同排法. 题型2 不相邻问题（插空法） 7．在某次数学兴趣小组交流活动中，四名男生与三名女生坐成一排，则三名女生两两不相邻的概率为__________. 【答案】 【详解】三名女生两两不相邻的概率为：. 8．（2026·上海杨浦·模拟预测）将复旦附中顶呱呱七个字打乱，要求“复旦附中”四个字互不相邻，“顶呱呱”三个字互不相邻，构成一个新的七字排列词，则这样的七字排列词的个数为__________． 【答案】72 【详解】 要使“复旦附中”四个字互不相邻，“顶呱呱”三个字互不相邻，则排列方式必为这两组字交替排列. 由于“复旦附中”有4个字，“顶呱呱”有3个字，故排列形式必为 A B A B A B A， 其中A为“复旦附中”中的字，B为“顶呱呱”中的字. “复旦附中”四个字的全排列有种；“顶呱呱”三个字的全排列有种. 根据乘法原理，总排列数为. 9．（25-26高三上·上海·期末）有个男孩和个女孩排成一列，个女孩互不相邻的站法种数为_____________. 【答案】 【详解】先将个男孩排序，然后将个女孩插入个男孩形成的个空位中的个空位， 由插空法可知，不同的站法种数为. 故答案为：. 10．人并排站成一行，如果甲、乙两人必须不相邻，那么不同的排法种数是_____． 【答案】 【详解】根据题意，分步进行分析： ①把甲、乙之外的其他三人全排列，有种排法， ②三人排好后，有个空位，将甲乙安排到空位中，有种排法， 故甲乙不相邻的安排方法有种. 故答案为：. 11．红､绿､蓝三色的同质小球各2个排成一排，同色球不相邻的排法有__________种.（结果用数值表示） 【答案】30 【详解】先将6个小球排列，不同的排法有种， 若将其中1组同色两个球看成1个整体，再与剩余球排列，不同的排法有种， 若将其中2组同色两个球均看为1个整体，再与剩余球排列，不同的排法有种， 若将其中3组同色两个球均看为1个整体，不同的排法有种， 综上所述：不同的排法有种. 题型3 特殊元素优先（数字组数） 12．5人站成一排，其中甲站中间，共有______种排法.(用具体数字作答) 【答案】 【详解】甲站中间，其余四人全排列，共有种排法. 13．6个人站成一排，若甲在乙左边，则有__________种排法.（结果用数值表示） 【答案】360 【详解】6个人站成一排，共有种站法，其中甲在乙左边共有种排法. 14．（26-27高三上·上海浦东新·阶段检测）把1，2，3，4，5这五个数随机地排成一列组成一个数列，则该数列先严格减后严格增的概率为______． 【答案】 【详解】将1,2,3,4,5五个数随机排成一列，所有可能的排列总数为： ， 若数列恰好先严格减后严格增，则最小值1必为递减段和递增段的分界点，且递减段的数仅能按严格递减顺序排列，递增段的数仅能按严格递增顺序排列，仅需从剩余4个数中选取若干个放在1的左侧： 当1左侧有1个数时，有种情况； 当1左侧有2个数时，有种情况； 当1左侧有3个数时，有种情况； 1左侧有0个数时数列为严格递增数列，左侧有4个数时为严格递减数列，均不满足先减后增要求，故舍去； 因此满足条件的数列共有个， 根据古典概型概率计算公式，所求概率为： . 15．背面标有不同序号的9张字母卡片排成单词“aftermath”，现将它们随机打乱重排，得到的字母卡片序列中恰好出现单词“math”的概率是________（结果用最简分数表示）． 【答案】 【详解】总事件数为9张不同序号卡片的全排列数，即. 事件A为字母序列中出现连续的“math”单词， 需从1张m、2张a、2张t、1张h卡片中各选1张（m、h选法各1种，a、t选法各2种）， 按顺序组成一个整体，该整体内部顺序固定. 将此整体与剩余5张卡片（含1张剩余a、1张剩余t、f、e、r）共6个元素全排列， 排列数为，因此事件A的排列数为. 所以概率为：. 16．（2026高三下·上海·竞赛）设，且，由a，a，b，c能构成_________个不同的四位数． 【答案】252 【详解】是集合，意味着三者互不相同. 已知，在中枚举的组合，仅有三组可能：， 可以是中除了a，b之外的任意数字，所以有种选择， 根据分步乘法计数原理，有种不同的元素构成方案． 对于确定好的一组a，a，b，c（两个相同，另外两个相异），构成的不同的四位数的方案为种 所以共可构成不同的四位数个． 17．（2025·上海·模拟预测）在1、2、3、4、5的所有排列、、、、中，满足条件，，的排列的个数是________． 【答案】25 【详解】要求​且​，因此一定是三个位置中最小的数， 情况1：， 此时剩余数为 ，，要求，：没有比2小的剩余数，共种； ：仅剩余比3小，此时，​从 选，剩下数为，共种， ：剩余比4小的数有 ，此时从中选一下，为5和剩下的一个，全排列，故共种； ：剩余所有数都比5小，此时可为剩下3个数的全排列，共种； 本类合计：； 情况2：， 此时剩余数为，， ：此时，此时为的全排列，共种； ：若此时，则为全排列，共种， 若此时，则，1种， 故总共种； ：若此时，为全排列，共种， 若此时，为全排列，共种， 故共种； 本类合计：种； 情况3： 此时剩余数为，， ：​只能选，此时为的全排列，共种； ：只能选，此时为的全排列，共种； 本类合计：， 情况4： 此时没有足够两个比大的数给，共种， 将所有情况相加， ，即满足条件的排列共个. 18．（25-26高二下·上海·期末）将3×3方格表的每个方格染成黑色或白色，满足没有两行中三个格子的染色方式完全相同，也没有两列完全相同，则不同的染色方法数为_____________. 【答案】264 【详解】不妨记黑色为0，白色为1，先定行，再排除重复列， （ⅰ）对于每一行，种选择，即：000，001，010，011，100，101，110，111，则三行互不相同的所有排法共：种， （ⅱ）当第一列和第二列重复，有4种选择，即000，001，110，111，染色方式有种； 同理，第一列和第三列重复，第二列与第三列重复，都是种， 又这三类之间不重复，故不同的染色方法数为：种. 19.从这个数中选择若干个不重复的数字． (1)能组成多少个无重复数字且不含的四位数？ (2)能组成多少个无重复数字且被整除的四位数？ (3)能组成多少个无重复数字且小于的数？ 【详解】（1）依题意，只需从这个数字中选取4个进行全排， 则可组成无重复数字且不含的四位数有个； （2）因为被整除的数特征为末位只能是或，则可分成两类情况： 末位为：剩余三位从剩下个数字中选个排列，则有种排法； 末位为：首位不能为，因此首位有种排法，剩余两位从剩下个数字选个排列， 则有种排法， 由分类加法计数原理，可组成无重复数字且被整除的四位数有个； （3）小于的数包含一位数、两位数、三位数，可分成三类情况： 一位数：共个，则有种； 两位数：十位不能为，十位种选择，个位从剩余个数字选个，则有种； 三位数：百位不能为，百位种选择，剩余两位从剩余个数字选个排列，则有种， 由分类加法计数原理，可组成无重复数字且小于的数有个. 题型4 分组与分配（平均分组陷阱） 20．某校高二年级有6个班，现有4名插班生安排到该年级的两个班中，且每班安排2名，则不同的安排方案种数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】分两步完成： 第一步，先把4名学生平均分成两组，每组2人，有种方案， 第二步，再从6个班中选两个班，将两组学生分配进班，有种方案， 所以不同的安排方案种数为. 21．将序号分别为1，2，3，4的4张参观券全部分给3人，每人至少1张，则不同的分法种数是_______． 【答案】36 【详解】从4张参观券中选择2张组成一组，则有种， 再将这样分出的三组（一组2张，另两组各1张）分给3个人，有种分法 则总的方法数有种. 22．（2026·上海·三模）将甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者分配到A、B、C、D四个特殊家庭开展帮扶，每个家庭至少安排一名志愿者，则志愿者甲恰好被安排在A家庭的概率为________． 【答案】 【详解】先从5人中任选2人组成1组，剩余3人各自成组，再将4组全排列分配到4个家庭，总方法数为种. 志愿者甲恰好被安排在A家庭有两种情况： ① A家庭仅分配甲1人：剩余4人分配到另外3个家庭，每个家庭至少1人，先从4人中任选2人组成1组，剩余2人各自成组，再将3组全排列分配到3个家庭，方法数为种； ② A家庭分配甲和另外1名志愿者：先从其余4人中选1人与甲共同分配到A家庭，剩余3人全排列分配到另外3个家庭，方法数为种. 因此甲恰好被安排在A家庭的总方法数为种. 故所求概率为. 23．（2026·上海杨浦·模拟预测）满足定义域为{1，2，3，4，5}，值域为{1，2，3}的函数个数为__________． 【答案】150 【详解】将定义域中的五个元素分为三组，每组的元素个数可为1，1，3 或 2，2，1， 当以 1，1，3 分组时，组数为，当2，2，1分组时，组数为， 所以可以组成的函数个数为. 24．5名同学分成三组，每组至少1人有_____________种分法． 【答案】25 【详解】由题意， 按1，1，3分组，有种分法， 按1，2，2分组，有种分法， 因此，5名同学分成三组，每组至少1人有种分法． 25．高二年级14个班级开展5人制足球班赛，赛制采用单场淘汰制，即通过抽签确定每轮比赛对阵安排，每场均分出胜负，胜者晋级下一轮，败者淘汰（其中第二轮比赛会有一支队伍轮空，从而直接晋级），直至决出最后的冠军.同时由于场地与时间限制，每天至多安排两场比赛，若当天安排两场比赛，则两场比赛将同时进行. (1)若不设三､四名决赛，求按此赛制决出冠军共需要进行的比赛场次； (2)第一轮比赛对阵安排确定后，体育组打算将本轮比赛安排在4天内进行，若班在该轮比赛时没有其他比赛同时进行，求满足该要求的排法数； (3)两个班均晋级第二轮比赛，求随机抽签确定对阵安排后，两个班没有相互遭遇的概率； (4)若本次比赛增设三、四名决赛，且班最终分获本次班赛的冠，亚，季军，现需要从这三支队伍选出5人，组成高二年级足球阵容，要求三支队伍均有人入选，求冠军队入选人数至少两人选法数. 【详解】（1）单场淘汰制中，每场比赛淘汰1支队伍，14支队伍决出冠军需淘汰支队伍. 第一轮14支队伍进行场比赛，第二轮7支队伍进行场比赛，第三轮4支队伍进行场比赛，第四轮2支队伍进行场比赛. 所以总场次为. （2）第一轮共组对阵，A班比赛无同时进行，需单独占用天. 第一步:从天中选天安排A班比赛，有种选法. 第二步:剩余组比赛平均分成组同时进行，分法为. 所以总排法数为. （3）第二轮共支队伍，抽签规则为选队轮空，剩余队分组对阵. 总对阵安排数:. A、B两班相互遭遇的安排数:. 相遇概率为，因此未遭遇概率为. （4）从支队伍选人且每队至少人，冠军队人数至少两人分三类:、、. 第一类:; 第二类:; 第三类:. 所以总选法数为. 题型5 隔板法与间接法 26．从4位男老师和4位女老师中选出3名教师，派到3个班担任班主任（每班1位班主任），要求这3名班主任中男、女教师都要有，则不同的选派方案共有（     ）种 A．48 B．288 C．312 D．336 【答案】B 【详解】方法一：直接法． 男女教师都有的情况分为两种： 第一种，选派1名男教师，2名女教师，有种选法，再将3人分配到3个班的排列数为， 该种选派方案数为； 第二种，选派2名男教师，1名女教师，有种选法，再将3人分配到3个班的排列数为， 该种选派方案数为； 根据分类加法计数原理，总选派方案数共有种； 方法二：间接法. 从8名教师中任选3名教师分配到3个班的总选派方案数为种， 其中全是男教师或全是女教师的情况不符合要求， 两类不符合的选派方案数均为种， 故符合要求的选派方案数为种. 27．某校开设5门知识类选修课和4门技能类选修课.学生需从中选修3门，且至少包含一门知识类选修课，则不同的选课方案共有______种.（用数字作答） 【答案】 【详解】由题意可得不同的选课方案共有. 28．有10个评优指标分到3个不同的班级.若每班至少分配到1个指标，则指标个数的不同分配方法共有__________种. 【答案】36 【详解】因为个评优指标没有差别，把他们排成一排．相邻名额之间形成个空隙． 在个空档中选个位置插个隔板，把评优指标分成份，对应地分给3个班级，每一种隔板方法对应一种分法，则有有种分法． 故答案为：36. 29．某停车场有一整排11个空车位．甲、乙、丙三辆不同的车去停放，要求每辆车左右两侧都有空车位且甲车在乙、丙两车之间，则共有______种不同的停放方式． 【答案】70 【详解】8个空位的排法有1种，出现了7个空，从中选3个，把三辆车排好的方法有： 种. 其中甲车在乙、丙两车之间的概率为：. 所以满足条件的排法种数为：种. 故答案为：70 30．15个相同的小球放入编号为1，2，3的盒子内，盒子内的小球数不小于编号数，则不同的放法有______种. 【答案】55 【详解】由于小球是相同的，故先用6个小球按编号数“填满”各盒子（符合最低要求），再把9个小球放入3个盒子内即可． 可用2块挡板与9个球一起排列（即为两类元素的排列问题），可得． 故符合题意的不同放法有55种. 故答案为：55. 31．设数列是项数为10的有穷数列，且对任意，，都有．若数列满足：①若，则；②存在，使得；则满足条件的数列共有________个(结果用数值表示)． 【答案】176176 【详解】依题意，. 将数列分为奇数位子数列()与偶数位子数列()，二者独立， 条件①的约束仅在各自子数列内生效. 设长度为的子数列(项)满足条件①的个数为， 计算时的： 位置1为(2种)，后续项被依次确定，共2种； 位置1非(3种)、位置3为(2种)，后续项被依次确定，共种； 位置1,3非(种)、位置5为(2种)，后续项被依次确定，共种； 位置1,3,5非(种)、位置7为(2种)，后续项被依次确定，共种； 位置1,3,5,7非(种)、位置9任意(5种)，共种. 求和得. 所有满足条件①的数列总数为. 所有项均不为的数列数为(此时条件①自动成立). 满足条件①②的数列数为. 重难专题分层过关练 巩固过关 1．（2026·上海闵行·二模）小闵同学打算将“20260407”中的8个数字“”进行排列得到密码.如果排列时要求两个“2”相邻且三个“0”不相邻，那么小闵可以设置的不同密码的个数为______. 【答案】240 【详解】将两个2绑在一起视为一个数，与作全排列，再在形成的5个间隙中插入3个0， 所以不同密码个数为. 2．某次文艺晚会上计划演出7个节目，其中2个歌曲节目，3个舞蹈节目，2个小品节目，现需要制作节目单. (1)若要求3个舞蹈节目相邻，有多少种不同的排法？ (2)若要求2个小品节目不相邻，有多少种不同的排法？ (3)由于特殊原因，需要在定好的节目单上新加两个不同的节目，但不改变原来节目的相对顺序，有多少种不同的排法？ 【详解】（1）依题意，只需将3个舞蹈节目看成一个元素，考虑内部排序，再与另外4个节目共5个元素全排，故共有不同的排法种数为种； （2）依题意，只需将2个小品节目在其它5个非小品节目之间留下的6个空位上进行安排，再考虑这5个节目的全排，故共有不同的排法种数为种； （3）将新增两个节目放入原有7个节目排布产生的8个空位中．若两个节目放入同一个空位，有种排法， 若两个节目不放入同一个空位，有种排法，故共有种排法. 3．有4名男生、3名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数（列式-最后用数字作答）. (1)全体排成一排，女生必须站在一起； (2)全体排成一排，女生互不相邻； (3)已知甲、乙是这7人中的两人，甲不站在排头，乙不站在排尾； 【详解】（1）女生必须站在一起，则女生相邻，先排这3名女生，有种排法， 再将这3名女生捆绑到一起，看成1人，这1人和4名男生排成一排，有种排法， 故全体排成一排，女生必须站在一起有种排法. （2）先排4名男生，有，这4名男生产生5个空隙， 在这5个空隙中插入3个女生，有， 故全体排成一排，女生互不相邻有种排法. （3）7人全排有，甲站在排头的有，乙站在排尾的有， 甲站在排头且乙站在排尾的有， 故甲不站在排头，乙不站在排尾的有 . 创新提升 1．（25-26高三下·上海·阶段检测）高三拍毕业照时，、、、、五位同学站成一排照相，在、两位同学不相邻的条件下，、相邻的概率为_______. 【答案】 【详解】记、两位同学不相邻为事件，、相邻为事件， 由题意知，、、、、五位同学站成一排照相，共有种排法， 首先计算条件对应的样本空间大小，即不相邻的所有排列数： 采用插空法，先排列三位同学，共种排法； 3位同学排完后形成4个空隙，从中选取2个插入，共种排法，故不相邻的排列总数为； 所以 再计算事件“相邻且不相邻”的排列数： 先将绑定为一个整体，内部排序共种排法； 将该整体与共同排列，共种排法；二者排完后形成3个空隙，从中选取2个插入，共种排法， 故满足条件的排列数为， 所以 所以，由条件概率公式得：. 2．（2025·上海闵行·一模）某校的5位老师甲、乙、丙、丁、戊排成一排照相，其中甲、乙必须相邻，且甲不站在两端，则不同的排法种数为________ 【答案】 【详解】先让甲、乙相邻共有种情况，再将甲、乙捆绑与其他三人排列共种情况， 所以甲、乙相邻共种情况. 甲、乙相邻且甲站在两端时：若甲在首位，则乙在第二位，其他三人全排列，有种排法；若甲在末位，则乙在倒数第二位，其他三人全排列，有种排法. 故共有种情况. 所以甲、乙相邻，且甲不站在两端，不同的排法种数为. 故答案为：. 3．（2025·上海徐汇·一模）从20名男生和18名女生中选取5人组成一个宣传小组，其中男生和女生都不少于2人的选法有__________种． 【答案】329460 【详解】从男女共38中选出5人组成一个宣传小组，要求女生和男生均不少于2人，分为以下两类情况： 当选出的5人为2男3女时，不同选法共为种， 当选出的5人为3男2女时，不同选法共为种， 即从中选出5人组成一个宣传小组，要求女生和男生均不少于2人的选法共有种， 故答案为：329460. 4．（24-25高三下·上海虹口·期中）已知个小球的编号为、、、，从中有放回地摸取小球三次，并依次记录其编号，若这三个编号成等差数列，则共有______种不同的摸取方法. 【答案】 【详解】若三个编号成等差数列，若三个编号相同，共有种， 若三个编号彼此都不相同，设这三个编号为、、，则， 则、同为奇数或同为偶数，则可由来确定， 奇数编号的小球共个，偶数编号的小球共个， 若、同为奇数，则、的选择方法种数为种； 若、同为偶数，则、的选择方法种数为种. 当三个编号彼此不同时，不同的摸法种数为种. 综上所述，不同的摸法种数为种. 故答案为：. 5．设集合A是由所有满足下面条件的有序实数组构成的：每一个元素等于0、1、中之一，其中，2，3，4，5.那么集合A中满足条件“”的元素个数为______. 【答案】130 【详解】因为，，集合中元素满足条件， 由于只能取0或1，因此5个数值中有2个0，3个0或4个0的三种情况， ①中有2个取值为0，另外3个从中取，共有方法数：， ②中有3个取值为0，另外2个从中取，共有方法数：， ③中有4个取值为0，另外1个从中取，共有方法数：， 所以总共方法数为， 即集合中满足条件的元素个数有个. 故答案为：130 6．已知有穷数列的首项为1，末项为10，且任意相邻两项之间满足，则符合上述要求的不同数列的个数为______． 【答案】55 【详解】依题意，首项和末项相差9，而任意相邻两项之间满足， 设成立的项数共有项，设成立的项数共有项， 可知：， 当时，即后一项与前一项的差均为1，数列的个数为1； 当时，即后一项与前一项的差出现1个2，7个1，数列的个数为； 当时，即后一项与前一项的差出现2个2，5个1，数列的个数为； 当时，即后一项与前一项的差出现3个2，3个1，数列的个数为； 当时，即后一项与前一项的差出现4个2，1个1，数列的个数为； 所以符合上述要求的不同数列的个数为. 故答案为：55. 7．《水浒传》、《三国演义》、《西游记》和《红楼梦》被称为中国古代四大名著．书架的某一层上有4本不同的文学书，现将四大名著各一本插入这4本书形成的5个空隙中，要求原有书的顺序不变且四大名著中至少有3本相邻，则不同的插法共有______种．（结果用数值表示） 【答案】600 【详解】若四大名著中恰有3本相邻，先从四本名著中选出3本捆绑在一起，3本名著先进行全排列， 再从5个空中选择两个进行插空，有种插法， 若四大名著中4本均相邻，4本名著进行捆绑，进行全排列，再从5个空中选1个插空， 有种插法， 故不同的插法共有种. 8．某校艺术节总汇演，已知高一，高二，高三分别选送了4，3，2个节目，若高二的节目彼此都不相邻，高三的节目必须相邻，共计有__________种出场顺序.(用具体数字作答) 【答案】28800 【详解】将高三2个节目捆绑，内部排列有种方法；将此捆绑视为一个整体，与高一4个节目进行全排列，有种方法； 最后将高二的3个节目插入所形成的6个空中，有种方法； 根据分步乘法计数原理，共有种. 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $