排列组合与二项式基础专项卷-2027届上海市高三数学一轮复习

**基本信息** 以“方法提炼-题型对应-逻辑递进”为主线，系统覆盖排列组合与二项式定理基础考点，通过典例强化解题技巧与知识迁移，培养数学抽象与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |排列组合基础|填空1-6、选择13|组合数性质、直接法|从概念计算到简单应用，构建计数原理基础| |排列组合应用|填空5-6、10、选择15、解答17、19|插空法、捆绑法、间接法、分组分配模型|从无序分组到有序排列，强化实际问题转化能力| |二项式定理基础|填空7-9、选择14|通项公式、二项式系数性质|从展开式结构到系数计算，建立公式应用逻辑| |二项式定理应用|填空11-12、选择16、解答18、20-21|赋值法、导数法、组合恒等式|从系数和到创新定义，深化定理综合应用|

沪教版高三数学一轮专项·排列组合与二项式基础专项卷 （专项训练卷） 满分：150分　　考试时间：120分钟　　 考生注意： 1. 本试卷共21道试题，满分150分，考试时间120分钟。 1. 作答必须写在答题纸上，试卷上作答一律不得分。 1. 答卷前，务必在答题纸上填写姓名、班级。 姓名：__________　　班级：__________　　得分：__________ 一、填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 已知集合 有意义，，集合 有意义，，则集合 的元素个数为________。 2. 计算： ________。 3. 计算： ________。 4. 从5名男生、3名女生中选出2人参加志愿者服务，要求1男1女，则不同选法总数为________。 5. 把6本不同的书分成3堆，每堆2本，则不同的分堆方法数为________。 6. 5个不同的节目排成一个节目单，若其中两个节目不能相邻，则不同排法数为________。 7. 的二项展开式中 项的系数为________。 8. 已知 展开式中二项式系数为 （），则二项式系数的最大值为________。 9. 的展开式中的常数项为________。 10. 将4名同学安排到3个不同的社团，每名同学只能加入一个社团，每个社团至少一人，则不同安排方案数为________。 11. 若 ，令 ，得到所有项系数之和为 ；则令 ， ________。 12. 定义：对于组合数 ，称 为组合加权和，则 ________。 二、选择题（本大题共4题，13-14每题4分，15-16每题5分，共18分） 13. 关于排列数、组合数，下列说法正确的是（　　） A. B. C. D. 有意义 14. 关于二项式定理，下列命题正确的是（　　） A. 展开式每一项的二项式系数与 取值有关 B. 展开式各项系数之和为 C. 展开式不一定存在常数项 D. 的第3项为 15. 现有6个人排队，下列计数结论错误的是（　　） A. 甲站在排头，排法数为 B. 甲乙必须相邻，排法数为 C. 甲乙不能相邻，采用捆绑法求解 D. 甲不在排头，可用间接法总排列减去甲在排头情况 16. 已知 （），下面判断错误的是（　　） A. 二项式系数之和等于 B. 所有项的系数和可令 求得 C. 若 ，展开式没有常数项 D. 展开式的奇数项二项式系数之和一定等于偶数项系数之和 三、解答题（本大题共5题，17-19每题14分，20-21每题18分，共78分） 17.（14分） 现有7名同学，其中男生4人，女生3人。 （1）从中选出3人参加座谈会，求一共有多少种不同选法； （2）从中选出3人，要求至少有一名女生，求不同选法总数。 18.（14分） 已知二项式 。 （1）写出该二项展开式的通项公式； （2）求展开式中 项的系数； （3）求二项式系数之和。 19.（14分） 某班要安排周一至周五共5天的值日，一共6名同学。 （1）从中选出5人，每人值一天，每人至多一天，一共有多少种排法； （2）甲、乙两名同学都要参与值日，求安排的方案总数； （3）若6名同学轮流，每天可以多人值日，每人可值多天，5天值日安排一共有多少种方式。 20.（18分） 已知 。 （1）求二项式系数之和； （2）求 ； （3）求 。 21.（18分） 定义：。 （1）直接写出 的值； （2）利用二项式定理化简 ； （3）设 ，求 的化简结果。 参考答案与解析 一、填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 【答案】 【解析】 排列数 与组合数 均有意义需满足： 且 。故 ， 共有 个元素。............（4分） 2. 【答案】 【解析】 由组合数性质 ，。............（4分） 3. 【答案】 【解析】 。............（4分） 4. 【答案】 【解析】 。............（4分） 5. 【答案】 【解析】 平均分成无序三堆： ⚠️ 易错提醒：本题要求“分成3堆”，堆与堆之间无区别（无序），必须除以 。若改为“平均分给甲、乙、丙三个人”，则不需要除以 ，结果为 。............（4分） 6. 【答案】 【解析】 插空法：先排其余3个节目 ，形成4个空位，选2个插入不相邻节目 。。............（4分） 7. 【答案】 【解析】 通项 ，令 。系数为 。............（5分） 8. 【答案】 【解析】 为奇数，二项式系数最大值为 。............（5分） 9. 【答案】 【解析】 ，令 。系数为 。............（5分） 10. 【答案】 【解析】 先分组 ，再分配给3个社团 ，。............（5分） 11. 【答案】 【解析】 令 ，。............（5分） 12. 【答案】 【解析】 由公式 ，。............（5分） 二、选择题（本大题共4题，13-14每题4分，15-16每题5分，共18分） 13. 【答案】 B 【解析】 A错误：正确应为 ；B正确：；C错误：；D错误：排列数下标不能小于上标， 无意义。故选B。............（4分） 14. 【答案】 C 【解析】 A错误：二项式系数只与 有关，与 无关；B错误：令 ，；C正确：如 无常数项；D错误：第3项为 。故选C。............（4分） 15. 【答案】 C 【解析】 甲乙不能相邻应使用插空法，捆绑法用于相邻问题。A、B、D表述均正确。故选C。............（5分） 16. 【答案】 D 【解析】 A、B正确；C正确： 时通项中 的指数为 ，无法取0，无常数项；D错误：奇数项二项式系数之和等于偶数项二项式系数之和，但不等于“偶数项系数”之和。故选D。............（5分） 三、解答题（本大题共5题，17-19每题14分，20-21每题18分，共78分） 17.（本题满分14分） （1）解： 从7人中任选3人： 一共有 种选法。............（6分） （2）解： 间接法，全部减去全是男生： 满足条件一共 种选法。............（8分） 18.（本题满分14分） （1）解： 通项公式 ............（4分） （2）解： 系数 。............（6分） （3）解： 二项式系数之和 。............（4分） 19.（本题满分14分） （1）解： 从6人选5人排列，。............（4分） （2）解： 甲、乙必选，再从剩余4人选3人，之后5人全排列： ............（6分） （3）解： 每一天值日的同学都有6种选择，共5天：。............（4分） 20.（本题满分18分） （1）解： 二项式系数之和：。............（4分） （2）解： 令 ：； 令 ，； 。............（6分） （3）解： 令 ：。 联立 两式相加：，得 。............（8分） 21.（本题满分18分） （1）解： 。............（4分） （2）解： 由二项式定理， ............（6分） （3）解： 对 两边求导： 两边同乘 ：，代入 ， ............（8分） --- 解析结束 --- 学科网（北京）股份有限公司 $