内蒙古自治区包头市第四中学2026-2027学年高二上学期10月阶段检测数学试题

报告查询：登录zhixue.com或扫描二维码下载App (用户名和初始密码均为准考证号) 包头四中2026-2027学年度第一学期月考 高二年级数学试题 考场/座位号： 姓名： 班级： 贴条形码区 回滋回 盾蒸 (正面潮上，切勿贴出虚线方框) 正确填涂 缺考标记 一、 单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 1[A][B][C][D] 6[A][B][C][D] 2[A][B][C][D] T[A][B][C][D] 3[A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 4[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 二、 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 9[A][B][C][D] 1O[A][B][C][D] 11[A][B][C][D] 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 13. 14 四、解答题：本题共5小题，共77分 15.(13分) 囚囚■ ■ㄖㄖ 16.(15分) ■ ■ 17.(15分) 0 C B ! I I 18.(17分) P(C) 图1 图2 囚■ 囚 囚■ㄖ ▣ 19.(17分) D C ■ 包头四中2026-2027学年度第一学期月考 高二年级数学试题答案 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 单选题 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D B C A A B A C 多选题 9 10 11 答案 BCD AD ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12． 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）（1） （2） 【详解】（1），， ，， ，； （2） 因为，所以设， 即，故，解得． 16．（15分）（1） （2） 【详解】（1）直线的斜率， 此时直线方程为，即， 所以直线的方程为； （2）设直线的方程为，由题意可得， 令，则；令，则， 即，，，， 从而， 当且仅当，即时取到最小值12， 所以直线方程为，即． 17．（15分）（1）取的中点，连接，， 因为点是的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面， 由于，分别为正方体的棱，的中点， 所以，，所以四边形为平行四边形，即， 因为平面，平面，所以平面， 由于，平面，平面，所以平面平面， 因为平面，所以平面． （2）如图建立空间直角坐标系， 则、、，， 所以，，， 设平面的法向量为，所以， 所以，令，则，所以， 设点到平面的距离为，则， 由（1）知，平面， 则线段到平面的距离即为点到平面的距离， 故线段到平面的距离为． 18．（17分）（1）折叠前，四边形是菱形，所以， 由于，分别是边，的中点，所以，故， 折叠过程中，，，，平面． 所以平面． （2）当平面平面时，由平面平面，平面，， 所以平面，又平面，故， 建立如下图空间直角坐标系， 则，，，，，． 所以，设，则． ，， 设平面的法向量为， 则， 取，则，而， 设直线与平面的夹角为， 则，解得， 所以为上靠近的三等分点，满足题设要求． 19．（17分）（1）2；（2）；（3）10 【详解】（1）因为底面为矩形，所以，， 因为底面，底面，所以， 又，，平面， 所以平面， 又平面，所以， 因为， 所以为直线与所成的角，即， 设，则，， 在中， 又，所以，解得或（舍去）， 所以； （2）法一：在平面内过点作交的延长线于点，连接， 因为底面，底面，所以， 又，．，平面， 所以平面，又平面，所以， 所以为二面角的平面角， 因为为的中点， 所以，， 所以， 所以平面与平面所成角的余弦值为； 法二：以为坐标原点，，，所以直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，， 设平面的一个法向量为， ，， 令，得，， ， 设平面的一个法向量为， ， ∴平面与平面所成角的余弦值为． （3）依题意，，又， 所以，，又，所以， 又，，平面，所以平面， 在平面内过点作，垂足为， 由平面，平面，所以， 又，，平面，所以平面， 在平面内过点作交于点，在上取点，使得，连接， 所以且，所以四边形为平行四边形， 所以，又，即， 所以． 学科网（北京）股份有限公司 $ 包头四中2026-2027学年度第一学期月考 高二年级数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为（ ） A． B． C． D． 2．点到直线的距离是（ ） A． B． C． D． 3．已知，，，若，，共面，则实数的值为（ ） A． B． C． D． 4．如图，在斜三棱柱中，为的中点，为靠近的三等分点，设，，，则用，，表示为（ ） A． B． C． D． 5．已知两点，，直线过点，若直线与线段相交，则直线的斜率取值范围是（ ） A． B． C． D． 6．已知向量，，则在方向上投影向量的坐标为（ ） A． B． C． D． 7．已知定点和直线：，则点到直线的距离的最大值为（ ） A． B． C． D． 8．已知直线：，从点射出的光线经直线反射后经过点，则光线从到的路程为（ ） A．2 B．3 C．5 D．6 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知向量，，则下列结论中正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．不存在实数，使得 D．若，则 10．下列说法中，正确的有（ ） A．直线在轴上的截距是 B．直线经过第一、三、四象限 C．过点且在轴，轴上的截距相等的直线方程为 D．过点，且倾斜角为的直线方程为 11．如图，在棱长为2的正方体中，点是正方体的上底面内（不含边界）的动点，点是棱的中点，则以下命题正确的是（ ） A．三棱锥的体积是定值 B．存在点，使得与所成的角为 C．直线与平面所成角的正弦值的取值范围为 D．若，则的轨迹的长度为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．以为方向向量，且过点的直线方程为__________． 13．已知空间向量，，若，的夹角为钝角，则实数的取值范围为__________． 14．记球为体积为1的正方体的内切球，为平面与球交线上一动点，则的最小值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知，，，，． （1）求； （2）若，求实数，的值． 16．（15分）已知直线过点， （1）若直线过，求直线的方程． （2）若直线与轴，轴的正半轴分别交于，两点，为坐标原点，当的面积最小时，求直线的方程． 17．（15分）已知正方体的棱长为2，，分别为正方体的棱，的中点． （1）求证：平面； （2）求线段到平面的距离． 18．（17分）如图1，在边长为4的菱形中，，点，分别是边，的中点，与交于点，与交于点．沿将翻折到的位置，连接，，，得到如图2所示的五棱锥． （1）证明：平面； （2）若平面平面，线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，试确定点的位置；若不存在，请说明理由． 19．（17分）已知两个非零向量，，在空间任取一点，作，，则叫做向量，的夹角，记作．定义与的“向量积”为：是一个向量，它与向量，都垂直，它的模．如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，为上一点，． （1）求的长； （2）若为的中点，求平面与平面所成角的余弦值； （3）若为上一点，且满足，求． 学科网（北京）股份有限公司 $ 包头四中大型考试命题双向细目表 考试类型 月考 年级 高二 科目 数学 命（审）题人： 邢茹媛 2026 年 9 月 28 日 题 号 能力层次 分值 知识点 识 记 理 解 掌 握 运 用 分值合计 1 关于坐标轴、坐标平面、原点对称的点的坐标 √ 5 2 求点到直线的距离 √ 5 3 空间向量共面求参数 √ 5 4 空间向量的加减运算 √ 5 5 斜率公式的应用；直线与线段的相交关系求斜率范围 √ 5 6 求投影向量；空间向量模长的坐标表示 √ 5 7 直线过定点问题；求点到直线的距离 √ 5 8 求点关于直线的对称点；光线反射问题(2)——直线关于直线对称 √ 5 9 空间向量的坐标运算；空间向量模长的坐标表示；空间向量平行的坐标表示；空间向量垂直的坐标表示 √ 6 10 直线的点斜式方程及辨析；直线的斜截式方程及辨析；直线截距式方程及辨析；直线的一般式方程及辨析；直线的倾斜角 √ 6 11 异面直线夹角的向量求法；线面角的向量求法；锥体体积的有关计算 √ 6 12 直线的点斜式方程及辨析；根据直线的方向向量求直线方程 √ 5 13 空间向量数量积的应用；空间向量的坐标运算；空间向量平行的坐标表示；空间向量夹角余弦的坐标表示 √ 5 14 立体几何中的轨迹问题；多面体与球体内切外接问题；球的截面的性质及计算；点到平面距离的向量求法 √ 5 15 空间向量平行的坐标表示；空间向量夹角余弦的坐标表示 √ 13 16 直线的点斜式方程及辨析；基本不等式求和的最小值 √ 15 17 证明线面平行；点到平面距离的向量求法 √ 15 18 已知线面角求其他量；证明线面垂直 √ 17 19 向量新定义；面面角的向量求法 √ 17 分值合计 150分 预测难度 0.6 预测均分 85—90分 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $