5.2三角函数的概念（讲义）高一数学人教A版必修第一册

第五章 三角函数 5.2 三角函数的概念 课标要点 1.理解终边相同的角的含义，掌握终边相同角的集合表达，能写出给定范围内与已知角终边相同的角，建立 “旋转方向 + 旋转量” 的角的定义逻辑。 2.能判断各象限角正弦、余弦、正切函数值的符号；会利用三角函数定义进行简单求值，结合几何情境理解三角函数的几何意义。 3.区分初中锐角三角函数与高中任意角三角函数，体会从锐角到任意角的概念拓展，能判断三角函数概念应用中的易错情形。 学习重难点 重点： 1.任意角、象限角、终边相同的角的概念，终边相同角的集合书写。 2.单位圆下任意角正弦、余弦、正切的定义。 3.根据角终边上点坐标求三角函数值；判断三角函数在各象限的符号。 难点： 1.终边相同角集合的理解，区分 “终边相同”“象限角”“轴线角”，避免概念混淆。 2.理解三角函数是以角为自变量的函数，突破初中锐角三角函数的思维定式。 3.利用三角函数定义处理含参数的求值问题，注意点坐标、角位置的分类讨论。 知识点 任意角的三角函数（重点） （1）定义 设是一个任意角，以它的顶点为原点，以它的始边为轴的非负半轴，建立平面直角坐标系，它的终边与单位圆交于点，那么________，________，． （2）定义的推广 设是角终边上异于原点的任一点，它到原点的距离为，那么________；________，________． 【答案】 随学随练 1.（25-26高一下·贵州遵义·期中）已知角的终边经过点，则（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【详解】设点P到坐标原点的距离为， 则. 知识点 三角函数值符号判断 三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦，如图． 随学随练 1.（25-26高一下·江西抚州·期末）（多选）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】因为，为第二象限角，故， 得， 所以A错，B对，C错，D对. 知识点特殊角的三角函数值 对于表中的角，计算，，的值，并填写下表． 0 0 1 0 不存在 0 不存在 【答案】；；0；；；1；；；0；；；－1；；；0；；；1；0；；；；；；；；；0. 知识点 同角三角函数基本关系式的变形 （1）． （2） 【答案】；； 随学随练 1.（25-26高一下·陕西汉中·期中）已知，且α为第四象限的角，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用同角三角函数的基本关系求出 ，再根据 为第四象限角确定 的符号。 【详解】因为且所以 又因为 为第四象限角，所以 ，从而 拓展 正弦线、余弦线、正切线 角的终边与单位圆交于点，过作轴，为垂足，点，直线与角终边所在直线交于点，如图．则角的正弦线为______，余弦线为______，正切线为______． 【答案】 拓展 简单三角方程的解集. 解集 （） ___________， ___________， ___________， （） （） （，） 【答案】 题型 任意角三角函数的概念 解题贴士 利用三角函数的定义，已知角α终边上一点P的坐标，可以求出角α的三角函数值；已知角α的三角函数值，也可以求出其终边与单位圆交点P的坐标. ▌例1．（26-27高三上·广东揭阳·开学考试）已知角的始边与x轴非负半轴重合，终边落在直线上，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】D 【详解】在角的终边上任取异于原点的点， 由，得． ▌对点练1-1．（25-26高一下·陕西咸阳·期末）若角的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由三角函数的定义可得. ▌对点练1-2．（25-26高一下·北京·期中）已知角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边在第三象限且与单位圆交于点，则___________． 【答案】 【详解】由题知，解得， 又点在第三象限，所以，所以. ▌对点练1-3．（25-26高一下·陕西汉中·期中）（多选）直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（    ） A． B． C． D．是第四象限角 【答案】AB 【分析】先由终边上点的坐标求出点到原点的距离，再分别代入正切、正弦、余弦的定义公式计算，同时根据点的坐标符号判断角所在的象限，逐一验证选项的正误. 【详解】因为角终边过点，所以点到原点的距离： ， 所以选项A： ，故A正确； 选项B：，故B正确； 选项C：，故C错误； 选项D：因为点在第三象限，所以是第三象限角，故D错误. ▌对点练1-4．（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）在平面直角坐标系中，角的顶点与原点O重合，始边与x轴的正半轴重合. (1)若终边上有一点，求； (2)若角的终边上一点（）求及； (3)点在角的终边上，且，求t的值. 【答案】(1) (2)；当时，；当时， (3) 【详解】（1）由终边上有一点，得. （2）由角的终边上一点，得； 当时，，； 当时，，. （3）由点在角的终边上，得，， 而，则， 整理得且，所以. 题型 三角函数值符号的判断 解题贴士 已知一个角的三角函数值(sin α，cos α，tan α)中任意两个的符号，可分别确定出角的终边所在的可能位置，二者的交集即为该角的终边位置. ▌例1．（25-26高二下·广东汕尾·阶段检测）（多选）角为第三象限角的必要不充分条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据三角函数值在各象限的符号即可判断． 【详解】若，则角为第二、三象限角； 若，则角为第三、四象限角； 若，则角为第一、四象限角； 若，则角为第一、三象限角； 由题可知，满足角为第三象限角的必要不充分条件是ABD． ▌对点练1-1．（25-26高一下·辽宁沈阳·阶段检测）已知平面直角坐标系中点位于第三象限，则角为（   ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】D 【分析】根据给定条件可得，进而确定角所在象限. 【详解】由点位于第三象限，得， 由，得角是第二、四象限角；由，得角终边在轴下方， 所以角为第四象限角. ▌对点练1-2．（25-26高一下·贵州遵义·期中）已知角的终边过点，则点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【详解】根据角的终边过点，可得， 则得点位于第四象限. ▌对点练1-3．（25-26高一下·辽宁·阶段检测）（多选）已知是第四象限角，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】由是第四象限角，可得，，而，， 所以，，. ▌对点练1-4．（25-26高一下·江西抚州·期中）若角的终边不在坐标轴上，且满足，则角为（    ） A．第一象限角或第二象限角 B．第二象限角或第三象限角 C．第三象限角或第四象限角 D．第二象限角或第四象限角 【答案】B 【分析】由三角函数式的符号确定角的范围或象限. 【详解】当角的终边不在坐标轴上时，， 所以，所以只需， 又因为，要使， 所以只需，所以角的终边在第二象限或第三象限. 题型 同角三角函数值(sin α，cos α，tan α)关系 解题贴士 　(1)利用sin2α+cos2α=1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用=tan α可以实现角α的弦切互化. (2)形如，asin2α+bsin αcos α+ccos2α等类型可进行弦化切. ▌例1．（25-26高一下·贵州遵义·期中）计算： (1)已知为第二象限角，，求 (2)已知 （i）求的值 （ii）求的值 【答案】(1)， (2)（i）；（ii） 【分析】（1）利用同角三角函数的商数关系和平方关系求解即可； （2）（i）利用同角商数关系可求得，再利用齐次式可求值；（ii）利用，结合齐次式即可求值. 【详解】（1）由为第二象限角，得，由，得， 所以， （2）由，得，解得. （i）； （ii） . ▌对点练1-1．（25-26高一下·陕西汉中·期中）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据同角的三角函数关系求解即可. 【详解】因为，所以. 所以. ▌对点练1-2．（25-26高一下·广东汕头·期末）若，是方程的一个根，则（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程，结合的范围可得，应用同角三角函数的基本关系对目标式进行化简求值即可. 【详解】由可得：，解得：. 已知，该区间内，故. 所以. ▌对点练1-3．（25-26高一下·陕西汉中·开学考试）已知，，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平方关系化简，再结合终边所在象限判断符号即可. 【详解】， 利用平方关系可知， 即， 由于，故， 又，， 所以等式可化为 即，故. ▌对点练1-4．（2026高一·全国·专题练习）已知，求下列各式的值． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】由同角三角函数的商数关系，化为的式子，代入，即可求解． 【详解】（1）． （2）． 题型 sin α+cos α，sin αcos α，sin α-cos α之间关系 解题贴士 对于sin α+cos α，sin αcos α，sin α-cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2=1±2sin αcos α，可以知一求二. ▌例1．（25-26高一下·贵州遵义·期中）（多选）已知，则下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】本题考查同角三角函数的基本关系，利用平方关系对已知式变形，结合θ的范围判断三角函数符号，逐项验证选项即可. 【详解】选项A：已知，因此， 将两边平方得：， 解得， 因此，故，A正确； 选项B：由上述计算得，B错误； 选项C：计算， 因为，故，开方得，C正确； 选项D：利用平方差公式分解：，D正确. ▌对点练1-1．（25-26高一下·贵州遵义·期中）已知角满足，则___________；若是第四象限角，则__________． 【答案】 或 / 【分析】根据同角三角函数基本关系即可求解；根据第四象限角的三角函数符号确定的正负，进而求出其值. 【详解】① 由，得 ， 化简得 ， 解得. 又（，若则，不满足已知等式）， 即 ，整理得，解得. ② 因为是第四象限角，故，，因此. 由， 所以. ▌对点练1-2．（25-26高一上·福建福州·阶段检测）（多选）已知，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】将等式两边取平方，利用同角三角函数关系式求得，结合角的范围求出，再与原式联立求出的值，进而求出即可逐一判断. 【详解】因为，， 所以， 解得，则和符号相反. 因为，所以，则，. ， 因，则， 将其与联立，可得，， 所以. 综上，选项A、B、D正确，选项C错误. ▌对点练1-3．（25-26高一下·贵州遵义·期中）已知函数； (1)若，求的值； (2)若，且，求的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由，得， . （2）由得，，解得， 所以与异号，因为，所以，则，， 所以，， ， 所以. 基础通关 1.（25-26高一下·江苏南通·阶段检测）在平面直角坐标系中，角的顶点为原点，始边为轴的非负半轴，终边过点，则___________． 【答案】 【详解】角的终边过点，则该点到原点的距离：， 由三角函数的定义：，， ， 所以. 2.（26-27高二上·天津河北·开学考试）已知为角终边上一点，则____________． 【答案】1 【详解】因为为角终边上一点，所以， 所以. 3.（26-27高一上·全国·课堂例题）已知，则的值为______；______. 【答案】 【详解】因为，则，所以的值为. . 4.（25-26高一下·河南洛阳·期末）已知角的始边为轴非负半轴，终边经过点，将角的终边顺时针旋转后得到角，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意得，且为第二象限角，则， 则. 5．（25-26高一下·四川泸州·期末）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】先把代入验证能推出等式成立，证明充分性；再解三角方程得到多个解，说明等式成立不能反推，不满足必要性，由此判定为充分不必要条件． 【详解】充分性： 若，则， ， 所以由能推出，充分性成立， 必要性： 由，得或， 即或， 可见满足的不只有， 即由不能推出，必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件． 6.（26-27高一上·湖南邵阳·开学考试）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将等式移项后平方，结合平方关系消元，可求出，，然后根据商数关系求得. 【详解】，所以， 由，得，所以， 因为，所以， 所以，即， 得，（舍去），所以， 则. 7.（26-27高一上·全国·课后作业）在直角坐标系中，一个质点在半径为的圆上，以圆与轴正半轴的交点为起点，沿逆时针方向匀速运动到点，每转一圈，则后的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取线段的中点，可知，求出的大小，可得出，利用锐角三角函数的定义可求出的长，即可得出的长. 【详解】取线段的中点，由垂径定理可知，如下图所示： 由题意可知， 因为，为的中点，所以， 由锐角三角函数的定义可知，则， 故. 8.（26-27高一上·全国·课后作业）已知，求： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)3 (2) (3) 【详解】 （1）原式． （2）原式． （3）原式． 9.（26-27高一上·全国·课堂例题）如图，在平面直角坐标系xOy中，角的终边与单位圆交于点P，且点P的横坐标为． (1)求，的值； (2)求的值 【答案】(1)，； (2). 【详解】（1）如图点在第二象限，又因为点在单位圆上，且点的横坐标为， 所以，则，； （2）原式 =. 10.（25-26高一下·辽宁朝阳·阶段检测）（1）已知角的终边过，求的值． （2）角终边经过点，且．求的值． 【答案】（1）；（2）或 【分析】（1）由三角函数的定义求出的值，再代入计算； （2）根据三角函数的定义求得，再分情况求解即可． 【详解】（1）已知角的终边过， ， ； （2）角终边经过点， ，， ，即，解得， 当时，，， ； 当时，，， ； 综上，的值为或． 素养提升 11.（25-26高一下·江西南昌·期末）若，化简的结果是（     ） A． B． C． D．2 【答案】C 【详解】因为，所以. . 12．（25-26高一下·四川南充·期中）已知，则（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用对数运算性质求出的值，再结合同角三角函数平方关系求出的表达式，最后代入对数运算得到结果. 【详解】由对数有意义的条件得，，因此. 已知，可得， 所以. 因为， 所以， 结合，得. . 13.（25-26高一下·山东潍坊·期中）（多选）如图所示，半径为1和3的两圆外切于点P，且直线为其公切线，则（   ） A． B． C．涂色区域周长为 D．涂色区域面积为 【答案】BC 【分析】过作，则，再求即可判断A；求出，进而得到即可判断B；利用扇形的弧长及面积公式求解CD即可． 【详解】解：由题可知，过作， 则，，，故A错误； ， ，故B正确； ，则，， 涂色区域周长为，故C正确； ，， 涂色区域面积，故D错误． 14.（25-26高一上·江苏宿迁·阶段检测）（多选）下列结论正确的有（    ） A． B．已知角的终边在上，则 C．终边落在直线上的角的集合是 D．已知点在第四象限，则角终边在第二象限 【答案】BD 【分析】利用三角函数的性质和定义、诱导公式、象限角的符号规律及终边相同角的集合分析判断各选项． 【详解】对于A，，，，故A错误； 对于B，角的终边在直线上， ，，故B正确； 对于C，终边落在射线上的角的集合为， 终边落在射线上的角的集合为， 终边落在直线上的角的集合为，故C错误； 对于D，点在第四象限，，，则角终边在第二象限，故D正确． 故选：BD． 15．（2026高一上·江苏南京·专题练习）（多选）下列结论中正确的是（ ） A．若角的终边过点，则 B．若是第二象限角，则为第二象限或第四象限角 C．对任意，恒成立 D．若，，则 【答案】ACD 【分析】根据三角函数的定义、象限角、三角函数恒等变换等知识点对各选项进行分析和计算. 【详解】选项A：当时，，则，故A正确； 选项B：若是第二象限角，则，， 所以，， 所以为第一象限角或第三象限角，故B错； 选项C：因为，如图， 射线与单位圆交于点，作轴，垂足为点，单位圆与轴正半轴的交点为点，设，由弧度制的定义可知，劣弧的长度为， 根据三角函数线可知，，，， ，，易得， 所以，所以，故C正确； 对于D，由，可得，因，故， 所以，又，则，故D正确. 故选：ACD． 迁移创新 16.（2026高一上·广东江门·竞赛）人脸识别技术为生活带来很多便利．在人脸识别中检测样本之间的相似度主要应用余弦相似度．若二维空间有两个点，则余弦相似度为：．已知点，，若，则__________． 【答案】 【分析】根据同角三角函数平方关系，简化余弦相似度公式得到两角和与差的余弦表达式，联立求解正弦乘积与余弦乘积的比值即可得到结果. 【详解】由题， ，① ，② 则①②得，， ①②得，， 所以， 故答案为： 17.（26-27高一上·全国·课后作业）（1）若，化简． （2）求证：． （3）已知，求证：． 【答案】 （1） （2）证明：要证， 只需证：， 只需证：， 只需证：，即证：， 显然上式成立，故成立，得证． （3）证明：由， 得：， 所以， ， ， ，即，则， 得，再由平方关系得，， 代入，得，即：，得证． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章 三角函数 5.2 三角函数的概念 课标要点 1.理解终边相同的角的含义，掌握终边相同角的集合表达，能写出给定范围内与已知角终边相同的角，建立 “旋转方向 + 旋转量” 的角的定义逻辑。 2.能判断各象限角正弦、余弦、正切函数值的符号；会利用三角函数定义进行简单求值，结合几何情境理解三角函数的几何意义。 3.区分初中锐角三角函数与高中任意角三角函数，体会从锐角到任意角的概念拓展，能判断三角函数概念应用中的易错情形。 学习重难点 重点： 1.任意角、象限角、终边相同的角的概念，终边相同角的集合书写。 2.单位圆下任意角正弦、余弦、正切的定义。 3.根据角终边上点坐标求三角函数值；判断三角函数在各象限的符号。 难点： 1.终边相同角集合的理解，区分 “终边相同”“象限角”“轴线角”，避免概念混淆。 2.理解三角函数是以角为自变量的函数，突破初中锐角三角函数的思维定式。 3.利用三角函数定义处理含参数的求值问题，注意点坐标、角位置的分类讨论。 知识点 任意角的三角函数（重点） （1）定义 设是一个任意角，以它的顶点为原点，以它的始边为轴的非负半轴，建立平面直角坐标系，它的终边与单位圆交于点，那么________，________，． （2）定义的推广 设是角终边上异于原点的任一点，它到原点的距离为，那么________；________，________． 随学随练 1.（25-26高一下·贵州遵义·期中）已知角的终边经过点，则（    ） A． B．2 C． D． 知识点 三角函数值符号判断 三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦，如图． 随学随练 1.（25-26高一下·江西抚州·期末）（多选）已知，则（    ） A． B． C． D． 知识点特殊角的三角函数值 对于表中的角，计算，，的值，并填写下表． 0 0 1 0 不存在 0 不存在 知识点 同角三角函数基本关系式的变形 （1）．（2） 随学随练 1.（25-26高一下·陕西汉中·期中）已知，且α为第四象限的角，则（   ） A． B． C． D． 拓展 正弦线、余弦线、正切线 角的终边与单位圆交于点，过作轴，为垂足，点，直线与角终边所在直线交于点，如图．则角的正弦线为______，余弦线为______，正切线为______． 拓展 简单三角方程的解集. 解集 （） ___________， ___________， ___________， （） （） （，） 题型 任意角三角函数的概念 解题贴士 利用三角函数的定义，已知角α终边上一点P的坐标，可以求出角α的三角函数值；已知角α的三角函数值，也可以求出其终边与单位圆交点P的坐标. ▌例1．（26-27高三上·广东揭阳·开学考试）已知角的始边与x轴非负半轴重合，终边落在直线上，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 ▌对点练1-1．（25-26高一下·陕西咸阳·期末）若角的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，则（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-2．（25-26高一下·北京·期中）已知角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边在第三象限且与单位圆交于点，则___________． ▌对点练1-3．（25-26高一下·陕西汉中·期中）（多选）直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（    ） A． B． C． D．是第四象限角 ▌对点练1-4．（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）在平面直角坐标系中，角的顶点与原点O重合，始边与x轴的正半轴重合. (1)若终边上有一点，求； (2)若角的终边上一点（）求及； (3)点在角的终边上，且，求t的值. 题型 三角函数值符号的判断 解题贴士 已知一个角的三角函数值(sin α，cos α，tan α)中任意两个的符号，可分别确定出角的终边所在的可能位置，二者的交集即为该角的终边位置. ▌例1．（25-26高二下·广东汕尾·阶段检测）（多选）角为第三象限角的必要不充分条件是（   ） A． B． C． D． ▌对点练1-1．（25-26高一下·辽宁沈阳·阶段检测）已知平面直角坐标系中点位于第三象限，则角为（   ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 ▌对点练1-2．（25-26高一下·贵州遵义·期中）已知角的终边过点，则点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ▌对点练1-3．（25-26高一下·辽宁·阶段检测）（多选）已知是第四象限角，则（   ） A． B． C． D． ▌对点练1-4．（25-26高一下·江西抚州·期中）若角的终边不在坐标轴上，且满足，则角为（    ） A．第一象限角或第二象限角 B．第二象限角或第三象限角 C．第三象限角或第四象限角 D．第二象限角或第四象限角 题型 同角三角函数值(sin α，cos α，tan α)关系 解题贴士 　(1)利用sin2α+cos2α=1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用=tan α可以实现角α的弦切互化. (2)形如，asin2α+bsin αcos α+ccos2α等类型可进行弦化切. ▌例1．（25-26高一下·贵州遵义·期中）计算： (1)已知为第二象限角，，求 (2)已知 （i）求的值 （ii）求的值 ▌对点练1-1．（25-26高一下·陕西汉中·期中）已知，则（   ） A． B． C． D． ▌对点练1-2．（25-26高一下·广东汕头·期末）若，是方程的一个根，则（ ） A． B． C． D． ▌对点练1-3．（25-26高一下·陕西汉中·开学考试）已知，，那么（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-4．（2026高一·全国·专题练习）已知，求下列各式的值． (1)； (2)． 题型 sin α+cos α，sin αcos α，sin α-cos α之间关系 解题贴士 对于sin α+cos α，sin αcos α，sin α-cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2=1±2sin αcos α，可以知一求二. ▌例1．（25-26高一下·贵州遵义·期中）（多选）已知，则下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-1．（25-26高一下·贵州遵义·期中）已知角满足，则___________；若是第四象限角，则__________． ▌对点练1-2．（25-26高一上·福建福州·阶段检测）（多选）已知，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-3．（25-26高一下·贵州遵义·期中）已知函数； (1)若，求的值； (2)若，且，求的值. 基础通关 1.（25-26高一下·江苏南通·阶段检测）在平面直角坐标系中，角的顶点为原点，始边为轴的非负半轴，终边过点，则___________． 2.（26-27高二上·天津河北·开学考试）已知为角终边上一点，则____________． 3.（26-27高一上·全国·课堂例题）已知，则的值为______；______. 4.（25-26高一下·河南洛阳·期末）已知角的始边为轴非负半轴，终边经过点，将角的终边顺时针旋转后得到角，则（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一下·四川泸州·期末）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6.（26-27高一上·湖南邵阳·开学考试）已知，，则（   ） A． B． C． D． 7.（26-27高一上·全国·课后作业）在直角坐标系中，一个质点在半径为的圆上，以圆与轴正半轴的交点为起点，沿逆时针方向匀速运动到点，每转一圈，则后的长为（    ） A． B． C． D． 8.（26-27高一上·全国·课后作业）已知，求： (1)； (2)； (3)． 9.（26-27高一上·全国·课堂例题）如图，在平面直角坐标系xOy中，角的终边与单位圆交于点P，且点P的横坐标为． (1)求，的值； (2)求的值 10.（25-26高一下·辽宁朝阳·阶段检测）（1）已知角的终边过，求的值． （2）角终边经过点，且．求的值． 素养提升 11.（25-26高一下·江西南昌·期末）若，化简的结果是（     ） A． B． C． D．2 12．（25-26高一下·四川南充·期中）已知，则（  ） A． B． C． D． 13.（25-26高一下·山东潍坊·期中）（多选）如图所示，半径为1和3的两圆外切于点P，且直线为其公切线，则（   ） A． B． C．涂色区域周长为 D．涂色区域面积为 14.（25-26高一上·江苏宿迁·阶段检测）（多选）下列结论正确的有（    ） A． B．已知角的终边在上，则 C．终边落在直线上的角的集合是 D．已知点在第四象限，则角终边在第二象限 15．（2026高一上·江苏南京·专题练习）（多选）下列结论中正确的是（ ） A．若角的终边过点，则 B．若是第二象限角，则为第二象限或第四象限角 C．对任意，恒成立 D．若，，则 迁移创新 16.（2026高一上·广东江门·竞赛）人脸识别技术为生活带来很多便利．在人脸识别中检测样本之间的相似度主要应用余弦相似度．若二维空间有两个点，则余弦相似度为：．已知点，，若，则__________． 17.（26-27高一上·全国·课后作业）（1）若，化简． （2）求证：． （3）已知，求证：． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $