3.2.2 双曲线的简单几何性质同步练（能力提升）-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

3.2.2 双曲线的简单几何性质 1.已知直线l的方程为，双曲线C的方程为.若直线l与双曲线C的右支交于不同的两点，则实数k的取值范围是( ) A. B. C. D. 2.已知双曲线（，）的焦点为，，若点P是双曲线上任意一点，且满足（其中O为坐标原点），则双曲线C的渐近线方程为( ) A. B. C. D. 3.设双曲线（，）的焦距为2，若以点为圆心的圆P过C的右顶点且与C的两条渐近线相切，则的取值范围为( ) A. B. C. D. 4.已知，是双曲线（，）的左、右焦点，过且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若是锐角三角形，则双曲线的离心率的取值范围是( ) A. B. C. D. 5.设双曲线的离心率为，是双曲线C上关于原点对称的两个点，M是双曲线C上异于A，B的动点，直线MA，MB的斜率分别为，若，则的取值范围为( ) A. B. C. D. 6.双曲线（，）的左、右焦点分别为，，O为坐标原点，过作C的一条渐近线的垂线，垂足为D，且，则双曲线C的离心率为( ) A. B.2 C. D.3 7.已知双曲线的渐近线方程为，左、右焦点分别为，过点且斜率为的直线l交双曲线的右支于M，N两点，若的周长为36，则双曲线C的标准方程为( ) A. B. C. D. 8.设双曲线的左、右焦点分别为，过坐标原点的直线与C交于A，B两点，，，则C的离心率为( ) A. B.2 C. D. 9.（多选）已知双曲线（，）的一条渐近线过点，F为C的右焦点，则下列结论正确的是( ) A.双曲线C的离心率为 B.双曲线C的渐近线方程为 C.若F到双曲线C的渐近线的距离为，则双曲线C的方程为 D.设O为坐标原点，若，则 10.（多选）过双曲线的右焦点作直线l，与该双曲线交于A，B两点，则下列说法正确的是( ) A.存在4条直线l，使 B.存在直线l，使弦AB的中点为 C.与该双曲线有相同渐近线且过点的双曲线的标准方程为 D.若A，B都在该双曲线的右支上，则直线l斜率的取值范围是 11.（多选）双曲线的左、右焦点分别，，具有公共焦点的椭圆与双曲线在第一象限的交点为P，双曲线和椭圆的离心率分别为，，的内切圆的圆心为I，重心为G，则( ) A.I到y轴的距离为a B.点G的轨迹是双曲线 C.若，则 D.若，则 12.已知过点且斜率为3的直线与双曲线交于A，B两点（A在第一象限），若，则双曲线C的离心率为___________. 13.已知双曲线上有不共线的三点A，B，C，且AB，BC，AC的中点分别为D，E，F，若OD，OE，OF的斜率之和为，则__________. 14.已知双曲线，以双曲线E的实轴和虚轴为对角线的四边形的面积为，过双曲线E的右焦点F作双曲线E的一条渐近线的垂线，垂足为A，与另一条渐近线交于点B，若，则双曲线E的标准方程为______. 15.已知双曲线（，）的左、右顶点分别是A，B，点在双曲线C上，且直线PA，PB的斜率之积为3. （1）求双曲线C的方程； （2）过且斜率不为0的直线l与双曲线C交于D，E两点，O为坐标原点，证明为定值，并求出该定值. 答案以及解析 1.答案：D 解析：联立得整理得，因为直线与双曲线的右支交于不同的两点，所以解得，所以实数k的取值范围为. 2.答案：D 解析：设，则，由焦半径公式可知，，其中e为双曲线的离心率，易知，则由，得，可得，则，故双曲线C的渐近线方程为.故选D. 3.答案：B 解析：由已知得，双曲线C的渐近线方程为，由圆P与渐近线相切可得，圆P的半径，则，则圆P的半径，则，则.因为，所以，即，则，所以的取值范围为.故选B. 4.答案：B 解析：如图所示，由题意知，，，，.令，则有，是锐角三角形，有，得，，由可知，e的取值范围为，故选B. 5.答案：D 解析：方法一：设，，，则 ①，②，①-②得，整理得，即.又双曲线C的离心率为，所以，故，若，则. 方法二：由双曲线的第三定义的推广，知，所以，因为，所以. 6.答案：D 解析：如图，双曲线C的左焦点为，渐近线的方程为0，不妨令点D在上. 由点到直线的距离公式可得， 由勾股定理得. 在中，，则， 在中，，，， 则， 由余弦定理得，整理得，即.所以双曲线C的离心率.故选D. 7.答案：D 解析：方法一：因为双曲线C的渐近线方程为，所以，，则，，.设直线，，，由得，，，，则.因为，，所以.因为的周长为36，所以，即，得，所以双曲线C的标准方程为. 方法二：（双曲线的第二定义）设，，由双曲线的第二定义得，，，，，所以结合方法一中可知的周长为，所以.结合，，可得，，所以双曲线的标准方程为. 方法三：（利用焦点弦的弦长公式）由题意得，故双曲线C的离心率.因为直线l的斜率为，所以其倾斜角为，又直线l过双曲线C的右焦点，所以.又所以由①+②得，由③-④得，即，结合，得，则，故双曲线C的标准方程为. 8.答案：D 解析：如图所示，由双曲线的对称性可知，所以四边形为平行四边形.令，则.由双曲线的定义可知，故有，即，即，则，即，故，则有，即，即，则，又，故. 9.答案：AC 解析：由题意知双曲线C的一条渐近线的方程为，代入，解得，则双曲线C的离心率，故A正确； 由A选项的分析知双曲线C的渐近线方程为，即，故B错误； 若到渐近线的距离为，则，，所以，，则双曲线C的方程为，故C正确； 由，可得，解得，则，故D错误.故选AC. 10.答案：ACD 解析：对于A，通径长为，实轴长，故有4条直线l使，A正确.对于B，假设存在满足条件的直线l，则直线l的方程为，由得，，所以不存在这样的直线l，B错误.对于C，设与该双曲线有相同渐近线的双曲线的标准方程为，代入可得，所以该双曲线的标准方程为，C正确.对于D，双曲线的渐近线方程为，因为直线l过双曲线C的右焦点，且与双曲线的右支交于A，B两点，所以或，所以直线l斜率的取值范围是，D正确. 11.答案：ACD 解析：如图，A.设圆I与三边，，的切点分别为A，B，C，，又，故，故，所以I到y轴的距离为a，故A正确； B.设，则，又P在双曲线上且P位于第一象限，则（，），即（，），此时点G的轨迹为双曲线的右支的一部分，故B错误；C.设椭圆的长半轴长为，它们的半焦距为c，并设，，根据椭圆和双曲线的定义可得，，所以，，在中，由余弦定理得，即，在中，由余弦定理得，即，由，两式相加，则，又，所以，所以，所以，即，故C正确；D.，即，所以，即，故D正确. 12.答案：2 解析：设，，易知直线AB的方程为，即，将其代入双曲线C的方程，整理得，所以①，②，其中，由，得，分别代入①式、②式得，，，则，所以双曲线C的离心率. 13.答案： 解析：设，，，则，，，，，两式相减，得，即，即，，同理可求得，，而OD，OE，OF的斜率之和为，所以.故答案为. 14.答案： 解析：因为以双曲线E的实轴和虚轴为对角线的四边形的面积为，所以，所以.设O为坐标原点，双曲线E的左焦点为，因为，，所以，又由双曲线渐近线知，所以，所以渐近线的斜率.由解得，，所以双曲线E的标准方程为. 15.答案：（1） （2）为定值，定值为 解析：（1）由题意可得，， 则直线PA的斜率，直线PB的斜率. 因为直线PA，PB的斜率之积为3，所以，解得. 因为点在双曲线C上，所以，解得. 故双曲线C的方程为. （2）设直线，，. 联立整理得， 则，且， 所以，. ， 所以为定值，定值为. 学科网（北京）股份有限公司 $