精品解析：内蒙古包头市第九十五中学2026-2027学年高二第一学期10月月考数学试卷

包头市第九十五中学2026-2027学年度第一学期月考 高二年级数学试卷 注意事项：本试卷共19题，总分150分，考试时间120分钟． 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．作答时，务必将答案写在答题卡上．写在本试卷及草稿纸上无效． 3．考试结束后，只需上交答题卡． 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 直线的倾斜角为（ ） A. 180° B. 45° C. 90° D. 0° 【答案】D 【解析】 【详解】∵此直线平行于轴，设直线的倾斜角为， ∴直线斜率， 又，∴. 2. 经过点且与直线平行的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】直线可化为，斜率为， 所求直线与已知直线平行，故斜率也为， 又所求直线经过点，由点斜式得，整理即. 3. 如图，在四面体中，，，．点M在上，且，N为中点，则等于（        ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】如图，连接，    是的中点，， ，， ． 4. 已知，，是空间的一个基底，则下列说法中，正确的个数是（ ） ①若，则 ②，，两两共面，但，，不共面 ③一定存在实数，，使得 ④，，一定能构成空间的一个基底 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件，结合空间向量的共面定理，逐项判定即可. 【详解】对于①，若不全为，则共面，与题意矛盾，因此，故①正确； 对于②，由空间中任意两个向量是共面的，可得两两共面， 又由是空间的一个基底，可得不共面，故②正确； 对于③，因为不共面，则不存在实数，使得，故③错误； 对于④，若，，共面， 则存在实数，使得，可得，该方程组无解， 所以，，不共面，，，一定能构成空间的一个基底，故④正确； 因此正确的说法个数为3． 5. 正方体中，是棱的中点，则与所成角的余弦值 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：设正方体的棱长为2，以DA为x轴，以DC为y轴，以为z轴，建立空间直角坐标系，则（2，0，2），B（2，2，0），（0，0，2），E（2，1，2）， ∴=（0，2，-2），=（2，1，0），设与所成角为θ， 则 考点：异面直线及其所成的角 6. 以点、、为顶点的三角形是（ ） A. 等腰直角三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 钝角三角形 【答案】A 【解析】 【详解】由已知条件可得，， 所以，所以， 又因为，，即， 故是等腰直角三角形. 7. 已知点，，过点的直线与线段相交，则直线的斜率k的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先计算直线PA、PB的斜率，再结合直线与线段相交的几何特征确定斜率的取值范围. 【详解】已知，，，得，， 由于直线过点且与线段相交，因此斜率的取值范围为或. 8. 在棱长为1的正方体中，，分别为，的中点，为底面的中心，点在正方体的表面上运动，且满足，则下列说法正确的是（ ） A. 点可以是棱的中点 B. 线段的最大值为 C. 点的轨迹是平行四边形 D. 点轨迹的长度为 【答案】B 【解析】 【分析】在正方体中，以点为坐标原点，分别以、、方向为轴、轴、轴正方向，建立空间直角坐标系，根据，确定点的轨迹，在逐项判断，即可得出结果. 【详解】在正方体中，以点为坐标原点，分别以、、方向为轴、轴、轴正方向，建立空间直角坐标系， 因为该正方体的棱长为，分别为，的中点， 则，，，， 所以，设，则， 因为， 所以 所以，即， 令，当时，；当时，； 取，， 连接，，，则，， 则， ， 所以，， 又，且平面，平面， 所以平面， 所以，为使，必有点平面，又点在正方体的表面上运动， 所以点的轨迹为正三角形，故C错误； 因此点不可能是棱的中点，故A错误； 线段的最大值为，故B正确； 点轨迹的长度为，故D错误； 故选：B 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对得6分．部分选对得部分分，选错得0分） 9. 关于空间向量，下列说法错误的是（ ） A. 对于任意的空间向量，都有 B. 若空间向量满足，则与的夹角为锐角 C. 若是直线的方向向量，是平面的法向量，则 D. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则“”是“”的充要条件 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据空间向量数量积公式判断AB，根据空间直线与平面的位置关系判断CD. 【详解】选项A，是一个数，表示与共线的向量，同理表示与共线的向量， 与不一定共线，所以，即向量不满足结合律，A说法错误； 选项B：因为，所以若，则与共线或夹角为锐角，B说法错误； 选项C：因为是直线的方向向量，是平面的法向量， 且，所以，C说法正确； 选项D：因为直线的方向向量为，平面的法向量为， 若，则或，若，则， 所以是的必要不充分条件，D说法错误； 故选：ABD 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若空间中，，，满足，则，，三点共线 B. 空间中三个非零向量，，，若，，则 C. 已知，是空间直角坐标系中的两点，若与关于平面对称，则 D. “”是“，共线”的充要条件 【答案】AC 【解析】 【详解】对于A，由可得，即， 所以，所以，，三点共线，故A正确； 对于B，由可得，由可得， 考虑，，为正方体共顶点的三条棱所在向量，此时，故B错误； 对于C，关于平面对称的两点，，坐标相同，坐标互为相反数． 由可得的坐标为，所以，故C正确． 对于D，当同向时，，当反向时，， 故“”是“，共线”的充分不必要条件，故D错误． 11. 已知直线，，则下列说法正确的是（ ） A. 的充要条件为或 B. 若，则 C. 若直线不经过第四象限，则 D. 若，则将直线绕坐标原点按逆时针方向旋转，再向右平移一个单位长度，所得直线方程为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用两直线平行的结论结合充要条件的定义可判断A；.根据两直线垂直的结论可判断B；由直线方程，求得斜率与截距，建立不等式组，求解即可判断；先得到逆时针旋转后的直线方程，再根据左右平移求出平移后的直线方程，即可判断D. 【详解】对于A， 显然直线的斜率存在，若，则，解得或， 经检验时，这两条直线重合，所以，故充要条件不是“或”．故A不正确； 对于B，若，则，解得．故B正确； 对于C，若直线不经过第四象限，则，解得．故C正确； 对于D，若，则直线，将其绕坐标原点按逆时针方向旋转，得到直线，再向右平移一个单位长度，所得直线方程为，故D正确. 故选：BCD 三、填空题（本大题共3小题，共15分） 12. 如图，甲站在水库底面上的点处，乙站在水坝斜面上的点处，已知库底与水坝所成的二面角为，测得从到库底与水坝的交线的距离分别为米、米，米，则甲乙两人相距_______米. 【答案】70 【解析】 【分析】由平方即可求解. 【详解】由题意，， ， ， 米，米，米，库底与水坝所成的二面角为， ， 米. 故答案为：70. 13. 在四面体中，Q为的重心，E，F，G分别为侧棱，，上的点，若，，，，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】设中点为R，，连接，则有，且，从而得，解得，可得，由重心性质可得，设，且，从而可得，最后由D，E，F，G四点共面，即可求得答案. 【详解】如图所示：设中点为R，，连接， 由P，R，C，Q，S，G共面， 可知与平面的交点即与的交点D. 因为，，， 设， 则， 设， 则， 故， 故， 解得，代入， 可得，即. 由重心性质可得， 设， 又， 则， 故，解得， 故， 则， 由D，E，F，G四点共面， 可知：（其中）， 所以， 则. 故答案为：. 14. 在棱长为2的正方体中，点，分别为棱，的中点，为线段上的动点，则面积的最小值为________. 【答案】 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量求得点到直线距离的最小值，进而得到面积的最小值． 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 由于正方体的棱长为2，故， 由为线段上的动点，可设， 又，得，所以点的坐标为， 的面积可表示为，其中为定值，为点到直线的距离， 因此的面积最小等价于最小， 因为， ，， 所以，， ， ， 所以， 因为，所以， 所以． 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知，，，且. （1）求实数的值； （2）若，求实数的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据空间向量平行的性质、空间向量线性运算公式进行求解即可； （2）根据空间向量垂直的坐标表示公式、空间向量线性运算公式即可求解. 【小问1详解】 由题可知， 因为，所以，即，所以，解得. 【小问2详解】 由题可知，则，， 又，所以， 所以，解得. 16. 已知直线． （1）若直线在两坐标轴上的截距互为相反数，求直线的方程； （2）若直线交轴的负半轴于点，交轴的正半轴于点，为坐标原点．设的面积为，求的最小值及此时直线的方程． 【答案】（1）直线的方程为或； （2）的最小值为，此时直线的方程为. 【解析】 【分析】（1）对直线是否过原点进行分类讨论，求出参数的值，综合可得出直线的方程； （2）求出直线所过定点的坐标，设直线的截距式方程为，将定点坐标代入直线的截距式方程，结合基本不等式可求出的最小值，利用等号成立的条件求出、的值，即可得出直线的方程. 【小问1详解】 若直线过原点，则有，解得，此时直线的方程为，即； 若直线不过原点，可设直线的方程为，整理可得， 此时直线的斜率为，故直线的方程为. 综上所述，直线的方程为或. 【小问2详解】 对直线的方程变形得，由，解得， 故直线过定点， 由题意，设直线的截距式方程为， 将点的坐标代入直线的截距式方程可得， 因为，则，由基本不等式可得，整理可得， 故， 当且仅当时，即当时，等号成立， 此时直线的方程为，即. 17. 在四棱锥中，底面是正方形，若，，. （1）证明：平面平面； （2）求二面角的平面角的余弦值； （3）求点到平面的距离. 【答案】（1） 取的中点为，连接、. 因为，为的中点，则， 而，，故. 在正方形中，因为，故，故， 因为，故，则， 因为，、平面，故平面， 因为平面，故平面平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）取的中点为，连接、，推导出平面，再利用面面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）解法一：过点在平面内作于点，连接，推导出平面，可知二面角的平面角为，计算出其余弦值，即可为所求； 解法二：以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得二面角的余弦值； （3）解法一：利用等体积法可求得点到平面的距离； 解法二：利用空间向量法可求得点到平面的距离. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解法一：由（1）知平面平面， 因为，平面，平面平面， 所以平面， 因为平面，所以， 过点在平面内作于点，连接， 因为，，，、平面， 所以平面， 因为平面，所以，则为二面角的平面角， 因为，则， 所以， 所以， 所以二面角的平面角的余弦值为； 解法二：因为平面，， 以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、，则，， 设平面的法向量， 则，取，则， 而平面的一个法向量为，故. 二面角的平面角为锐角，故其余弦值为. 【小问3详解】 解法一：设到平面的距离为， 因为，则，所以， 在中，由（2）得，则， 所以，因此点到平面的距离为. 解法二：由（2）知平面的一个法向量为，， 则点到平面距离为. 18. 如图在下面的五面体中，其六个顶点分别为，，，，，，四边形为正方形，，平面，，，平面平面，为中点． （1）求证：平面； （2）求平面和平面夹角的大小； （3）在线段上是否存在点使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求的值．若不存在，请说明理由． 【答案】（1）∵四边形为正方形，，∴， ，由勾股定理得，且三角形是直角 三角形，为中点．则，又平面平面， 平面平面，平面，∴平面， 以为原点，为轴，平行于方向为轴，为轴， 建立如图所示空间直角坐标系，则，，，， ，，又平面，平面， 平面平面，∴，又， 即，∴ ，， ，，∴， ∴，，平面， ∴平面. （2） （3）设，，，则， ∴，，， 设平面的法向量为，则， 取，即， ∵直线与平面所成角的正弦值为，， ∴， 即， 又，∴，即.. 【解析】 【分析】（1）先建立空间直角坐标系，后用向量点积证垂直平面内两条相交直线，从而证明平面； （2）由（1）可以直接取为平面的一个法向量，取轴方向向量为平面的法向量，然后根据面面夹角公式计算即可； （3）先设比例参数写出点坐标，再求出平面法向量，最后利用线面角正弦值列出方程求解参数即可. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 由（1）知是平面的一个法向量， ∵平面是平面，∴取平面的一个法向量， 设平面和平面夹角为，则， 又，∴，即平面和平面夹角为. 【小问3详解】 略 19. 空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”．现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为60°，我们将这种坐标系称为“斜60°坐标系”．我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜60°坐标系”下向量的斜60°坐标：，，分别为“斜60°坐标系”下三条数轴（轴、轴、轴）正方向的单位向量，若向量，则与有序实数组相对应，称向量的斜60°坐标为，记作． （1）若，，求的斜坐标； （2）在平行六面体中，，，，为线段的中点．如图，以为基底建立“空间斜60°坐标系”． ①求的斜60°坐标； ②若，求与夹角的余弦值． 【答案】（1） （2）①；②. 【解析】 【分析】（1）由条件得到，，相加即可； （2）①，利用数乘向量可变为，即可求出； ②分别求出，，，利用向量夹角公式即可求解. 【小问1详解】 由，，知，，所以，所以. 【小问2详解】 设分别为与同方向的单位向量，则，，， ①，所以. ②因为，所以， 所以， 同理，， 所以，所以与夹角的余弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 包头市第九十五中学2026-2027学年度第一学期月考 高二年级数学试卷 注意事项：本试卷共19题，总分150分，考试时间120分钟． 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．作答时，务必将答案写在答题卡上．写在本试卷及草稿纸上无效． 3．考试结束后，只需上交答题卡． 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 直线的倾斜角为（ ） A. 180° B. 45° C. 90° D. 0° 2. 经过点且与直线平行的直线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在四面体中，，，．点M在上，且，N为中点，则等于（        ） A. B. C. D. 4. 已知，，是空间的一个基底，则下列说法中，正确的个数是（ ） ①若，则 ②，，两两共面，但，，不共面 ③一定存在实数，，使得 ④，，一定能构成空间的一个基底 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 正方体中，是棱的中点，则与所成角的余弦值 A. B. C. D. 6. 以点、、为顶点的三角形是（ ） A. 等腰直角三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 钝角三角形 7. 已知点，，过点的直线与线段相交，则直线的斜率k的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 8. 在棱长为1的正方体中，，分别为，的中点，为底面的中心，点在正方体的表面上运动，且满足，则下列说法正确的是（ ） A. 点可以是棱的中点 B. 线段的最大值为 C. 点的轨迹是平行四边形 D. 点轨迹的长度为 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对得6分．部分选对得部分分，选错得0分） 9. 关于空间向量，下列说法错误的是（ ） A. 对于任意的空间向量，都有 B. 若空间向量满足，则与的夹角为锐角 C. 若是直线的方向向量，是平面的法向量，则 D. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则“”是“”的充要条件 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若空间中，，，满足，则，，三点共线 B. 空间中三个非零向量，，，若，，则 C. 已知，是空间直角坐标系中的两点，若与关于平面对称，则 D. “”是“，共线”的充要条件 11. 已知直线，，则下列说法正确的是（ ） A. 的充要条件为或 B. 若，则 C. 若直线不经过第四象限，则 D. 若，则将直线绕坐标原点按逆时针方向旋转，再向右平移一个单位长度，所得直线方程为 三、填空题（本大题共3小题，共15分） 12. 如图，甲站在水库底面上的点处，乙站在水坝斜面上的点处，已知库底与水坝所成的二面角为，测得从到库底与水坝的交线的距离分别为米、米，米，则甲乙两人相距_______米. 13. 在四面体中，Q为的重心，E，F，G分别为侧棱，，上的点，若，，，，则_____. 14. 在棱长为2的正方体中，点，分别为棱，的中点，为线段上的动点，则面积的最小值为________. 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知，，，且. （1）求实数的值； （2）若，求实数的值． 16. 已知直线． （1）若直线在两坐标轴上的截距互为相反数，求直线的方程； （2）若直线交轴的负半轴于点，交轴的正半轴于点，为坐标原点．设的面积为，求的最小值及此时直线的方程． 17. 在四棱锥中，底面是正方形，若，，. （1）证明：平面平面； （2）求二面角的平面角的余弦值； （3）求点到平面的距离. 18. 如图在下面的五面体中，其六个顶点分别为，，，，，，四边形为正方形，，平面，，，平面平面，为中点． （1）求证：平面； （2）求平面和平面夹角的大小； （3）在线段上是否存在点使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求的值．若不存在，请说明理由． 19. 空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”．现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为60°，我们将这种坐标系称为“斜60°坐标系”．我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜60°坐标系”下向量的斜60°坐标：，，分别为“斜60°坐标系”下三条数轴（轴、轴、轴）正方向的单位向量，若向量，则与有序实数组相对应，称向量的斜60°坐标为，记作． （1）若，，求的斜坐标； （2）在平行六面体中，，，，为线段的中点．如图，以为基底建立“空间斜60°坐标系”． ①求的斜60°坐标； ②若，求与夹角的余弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $