精品解析：江苏南京师范大学附属扬子中学2026～2027学年高一上学期第一次月考数学试卷

2026—2027学年第一学期10月调研考试 高一数学 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上． 1. 命题“，”的否定是（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】存在量词命题的否定是全称量词命题. 【详解】命题“，”是存在量词命题，其否定为“，”． 2. 已知全集，集合，集合，则图中阴影部分表示的集合是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由Venn图读出阴影部分为中不属于的元素，再求． 【详解】图中阴影部分为（中不属于的元素）． 因为，，所以． 又，所以． 3. 不等式 的解集是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】移项化为一元二次不等式(注意开口方向与根的分布)，再解一元二次不等式即可.． 【详解】由 得 ，即 ， 解得 ，所以解集为 ． 故答案为：C. 4. 若，，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由，，， 所以． 5. 设 ，则“”是“”的（　　） A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】不等式 等价于 ，解得 ． 因为 是 的真子集，即“”能推出“”，反之不成立， 所以“”是“”的充分且不必要条件． 6. 关于的方程有下列四个命题： 甲：该方程两根异号； 乙：是该方程的根； 丙：该方程两根之和为2； 丁：是该方程的根． 如果这四个命题中只有一个假命题，则该命题是（　　） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】D 【解析】 【分析】逐一假设某个命题为假，检验其余三个能否同时成立． 【详解】若甲假，则乙、丙、丁真：由乙、丁知两根为3和1，此时两根之积为， 甲确实为假，但丙“两根之和为2”也是假（和为 4），出现两个假命题，不符合题意； 若乙假，则甲、丙、丁真：由丁知是根，由丙知另一根为1，则两根同号，甲为假，也不符合题意； 若丙假，则甲、乙、丁真：由乙、丁知两根为3和1，此时两根同号，甲为假，不符合题意； 若丁假，则甲、乙、丙真：由乙知是根，由丙知另一根为， 此时两根之积为 ，甲（两根异号）成立，符合题意． 故只有丁是假命题． 7. 若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次项系数为0或不为0分类讨论，数形结合法列不等式求解即得.. 【详解】因为不等式在上恒成立，分两种情况： ①当时，或． 若，则在上恒成立，符合题意， 若，则在上不恒成立，舍去； ②当时，则， 由①得；由②得 故可得． 即的取值范围是． 8. 设集合 ，若非空集合 同时满足：①；②（其中 表示 中元素的个数， 表示集合 中最小的元素）， 则称集合 为 的一个好子集，则 的所有好子集的个数为（　　） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】以集合最小元素分类，根据元素个数小于最小元的限制，在比最小元大的数里挑选其余元素计数求和. 【详解】按最小元素分类，数出满足的集合个数． 设，则且其余元素都大于，又． 当时，不可能； 当时，只能，共个； 当时，：，，，，共个； 当时，：，，，，共个； 当时，：，，共个； 当时，：，共个． 所以共有个． 二、选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得 6 分，部分选对得部分分，不选或有错选的得 0 分． 9. 已知，，则下列说法正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】先由对数定义求，再用对数运算性质及换底公式逐项验证可得． 【详解】根据对数的定义，由得，A正确； 对数的运算性质，，B正确； 又因为，C错误； 由对数的换底公式，，D错误． 10. 已知关于 的不等式 的解集为 ，则下列说法正确的是（　　） A. B. 不等式 的解集为 C. D. 若函数 的两个零点分别为 和 ，则 ， 【答案】BD 【解析】 【分析】由解集可判断 ，一元二次方程两根为 1、3，用韦达定理把 用 表示后逐项判断． 【详解】对于选项A ，由 的解集为 ，可知函数的图象开口向上， 因此 ，故选项A 错误； 对于选项B，由韦达定理 ，，可得 ，， 所以不等式即，由于，解得，故选项B正确； 对于选项C，，故选项C错误； 对于选项D，函数，因此两个零点分别为和， 因为，所以，，满足，，故选项D正确. 11. 已知 ，，且 ，则下列说法正确的是（　　） A. 的最大值是 B. 的最小值是 4 C. 的最小值是 2 D. 的最小值是 【答案】ACD 【解析】 【分析】结合条件，利用基本不等式、乘 法、换元变形逐一判断四个选项． 【详解】对于A：，所以 ，当且仅当 ， 时取等号，A 正确； 对于B：，最小值为 ，B 错误； 对于C：，所以 ，当且仅当 时取等号，C 正确； 对于D：， 又 ，所以 ， 故 ，D 正确． 三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 12. 已知，则的最小值为______. 【答案】4 【解析】 【分析】利用基本不等式计算即可. 【详解】由题意可知， 当且仅当，即时取得等号. 故答案为：4 13. 已知关于的不等式在上有解，则实数的最大值是______． 【答案】9 【解析】 【分析】将不等式有解转化为方程有解，利用判别式解即可. 【详解】不等式在上“有解”等价于． 即，解得， 所以实数的最大值是． 14. 已知，且对于任意，不等式恒成立，则 的最小值是______． 【答案】6 【解析】 【分析】先由“对任意恒成立”确定的关系（三次函数必须出现重根），再求最小值． 【详解】设，其三个零点为，，． 因为，所以为正零点；若三个零点互不相同， 则在最大零点与中间零点之间取负值，与对任意恒成立矛盾． 故必有重根．若，则， 当且时，，矛盾；若，则，矛盾； 所以只能，即，此时对任意恒成立，符合题意． 于是，当且仅当时取等号， 所以的最小值是6． 四、解答题：本大题共 5 小题，共 77 分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）求值； （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）先算分数指数幂，再用化简对数式； （2）先平方求，再平方求． 【详解】（1）， ， 所以原式． （2）由两边平方得，所以， 再两边平方得，所以． 16. 不等式 的解集为 ，不等式 的解集为 ． （1）求 和 ； （2）已知“”是“”的必要条件，求实数 的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）因式分解求解两个不等式； （2）“”是“”的必要条件即 ，注意 是开区间，端点要严格比较． 【16题详解】 由 得，解得， 所以． 由 得 ，所以 ． 【17题详解】 因为“”是“”的必要条件，所以， 即对任意 都有 ， 所以且，解得， 即实数的取值范围是． 17. 如图，某物流公司拟建一个长方体仓库，其底面为矩形，面积是，高为10m．前后两堵墙的造价为100元每平方米，左右两堵墙的造价为200元每平方米；屋顶与地面造价共10000元．设底面的一边长为m． （1）若要求总造价不超过110000元，求的取值范围； （2）当为多少时，总造价最小?并求出最小总造价． 【答案】（1） （2）时总造价最小，最小总造价为90000元 【解析】 【小问1详解】 设m，则m． 前后两面墙的面积为， 左右两面墙的面积为． 总造价． 由得，即， 整理得， 即，解得． 【小问2详解】 因为， 所以， 当且仅当，即，时取等号， 所以当m时总造价最小，最小总造价为元． 18. 已知关于 的不等式 的解集为 ，其中 ． （1）若集合 ，求 的值； （2）求不等式的解集 ； （3）是否存在实数 ，使上述不等式的解集 中恰有 3 个整数?若存在，求出 的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）当 时，；当 时，；当 时，；当 时，；当 时，． （3）存在， 【解析】 【分析】（1）不等式 的解集为，则，是的两个根，罗列韦达定理，求得. （2）针对参数分类讨论转化为一次函数不等式求解，开口向下，，开口向上，讨论两根大小确定解集范围. （3）只有当 时 可能是有限个整数，要使 中恰有 3 个整数，这 3 个整数只能是 4，5，6，所以 ，求解. 【小问1详解】 由 得 ，因为解集为 ，则，是的两个根，所以，即. 【小问2详解】 当 时，不等式为 ，即 ，； 当 时，，且开口向下，； 当 时，两根为 与 3： 若 ，则 ，； 若 ，则 ，； 若 ，则 ，． 【小问3详解】 由 （2） 知，只有当 时 可能是有限个整数；其余情形 均含无穷多个整数或为空集， 中不可能恰有 3 个整数．要使 中恰有 3 个整数，这 3 个整数只能是 4，5，6，所以 ，解得 ．所以存在满足条件的 ，其取值范围是 ． 19. 已知集合 ，若集合满足如下两个性质： ①； ②对任意，与中至少有一个属于集合； 则称集合为“联合体集合”． （1）分别判断与是否为“联合体集合”，直接给出结论，不需要说明理由； （2）若集合是“联合体集合”，且，求集合； （3）若集合是“联合体集合”，求的值（用含 的代数式表示）． 【答案】（1）不是“联合体集合”，是“联合体集合”； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）按定义逐对检验即可； （2）先取得，即，再利用推导即可求出集合； （3）先结合（2）得到，且，构造映射，从而得到，进而根据求和建立方程求解即可． 【小问1详解】 对：取，则，，不满足②， 故不是“联合体集合”； 对：由，，，，，但，各对均满足②， 故是“联合体集合”． 【小问2详解】 由②，取：因为，所以，又且最小，故． 再取，：，故， 又，所以， 而，故，即，所以． 检验：，，，，均满足②， 故． 【小问3详解】 由（2）知．对任意，因为，由②得． 于是映射把中除外的个元素映为中个互不相同的元素，且只在 时成立， 故这个元素恰为中除外的元素． 因此， 左边，记，得， 又，整理得，即． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年第一学期10月调研考试 高一数学 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上． 1. 命题“，”的否定是（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 已知全集，集合，集合，则图中阴影部分表示的集合是（　　） A. B. C. D. 3. 不等式 的解集是（　　） A. B. C. D. 4. 若，，，则（　　） A. B. C. D. 5. 设 ，则“”是“”的（　　） A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 关于的方程有下列四个命题： 甲：该方程两根异号； 乙：是该方程的根； 丙：该方程两根之和为2； 丁：是该方程的根． 如果这四个命题中只有一个假命题，则该命题是（　　） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 7. 若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（　　） A. B. C. D. 8. 设集合 ，若非空集合 同时满足：①；②（其中 表示 中元素的个数， 表示集合 中最小的元素）， 则称集合 为 的一个好子集，则 的所有好子集的个数为（　　） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 二、选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得 6 分，部分选对得部分分，不选或有错选的得 0 分． 9. 已知，，则下列说法正确的是（　　） A. B. C. D. 10. 已知关于 的不等式 的解集为 ，则下列说法正确的是（　　） A. B. 不等式 的解集为 C. D. 若函数 的两个零点分别为 和 ，则 ， 11. 已知 ，，且 ，则下列说法正确的是（　　） A. 的最大值是 B. 的最小值是 4 C. 的最小值是 2 D. 的最小值是 三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 12. 已知，则的最小值为______. 13. 已知关于的不等式在上有解，则实数的最大值是______． 14. 已知，且对于任意，不等式恒成立，则 的最小值是______． 四、解答题：本大题共 5 小题，共 77 分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）求值； （2）已知，求的值． 16. 不等式 的解集为 ，不等式 的解集为 ． （1）求 和 ； （2）已知“”是“”的必要条件，求实数 的取值范围． 17. 如图，某物流公司拟建一个长方体仓库，其底面为矩形，面积是，高为10m．前后两堵墙的造价为100元每平方米，左右两堵墙的造价为200元每平方米；屋顶与地面造价共10000元．设底面的一边长为m． （1）若要求总造价不超过110000元，求的取值范围； （2）当为多少时，总造价最小?并求出最小总造价． 18. 已知关于 的不等式 的解集为 ，其中 ． （1）若集合 ，求 的值； （2）求不等式的解集 ； （3）是否存在实数 ，使上述不等式的解集 中恰有 3 个整数?若存在，求出 的取值范围；若不存在，请说明理由． 19. 已知集合 ，若集合满足如下两个性质： ①； ②对任意，与中至少有一个属于集合； 则称集合为“联合体集合”． （1）分别判断与是否为“联合体集合”，直接给出结论，不需要说明理由； （2）若集合是“联合体集合”，且，求集合； （3）若集合是“联合体集合”，求的值（用含 的代数式表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $