精品解析：江苏省昆山经济技术开发区高级中学2026-2027学年高一上学期10月月考数学试题

2026~2027学年第一学期10月教学质量调研 高一数学 命题学校：昆山经济技术开发区高级中学命题人：朱忠红审题人：高一数学组 注意事项： 1．本张试卷总分为150分，考试时间为120分钟. 2．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答题前，务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上. 3．请将答案填涂填写在答题卷上，写在试卷上无效. 4．考试结束，将答题卷交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】对于集合， 解不等式得， 在范围内，满足的x的值为： 时，， 时，， 时，. 所以. 2. 命题的否定是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用全称量词命题的否定直接判断即可. 【详解】命题是全称量词命题，其否定是存在量词命题， 所以所求否定是. 故选：A. 3. 已知，则的最大值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】利用基本不等式可求最大值. 【详解】因为，要使根式有意义，则，所以，解得． 又，当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值为2． 故选：C. 4. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】等价于， 解得， 则集合， 所以. 5. 若函数的定义域为，则函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】依题意可得，解得即可. 【详解】因为函数的定义域为， 则对于函数，令，解得， 所以函数的定义域是． 故选：C． 6. 已知，且，则的最小值为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】利用基本不等式求解即可. 【详解】由于，所以，即, 所以，解得：或， ，则的最小值为2. 7. 已知集合，定义叫做集合的长度，若集合的长度为2，则的长度为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 4或5 【答案】C 【解析】 【分析】根据分类讨论可得. 【详解】时，，因此，其长度为0，不合题意； 时，，，，则的长度为，，，长度为， 时，，，，则的长度为，，，长度为， 所以的长度为5. 8. 关于的不等式恰有2个整数解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先将不等式进行变式，将a的取值范围初步求出，再根据初步范围和不等式恰有2个整数解进行分类讨论，最终求出a的范围. 【详解】由恰有2个整数解，即恰有2个整数解， 所以，解得或， ①当时，不等式解集为，因为，故2个整数解为1和2， 则，即，解得； ②当时，不等式解集为，因为， 故2个整数解为，则， 即，解得， 综上所述，实数的取值范围为或. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 下列命题中，真命题的是（ ） A. “”是“”的充要条件 B. 命题“，”的否定是“，” C. 对任意一个无理数，也是无理数 D. ，是的充分不必要条件 【答案】BD 【解析】 【分析】根据命题的真假，充分必要条件，命题的否定的定义，结合特殊值法判断各选项． 【详解】“”是“”的充分不必要条件，所以“”是“”的充分不必要条件，A错误； 命题“，”的否定是“，”，B选项正确； 是无理数，是有理数，C错误； 因为，但时满足，不能推出， 所以，是的充分不必要条件，D正确． 故选：BD． 10. 已知，，下列说法正确的是（ ） A. 若，，则． B. 设，，则． C. 若，则的最小值为． D. 若，则的最大值为2． 【答案】BD 【解析】 【分析】根据题意，利用不等式的性质，作差比较法，以及基本不等式，结合选项，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，若，，则，所以A不正确； 对于B，由 因为，可得，所以， 可得，所以，所以B正确； 对于C，若，可得， 当且仅当时，即时，等号成立，所以C错误； 对于D，若且， 由，即，可得， 当且仅当时，即时，等号成立， 因为，所以， 即的最大值为，所以D正确. 11. 设为非空集合，定义集合的运算，则以下正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则} C. 若，非空集合满足，则 D. 若非空集合满足，则 【答案】AC 【解析】 【分析】对于AB，由不等式的性质即可判断；对于C，由集合相等的概念即可判断；对于D，令即可判断. 【详解】对于A，若，，则， 所以，，故A正确； 对于B，若，，则， 所以，所以，故B错误； 对于C，设，，则， 所以只能，解得，所以，故C正确； 对于D，若， 则对任意非空集合，总有，所以不一定有，故D错误. 故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. ，且，则实数的值为_________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据条件，利用配凑法求出的解析式，再代入，即可求解. 【详解】因为， 令，则， 当时，，当且仅当，即时取等号， 当时，，当且仅当，即时取等号， 综上，或，又，所以，解得或， 故答案为：或. 13. 已知集合，若，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由可得，解出集合后结合集合的关系计算即可得. 【详解】由，故， 由，得， 故有，即，即， 即的最小值为. 故答案为：. 14. 若，不等式恒成立，则实数a的取值范围______． 【答案】 【解析】 【分析】分离参数可得恒成立，结合基本不等式可解得答案. 【详解】，不等式恒成立， 即，恒成立． 当时，不等式为恒成立，此时； 当时，， ∵，∴， ∴（当且仅当，即时取等号）， ∴． 综上，实数a的取值范围为． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.除特别说明外，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设全集，集合，集合． （1）若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围； （2）若命题“，”是真命题，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据集合的包含关系求出； （2）根据列关系式求解或利用结合补集思想求出. 【小问1详解】 由题意，得． “”是“”的充分条件，． 又， ，解得， 实数的取值范围为． 【小问2详解】 方法一：命题“，”是真命题，． 下面讨论的情形： ①当时，，，满足； ②当时，，若，则或，解得或，所以， 当时，，当时，． 综上，命题“，”是真命题时，实数的取值范围为． 方法二：命题“，”是真命题，． ． 即命题“，”是真命题时，实数的取值范围为． 16. 已知全集，集合，． （1）若集合表示图中阴影部分，求集合； （2）若集合，，，⊆，求实数的取值范围. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】(1)解一元二次不等式求出集合，由Venn图可知，结合集合求解即可； (2)求出进而确定集合，由⊆分类讨论和两种情况，结合韦达定理求解实数的取值范围． 【小问1详解】 由题意，集合，因为全集.所以或. 由图可知，阴影部分表示的集合. 又因为，所以或， 所以或或或. 【小问2详解】 因为或，，所以或. 则. 因为，且，所以集合的元素必须是集合中的元素，或者为空集. 方程的判别式. ①当时，，即，解得，此时满足； ②当时，即或. （ⅰ）若，即. 当时，方程为，解得，此时. 因为，所以，符合题意； 当时，方程为，解得，此时. 因为，所以，舍去； (ⅱ)若，即或，方程有两个不相等的实数根，由韦达定理可知. 若，则有，，此时，故不存在满足条件的. 综上所述，实数的取值范围是. 17. 已知． （1）若时，求的值域； （2）函数，若函数的值域为，求a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据函数解析式，采用分离常数项的方法，结合不等式性质，可得答案； （2）根据二次根式的定义，结合二次函数的性质，可得答案. 【小问1详解】 由，则， 由不等式性质，则，，，，， 故，即的值域为. 【小问2详解】 由题意，， 由函数的值域为，则有解且无最大值， 当时，符合题意； 当时，根据二次函数的性质，可得， 其中，，，，解得或， 综上，故. 18. 已知命题，，集合为命题为真命题时实数的取值集合．集合． （1）求集合； （2）若，求实数的值； （3）若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 或 【解析】 【分析】 （1）根据存在性命题为真的条件，结合二次函数判别式大于0求解集合； （2）将代入对应方程求出的可能值，再验证交集是否符合要求； （3）由得，分为空集、非空两类，结合判别式和韦达定理求解的范围. 【小问1详解】 命题为真，即存在使得成立， 二次函数的图象开口向上，故需判别式， 所以  ，解得，因此集合； 【小问2详解】 由得， 将代入对应方程得：  ， 化简得，解得或， 当时，方程为，根为、， 此时，，不符合条件，舍去； 当时，方程为，根为、， 此时，，符合条件， 综上，； 【小问3详解】 由得，分两类讨论： ① 当时，方程无实根， 判别式 ，解得，符合条件； ② 当时，方程有实根，需满足，且两根均为负， 由韦达定理得：  ，分别解得、、或， 所以， 综合两类情况，实数的取值范围是或. 19. 已知函数，． （1）恒成立，求实数的取值范围； （2）若关于的方程有两个不相等的实数根、，且，求的取值范围； （3）若存在使关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意可知，不等式对任意的恒成立，分、两种情况讨论，在时直接检验即可，在时，根据二次不等式恒成立可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围； （2）将所求方程变形为，由题意得出，且，结合韦达定理得出，再由韦达定理得出，结合不等式的基本性质可求得的取值范围； （3）令，则，依题意可得关于的方程有四个不等实根，令，则，问题转化为存在使得关于的方程有两个不同正根，利用二次方程根的分布可得出关于实数的不等式，结合主元法可求出实数的取值范围. 【小问1详解】 由得恒成立， 故不等式对任意的恒成立， 当时，恒成立，符合题意； 当时，则，解得； 综上所述：实数的取值范围为. 【小问2详解】 由可得，整理得， 由题意可知，且，解得或， 由韦达定理可得，，可得，故， 所以， 因为，所以，所以， 故的取值范围是. 【小问3详解】 当时，令，由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时取等号， 依题意可得关于的方程有四个不等实根， 令，则，则问题转化为存在使得关于的方程 有两个不同正根、， 所以， 因为，则，由可得， 由可得或，故， 由知，存在使不等式成立， 把看成主元代入，可得，即， 解得或，综合可得， 故实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026~2027学年第一学期10月教学质量调研 高一数学 命题学校：昆山经济技术开发区高级中学命题人：朱忠红审题人：高一数学组 注意事项： 1．本张试卷总分为150分，考试时间为120分钟. 2．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答题前，务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上. 3．请将答案填涂填写在答题卷上，写在试卷上无效. 4．考试结束，将答题卷交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题的否定是（    ） A. B. C. D. 3. 已知，则的最大值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 4. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 5. 若函数的定义域为，则函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，且，则的最小值为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 已知集合，定义叫做集合的长度，若集合的长度为2，则的长度为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 4或5 8. 关于的不等式恰有2个整数解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 下列命题中，真命题的是（ ） A. “”是“”的充要条件 B. 命题“，”的否定是“，” C. 对任意一个无理数，也是无理数 D. ，是的充分不必要条件 10. 已知，，下列说法正确的是（ ） A. 若，，则． B. 设，，则． C. 若，则的最小值为． D. 若，则的最大值为2． 11. 设为非空集合，定义集合的运算，则以下正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则} C. 若，非空集合满足，则 D. 若非空集合满足，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. ，且，则实数的值为_________． 13. 已知集合，若，则的最小值为__________． 14. 若，不等式恒成立，则实数a的取值范围______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.除特别说明外，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设全集，集合，集合． （1）若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围； （2）若命题“，”是真命题，求实数的取值范围． 16. 已知全集，集合，． （1）若集合表示图中阴影部分，求集合； （2）若集合，，，⊆，求实数的取值范围. 17. 已知． （1）若时，求的值域； （2）函数，若函数的值域为，求a的取值范围． 18. 已知命题，，集合为命题为真命题时实数的取值集合．集合． （1）求集合； （2）若，求实数的值； （3）若，求实数的取值范围． 19. 已知函数，． （1）恒成立，求实数的取值范围； （2）若关于的方程有两个不相等的实数根、，且，求的取值范围； （3）若存在使关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $