5.3诱导公式 教学设计-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

案例名称 5.3　诱导公式（教学设计）-2025-2026学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册 提供者：______ - 教材分析 （1）本课时主要内容是借助单位圆的对称性，探究并推导诱导公式二至公式四，即角、、与角的三角函数关系。 （2）本课是在学生已学任意角三角函数定义、同角三角函数基本关系以及公式一的基础上展开的。学生已掌握单位圆中点的坐标与三角函数值的对应关系，本课利用圆的对称性这一几何特征，将图形的对称转化为函数值的对称关系。 （3）诱导公式是三角函数的核心内容之一，在教材中起着承上启下的关键作用。它不仅是求任意角三角函数值的重要工具，更为后续学习三角函数的图象与性质、和差角公式以及解三角形等知识奠定基础。公式所体现的对称思想贯穿整个三角函数的学习过程，对培养学生用联系与转化的观点分析问题具有重要意义。 教学目标 （1）学生能从单位圆的对称性这一几何直观出发，观察点关于原点、坐标轴对称后角的变化规律，用数学眼光发现角、、与角之间的内在联系。 （2）学生能借助单位圆中对称点的坐标关系，运用从特殊到一般的思维方法，逻辑推理得出诱导公式二至公式四，理解公式中函数值符号变化的规律与角所在象限的对应关系，培养演绎推理能力。 （3）学生能准确运用诱导公式将任意角的三角函数转化为锐角三角函数，规范书写化简与求值过程，用数学语言清晰表达公式推导思路及符号判断依据。 教学重难点 1．重点：借助单位圆的对称性推导诱导公式二至公式四，并能运用公式将任意角的三角函数值转化为锐角三角函数值。 2．难点：理解公式中三角函数值符号变化的规律，准确判断运用公式后函数值的正负。 教学方法 讲授法、类比教学法、直观演示法 教学准备 （1）多媒体投影设备，用于展示单位圆中点的对称变换动画，帮助学生直观理解角与角之间的关系。 （2）几何画板课件，动态演示单位圆上点关于原点及坐标轴对称的过程。 （3）黑板与粉笔，用于板书诱导公式的推导过程和典型例题的解题步骤，便于学生记录笔记。 教学过程 一、复习导入 教师活动 同学们，前面我们学习了任意角三角函数定义和公式一。请回忆，在单位圆中，角的终边与单位圆交点的坐标和三角函数值有什么关系？ 公式一的内容是什么？今天我们要利用圆的对称性，继续研究三角函数的关系。 学生活动 学生回答要点：在单位圆中，若角的终边与单位圆交于点，则，，，三角函数值由交点坐标确定。 公式一表明终边相同的角同名三角函数值相等，即（），可将任意角转化为到范围内的角。 教师活动 很好。比如角与角终边相同，正弦值相等。那如果两个角的终边关于原点对称呢？ 比如角的终边逆时针旋转后得到角，两角终边关于原点对称。它们的三角函数值有什么关系？ 教师在黑板上画出单位圆，标出角和角的终边与单位圆的交点，请学生观察这两个点的坐标关系。 教师活动 同学们刚才观察到，终边关于原点对称的两个角，其交点坐标互为相反数，由此可以建立三角函数值之间的联系。但公式一只能处理终边相同的角，对于终边关于原点或坐标轴对称的角就无能为力了。我们需要新的公式。 那么，除了关于原点对称，还有哪些对称方式？关于坐标轴对称的角的三角函数值又有什么关系？这些就是我们今天要探究的内容。 教师在黑板上写下课题：诱导公式。 二、合作探究，探索新知 （1）公式二的推导 教师活动 教师借助多媒体展示单位圆，如图1，在圆上标出角的终边与单位圆的交点，然后作关于原点的对称点。请同学们观察，以为终边的角与角有什么关系？ 图1　单位圆中关于原点对称的两点 类比公式一的推导方法，能否通过对称点的坐标关系，找出角与角的三角函数值之间的关系？请大家思考并讨论。 学生活动 学生思考后讨论，提出以为终边的角可表示为，并尝试用坐标关系建立联系。 教师活动 很好。以为终边的角都是与角终边相同的角，即（）。因此只需探究角与角的三角函数值之间的关系。 设，因为是关于原点的对称点，所以。根据三角函数定义，，，而，。 由此得到公式二：，，。教师板书公式二，强调角可看作角的终边逆时针旋转得到。 （2）公式三的推导 教师活动 教师在单位圆上作出点关于轴的对称点（如图2），请同学们观察，以为终边的角是什么角？ 图2　单位圆中关于x轴对称的两点 类比公式二的推导，能否通过与的坐标关系，得出角与角的三角函数值之间的关系？ 学生活动 学生观察到的坐标为，以为终边的角为。由三角函数定义可得，，教师点拨确认。 教师活动 总结同学们的回答，以为终边的角为，且。根据三角函数定义，直接得到公式三。 教师板书公式三：，，。指出正弦函数和正切函数为奇函数，余弦函数为偶函数。 教师强调，公式三的作用是将负角的三角函数转化为正角的三角函数，这是把任意角转化为锐角的重要一步。使用时注意余弦不变号，正弦和正切变号。 （3）公式四的推导 教师活动 教师在单位圆上作出点关于轴的对称点（如图3），请同学们观察以为终边的角与角的关系。 图3　单位圆中关于y轴对称的两点 能否类比前面的方法，利用与的坐标关系，推导出角与角的三角函数值之间的关系？ 学生活动 请同学们分组讨论，分别从坐标关系和公式推导两个角度总结结论，看看能否得到一致的结论。 关于轴对称后，，以为终边的角为。由定义得，，。 也可由公式二和公式三推导：，先用公式二再用公式三，结果一致，验证了公式四的正确性。两种方法殊途同归。 教师活动 教师举例辨析：求的值。因为，由公式二得。 再看反面例子：有同学认为，这是错误的。公式四表明，函数名不变，符号由角所在象限确定。 三、巩固练习 （1）完成教材上的相关练习题 学生在教师指导下完成练习：化简。教师巡视课堂，对符号判断有困难的学生给予个别提示，引导学生先确定角所在象限再判断符号。 答案： （2）课堂小测验 教师给出限时测验题：求的值。学生限时完成后，教师讲解点评，强调先将负角转化为正角，再用公式一化简，最后得到锐角三角函数值。 答案： 四、课堂小结 总结回顾 教师提问：本节课大家有哪些收获？请从公式推导方法、公式内容和公式应用三个方面来总结。 学生们纷纷作答： 推导方面，利用单位圆对称性，通过对称点坐标关系推导出公式二至四，体现了数形结合的转化思想。 内容方面，公式二对应角，公式三对应角，公式四对应角。函数名不变，符号由象限确定。 应用方面，利用公式一至四可将任意角三角函数转化为锐角三角函数。负角用公式三，超出用公式一，到用公式二或四。 教师总结：同学们总结得很全面。诱导公式不仅用于求值，更重要的是体现了三角函数的对称性，这一思想将在后续学习中反复运用。希望大家课后多加练习，熟练掌握公式的应用。 作业布置 （1）完成教材课后习题第一题和第三题，巩固诱导公式的运用。 （2）寻找生活中与对称有关的实例，如钟表指针的对称位置、建筑物的对称结构等，尝试用诱导公式的思想分析其中角的关系并记录。 （3）思考诱导公式五和公式六的推导方法，预习下一课时内容。 学科网（北京）股份有限公司 $