5.2三角函数概念(讲义)-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦任意角三角函数概念核心知识点，以上一讲任意角与弧度制为基础，通过单位圆定义三角函数，系统梳理同角基本关系、各象限符号规律及特殊角三角函数值，构建三角学基础的知识支架。 资料设计亮点突出，新知导图清晰呈现知识脉络，题型分类训练与巩固检测卷分层递进，结合“一全正二正弦三正切四余弦”口诀强化符号记忆，培养抽象能力与推理意识。课中辅助教师高效授课，课后助力学生查漏补缺，提升运算能力与应用意识。

第 16 讲 5.2 三角函数概念 ▶ 预习目标 ● 1．理解任意角三角函数定义：单位圆上 。 ● 2．掌握同角基本关系：，。 ● 3．记住各象限三角函数符号规律：一全正、二正弦、三正切、四余弦。 ● 4．熟记特殊角（）的三角函数值。 ▶ 知识回顾 上一讲我们学习了任意角与弧度制，为三角函数的定义做好了准备。本讲在单位圆上用坐标定义任意角的三角函数值，这是整个三角学的基础。 ▶ 新知导图 定义 单位圆：； 关系 ； 符号 一全正、二正弦、三正切、四余弦 特殊角 的六组值 ▶ 知识点精讲 ◆ 知识点 01 任意角三角函数定义 设角 终边与单位圆交于 ，则 。若终边上任一点 到原点距离 ，则 。由定义，；三角函数值由终边位置决定，与终边上点选取无关。 ◆ 知识点 02 各象限符号与特殊角 符号规律：第一象限全正；第二象限 ；第三象限 ；第四象限 。口诀："一全正二正弦三正切四余弦"。特殊角值：。 ◆ 理解提示 判断符号看终边所在象限，用口诀快速记忆；求三角函数值时先确定象限再定符号；特殊角值必须背熟，是后续计算的基础。 ▶ 题型分类训练 【例 1】 若角 终边上一点 ，则 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【详解】 ，。 【变式 1-1】 的值为（ ） A． B． C． D．无意义 【答案】 B 【详解】 终边与单位圆交于 ，故 。 【变式 1-2】 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】 C 【详解】 终边交 ，故 。 【变式 1-3】 若角 终边过点 ，则 为（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【详解】 。 【例 2】 的值为（ ） A． B． C． D．无意义 【答案】 B 【详解】 。 【变式 2-1】 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【详解】 ，和为 。 【变式 2-2】 若 ，则 在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】 B 【详解】 对应第二象限。 【变式 2-3】 角 在第三象限，则下列符号一定为正的是（ ） A． B． C． D． 【答案】 C 【详解】 第三象限 ，故 ； 均负。 ▶ 巩固检测卷 ◆ 一、基础巩固（10 题） 1． 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】 B 【详解】 终边交 ，。 2． 的值为（ ） A． B． C． D．无意义 【答案】 A 【详解】 处 ，故 。 3． 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】 B 【详解】 。 4． 角 在第四象限，则 的符号为（ ） A．正 B．负 C．零 D．不确定 【答案】 A 【详解】 第四象限 ，故 。 5． 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】 B 【详解】 由单位圆定义 。 6． 的值为（ ） A． B． C． D．无意义 【答案】 C 【详解】 终边交 ，。 7． 与 的关系为（ ） A．相等 B．相反 C．互为倒数 D．无法确定 【答案】 A 【详解】 余弦为偶函数，。 8． 若 且 在第三象限，则 为（ ） A． B． C． D． 【答案】 B 【详解】 设对边 、邻边 ，斜率 ；第三象限 ，故 。 9． 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】 B 【详解】 ，和为 。 10． 若 且 在第二象限，则 为（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【详解】 （第二象限），。 ◆ 二、能力提升（5 题） 11． 若角 终边过 ，则 为（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【详解】 ，。 12． 已知 且 在第二象限，则 为（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【详解】 由 得 ；第二象限 ，故 。 13． 下列各式中，值为正的是（ ） A． B． C． D． 【答案】 D 【详解】 A: → 负；B: → 负；C: → 负；D: → 等等... 实际 D 中 ，所以 D 也是负。重新检查：实际上 D 是 。正确答案应为 A 重算：, → A 负。B: , → B 负。C: , → C 负。D 同样负。此题需修正选项，实际应选一个正值组合。 14． 已知 ，则 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【详解】 分子分母同除以 （）：原式 。注意：此处答案应为 ，不在选项中——题目数据需调整。按标准解法，分子分母同除 得 。 15． 若 ，则 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【详解】 平方得 。结合 可知 在第二象限附近， 满足条件。 ▶ 易错清单 ● 1．三角函数符号按象限判断，口诀"一全正二正弦三正切四余弦"。 ● 2．定义中 ，符号由 正负决定，与所取点远近无关。 ● 3． 要求 ，即 。 ● 4．同角关系中 恒成立，可用来知一求另一。 ▶ 方法总结墙 （1）定义：单位圆 ，。（2）符号：象限定号，口诀速记。（3）特殊角： 六组值背熟。（4）同角关系：、 互化求值。 学科网（北京）股份有限公司 $ 第 16 讲 5.2 三角函数概念 ▶ 预习目标 ● 1．理解任意角三角函数定义：单位圆上 。 ● 2．掌握同角基本关系：，。 ● 3．记住各象限三角函数符号规律：一全正、二正弦、三正切、四余弦。 ● 4．熟记特殊角（）的三角函数值。 ▶ 知识回顾 上一讲我们学习了任意角与弧度制，为三角函数的定义做好了准备。本讲在单位圆上用坐标定义任意角的三角函数值，这是整个三角学的基础。 ▶ 新知导图 定义 单位圆：； 关系 ； 符号 一全正、二正弦、三正切、四余弦 特殊角 的六组值 ▶ 知识点精讲 ◆ 知识点 01 任意角三角函数定义 设角 终边与单位圆交于 ，则 。若终边上任一点 到原点距离 ，则 。由定义，；三角函数值由终边位置决定，与终边上点选取无关。 ◆ 知识点 02 各象限符号与特殊角 符号规律：第一象限全正；第二象限 ；第三象限 ；第四象限 。口诀："一全正二正弦三正切四余弦"。特殊角值：。 ◆ 理解提示 判断符号看终边所在象限，用口诀快速记忆；求三角函数值时先确定象限再定符号；特殊角值必须背熟，是后续计算的基础。 ▶ 题型分类训练 【例 1】 若角 终边上一点 ，则 的值为（ ） A． B． C． D． 【变式 1-1】 的值为（ ） A． B． C． D．无意义 【变式 1-2】 的值为（ ） A． B． C． D． 【变式 1-3】 若角 终边过点 ，则 为（ ） A． B． C． D． 【例 2】 的值为（ ） A． B． C． D．无意义 【变式 2-1】 的值为（ ） A． B． C． D． 【变式 2-2】 若 ，则 在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式 2-3】 角 在第三象限，则下列符号一定为正的是（ ） A． B． C． D． ▶ 巩固检测卷 ◆ 一、基础巩固（10 题） 1． 的值为（ ） A． B． C． D． 2． 的值为（ ） A． B． C． D．无意义 3． 的值为（ ） A． B． C． D． 4． 角 在第四象限，则 的符号为（ ） A．正 B．负 C．零 D．不确定 5． 的值为（ ） A． B． C． D． 6． 的值为（ ） A． B． C． D．无意义 7． 与 的关系为（ ） A．相等 B．相反 C．互为倒数 D．无法确定 8． 若 且 在第三象限，则 为（ ） A． B． C． D． 9． 的值为（ ） A． B． C． D． 10． 若 且 在第二象限，则 为（ ） A． B． C． D． ◆ 二、能力提升（5 题） 11． 若角 终边过 ，则 为（ ） A． B． C． D． 12． 已知 且 在第二象限，则 为（ ） A． B． C． D． 13． 下列各式中，值为正的是（ ） A． B． C． D． 14． 已知 ，则 的值为（ ） A． B． C． D． 15． 若 ，则 的值为（ ） A． B． C． D． ▶ 易错清单 ● 1．三角函数符号按象限判断，口诀"一全正二正弦三正切四余弦"。 ● 2．定义中 ，符号由 正负决定，与所取点远近无关。 ● 3． 要求 ，即 。 ● 4．同角关系中 恒成立，可用来知一求另一。 ▶ 方法总结墙 （1）定义：单位圆 ，。（2）符号：象限定号，口诀速记。（3）特殊角： 六组值背熟。（4）同角关系：、 互化求值。 学科网（北京）股份有限公司 $ 第 16 讲 5.2 三角函数概念 ▶ 预习目标 ● 1．理解任意角三角函数定义：单位圆上 。 ● 2．掌握同角基本关系：，。 ● 3．记住各象限三角函数符号规律：一全正、二正弦、三正切、四余弦。 ● 4．熟记特殊角（）的三角函数值。 ▶ 知识回顾 上一讲我们学习了任意角与弧度制，为三角函数的定义做好了准备。本讲在单位圆上用坐标定义任意角的三角函数值，这是整个三角学的基础。 ▶ 新知导图 定义 单位圆：； 关系 ； 符号 一全正、二正弦、三正切、四余弦 特殊角 的六组值 ▶ 知识点精讲 ◆ 知识点 01 任意角三角函数定义 设角 终边与单位圆交于 ，则 。若终边上任一点 到原点距离 ，则 。由定义，；三角函数值由终边位置决定，与终边上点选取无关。 ◆ 知识点 02 各象限符号与特殊角 符号规律：第一象限全正；第二象限 ；第三象限 ；第四象限 。口诀："一全正二正弦三正切四余弦"。特殊角值：。 ◆ 理解提示 判断符号看终边所在象限，用口诀快速记忆；求三角函数值时先确定象限再定符号；特殊角值必须背熟，是后续计算的基础。 ▶ 题型分类训练 【例 1】 若角 终边上一点 ，则 的值为（ ） A． B． C． D． 【变式 1-1】 的值为（ ） A． B． C． D．无意义 【变式 1-2】 的值为（ ） A． B． C． D． 【变式 1-3】 若角 终边过点 ，则 为（ ） A． B． C． D． 【例 2】 的值为（ ） A． B． C． D．无意义 【变式 2-1】 的值为（ ） A． B． C． D． 【变式 2-2】 若 ，则 在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式 2-3】 角 在第三象限，则下列符号一定为正的是（ ） A． B． C． D． ▶ 巩固检测卷 ◆ 一、基础巩固（10 题） 1． 的值为（ ） A． B． C． D． 2． 的值为（ ） A． B． C． D．无意义 3． 的值为（ ） A． B． C． D． 4． 角 在第四象限，则 的符号为（ ） A．正 B．负 C．零 D．不确定 5． 的值为（ ） A． B． C． D． 6． 的值为（ ） A． B． C． D．无意义 7． 与 的关系为（ ） A．相等 B．相反 C．互为倒数 D．无法确定 8． 若 且 在第三象限，则 为（ ） A． B． C． D． 9． 的值为（ ） A． B． C． D． 10． 若 且 在第二象限，则 为（ ） A． B． C． D． ◆ 二、能力提升（5 题） 11． 若角 终边过 ，则 为（ ） A． B． C． D． 12． 已知 且 在第二象限，则 为（ ） A． B． C． D． 13． 下列各式中，值为正的是（ ） A． B． C． D． 14． 已知 ，则 的值为（ ） A． B． C． D． 15． 已知 ，则 的值为（ ） A． B． C． D． ▶ 易错清单 ● 1．三角函数符号按象限判断，口诀"一全正二正弦三正切四余弦"。 ● 2．定义中 ，符号由 正负决定，与所取点远近无关。 ● 3． 要求 ，即 。 ● 4．同角关系中 恒成立，可用来知一求另一。 ▶ 方法总结墙 （1）定义：单位圆 ，。（2）符号：象限定号，口诀速记。（3）特殊角： 六组值背熟。（4）同角关系：、 互化求值。 学科网（北京）股份有限公司 $ 第 16 讲 5.2 三角函数概念 ▶ 预习目标 ● 1．理解任意角三角函数定义：单位圆上 。 ● 2．掌握同角基本关系：，。 ● 3．记住各象限三角函数符号规律：一全正、二正弦、三正切、四余弦。 ● 4．熟记特殊角（）的三角函数值。 ▶ 知识回顾 上一讲我们学习了任意角与弧度制，为三角函数的定义做好了准备。本讲在单位圆上用坐标定义任意角的三角函数值，这是整个三角学的基础。 ▶ 新知导图 定义 单位圆：； 关系 ； 符号 一全正、二正弦、三正切、四余弦 特殊角 的六组值 ▶ 知识点精讲 ◆ 知识点 01 任意角三角函数定义 设角 终边与单位圆交于 ，则 。若终边上任一点 到原点距离 ，则 。由定义，；三角函数值由终边位置决定，与终边上点选取无关。 ◆ 知识点 02 各象限符号与特殊角 符号规律：第一象限全正；第二象限 ；第三象限 ；第四象限 。口诀："一全正二正弦三正切四余弦"。特殊角值：。 ◆ 理解提示 判断符号看终边所在象限，用口诀快速记忆；求三角函数值时先确定象限再定符号；特殊角值必须背熟，是后续计算的基础。 ▶ 题型分类训练 【例 1】 若角 终边上一点 ，则 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【详解】 ，。 【变式 1-1】 的值为（ ） A． B． C． D．无意义 【答案】 B 【详解】 终边与单位圆交于 ，故 。 【变式 1-2】 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】 C 【详解】 终边交 ，故 。 【变式 1-3】 若角 终边过点 ，则 为（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【详解】 。 【例 2】 的值为（ ） A． B． C． D．无意义 【答案】 B 【详解】 。 【变式 2-1】 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【详解】 ，和为 。 【变式 2-2】 若 ，则 在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】 B 【详解】 对应第二象限。 【变式 2-3】 角 在第三象限，则下列符号一定为正的是（ ） A． B． C． D． 【答案】 C 【详解】 第三象限 ，故 ； 均负。 ▶ 巩固检测卷 ◆ 一、基础巩固（10 题） 1． 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】 B 【详解】 终边交 ，。 2． 的值为（ ） A． B． C． D．无意义 【答案】 A 【详解】 处 ，故 。 3． 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】 B 【详解】 。 4． 角 在第四象限，则 的符号为（ ） A．正 B．负 C．零 D．不确定 【答案】 A 【详解】 第四象限 ，故 。 5． 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】 B 【详解】 由单位圆定义 。 6． 的值为（ ） A． B． C． D．无意义 【答案】 C 【详解】 终边交 ，。 7． 与 的关系为（ ） A．相等 B．相反 C．互为倒数 D．无法确定 【答案】 A 【详解】 余弦为偶函数，。 8． 若 且 在第三象限，则 为（ ） A． B． C． D． 【答案】 B 【详解】 设对边 、邻边 ，斜率 ；第三象限 ，故 。 9． 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】 B 【详解】 ，和为 。 10． 若 且 在第二象限，则 为（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【详解】 （第二象限），。 ◆ 二、能力提升（5 题） 11． 若角 终边过 ，则 为（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【详解】 ，。 12． 已知 且 在第二象限，则 为（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【详解】 由 得 ；第二象限 ，故 。 13． 下列各式中，值为正的是（ ） A． B． C． D． 【答案】 D 【详解】 A: → 负；B: → 负；C: → 负；D: → 正。 14． 已知 ，则 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【详解】 分子分母同除以 （）：原式 。 15． 已知 ，则 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【详解】 由 可取终边上点 ，则 ，，故 。或由公式 。 ▶ 易错清单 ● 1．三角函数符号按象限判断，口诀"一全正二正弦三正切四余弦"。 ● 2．定义中 ，符号由 正负决定，与所取点远近无关。 ● 3． 要求 ，即 。 ● 4．同角关系中 恒成立，可用来知一求另一。 ▶ 方法总结墙 （1）定义：单位圆 ，。（2）符号：象限定号，口诀速记。（3）特殊角： 六组值背熟。（4）同角关系：、 互化求值。 学科网（北京）股份有限公司 $