重难点专训01 统计图表分析与数据处理五大考法（专项训练）（上海专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

重难点专训01 统计图表分析与数据处理 内容导航 解题方法及技巧提炼 1 题型通法及变式提升 2 题型1 频率分布直方图 2 题型2 茎叶图 3 题型3 分层抽样 4 题型4 直方图+分层抽样综合 5 题型5 统计综合 8 重难专题分层过关练 11 巩固过关 11 创新提升 13 解题方法及技巧提炼 类型一：频率分布直方图分析 【问题特征】给出频率分布直方图（或频率/组距数值），求频数、频率、众数、中位数、平均数等。 【解题通法】牢记核心公式：频率 = (频率/组距) × 组距；频数 = 频率 × 样本容量。中位数用插值法：先找到累计频率跨过0.5的那一组，再用线性比例计算。 【易错点】注意纵轴是“频率/组距”，不是频率！求频率必须乘以组距。很多同学直接用纵轴数值当频率，这是最常见的错误。 类型二：茎叶图分析 【问题特征】给出茎叶图，比较两组数据的集中趋势与离散程度。 【解题通法】从茎叶图中读出全部数据 → 计算平均数和方差 → 比较平均数看水平高低，比较方差看稳定性。 【技巧】茎叶图的优点是保留了原始数据信息，且能直观看出分布形状。当两组数据平均数相同时，方差小的更稳定。 类型三：抽样方法应用 【问题特征】判断适用哪种抽样方法，或计算各层应抽取的样本数量。 【解题通法】分层抽样的关键是抽样比 = 样本容量 / 总体容量，每层抽取数 = 该层总数 × 抽样比。结果必须取整，且各层之和等于样本容量。 类型四：数字特征估算 【问题特征】根据分组数据或频率分布，估算平均数、中位数、方差等。 【解题通法】分组数据的平均数用各组中点代替该组数值，乘以频率后求和。中位数用累计频率插值。 类型五：统计与概率综合 【问题特征】先通过统计图表获取频率，再以此为概率进行概率计算（如二项分布、期望等）。 【解题通法】统计部分算出频率 → 以此作为概率估计 → 用概率公式计算所求事件的概率或期望。 题型通法及变式提升 题型1 频率分布直方图 1．对学校高三年级某班50名学生的高校招生体检表中视力情况进行统计，其结果的频率分布直方图如图．若高校专业对视力要求不低于0.9，则该班学生中有________人能报考该专业． 2．（25-26高三上·上海·期中）某校高三年级有400名学生，将某次考试的数学成绩绘制成频率分布直方图，如图所示．则此次考试的数学成绩位于区间的人数约为___________． 3．某校高一年级名同学在一次数学测验中成绩(百分制，均为整数)的频率分布直方图如图，则成绩在之间的学生人数为_____．    4．（为了了解期末英语的测试成绩，我们抽取了三班学生的英语成绩进行分析，各数据段的分布如图（分数取整数），由此估计这次测验的优秀率（不小于80分）为________． 题型2 茎叶图 5．（26-27高三上·上海黄浦·阶段检测）如图是体育社团的小组组员身高的茎叶图（单位：厘米），以身高的百位数和十位数作为“茎”排列在左边，个位数作为“叶”列在右边．组员身高的第60百分位数为___________ 6．某校统计一组学生的单日志愿者服务时长（单位：分钟），如下是根据统计数据绘制的茎叶图，以时长的十位数字为“茎”排列在左侧、以时长的个位数字为“叶”排列在右侧： 该组学生单日志愿者服务时长的中位数为_________分钟． 7．某次数学考试后，随机选取16位学生的成绩，得到如下茎叶图，其中个位数部分作为"叶"，百位数和十位数作为"茎"，若该组数据的第25百分位为87，则______． 8．某校从高二年级学生中随机抽取了30名女生，测量她们的身高（单位：cm），其分布如茎叶图所示（百位数和十位数部分作为“茎”，个位数部分作为“叶”）. 计算这组数据的第80百分位数；解释第80百分位数在此实际问题中的具体含义. 题型3 分层抽样 9．某校有高中生2000人，其中高一年级600人，高二年级700人，高三年级700人．为了解学生的视力情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为100的样本，则应抽取高一年级的人数为（     ） A．20 B．30 C．35 D．40 10．某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件，为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n＝______. 11．（26-27高三上·上海·开学考试）某校今年有300名学生参加高考，他们的选科有A，B，C三种，为分析这届学生的高考成绩，老师决定用分层抽样的方法进行抽样，已知从A，B，C三种选科组合的学生中抽取的个体数组成一个等差数列，则选科组合为B的学生的人数为__________． 12．某高中学校高一年级有600人，高二年级有400人，高三年级有300人.为了了解该校高中学生课外阅读达标情况，统计该校高中学生每周用于课外阅读的时长.现按照年级分层随机抽取130名学生开展抽样调查. (1)在这项抽样调查中，总体是什么？样本量是多少？ (2)从高一、高二、高三各年级抽取的学生数分别是多少？ (3)经调查，抽取的高一年级学生中50人课外阅读达标，求从抽取的高一年级学生中随机抽取3人，这3名同学课外阅读全部达标的概率.（结果保留三位小数） 题型4 直方图+分层抽样综合 13．为了了解某校高三年级学生的体育成绩，随机选取100名学生参加考核，将考核的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：、、、、、，得到如图所示的频率分布直方图．在考核成绩为、、的三组学生中，用分层抽样的方法抽取13人，则考核成绩在中的学生应抽取的人数为______．    14．义卖活动中，某班举行有奖射击，共有10次机会，每次满分为10（单位：环），成绩满分为100．从参与学生的成绩中抽取部分成绩（所有成绩均为整数，且不小于40，不大于100）作为样本进行统计，将成绩整理后分为六组，绘制如图所示频率分布直方图．    (1)求实数的值； (2)用分层抽样的方法从成绩在和的学生中选取6人，再从这6人中选取2人送出鼓励奖，求这2人中至少有1人成绩在中的概率； (3)样本中有10名学生的成绩（记为，，2，…，10）平均值为，标准差．若删除其中的和这两个数据，求剩余8名学生成绩的平均值与方差． 15．（26-27高三上·上海静安·阶段检测）某校举行“高一年级趣味数学竞赛”，竞赛分为初赛和决赛两个阶段，为了解初赛情况，现从高一年级随机抽取了200名学生，记录他们的初赛成绩，将数据按照，，，，分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图. (1)学校拟根据成绩划分一二三等奖，现规定分数在前30%的为一等奖，求频率分布直方图中的值，并估计一等奖的分数线（一等奖的分数线四舍五入到0.01）； (2)按照分层抽样从和两组中随机抽取了10名学生，现从已抽取的10名学生中随机抽取4名，求至多有2名学生的成绩在内的概率； (3)已知本次竞赛最终由甲、乙两人进行冠军争夺战，比赛采用“三局两胜制”（即先赢得两局者获得冠军，比赛结束）.已知每一局比赛中，甲胜乙的概率均为，且每局比赛结果互不影响.求甲获得冠军的概率. 16．（24-25高三上·上海·期中）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式.为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式，完成生产任务的工作时间不超过70分钟的工人为“优秀”，否则为“合格”.根据工人完成生产任务的工作时间（单位：分钟）绘制了如下茎叶图： (1)求40名工人完成生产任务所需时间的第75百分位数； (2)独立地从两种生产方式中各选出一个人，求选出的两个人均为优秀的概率； (3)为了解该工厂职工的基本信息，从工厂中抽取了100个职工的体重数据，发现全部介于45公斤到75公斤之间，现将100个体重数据分为6组：第一组，第二组，，第六组，得到如图所示的频率分布直方图.其中第一组有2人，第二组有13人.求与的值. 17．某高中随机抽取100名学生，测得他们的身高（单位：），按照区间，，，，分组，得到样本身高的频率分布直方图（如下图所示）． (1)求身高在区间的学生人数； (2)将身高在，，区间内的学生依次记为，，三个组，用分层抽样的方法从三个组中抽取6人． ①求从这三个组分别抽取的学生人数； ②若要从6名学生中抽取2人，求B组中至少有1人被抽中的概率． 18．（26-27高三上·上海闵行·阶段检测）“金秋时节蟹正肥，膏黄满溢惹人垂”，月又到吃螃蟹的季节，某蟹塘随机捞出只大闸蟹，其质量分别在，，，，，（单位：克）中，经统计得到的频率分布直方图如图所示．以各组数据的中间数代表这组数据的平均值． (1)求抽取的只蟹质量的平均数和中位数；（若有小数，保留一位） (2)若按分层随机抽样从质量为，的蟹中随机抽取只，再从这只中随机抽取只，求这只蟹都来自同一个质量区间的概率； (3)某经销商来收购大闸蟹，该蟹塘中大约还有只蟹待捕捞，用样本估计总体．经销商对未捕捞的蟹提出以下两种收购方案： 方案①：所有蟹以元/千克收购； 方案②：对质量低于克的蟹以元/只收购，对质量高于或等于克的蟹以元/只收购． 如果你是蟹塘老板，你会选择哪种方案，说明理由． 题型5 统计综合 19．某学习小组拟对本校高二年级学生上学路上花费时间（单位：分钟）进行统计调查，随机抽取了男生、女生各10人，按他们上学路上花费时间绘制了如图茎叶图，并将上学路上花费时间划分了时间等级（时间越短等级越小），如下表所示.    花费时间 （分钟） 时间等级 一级 二级 三级 (1)试根据茎叶图，求出这10名女生上学路上花费时间的极差和中位数； (2)已知高二年级共有200人，若该20个样本数据是以性别分层抽样的方式获取，试根据茎叶图估计全年级上学路上花费时间不超过40分钟的男生人数； (3)求男生上学路上花费时间的第25百分位数与第50百分位数. 20．（25-26高三下·上海徐汇·阶段检测）为了了解某校高三年级学生的体育成绩，随机选取100名学生参加考核，将考核的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图.    (1)在考核成绩为，，，的四组学生中，用分层抽样的方法抽取17人，则考核成绩在中的学生应抽取多少人？ (2)若落在学生的平均成绩是54.4，方差是5.2，落在学生的平均成绩为66.4，方差是9.2，求这两组学生成绩的平均数和方差，（结果精确到0.1）. 21．（26-27高三上·上海嘉定·阶段检测）某班部分同学参加英语测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，可见部分如图． (1)求分数在的频率及班级参加测试的人数； (2)求分数在之间的频数，计算频率分布直方图中间矩形的高； (3)若要从分数在之间的试卷中随机抽取两份进行数据分析，求在抽取的试卷中，至少有一份分数在之间的概率． 22．（26-27高三上·上海浦东新·阶段检测）高一年级举行了一次“数学建模能力竞赛”，为了解本次测试竞赛情况，年级从中抽取了100名学生的成绩进行统计．将成绩进行整理后，分为五组：，，…，，其中第1组频数是第2组频数的一半，请根据下面尚未完成的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题： (1)若根据这次成绩，年级择优选取40%的同学晋级下一轮竞赛，请问晋级分数线定为多少合理？并且估计本次竞赛的平均分； (2)已知落在的平均成绩是56，标准差是4，落在的平均成绩为65，标准差是2，求两组成绩的总平均数和总方差． 23．班主任为了解本班每位学生每周平均手机使用时长（单位：小时），在某一学期每周对全班45名学生进行问卷调查，收集了全部数据并计算出每位学生每周平均手机使用时长，绘制了相应的统计图表，全班用时最多的为25.6小时．其中，男生每周平均手机使用时长的茎叶图如图1所示，女生每周平均手机使用时长的频率分布直方图如图2所示． (1)求该班男生每周平均手机使用时长的极差、第75百分位数； (2)根据相关资料显示，每周平均手机使用时长小于14小时为“健康手机使用”，班主任以此绘制了如下的2×2列联表，依据本班情况，班主任是否有95%的把握认为性别与“健康手机使用”有关？请说明理由； 男生 女生 总计 健康手机使用 11 非健康手机使用 9 总计 20 25 45 (3)班主任从本班每周平均手机使用时长大于16小时的学生中任选2人做跟踪调查．设事件表示“2人中至多1名男生”，事件表示“2人中恰有1名学生的每周平均手机使用时长位于区间”，求和． 参考数据：，其中． 0.100 0.050 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 重难专题分层过关练 巩固过关 1．（2026·上海金山·二模）为了了解申辉中学所有学生的每天平均体育运动时间，随机调查了该校100名学生，发现他们每天平均体育运动时间为h．这里的总体是（   ） A．该校所有学生 B．该校所有学生的每天平均体育运动时间 C．所调查的100名学生 D．所调查的100名学生的每天平均体育运动时间 2．（2025·上海徐汇·一模）用简单随机抽样的方法抽取某个品种的小麦样本株，测得麦穗长度（单位：），以其整数部分作为“茎”，小数部分作为“叶”绘制茎叶图如图所示．用该样本数据估计此品种小麦麦穗长度平均为（   ）（结果精确到） A． B． C． D． 3．（2026·上海·模拟预测）下列调查中，适合采用抽样调查的是（     ） A．调查某中学高一（1）班30名同学的视力情况 B．虹桥高铁站对乘坐高铁的旅客进行安检 C．为保证飞机飞行安全，工人对其零部件进行检查 D．调查上海市中学生的周末作业完成时间 4．某社区开展青少年实践活动，现有人在线报名，在线平台根据报名先后顺序将这人分为两组，两组成员的年龄（单位：岁）如下： 甲组：12、10、17、16、16、13、15、11； 乙组：13、15、11、10、11、16、14． 社区计划将甲组的人调到乙组，使得甲、乙两组人员的平均年龄都变大，则应该将甲组年龄为_________岁的成员换到乙组． 5．某新闻栏目在当地开展对“键盘侠”的认可程度调查，随机抽取的50人中，有14人持认可态度，其余持反对态度．若该地区有7600人，则可估计该地区对“键盘侠”持反对态度的有______人． 6．容量为50的样本数据，按从小到大的顺序分成4组，频数依次为11、14、x、13，则第三组的频率为________． 7．（26-27高三上·上海徐汇·开学考试）已知一组数据为，则这组数据的第70百分位数是______． 8．已知班内7位同学的体重数据（单位：kg）由以下茎叶图（十位数字为茎，个位数字为叶）所示，则这组数据的第70百分位数是__________. 9．如图是样本容量为200的频率分布直方图．根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在内的频数为________，数据落在内的概率约为________．    10．小明为了解自己每天花在体育锻炼上的时间（单位：min），连续记录了6天数据：132，m，128，n，136，126，若该样本的中位数和平均数均为131，则该样本的标准差是______． 11．（25-26高二上·上海青浦·阶段检测）某中学从甲、乙两个班中各选出15名学生参加知识竞赛，将他们的成绩（满分100分）进行统计分析，绘制成如图所示的茎叶图．已知甲班级15名学生成绩的中位数为，乙班级15名学生成绩的第60百分位数为，则___________ 12．（26-27高三上·上海·开学考试）某校数学组老师的年龄分布茎叶图如图所示， 则该校数学组老师年龄的中位数与极差之和为_____. 2        8 3   2   3   6   6   8 4   0   5 5   2  4   8 13．先后抛掷一枚质地均匀的骰子次，记录向上一面的点数，若已知个点数的中位数为，唯一的众数为，则平均数最大为_____. 创新提升 1.某场校内篮球比赛中，甲、乙两队分别有名队员、名名队员进行比赛，他们得分的茎叶图如下，其中，，，且十位数作为“茎”、个位数作为“叶”． (1)若甲队队员得分的极差为，乙队队员得分的平均值为，求和的值； (2)分别求甲队队员得分的第百分位数和乙队队员得分的第百分位数． 2．（26-27高三上·上海宝山·阶段检测）某中学高二年级的甲、乙两个班级，需根据某次数学预赛成绩选出某班的5名学生参加数学竞赛决赛，已知这次预赛他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图所示，其中甲班5名学生成绩的平均分是83，乙班5名学生成绩的中位数是86． 甲   乙 4 7 3 5 4 2 8 0 9 0 1 (1)求出，的值，并分别求出甲、乙两个班5名学生成绩的方差，； (2)从成绩在85分及以上的学生中任意抽取3名，求至少有1名来自甲班的概率. 3．某单位承办了一项志愿者选拔的面试工作.现随机抽取100名候选者的面试成绩，并分成五组:第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图. (1)求的值，并估计这100名候选者面试成绩的平均数和第60百分位数(保留两位小数). (2)现从以上各组中按分层随机抽样的方法选取部分担任本市宣传者.若这100名面试者中第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为80和，第五组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为90和20，据此估计这次第四组和第五组所有面试者的面试成绩的方差为32，求第四组面试者的面试成绩的方差 . 4．（24-25高三上·上海宝山·阶段检测）黄山雄踞风景秀丽的安徽南部，是我国最著名的山岳风景区之一. 为更好地提升旅游品质，黄山风景区的工作人员随机选择100名游客对景区进行满意度评分（满分100分），根据这100名游客的评分，制成如图所示的频率分布直方图.    (1)根据频率分布直方图，求的值； (2)估计这100名游客对景区满意度评分的众数、平均数（结果均精确到0.1）； (3)景区的工作人员采用按比例分层抽样的方法从评分在、的两组中共抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行个别交流，求选取的2人评分分别在和内各1人的概率. 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专训01 统计图表分析与数据处理 内容导航 解题方法及技巧提炼 1 题型通法及变式提升 2 题型1 频率分布直方图 2 题型2 茎叶图 4 题型3 分层抽样 5 题型4 直方图+分层抽样综合 6 题型5 统计综合 13 重难专题分层过关练 17 巩固过关 17 创新提升 22 解题方法及技巧提炼 类型一：频率分布直方图分析 【问题特征】给出频率分布直方图（或频率/组距数值），求频数、频率、众数、中位数、平均数等。 【解题通法】牢记核心公式：频率 = (频率/组距) × 组距；频数 = 频率 × 样本容量。中位数用插值法：先找到累计频率跨过0.5的那一组，再用线性比例计算。 【易错点】注意纵轴是“频率/组距”，不是频率！求频率必须乘以组距。很多同学直接用纵轴数值当频率，这是最常见的错误。 类型二：茎叶图分析 【问题特征】给出茎叶图，比较两组数据的集中趋势与离散程度。 【解题通法】从茎叶图中读出全部数据 → 计算平均数和方差 → 比较平均数看水平高低，比较方差看稳定性。 【技巧】茎叶图的优点是保留了原始数据信息，且能直观看出分布形状。当两组数据平均数相同时，方差小的更稳定。 类型三：抽样方法应用 【问题特征】判断适用哪种抽样方法，或计算各层应抽取的样本数量。 【解题通法】分层抽样的关键是抽样比 = 样本容量 / 总体容量，每层抽取数 = 该层总数 × 抽样比。结果必须取整，且各层之和等于样本容量。 类型四：数字特征估算 【问题特征】根据分组数据或频率分布，估算平均数、中位数、方差等。 【解题通法】分组数据的平均数用各组中点代替该组数值，乘以频率后求和。中位数用累计频率插值。 类型五：统计与概率综合 【问题特征】先通过统计图表获取频率，再以此为概率进行概率计算（如二项分布、期望等）。 【解题通法】统计部分算出频率 → 以此作为概率估计 → 用概率公式计算所求事件的概率或期望。 题型通法及变式提升 题型1 频率分布直方图 1．对学校高三年级某班50名学生的高校招生体检表中视力情况进行统计，其结果的频率分布直方图如图．若高校专业对视力要求不低于0.9，则该班学生中有________人能报考该专业． 【答案】 【详解】由频率分布直方图知：视力在0.9以上的频率为， 所以该班学生中能报专业的最多人数为． 故答案为：20. 2．（25-26高三上·上海·期中）某校高三年级有400名学生，将某次考试的数学成绩绘制成频率分布直方图，如图所示．则此次考试的数学成绩位于区间的人数约为___________． 【答案】120 【详解】因为，解得， 所以此次考试的数学成绩位于区间的人数约为． 故答案为：120． 3．某校高一年级名同学在一次数学测验中成绩(百分制，均为整数)的频率分布直方图如图，则成绩在之间的学生人数为_____．    【答案】5 【详解】 所以成绩在之间的学生人数为. 故答案为：5 4．（为了了解期末英语的测试成绩，我们抽取了三班学生的英语成绩进行分析，各数据段的分布如图（分数取整数），由此估计这次测验的优秀率（不小于80分）为________． 【答案】 【详解】由图可知，的频率为； 的频率为 所以不小于分的频率为 以频率估计概率，这次测验的优秀率为 故答案为：0.56 题型2 茎叶图 5．（26-27高三上·上海黄浦·阶段检测）如图是体育社团的小组组员身高的茎叶图（单位：厘米），以身高的百位数和十位数作为“茎”排列在左边，个位数作为“叶”列在右边．组员身高的第60百分位数为___________ 【答案】166.5 【详解】由茎叶图可知共10个数据， ，是整数，第百分位数为第 6 项和第 7 项数据的平均值. 由茎叶图，可知第6项：166；第7项：167. 故第百分位数为. 6．某校统计一组学生的单日志愿者服务时长（单位：分钟），如下是根据统计数据绘制的茎叶图，以时长的十位数字为“茎”排列在左侧、以时长的个位数字为“叶”排列在右侧： 该组学生单日志愿者服务时长的中位数为_________分钟． 【答案】 【详解】由茎叶图可知，该组数据共有个. 将这组数据从小到大排列，由于样本容量为偶数， 所以中位数为排序后第个数与第个数的平均数. 观察茎叶图可知，前个数分别为， 第个数为，第个数为， 故该组学生单日志愿者服务时长的中位数为（分钟）． 7．某次数学考试后，随机选取16位学生的成绩，得到如下茎叶图，其中个位数部分作为"叶"，百位数和十位数作为"茎"，若该组数据的第25百分位为87，则______． 【答案】 【详解】，则该组数据的第25百分位为从小到大第位的平均数， 即，解得． 8．某校从高二年级学生中随机抽取了30名女生，测量她们的身高（单位：cm），其分布如茎叶图所示（百位数和十位数部分作为“茎”，个位数部分作为“叶”）. 计算这组数据的第80百分位数；解释第80百分位数在此实际问题中的具体含义. 【答案】,说明高二年级抽取的30名女生中约有的身高不超过 cm，约的女生身高超过 cm 【详解】样本数据共个，则， 则这组数据的第80百分位数为， 说明高二年级抽取的30名女生中约有的身高不超过 cm，约的女生身高超过 cm. 题型3 分层抽样 9．某校有高中生2000人，其中高一年级600人，高二年级700人，高三年级700人．为了解学生的视力情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为100的样本，则应抽取高一年级的人数为（     ） A．20 B．30 C．35 D．40 【答案】B 【详解】由分层抽样的等比例性质，应抽取高一年级的人数为人. 10．某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件，为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n＝______. 【答案】13 【详解】由题意得，解得． 11．（26-27高三上·上海·开学考试）某校今年有300名学生参加高考，他们的选科有A，B，C三种，为分析这届学生的高考成绩，老师决定用分层抽样的方法进行抽样，已知从A，B，C三种选科组合的学生中抽取的个体数组成一个等差数列，则选科组合为B的学生的人数为__________． 【答案】100 【详解】设300名参加高考的学生中，选科的人数依次为，则， 用分层抽样的方法从A，B，C三种选科组合的学生分别抽取人数依次为， 依题意，(*)，设抽样比为，则， 将其代入（*），可得， 因，则得，即选科组合为B的学生的人数为100. 12．某高中学校高一年级有600人，高二年级有400人，高三年级有300人.为了了解该校高中学生课外阅读达标情况，统计该校高中学生每周用于课外阅读的时长.现按照年级分层随机抽取130名学生开展抽样调查. (1)在这项抽样调查中，总体是什么？样本量是多少？ (2)从高一、高二、高三各年级抽取的学生数分别是多少？ (3)经调查，抽取的高一年级学生中50人课外阅读达标，求从抽取的高一年级学生中随机抽取3人，这3名同学课外阅读全部达标的概率.（结果保留三位小数） 【详解】（1）该高中学校每名学生每周用于课外阅读的时长组成该项抽样调查的总体，样本量是130． （2）抽取高一年级学生人，高二年级学生人，高三年级学生人． （3），抽取的这3名同学课外阅读全部达标的概率是0.573. 题型4 直方图+分层抽样综合 13．为了了解某校高三年级学生的体育成绩，随机选取100名学生参加考核，将考核的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：、、、、、，得到如图所示的频率分布直方图．在考核成绩为、、的三组学生中，用分层抽样的方法抽取13人，则考核成绩在中的学生应抽取的人数为______．    【答案】 【详解】因为，所以， 所以考核成绩在的频率为，成绩在的频率为，在的频率为， 因为样本容量为，所以考核成绩在的学生人数为， 成绩在的学生人数为，在的学生人数为， 这组学生总人数为， 设在考核成绩在的学生中抽取人，由分层抽样的定义可知，抽样比为， 则，故应在考核成绩为的学生中抽取人. 14．义卖活动中，某班举行有奖射击，共有10次机会，每次满分为10（单位：环），成绩满分为100．从参与学生的成绩中抽取部分成绩（所有成绩均为整数，且不小于40，不大于100）作为样本进行统计，将成绩整理后分为六组，绘制如图所示频率分布直方图．    (1)求实数的值； (2)用分层抽样的方法从成绩在和的学生中选取6人，再从这6人中选取2人送出鼓励奖，求这2人中至少有1人成绩在中的概率； (3)样本中有10名学生的成绩（记为，，2，…，10）平均值为，标准差．若删除其中的和这两个数据，求剩余8名学生成绩的平均值与方差． 【详解】（1）由题意知，， 解得. （2）结合频率分布直方图可知，成绩位于与位于的比例为，因此选取的6人中，2人成绩在中，4人成绩在中． 从6人中选取2人的方法数为种，即样本空间中有15个样本点． 至少有1人成绩在中有两种情况：恰有一人成绩在该区间中，共有种；两人成绩都在该区间，共有1种； 根据加法原理，该事件对应的样本空间的子集中有9个样本点． 根据古典概型中概率的定义，该事件发生的概率为． （3）剩余8人成绩的平均值为． 由10个人成绩的标准差，则，即， 于是剩下8人的成绩的方差为． 15．（26-27高三上·上海静安·阶段检测）某校举行“高一年级趣味数学竞赛”，竞赛分为初赛和决赛两个阶段，为了解初赛情况，现从高一年级随机抽取了200名学生，记录他们的初赛成绩，将数据按照，，，，分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图. (1)学校拟根据成绩划分一二三等奖，现规定分数在前30%的为一等奖，求频率分布直方图中的值，并估计一等奖的分数线（一等奖的分数线四舍五入到0.01）； (2)按照分层抽样从和两组中随机抽取了10名学生，现从已抽取的10名学生中随机抽取4名，求至多有2名学生的成绩在内的概率； (3)已知本次竞赛最终由甲、乙两人进行冠军争夺战，比赛采用“三局两胜制”（即先赢得两局者获得冠军，比赛结束）.已知每一局比赛中，甲胜乙的概率均为，且每局比赛结果互不影响.求甲获得冠军的概率. 【详解】（1）频率分布直方图所有矩形面积之和为，组距为， 即， 即， 解得， 各组频率：， 前为一等奖，即从高分往低分累计，累计频率， 频率频率， 设分数线为，，， ，， ，一等奖分数线约分. （2）频率，频率，频率比， 分层抽样抽取人：抽人，抽人， 设事件：至多名学生成绩在，即名，名，名， ， 故所求的概率为. （3）甲获得冠军分为两种情况： ①前两局甲全胜：， ②前两局甲乙一胜一负，第三局甲胜： ， . 16．（24-25高三上·上海·期中）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式.为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式，完成生产任务的工作时间不超过70分钟的工人为“优秀”，否则为“合格”.根据工人完成生产任务的工作时间（单位：分钟）绘制了如下茎叶图： (1)求40名工人完成生产任务所需时间的第75百分位数； (2)独立地从两种生产方式中各选出一个人，求选出的两个人均为优秀的概率； (3)为了解该工厂职工的基本信息，从工厂中抽取了100个职工的体重数据，发现全部介于45公斤到75公斤之间，现将100个体重数据分为6组：第一组，第二组，，第六组，得到如图所示的频率分布直方图.其中第一组有2人，第二组有13人.求与的值. 【详解】（1）40名工人完成生产任务所需时间按从小到大排列为： ，，，，，，，，，，，，，，， ，，，，，，，，，，，，，，， ，，，，，，，，，， 因为， 所以第75百分数为； （2）由题意可知，第一种生产方式中优秀的概率为， 第二种生产方式中优秀的概率为， 所以选出的两个人均为优秀的概率为. （3）依题意，则， 又因为，所以， 因为，所以， 所以， 所以，. 17．某高中随机抽取100名学生，测得他们的身高（单位：），按照区间，，，，分组，得到样本身高的频率分布直方图（如下图所示）． (1)求身高在区间的学生人数； (2)将身高在，，区间内的学生依次记为，，三个组，用分层抽样的方法从三个组中抽取6人． ①求从这三个组分别抽取的学生人数； ②若要从6名学生中抽取2人，求B组中至少有1人被抽中的概率． 【详解】（1）设的频率为， 由频率分布直方图可知，解得． 所以身高在区间的学生人数为（人）． （2）①，，三组的人数分别为30人，20人，10人． 因此三组中每组各抽取（人），（人），（人）． ②设组的3位同学为，，，组的2位同学为，，组的1位同学为， 则从6名学生中抽取2人有15种可能： ，，，，， ，，，，，，，，，． 其中组的2位学生至少有1人被抽中有9种可能： ，，，，，，，，． 所以组中至少有1人被抽中的概率为． 18．（26-27高三上·上海闵行·阶段检测）“金秋时节蟹正肥，膏黄满溢惹人垂”，月又到吃螃蟹的季节，某蟹塘随机捞出只大闸蟹，其质量分别在，，，，，（单位：克）中，经统计得到的频率分布直方图如图所示．以各组数据的中间数代表这组数据的平均值． (1)求抽取的只蟹质量的平均数和中位数；（若有小数，保留一位） (2)若按分层随机抽样从质量为，的蟹中随机抽取只，再从这只中随机抽取只，求这只蟹都来自同一个质量区间的概率； (3)某经销商来收购大闸蟹，该蟹塘中大约还有只蟹待捕捞，用样本估计总体．经销商对未捕捞的蟹提出以下两种收购方案： 方案①：所有蟹以元/千克收购； 方案②：对质量低于克的蟹以元/只收购，对质量高于或等于克的蟹以元/只收购． 如果你是蟹塘老板，你会选择哪种方案，说明理由． 【详解】（1）抽取的只蟹质量的平均数为 ； 因为质量小于的频率为， 所以中位数位于，设中位数为，则，中位数 （2）因为的频率为，的频率为，所以分层抽样比例为， 记“这两只蟹取自同一组”， 则这只蟹都来自同一个质量区间的概率为； （3）选择方案②，理由如下： 因为蟹质量的平均数为克， 所以按方案①获利为元； 按方案②：质量低于克的频率为， 质量大于等于克的频率为， 所以按方案②获利为元， 又因为，所以选择方案②获利更多. 题型5 统计综合 19．某学习小组拟对本校高二年级学生上学路上花费时间（单位：分钟）进行统计调查，随机抽取了男生、女生各10人，按他们上学路上花费时间绘制了如图茎叶图，并将上学路上花费时间划分了时间等级（时间越短等级越小），如下表所示.    花费时间 （分钟） 时间等级 一级 二级 三级 (1)试根据茎叶图，求出这10名女生上学路上花费时间的极差和中位数； (2)已知高二年级共有200人，若该20个样本数据是以性别分层抽样的方式获取，试根据茎叶图估计全年级上学路上花费时间不超过40分钟的男生人数； (3)求男生上学路上花费时间的第25百分位数与第50百分位数. 【详解】（1）极差为 ，中位数为 ， 故这10名女生上学路上花费时间的极差为37，中位数为29. （2）高二年级中男生共有 人，由茎叶图知，上学路上花费时间不超过40分钟的男生占， 所以可估计全年级上学路上花费时间不超过40分钟的男生人数为 人. （3）因为 ，所以第25百分位数即为从小到大排列数中第3个数，即17. 因为 ，所以第50百分位数即为从小到大排列数中第5个与第6个的平均值，即 . 20．（25-26高三下·上海徐汇·阶段检测）为了了解某校高三年级学生的体育成绩，随机选取100名学生参加考核，将考核的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图.    (1)在考核成绩为，，，的四组学生中，用分层抽样的方法抽取17人，则考核成绩在中的学生应抽取多少人？ (2)若落在学生的平均成绩是54.4，方差是5.2，落在学生的平均成绩为66.4，方差是9.2，求这两组学生成绩的平均数和方差，（结果精确到0.1）. 【详解】（1）因为频率分布直方图中，所有矩形的面积和为 1（频率和为 1），组距为 10， 所以 ，所以，解得， 因为：频率 ，人数 ， ：频率 ，人数 ， ：频率 ，人数 ， ：频率 ，人数 ， 四组总人数：， 抽样比为：因此 应抽取人数： 人； （2）因为与的频率之比为， 又因为落在学生的平均成绩是54.4，方差是5.2，落在学生的平均成绩为66.4，方差是9.2， 所以这两组学生成绩的平均数是， 这两组学生成绩的方差是 21．（26-27高三上·上海嘉定·阶段检测）某班部分同学参加英语测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，可见部分如图． (1)求分数在的频率及班级参加测试的人数； (2)求分数在之间的频数，计算频率分布直方图中间矩形的高； (3)若要从分数在之间的试卷中随机抽取两份进行数据分析，求在抽取的试卷中，至少有一份分数在之间的概率． 【详解】（1）由频率分布直方图可知，分数在的频率为； 由茎叶图知，分数在之间的频数为2，所以班级参加测试的人数为. （2）分数在之间的频数为； 频率分布直方图中间的矩形的高为. （3）将之间的5个分数编号为，之间的2个分数编号为， 在之间的试卷中任取两份的基本事件为： 共21个， 其中，至少有一份分数在之间的基本事件有 共11个， 故至少有一份分数在之间的概率是. 22．（26-27高三上·上海浦东新·阶段检测）高一年级举行了一次“数学建模能力竞赛”，为了解本次测试竞赛情况，年级从中抽取了100名学生的成绩进行统计．将成绩进行整理后，分为五组：，，…，，其中第1组频数是第2组频数的一半，请根据下面尚未完成的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题： (1)若根据这次成绩，年级择优选取40%的同学晋级下一轮竞赛，请问晋级分数线定为多少合理？并且估计本次竞赛的平均分； (2)已知落在的平均成绩是56，标准差是4，落在的平均成绩为65，标准差是2，求两组成绩的总平均数和总方差． 【详解】（1）由题意知，第组的小长方形的高是第组的小长方形的高的一半， 所以， 又，解得， 择优选取的同学晋级下一轮竞赛，即确定第60百分位数， 成绩落在内的频率为， 落在内的频率为， 设第百分位数为，则， 由百分位数的定义可得，解得， 所以晋级分数线划为分合理； 估计本次竞赛平均分为 （2）由图可知，成绩在的人数为 ， 成绩在的人数为， 故， ， 所以两组成绩的总平均数是62，总方差是26． 23．班主任为了解本班每位学生每周平均手机使用时长（单位：小时），在某一学期每周对全班45名学生进行问卷调查，收集了全部数据并计算出每位学生每周平均手机使用时长，绘制了相应的统计图表，全班用时最多的为25.6小时．其中，男生每周平均手机使用时长的茎叶图如图1所示，女生每周平均手机使用时长的频率分布直方图如图2所示． (1)求该班男生每周平均手机使用时长的极差、第75百分位数； (2)根据相关资料显示，每周平均手机使用时长小于14小时为“健康手机使用”，班主任以此绘制了如下的2×2列联表，依据本班情况，班主任是否有95%的把握认为性别与“健康手机使用”有关？请说明理由； 男生 女生 总计 健康手机使用 11 非健康手机使用 9 总计 20 25 45 (3)班主任从本班每周平均手机使用时长大于16小时的学生中任选2人做跟踪调查．设事件表示“2人中至多1名男生”，事件表示“2人中恰有1名学生的每周平均手机使用时长位于区间”，求和． 参考数据：，其中． 0.100 0.050 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 【详解】（1）极差为． 根据茎叶图，男生有20人，则，所以第百分位数为第项和第项数据的平均数， 即第75百分位数为． （2）将列联表如下补充完整为 男生 女生 总计 健康手机使用 11 14 25 非健康手机使用 9 11 20 总计 20 25 45 提出原假设：认为性别与“健康手机使用”无关，确定显著性水平． ．因此，接受原假设，即没有95%的把握认为性别与“健康手机使用”有关． （3）由题，手机使用时长大于16小时的男生有4人，其中位于有0人， 手机使用时长大于16小时的女生有4人，其中位于有2人． ，，． 故． 重难专题分层过关练 巩固过关 1．（2026·上海金山·二模）为了了解申辉中学所有学生的每天平均体育运动时间，随机调查了该校100名学生，发现他们每天平均体育运动时间为h．这里的总体是（   ） A．该校所有学生 B．该校所有学生的每天平均体育运动时间 C．所调查的100名学生 D．所调查的100名学生的每天平均体育运动时间 【答案】B 【详解】根据总体的概念可得，这里的总体是该校所有学生的每天平均体育运动时间.故选项B正确. 2．（2025·上海徐汇·一模）用简单随机抽样的方法抽取某个品种的小麦样本株，测得麦穗长度（单位：），以其整数部分作为“茎”，小数部分作为“叶”绘制茎叶图如图所示．用该样本数据估计此品种小麦麦穗长度平均为（   ）（结果精确到） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可知，抽取的株小麦的麦穗长度分别为：、、、、、、、 、、、、、，单位：， 用该样本数据估计此品种小麦麦穗长度平均为. 故选：B. 3．（2026·上海·模拟预测）下列调查中，适合采用抽样调查的是（     ） A．调查某中学高一（1）班30名同学的视力情况 B．虹桥高铁站对乘坐高铁的旅客进行安检 C．为保证飞机飞行安全，工人对其零部件进行检查 D．调查上海市中学生的周末作业完成时间 【答案】D 【详解】对于A，调查某中学高一（1）班30名同学的视力情况，总体较小（仅30人），容易进行全面调查，不适合抽样调查，故A错误； 对于B，安检涉及安全风险，必须对每位旅客进行全面检查，不适合抽样调查，故B错误； 对于C，飞机零部件检查要求全面性，任何遗漏都可能造成安全事件，不适合抽样调查，故C错误； 对于D，调查对象是全市范围的中学生，总体较大，适合抽样调查，故D正确. 4．某社区开展青少年实践活动，现有人在线报名，在线平台根据报名先后顺序将这人分为两组，两组成员的年龄（单位：岁）如下： 甲组：12、10、17、16、16、13、15、11； 乙组：13、15、11、10、11、16、14． 社区计划将甲组的人调到乙组，使得甲、乙两组人员的平均年龄都变大，则应该将甲组年龄为_________岁的成员换到乙组． 【答案】13 【详解】由题可得：甲组年龄平均数为：，乙组年龄平均数为：， 要想使甲组的1人调到乙组后甲、乙两组人员的平均年龄都变大，只需保证甲里面调出的1人年龄小于，大于即可， 所以调出的人年龄为13岁. 5．某新闻栏目在当地开展对“键盘侠”的认可程度调查，随机抽取的50人中，有14人持认可态度，其余持反对态度．若该地区有7600人，则可估计该地区对“键盘侠”持反对态度的有______人． 【答案】 【详解】根据随机抽取的50人中，有14人持认可态度，其余36人持反对态度， 所以持反对态度的人占比有，用此作概率估计， 可估计该地区对“键盘侠”持反对态度的有人， 故答案为： 6．容量为50的样本数据，按从小到大的顺序分成4组，频数依次为11、14、x、13，则第三组的频率为________． 【答案】0.24 【详解】由题意得，得， 所以第三组的频率为. 故答案为：0.24 7．（26-27高三上·上海徐汇·开学考试）已知一组数据为，则这组数据的第70百分位数是______． 【答案】9 【详解】这组数据共有10个，且已按从小到大排列. 因为， 所以这组数据的第70百分位数是这组数据的第7个数与第8个数的平均值， 即为. 8．已知班内7位同学的体重数据（单位：kg）由以下茎叶图（十位数字为茎，个位数字为叶）所示，则这组数据的第70百分位数是__________. 【答案】58 【详解】根据茎叶图，将7位同学的体重从小到大排列为：， 共个数据，则索引， 根据高中百分位数的计算规则，向上取整为， 即第个数据为所求，因此这组数据的第百分位数是. 9．如图是样本容量为200的频率分布直方图．根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在内的频数为________，数据落在内的概率约为________．    【答案】 64 0.4 【详解】解：样本数据落在内的频数为：； 数据落在内的概率约为：， 故答案为：，. 10．小明为了解自己每天花在体育锻炼上的时间（单位：min），连续记录了6天数据：132，m，128，n，136，126，若该样本的中位数和平均数均为131，则该样本的标准差是______． 【答案】 【详解】由题意可知，所以， 将已知数据排序有， 该组数据的中位数为第3个和第4个数据的平均数， 所以第3个和第4个数据的和为262，不妨设， 则第3个和第4个数据应为，则，经验证符合题意， 则该组数据的方差为 ，所以标准差为. 故答案为： 11．（25-26高二上·上海青浦·阶段检测）某中学从甲、乙两个班中各选出15名学生参加知识竞赛，将他们的成绩（满分100分）进行统计分析，绘制成如图所示的茎叶图．已知甲班级15名学生成绩的中位数为，乙班级15名学生成绩的第60百分位数为，则___________ 【答案】 【详解】甲班级学生成绩为：， 则； 乙班级学生成绩为：， 因为，所以， 故. 故答案为： 12．（26-27高三上·上海·开学考试）某校数学组老师的年龄分布茎叶图如图所示， 则该校数学组老师年龄的中位数与极差之和为_____. 2        8 3   2   3   6   6   8 4   0   5 5   2  4   8 【答案】68 【详解】由茎叶图可得所有年龄数据（从小到大排列）：28，32，33，36，36，38，40，45，52，54，58，共11个数据. 中位数：11个数据的中位数为第6个数据，即38. 极差：最大值58减去最小值28，得. 因此中位数与极差之和为. 13．先后抛掷一枚质地均匀的骰子次，记录向上一面的点数，若已知个点数的中位数为，唯一的众数为，则平均数最大为_____. 【答案】 【详解】将个数据由小到大进行排列，前个数依次为、、，要使得这个数据的平均数最大， 则后面两个数分别为、，即这个数据由小到大依次为、、、、， 所以这个点数的平均数的最大值为. 创新提升 1.某场校内篮球比赛中，甲、乙两队分别有名队员、名名队员进行比赛，他们得分的茎叶图如下，其中，，，且十位数作为“茎”、个位数作为“叶”． (1)若甲队队员得分的极差为，乙队队员得分的平均值为，求和的值； (2)分别求甲队队员得分的第百分位数和乙队队员得分的第百分位数． 【详解】（1）甲队队员得分的极差为，，则， 又乙队队员得分的平均值为，又，所以. （2）由茎叶图知，甲队队员得分由小到大前4个数为，又， 所以甲队队员得分的第百分位数， 乙队队员得分由小到大前4个数为，又， 所以乙队队员得分的第百分位数为. 2．（26-27高三上·上海宝山·阶段检测）某中学高二年级的甲、乙两个班级，需根据某次数学预赛成绩选出某班的5名学生参加数学竞赛决赛，已知这次预赛他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图所示，其中甲班5名学生成绩的平均分是83，乙班5名学生成绩的中位数是86． 甲   乙 4 7 3 5 4 2 8 0 9 0 1 (1)求出，的值，并分别求出甲、乙两个班5名学生成绩的方差，； (2)从成绩在85分及以上的学生中任意抽取3名，求至少有1名来自甲班的概率. 【详解】（1）由题意知，甲班5名学生的预赛成绩分别为， 所以， 解得. 所以； 乙班5名学生的预赛成绩分别为， 所以中位数为， 解得. 所以乙班5名学生预赛成绩的平均分为， 所以. （2）成绩在85分及以上的学生共有5名，其中甲班2名，乙班3名. 从中任意抽取3名，共种情况， 至少有1名来自甲班的情况有种， 所以至少有1名来自甲班的概率为. 3．某单位承办了一项志愿者选拔的面试工作.现随机抽取100名候选者的面试成绩，并分成五组:第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图. (1)求的值，并估计这100名候选者面试成绩的平均数和第60百分位数(保留两位小数). (2)现从以上各组中按分层随机抽样的方法选取部分担任本市宣传者.若这100名面试者中第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为80和，第五组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为90和20，据此估计这次第四组和第五组所有面试者的面试成绩的方差为32，求第四组面试者的面试成绩的方差 . 【详解】（1）由题意可知频率分布直方图组距为， 所以，解得. 平均数为， 前两组频率之和为， 前三组频率之和为， 则第百分位数为. （2）这100名面试者中第四组和第五组面试者有人， 第四组和第五组所有面试者的面试成绩的平均数为， 由题意可得，解得. 4．（24-25高三上·上海宝山·阶段检测）黄山雄踞风景秀丽的安徽南部，是我国最著名的山岳风景区之一. 为更好地提升旅游品质，黄山风景区的工作人员随机选择100名游客对景区进行满意度评分（满分100分），根据这100名游客的评分，制成如图所示的频率分布直方图.    (1)根据频率分布直方图，求的值； (2)估计这100名游客对景区满意度评分的众数、平均数（结果均精确到0.1）； (3)景区的工作人员采用按比例分层抽样的方法从评分在、的两组中共抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行个别交流，求选取的2人评分分别在和内各1人的概率. 【详解】（1）由频率分布直方图知：，可得. （2）根据频率分布直方图中矩形最高组的组中值即为众数可知，众数为， 平均数为. （3）因为评分在的频率分别为， 则在中抽取人，设为； 在中抽取人，设为； 从这6人中随机抽取2人，则有： ， ，共有15个基本事件， 设选取的2人评分分别在和内各1人为事件， 则有，共有8个基本事件， 所以. 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $