专题01三角形基础与几何推理8大题型41题（期中专项训练）八年级数学上学期新教材浙教版

专题01 三角形基础与几何推理 基础·固本强基 题型1 三角形三边关系与存在条件 题型2 三角形内角和与外角计算 题型3 高线、中线、角平分线的识别 提升·进阶突破 题型4 含参数的三边关系与取值范围 题型5 多三角形与平行线的角度追踪（重点） 题型6 命题、逆命题、证明与反例 拔高·压轴破难 题型7 复杂图形中的辅助线与角度推理（重难点） 题型8 边长范围与整数取值的综合计数 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 三角形三边关系与存在条件（共5小题） 【模型】"两边之和大于第三边、两边之差小于第三边"——判断能否构成三角形，只需验"较小两边之和 > 最大边"。 【步骤】① 把三边从小到大排好；② 只看最小两边之和是否大于最大边；③ 成立则能构成三角形，否则不能。 【易错】取等号时不能构成三角形（三点共线）；含字母时要"和大于第三边"与"差小于第三边"两个不等式一起列，只列一半必错。 1．（26-27八年级上·江苏泰州·阶段检测）下列每组数分别表示三条线段的长度，能构成三角形的是（     ） A．3，4，8 B．4，7，10 C．5，6，11 D．2，3，6 【答案】B 【分析】比较每组线段中较短两边之和与最长边的大小，判断能否构成三角形． 【详解】解：，，，均不能构成三角形； ，能构成三角形． 2．（26-27八年级上·四川南充·阶段检测）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】验证两条较短线段的和大于最长线段，即可判断能否组成三角形． 【详解】解：A选项、，不能组成三角形； B选项、，不能组成三角形； C选项、，不能组成三角形； D选项、，能组成三角形． 3．（26-27八年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）以下四组木棒中，哪一组的三条能够刚好做成三角形的木架（） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】只需验证两较短边长度之和大于最长边，即可判断三条线段能否构成三角形． 【详解】解：A选项，不能构成三角形． B选项，能构成三角形． C选项，不能构成三角形． D选项，不能构成三角形． 4．（25-26八年级上·陕西安康·期末）要与两根长分别为和的木棒围成一个三角形，则第三根木棒的长可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设第三根木棒的长为． ∵三根木棒构成三角形． ∴． 即． 选项中仅满足条件． 5．（26-27七年级上·山东济宁·阶段检测）两根木条的长分别是和，要钉成一个三角形的木架，则第三根木条的长度可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三角形三边关系确定第三根木条长度的取值范围，再对照选项筛选． 【详解】解：设第三根木条的长度为， 由三角形三边关系得，即， 各选项中只有满足该范围． 题型2 三角形内角与外角计算（共6小题） 【模型】内角和 180°；一个外角等于与它不相邻的两个内角之和（也大于任何一个不相邻的内角）。 【步骤】① 标出所有已知角与等量关系；② 用内角和 180° 或外角定理列方程；③ 结合角平分、垂直等附加条件求解。 【易错】外角定理只加"不相邻"的两内角，把相邻内角算进去就错；多个三角形叠在一起时，找"公共角"作桥梁最省事。 6．（26-27八年级上·重庆巫山·阶段检测）已知如图，在中，，，平分，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形内角和定理和角平分线的定义求出的度数，再由平行线的性质可得答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 7．（25-26八年级上·陕西安康·期末）将一副直角三角板（和）按如图所示方式叠放在一起，，边与在一条直线上，则图中的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用三角形内角和定理求出和的度数，再根据对顶角相等求解即可． 【详解】解： 边与在一条直线上 如图， 在中， 与是对顶角 ． 8．（26-27八年级上·天津南开·阶段检测）如图，在中，点在上，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，则，根据三角形内角和定理得到，则，再根据三角形外角的性质可得答案． 【详解】解：设，则， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 9．（26-27八年级上·宁夏吴忠·阶段检测）如图，在中，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形外角性质列式求解即可． 【详解】解：是的外角， ， ，， ． 10．（26-27八年级上·陕西榆林·阶段检测）小华将一副三角板（和）按如图所示的方式摆放，其中，，，，则的度数为_____． 【答案】 【分析】设与交于点，根据平行线的性质可得，则． 【详解】解：如图，设与交于点， 由题意得，，， ， ， ． 11．（26-27八年级上·重庆垫江·阶段检测）如图，__________度． 【答案】180 【分析】利用三角形外角性质将分散的角转化到同一个三角形中，结合三角形内角和定理求解． 【详解】解：延长交于点，如下图， 是的外角， ， 是的外角， ， 在中，， ∴， 即题中原图中的． 题型3 高线、中线、角平分线的识别（共5小题） 【模型】高：过顶点作对边的垂线（垂足可能落在边的延长线上）；中线：连接顶点与对边中点；角平分线：把内角分成两个相等的角。 【步骤】① 认清是哪种线段（看垂直符号、中点标记、等角标记）；② 画图时把符号标全；③ 用其性质（面积、平分边、等角）解题。 【易错】钝角三角形有两条高在三角形外部，画高要先延长对边；三条高、三条中线、三条角平分线各交于一点，别把重心、内心、外心混为一谈。 12．（26-27八年级上·福建厦门·阶段检测）在中，作出边上的高，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形高的定义（从三角形的一个顶点向对边作垂线，顶点和垂足之间的线段即为该边上的高），判断从顶点向边（或其延长线）作垂线，垂足在边（或其延长线）上的图形即可． 【详解】解：A、所作线段不垂直，故A选项错误； B、所作线段不是从点B出发，故B选项错误； C、所作线段不垂直，故C选项错误； D、所作线段是从点B出发，且垂足在的延长线上，符合边上的高的定义，故D选项正确，符合题意． 13．（26-27八年级上·福建厦门·阶段检测）下面四个图形中，线段是的高的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】三角形的高是三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线、顶点到垂足之间的线段．根据三角形的高的定义逐项分析判断即可解答． 【详解】解：若线段是的高，则过点B，且垂直，垂足为D， D选项中线段表示中边上的高． A、 B、C选项中线段不能表示任何边上的高． 14．（26-27八年级上·辽宁铁岭·阶段检测）如图，的边上的高是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形的高的定义，进行判断即可. 【详解】解：由题意和图可知，， ∴的边上的高是. 15．（2026八年级上·全国·专题练习）如图，在中，，G为的中点，延长交于E．F为上一点，于H，下面判断正确的有__________． ①是的角平分线； ②是边上的中线； ③是边上的高； ④是的角平分线和高． 【答案】①③④ 【分析】根据三角形的中线，高线及角平分线的定义进行求解即可． 【详解】解：①∵， ∴是的角平分线，故正确； ②∵G为的中点， ∴是边上的中线，故错误； ③∵于H， ∴是边上的高，故正确； ④∵， ∴是的高， ∵， ∴是的角平分线， ∴是的角平分线和高，故正确； 综上所述：判断正确的有①③④． 16．（26-27八年级上·天津滨海新区·阶段检测）如图，在中，点是边的中点，根据下面的要求画出图形并填空． (1)画出的边上的高； (2)画出的边上的中线； (3)添加后，图中有______个三角形； (4)写出图形中一组面积相等的三角形：______． 【答案】(1) 如图，线段即为所求； (2) 如图，线段即为所求； (3) (4), 【分析】本题主要考查了画三角形的高线，画三角形的中线，三角形的有关知识，熟知相关知识是解题的关键． （1）过点作交的延长线于点，则即为所求； （2）取的中点，连接即可； （3）根据三角形的定义确定答案即可； （4）根据线段中点的意义得到，再由三角形面积公式可得． 【详解】（1）略； （2）略； （3）如图： 共个三角形，分别是：; （4） 解：过点作, ∵是的中线，是的中线， ∴， ∴, 同理：． 提升·进阶突破 题型4 含参数的三边关系与取值范围（共5小题） 【模型】三边含字母 → 由三边关系列出不等式组，第三边的取值范围 = 两边之差 < x < 两边之和。 【步骤】① 确定（或讨论）哪条最长；② 列出全部三边关系不等式；③ 解不等式组取公共部分（交集）。 【易错】只列"两边之和大于第三边"会漏掉下界；多个不等式要取交集不是并集；若要求整数解，最后在范围内逐个列举。 17．（26-27八年级上·福建莆田·阶段检测）若三角形的三边长分别是2，4，x，写出x的取值范围_________________． 【答案】 【详解】解：根据三角形三边关系可知， 两边之和大于第三边，两边之差小于第三边， 故， 即． 18．（26-27八年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）三角形的三边长分别为2，7，a，则a的取值范围是______． 【答案】 【分析】三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 【详解】解：∵三角形的三边长分别为2，7，， ∴， 即． 19．（26-27八年级上·江苏徐州·阶段检测）已知一个三角形的两边长分别为6和9，第三边长为x，则x的取值范围是_________． 【答案】 【分析】利用三角形三边关系，代入已知边长计算即可得到第三边的取值范围. 【详解】解：∵三角形的两边长为和，第三边为， ∴， ∴. 20．（26-27八年级上·全国·单元复习）若一个三角形的三边长分别是，10，2，则m的取值范围为________． 【答案】 【分析】依据三角形三边关系：三角形任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边，把当作第三边，列出不等式求出的范围，再解不等式得到的取值范围． 【详解】解：根据三角形三边关系得， ， ． 21．（26-27八年级上·江西赣州·阶段检测）在中，，，那么长度的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据三角形三边关系即可求解． 【详解】解：在中，，， ， 即， ∴． 题型5多三角形与平行线的角度追踪（共5小题） 【模型】平行 + 三角形：用"两直线平行，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补"把角"搬"进三角形，再用内角和求解。 【步骤】① 找平行线与被截线；② 把已知角转移到目标三角形；③ 用内角和或外角定理求解。 【易错】同旁内角是互补不是相等；"折线拐点"型题目常要过拐点作平行线（辅助线），不作就无从下手。 22．（2022·江苏扬州·模拟预测）如图，在中，，，平分交于点，，交于点，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由三角形内角和定理求出的度数，再由角平分线的定义得到的度数，最后根据平行线的性质可得答案． 【详解】解：在中，，， ， 平分， ， ， ． 23．（25-26七年级下·四川广元·期末）如图，，E为上一点，，过点E作于点G，平分，且， 则下列结论中： ①； ②；③； ④平分；其中正确的结论有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据平行线的性质及垂直定义可得，结合及平行线性质求出，进而判断①②；利用角平分线及三角形内角和定理求出，即可判断③；通过已证结论即可判断④． 【详解】解：，， ，即，故①正确； ， ， ， ， ， ，即，， ， ， ，故②正确； 平分， ， 在中，，故③正确； ∵，若平分，则需， 但根据已知条件不能推出，因此不能推出平分，结论④错误； 综上所述，正确的结论有①②③，共3个． 24．（25-26七年级下·北京·期末）已知，将含有的直角三角板按如图方式摆放，其中，，与的角平分线交于点G，则__________． 【答案】75 【分析】分别过点、作的平行线、，设，首先利用三角形内角和定理求出的度数，进而用含的代数式表示出，接着根据平分将用表示出来，利用“平行于同一条直线的两条直线平行”构建起平行关系网，随后利用平行线的性质及的条件，逐步推导出与关于的表达式，最后结合角平分线的性质求出目标角． 【详解】解：如图，分别过点，点作的平行线，， ， 设 ， 平分 ， ， 平分 ． 【点睛】本题主要考查平行线的性质，三角形内角和定理与角平分线的定义，解决此类问题的通法是“过拐点作平行线”，这一辅助线能将分散在不同位置的角联系起来，“设而不求”（设）则是处理此类角度计算题的高效技巧． 25．（25-26七年级下·安徽芜湖·期末）已知：如图，，． (1)求证：； (2)若平分，平分，且，求的度数． 【答案】(1)证明：， ， ， ， ； (2) 【分析】（1）根据平行线的性质得到，，据此可证明结论； （2）根据平行线的性质得到，，由角平分线的定义得到，进而求出的度数，再由三角形内角和定理可得答案． 【详解】（1）略 （2）解：， ，， 平分， ， ，        平分， ， ． 26．（24-25八年级上·四川绵阳·阶段检测）如图，D是三角形外一点，E，F是上的点，G，H分别是，上的点，连接，已知，，． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的度数． 【答案】(1) ，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． (2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质、三角形的内角和定理，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键． （1）先根据平行线的判定可得，根据平行线的性质可得，从而可得，再根据平行线的判定即可得； （2）先求出，再根据平行线的性质可得，然后根据三角形的内角和定理求解即可得． 【详解】（1）略 （2）解：∵，，， ∴， 由（1）已证：， ∴， ∵， ∴． 题型6 命题、证明与反例（共5小题） 【模型】命题 = 题设 + 结论；逆命题把题设与结论互换；原命题为真，逆命题未必为真。 【步骤】① 先分清题设与结论；② 互换后写出逆命题；③ 真命题需证明，假命题只需举出一个反例。 【易错】"倒过来说"不是"否定"；举反例必须满足题设但不满足结论，如"相等的角是对顶角"是假命题。 27．（26-27八年级上·浙江金华·阶段检测）下列命题中，是真命题的是（     ） A．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 B．直线外一点到这条直线的垂线段叫做这点到直线的距离 C．过一点有无数条直线与已知直线平行 D．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 【答案】D 【详解】解：A、两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，原命题为假命题，不符合题意； B、直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做这点到直线的距离，原命题为假命题，不符合题意； C、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原命题为假命题，不符合题意； D、在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，是真命题，符合题意． 28．（24-25八年级上·浙江温州·阶段检测）下列选项中，可以用来说明命题“若，则”是假命题的反例是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了举例说明假命题．熟练掌握举例说明假命题是解题的关键． 由 ，，可知是说明命题“若，则”是假命题的反例，然后作答即可． 【详解】解：∵ ，， ∴是说明命题“若，则”是假命题的反例， 故选：D． 29．（26-27八年级上·浙江嘉兴·阶段检测）为证明“对于任何实数，”是假命题，下列哪个选项可以作为反例（     ） A．1 B．4 C．9 D．16 【答案】A 【分析】找到实数使不成立，即可证明“对于任何实数，”是假命题． 【详解】解：A．当时，，不成立，能证明“对于任何实数，”是假命题，符合题意； B．当时，，不能证明“对于任何实数，”是假命题，不符合题意； C．当时，，不能证明“对于任何实数，”是假命题，不符合题意； D．当时，，不能证明“对于任何实数，”是假命题，不符合题意． 30．（26-27八年级上·浙江杭州·阶段检测）要说明命题“若，则”是假命题，请举出一个反例：______________． 【答案】 【分析】找出满足，但不满足的的值即可． 【详解】解：当时，，满足，但不满足，因此可作为该假命题的反例. 31．（2026七年级上·全国·专题练习）把命题“对顶角相等”改写成“如果……那么……”的形式：_____________，它是____命题． 【答案】 如果两个角是对顶角，那么这两个角相等 真 【分析】将命题改写成“如果……那么……”的形式，需明确条件和结论，并基于对顶角性质判断命题真假． 【详解】解：命题“对顶角相等”的条件是“两个角是对顶角”，结论是“这两个角相等”， 因此改写成“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”； 对顶角相等是真命题． 拔高·压轴破难 题型7 复杂图形中的辅助线与角度推理（共5小题） 【模型】角分散在多个三角形时，用"公共角、对顶角、外角"作桥梁，必要时连接两点或延长某边造出三角形。 【步骤】① 标出所有已知角与等量关系；② 选定公共角或外角作桥梁；③ 用内角和、外角定理逐步推理。 【易错】推理每一步都要写依据（内角和、外角定理、平行性质）；凭"看起来相等"下结论是几何证明的大忌。 32．（25-26八年级下·山东烟台·期末）综合与实践：探索三角形角平分线的定义及应用． 【问题情境】学习了三角形角平分线的定义后，同学们展开了探索三角形角平分线的数学活动．“前进”小组得到了一个结论：已知，如图1，若点是和的角平分线的交点，则． 证明如下：，是和的角平分线， ，， ， ， ． 【问题解决】 (1)如图2，若点是外角和的角平分线的交点，“前进”小组的结论还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，写出正确的结论并证明． 【拓展创新】 (2)如图3，在中，、的角平分线交于点，将沿折叠使得点与点重合，若，求的度数． 【答案】(1)“前进”小组的结论不成立，正确结论为， 证明：，是和的角平分线， ，， ， 又，， ， ∴“前进”小组的结论不成立，正确结论为． (2) 【分析】（1）由角平分线的定义得，，由外角的性质得，，再根据三角形内角和定理即可得出结论； （2）连接，由外角的性质得，，由折叠的性质得：，即可求出的度数，再根据题干的结论，即可求出的度数． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接， ，， ， 由折叠的性质得：， ， ， 由题干的结论得：， ． 33．（22-23七年级下·山东聊城·阶段检测）如图，已知，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)证明：如图，延长交于点H， 因为（已知），（对顶角相等）， 所以（等量代换）， 所以（同旁内角互补，两直线平行）， 所以（两直线平行，内错角相等）， 又因为（已知）， 所以（等量代换）， 所以（同位角相等，两直线平行）； (2) 【分析】（1）根据同旁内角互补，两直线平行证明，再证明，即可证明； （2）利用平行线的性质求得，再利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：因为（已知）， 所以（两直线平行，同位角相等）． 因为， 所以． 34．（25-26七年级下·河南驻马店·期末）综合与实践 在数学学习过程中，对有些具有特殊结构，且结论又具有一般性的数学问题我们常将其作为一个数学模型加以识记，以积累和丰富自己解决问题的经验． 【结论发现】 三角形的一个内角平分线与另一内角的外角平分线的夹角的度数是三角形第三内角度数的一半． 【结论探究】 (1)如图1，在中，点E是内角平分线与外角的平分线的交点，则有，请给出证明过程． 请直接应用上面的“结论发现”解决下列问题： 【简单应用】 (2)如图2，在中，．延长至点，延长至点，已知，的平分线分别与的平分线及其反向延长线交于点，，求的度数． 【变式拓展】 (3)如图3，四边形的内角与外角的平分线形成如图所示形状，已知，．求的度数和． 【答案】(1)证明：平分，平分 ， ， 即 (2) (3) 【分析】（1）根据三角形外角的性质及角平分线的定义，即可得到答案； （2）先推导出，再推导出，进而可以求解； （3）延长，交于点M，延长、交于点N，由（1）可得，进而即可求解． 【详解】（1）略 （2）∵，、的角平分线与的角平分线及其反向延长线交于E、F， 由（1）可得， ∴； ∴； （3）延长，交于点M，延长、交于点N， 如图所示， ∵、平分 由（1）可得， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 35．（25-26七年级下·福建福州·期末）学习“三角形”这章时，数学兴趣小组开展以下探究活动．如图1，在中，的大小保持不变，记作．点E，D，F分别在边上，且． (1)当时，求证：； (2)如图2，和的平分线交于点M，和的平分线交于点N．该小组发现：无论点E，D，F怎么运动，始终为定值．请你写出这个定值，并说明理由； (3)该小组类比（2）的研究，又找到和为定值的两个角，这两个角分别以M、N为顶点．你知道该小组的这个研究结果吗？请直接写出结果，无需证明．（要求：写出具体哪两个角及具体的定值，并以等式形式呈现） 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∴， ∴； (2)解：，理由如下： ∵， ∴； ∵和的平分线交于点M， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理可得， ∴； (3) 【分析】（1）由平行线的性质得到，则可证明，据此可证明； （2）由三角形内角和定理得到，由角平分线的定义得到，则可求出，进而得到，同理可得，据此可得答案； （3）连接，则平分，平分，可求出，同理可得． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图所示，连接， ∵和的平分线交于点M，和的平分线交于点N， ∴平分，平分， 同理可得， ∵， ∴， ∴ ． 36．（25-26七年级下·山东威海·期末）综合探究 【基本模型】 (1)如图①，由，可得间的数量关系是 ； (2)如图②，可得间的数量关系是 ； （直接写结论，不用证明） 【模型拓广】 (3)如图③，，分别平分．写出与间的数量关系，并证明你的结论； (4)如图④，，分别平分．写出间的数量关系，并证明你的结论； (5)如图⑤，分别平分．写出间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1) (2) (3)，证明如下： ∵， ∴同（1）可得， ∵分别平分， ∴， 即， ∵， ∴同（1）可得． ∴； (4)，证明如下： 如图所示，过点E作． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵分别平分， ∴，， ∴； (5)，证明如下： 如图所示，延长交于点G． ∵分别平分， ∴， ∴， ∴． ∴， 同（2）可得， ∴． ∴． 整理，得． 【分析】（1）过点作，得出，然后根据平行线的性质得出相等的角即可； （2）延长交于点，利用三角形的外角定理求解； （3）利用平行线的性质得出角之间的数量关系，根据角平分线的定义得出角之间的倍数关系，然后进行求解证明； （4）过点E作，根据平行线的性质得出相等的角，根据角平分线的性质得出角之间的数量关系，然后根据角的和差进行求解证明； （5）延长交于点G，根据角平分线的定义得出角之间的数量关系，根据三角形的外角定理得出，得出，然后利用角的和差进行求解证明． 【详解】（1）解：如图所示，过点作， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图所示，延长交于点， ∴， 又∵， ∴； （3）解：略； （4）解：略； （5）解：略． 题型8 边长范围与整数取值的综合应用（共5小题） 【模型】先由三边关系定出第三边的取值范围，再在范围内数整数个数（端点能否取等单独判断）。 【步骤】① 设第三边为 x；② 列不等式组得 a<x<b；③ 数出区间内整数个数，并结合周长条件筛选。 【易错】端点取不到（构成三角形是严格大于）；等腰三角形还要另加"两腰相等"条件，否则多算；周长范围 = 已知两边之和 + x 的范围。 37．（26-27九年级上·贵州贵阳·阶段检测）【项目主题】配方法的应用． 【项目准备】 利用完全平方公式将多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法．配方法是一种重要的数学方法，常用于求代数式的最值．例如：求代数式的最小值，由可知，当时，有最小值，最小值是．配方法也可以对一些多项式进行因式分解． (1)分解因式，原式________（    ）（    ） 【项目解决】 (2)当，，分别为的三边长，且满足时，求出的取值范围； (3)如图，在四边形中，．若，求四边形面积的最大值． 【答案】(1)，，； (2)； (3)． 【分析】根据配方法进行配方，利用因式分解即可； 由得，所以，，然后通过三角形的三边关系即可求解； 由四边形的面积为，从而求出四边形面积的最大值． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴的取值范围为； （3）解：如图，记与交于点， ∵， ∴四边形的面积 ， ∵， ∴， ∴四边形的面积为 ， ∵， ∴， ∴， 即四边形面积的最大值为． 38．（26-27九年级上·重庆长寿·阶段检测）【综合与实践】配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等． 例如：分解因式． 原式． 例如：求代数式的最小值． 原式． ∵，∴当时，有最小值，最小值是2． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)分解因式：___________，代数式的最小值为___________； (2)若，当___________时，y有最___________值（填大或小），值是___________； (3)已知a，b，c是的三边长，，且c是中最长的边，求c的取值范围． 【答案】(1)； (2)1；大； (3) 【分析】（1）按照配方法将式子进行因式分解；用配方法将式子写成一个完全平方公式和一个常数的和，据此可得该式子有最小值． （2）利用完全平方公式化简，求出该式子有最大值，求出结果即可； （3）将题中式子进行变形，得到两个完全平方式的和为0，根据完全平方公式的非负性求出，再由三角形的三边关系求解即可． 【详解】（1）解： ； ， ， 当时，有最小值，最小值是； （2） ， ， ， ， 当时，有最大值，最大值是； （3）解： ∵ ∴ ∴ ∵a，b，c是的三边长，且c是中最长的边 ∴， ∴． 39．（24-25七年级下·上海青浦·期中）三条线段的长度分别为、、，其中，且这三条线段首尾顺次连接能构成三角形． (1)、、只需要满足条件_________即可．（只填一个序号） ①；    ②；   ③． (2)若，，为整数，求构成的三角形的周长． 【答案】(1)② (2)构成三角形的周长为13或14 【详解】（1）解：∵， ∴①和③不管构不构成三角形一定成立， 只有满足②时，这三条线段首尾顺次连接能构成三角形． （2）解：∵，，， ∴， 由（1）得，即，解得， ∴， ∵为整数， ∴或， 当时，三角形的周长为； 当时，三角形的周长为． 40．（25-26七年级下·河南周口·期中）已知，，是的三边长． (1)若，试判断的形状． (2)化简：． 【答案】(1) 等边三角形 (2) 【分析】（1）根据非负数的性质，可得出，进而得出结论； （2）利用三角形的三边关系得到，，，然后去绝对值符号后化简即可． 【详解】（1）解：∵， ，且， ， 为等边三角形． （2）解：∵，，是的三边长， ∴，，， ∴：． 41．（25-26八年级上·全国·单元复习）（1）一个等腰三角形的两边长a，b满足，．求这个等腰三角形的周长． （2）已知a，b，c分别是的三条边长． ①判断的值的正负； ②若a，b，c满足，判断的形状． 【答案】（1）周长为16（2）①负②是等边三角形 【分析】（1）先把等式的左边分解因式，再解方程组，求出，的值，最后求周长； （2）①先分解因式，再根据三角形的三边关系判断；②先把等式的左边分解因式，再根据非负数的性质求解判断． 【详解】解：（1）由，得． 又， ． 解方程组，得． 若三边长为2，2，7，则不能构成三角形， 等腰三角形三边长为2，7，7，周长为16． （2）①原式． ，， ，， ．故的值为负． ②由， 得，即， ，， 即． 故是等边三角形． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，掌握三角形的三边关系是解题的关键． $专题01 三角形基础与几何推理 基础·固本强基 题型1 三角形三边关系与存在条件 题型2 三角形内角和与外角计算 题型3 高线、中线、角平分线的识别 提升·进阶突破 题型4 含参数的三边关系与取值范围 题型5 多三角形与平行线的角度追踪（重点） 题型6 命题、逆命题、证明与反例 拔高·压轴破难 题型7 复杂图形中的辅助线与角度推理（重难点） 题型8 边长范围与整数取值的综合计数 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 三角形三边关系与存在条件（共5小题） 【模型】"两边之和大于第三边、两边之差小于第三边"——判断能否构成三角形，只需验"较小两边之和 > 最大边"。 【步骤】① 把三边从小到大排好；② 只看最小两边之和是否大于最大边；③ 成立则能构成三角形，否则不能。 【易错】取等号时不能构成三角形（三点共线）；含字母时要"和大于第三边"与"差小于第三边"两个不等式一起列，只列一半必错。 1．（26-27八年级上·江苏泰州·阶段检测）下列每组数分别表示三条线段的长度，能构成三角形的是（     ） A．3，4，8 B．4，7，10 C．5，6，11 D．2，3，6 2．（26-27八年级上·四川南充·阶段检测）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（     ） A． B． C． D． 3．（26-27八年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）以下四组木棒中，哪一组的三条能够刚好做成三角形的木架（） A．，， B．，， C．，， D．，， 4．（25-26八年级上·陕西安康·期末）要与两根长分别为和的木棒围成一个三角形，则第三根木棒的长可以是（    ） A． B． C． D． 5．（26-27七年级上·山东济宁·阶段检测）两根木条的长分别是和，要钉成一个三角形的木架，则第三根木条的长度可以是（     ） A． B． C． D． 题型2 三角形内角与外角计算（共6小题） 【模型】内角和 180°；一个外角等于与它不相邻的两个内角之和（也大于任何一个不相邻的内角）。 【步骤】① 标出所有已知角与等量关系；② 用内角和 180° 或外角定理列方程；③ 结合角平分、垂直等附加条件求解。 【易错】外角定理只加"不相邻"的两内角，把相邻内角算进去就错；多个三角形叠在一起时，找"公共角"作桥梁最省事。 6．（26-27八年级上·重庆巫山·阶段检测）已知如图，在中，，，平分，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级上·陕西安康·期末）将一副直角三角板（和）按如图所示方式叠放在一起，，边与在一条直线上，则图中的度数为（    ） A． B． C． D． 8．（26-27八年级上·天津南开·阶段检测）如图，在中，点在上，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 9．（26-27八年级上·宁夏吴忠·阶段检测）如图，在中，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 10．（26-27八年级上·陕西榆林·阶段检测）小华将一副三角板（和）按如图所示的方式摆放，其中，，，，则的度数为_____． 11．（26-27八年级上·重庆垫江·阶段检测）如图，__________度． 题型3 高线、中线、角平分线的识别（共5小题） 【模型】高：过顶点作对边的垂线（垂足可能落在边的延长线上）；中线：连接顶点与对边中点；角平分线：把内角分成两个相等的角。 【步骤】① 认清是哪种线段（看垂直符号、中点标记、等角标记）；② 画图时把符号标全；③ 用其性质（面积、平分边、等角）解题。 【易错】钝角三角形有两条高在三角形外部，画高要先延长对边；三条高、三条中线、三条角平分线各交于一点，别把重心、内心、外心混为一谈。 12．（26-27八年级上·福建厦门·阶段检测）在中，作出边上的高，正确的是（     ） A． B． C． D． 13．（26-27八年级上·福建厦门·阶段检测）下面四个图形中，线段是的高的是（     ） A． B． C． D． 14．（26-27八年级上·辽宁铁岭·阶段检测）如图，的边上的高是（     ） A． B． C． D． 15．（2026八年级上·全国·专题练习）如图，在中，，G为的中点，延长交于E．F为上一点，于H，下面判断正确的有__________． ①是的角平分线； ②是边上的中线； ③是边上的高； ④是的角平分线和高． 16．（26-27八年级上·天津滨海新区·阶段检测）如图，在中，点是边的中点，根据下面的要求画出图形并填空． (1)画出的边上的高； (2)画出的边上的中线； (3)添加后，图中有______个三角形； (4)写出图形中一组面积相等的三角形：______． 提升·进阶突破 题型4 含参数的三边关系与取值范围（共5小题） 【模型】三边含字母 → 由三边关系列出不等式组，第三边的取值范围 = 两边之差 < x < 两边之和。 【步骤】① 确定（或讨论）哪条最长；② 列出全部三边关系不等式；③ 解不等式组取公共部分（交集）。 【易错】只列"两边之和大于第三边"会漏掉下界；多个不等式要取交集不是并集；若要求整数解，最后在范围内逐个列举。 17．（26-27八年级上·福建莆田·阶段检测）若三角形的三边长分别是2，4，x，写出x的取值范围_________________． 18．（26-27八年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）三角形的三边长分别为2，7，a，则a的取值范围是______． 19．（26-27八年级上·江苏徐州·阶段检测）已知一个三角形的两边长分别为6和9，第三边长为x，则x的取值范围是_________． 20．（26-27八年级上·全国·单元复习）若一个三角形的三边长分别是，10，2，则m的取值范围为________． 21．（26-27八年级上·江西赣州·阶段检测）在中，，，那么长度的取值范围是________． 题型5多三角形与平行线的角度追踪（共5小题） 【模型】平行 + 三角形：用"两直线平行，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补"把角"搬"进三角形，再用内角和求解。 【步骤】① 找平行线与被截线；② 把已知角转移到目标三角形；③ 用内角和或外角定理求解。 【易错】同旁内角是互补不是相等；"折线拐点"型题目常要过拐点作平行线（辅助线），不作就无从下手。 22．（2022·江苏扬州·模拟预测）如图，在中，，，平分交于点，，交于点，则的度数是（     ） A． B． C． D． 23．（25-26七年级下·四川广元·期末）如图，，E为上一点，，过点E作于点G，平分，且， 则下列结论中： ①； ②；③； ④平分；其中正确的结论有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 24．（25-26七年级下·北京·期末）已知，将含有的直角三角板按如图方式摆放，其中，，与的角平分线交于点G，则__________． 25．（25-26七年级下·安徽芜湖·期末）已知：如图，，． (1)求证：； (2)若平分，平分，且，求的度数． 26．（24-25八年级上·四川绵阳·阶段检测）如图，D是三角形外一点，E，F是上的点，G，H分别是，上的点，连接，已知，，． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的度数． 题型6 命题、证明与反例（共5小题） 【模型】命题 = 题设 + 结论；逆命题把题设与结论互换；原命题为真，逆命题未必为真。 【步骤】① 先分清题设与结论；② 互换后写出逆命题；③ 真命题需证明，假命题只需举出一个反例。 【易错】"倒过来说"不是"否定"；举反例必须满足题设但不满足结论，如"相等的角是对顶角"是假命题。 27．（26-27八年级上·浙江金华·阶段检测）下列命题中，是真命题的是（     ） A．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 B．直线外一点到这条直线的垂线段叫做这点到直线的距离 C．过一点有无数条直线与已知直线平行 D．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 28．（24-25八年级上·浙江温州·阶段检测）下列选项中，可以用来说明命题“若，则”是假命题的反例是（ ） A． B． C． D． 29．（26-27八年级上·浙江嘉兴·阶段检测）为证明“对于任何实数，”是假命题，下列哪个选项可以作为反例（     ） A．1 B．4 C．9 D．16 30．（26-27八年级上·浙江杭州·阶段检测）要说明命题“若，则”是假命题，请举出一个反例：______________． 31．（2026七年级上·全国·专题练习）把命题“对顶角相等”改写成“如果……那么……”的形式：_____________，它是____命题． 拔高·压轴破难 题型7 复杂图形中的辅助线与角度推理（共5小题） 【模型】角分散在多个三角形时，用"公共角、对顶角、外角"作桥梁，必要时连接两点或延长某边造出三角形。 【步骤】① 标出所有已知角与等量关系；② 选定公共角或外角作桥梁；③ 用内角和、外角定理逐步推理。 【易错】推理每一步都要写依据（内角和、外角定理、平行性质）；凭"看起来相等"下结论是几何证明的大忌。 32．（25-26八年级下·山东烟台·期末）综合与实践：探索三角形角平分线的定义及应用． 【问题情境】学习了三角形角平分线的定义后，同学们展开了探索三角形角平分线的数学活动．“前进”小组得到了一个结论：已知，如图1，若点是和的角平分线的交点，则． 证明如下：，是和的角平分线， ，， ， ， ． 【问题解决】 (1)如图2，若点是外角和的角平分线的交点，“前进”小组的结论还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，写出正确的结论并证明． 【拓展创新】 (2)如图3，在中，、的角平分线交于点，将沿折叠使得点与点重合，若，求的度数． 33．（22-23七年级下·山东聊城·阶段检测）如图，已知，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 34．（25-26七年级下·河南驻马店·期末）综合与实践 在数学学习过程中，对有些具有特殊结构，且结论又具有一般性的数学问题我们常将其作为一个数学模型加以识记，以积累和丰富自己解决问题的经验． 【结论发现】 三角形的一个内角平分线与另一内角的外角平分线的夹角的度数是三角形第三内角度数的一半． 【结论探究】 (1)如图1，在中，点E是内角平分线与外角的平分线的交点，则有，请给出证明过程． 请直接应用上面的“结论发现”解决下列问题： 【简单应用】 (2)如图2，在中，．延长至点，延长至点，已知，的平分线分别与的平分线及其反向延长线交于点，，求的度数． 【变式拓展】 (3)如图3，四边形的内角与外角的平分线形成如图所示形状，已知，．求的度数和． 35．（25-26七年级下·福建福州·期末）学习“三角形”这章时，数学兴趣小组开展以下探究活动．如图1，在中，的大小保持不变，记作．点E，D，F分别在边上，且． (1)当时，求证：； (2)如图2，和的平分线交于点M，和的平分线交于点N．该小组发现：无论点E，D，F怎么运动，始终为定值．请你写出这个定值，并说明理由； (3)该小组类比（2）的研究，又找到和为定值的两个角，这两个角分别以M、N为顶点．你知道该小组的这个研究结果吗？请直接写出结果，无需证明．（要求：写出具体哪两个角及具体的定值，并以等式形式呈现） 36．（25-26七年级下·山东威海·期末）综合探究 【基本模型】 (1)如图①，由，可得间的数量关系是 ； (2)如图②，可得间的数量关系是 ； （直接写结论，不用证明） 【模型拓广】 (3)如图③，，分别平分．写出与间的数量关系，并证明你的结论； (4)如图④，，分别平分．写出间的数量关系，并证明你的结论； (5)如图⑤，分别平分．写出间的数量关系，并证明你的结论． 题型8 边长范围与整数取值的综合应用（共5小题） 【模型】先由三边关系定出第三边的取值范围，再在范围内数整数个数（端点能否取等单独判断）。 【步骤】① 设第三边为 x；② 列不等式组得 a<x<b；③ 数出区间内整数个数，并结合周长条件筛选。 【易错】端点取不到（构成三角形是严格大于）；等腰三角形还要另加"两腰相等"条件，否则多算；周长范围 = 已知两边之和 + x 的范围。 37．（26-27九年级上·贵州贵阳·阶段检测）【项目主题】配方法的应用． 【项目准备】 利用完全平方公式将多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法．配方法是一种重要的数学方法，常用于求代数式的最值．例如：求代数式的最小值，由可知，当时，有最小值，最小值是．配方法也可以对一些多项式进行因式分解． (1)分解因式，原式________（    ）（    ） 【项目解决】 (2)当，，分别为的三边长，且满足时，求出的取值范围； (3)如图，在四边形中，．若，求四边形面积的最大值． 38．（26-27九年级上·重庆长寿·阶段检测）【综合与实践】配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等． 例如：分解因式． 原式． 例如：求代数式的最小值． 原式． ∵，∴当时，有最小值，最小值是2． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)分解因式：___________，代数式的最小值为___________； (2)若，当___________时，y有最___________值（填大或小），值是___________； (3)已知a，b，c是的三边长，，且c是中最长的边，求c的取值范围． 39．（24-25七年级下·上海青浦·期中）三条线段的长度分别为、、，其中，且这三条线段首尾顺次连接能构成三角形． (1)、、只需要满足条件_________即可．（只填一个序号） ①；    ②；   ③． (2)若，，为整数，求构成的三角形的周长． 40．（25-26七年级下·河南周口·期中）已知，，是的三边长． (1)若，试判断的形状． (2)化简：． 41．（25-26八年级上·全国·单元复习）（1）一个等腰三角形的两边长a，b满足，．求这个等腰三角形的周长． （2）已知a，b，c分别是的三条边长． ①判断的值的正负； ②若a，b，c满足，判断的形状． $