31.2.2三角形相似判定定理（第2课时 三边、斜边直角边）（教学课件）数学新教材人教版九年级下册

31.2 相似三角形 31.2.2 三角形相似的判定 第二课时 三边、斜边直角边 第三十一章 相 似 人教版（新教材）·九年级下册 学 习 目 标 1 2 3 理解：理解三边成比例的两个三角形相似（SSS型）、斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似（HL型）这两个判定定理的推导过程，分清三角形全等SSS、HL与三角形相似SSS、HL的区别与联系。 掌握：掌握SSS型、HL型相似判定定理，能利用三边成比例证明一般三角形相似；能利用斜边、直角边成比例判定直角三角形相似，并可以运用定理进行计算与证明。 体验思想与方法：经历类比全等三角形判定猜想相似判定、证明定理的探究过程，体会类比思想、转化思想，提升逻辑推理能力。 知识回顾 1、根据下列条件，判断△ABC与△A1B1C1是否相似，并说明理由． (1)∠A＝120°，AB＝7 cm，AC＝14 cm，∠A1＝120°，A1B1＝3 cm，A1C1＝6 cm； (2)∠B＝120°，AB＝2 cm，AC＝6 cm，∠B1＝120°，A1B1＝8 cm，A1C1＝24 cm. 知识链接： 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。 解：(1)∵＝ ＝ ， ∠A＝∠A1＝120° ∴△ABC∽△A1B1C1； (2)∵ ＝＝ ， ∠B＝∠B1＝120°， 但∠B与∠B1不是AB与AC，A1B1与A1C1的夹角， 所以△ABC与△A1B1C1不相似． 知识回顾 2.底角相等的两个等腰三角形是否相似？顶角相等的两个等腰三角形呢？证明你的结论. (2) ∵ ∠B=(180°－∠A)， ∠E=(180°－∠D)且∠A=∠D ∴ ∠B=∠E ∴ △ABC∽△DEF (1)∵ ∠B=∠C，∠E=∠F且∠B=∠E ∴ ∠C=∠F ∴ △ABC∽△DEF 两角分别相等的两个三角形相； 知识点链接 4 A′ B′ C′ C B A C B A A′ B′ C′ 三边对应相等 与角无关 三角形全等 导入新课 三角形相似 三边对应相等 成比例 与角无关 如何证明 类比全等SSS，能不能通过三边关系判定三角形相似？直角三角形能不能类比HL得到相似判定？ 5 新课导入 A′ B′ C′ C B A 类比全等SSS，能不能通过三边关系判定三角形相似？直角三角形能不能类比HL得到相似判定？ 一条直角边对应相等 斜边对应相等 直角三角形全等 直角三角形相似 斜边直角边成比例 与角无关 A′ B′ C′ C B A ∟ ∟ ∟ ∟ 一起来探究吧 新知探究 探究点1 三边成比例，两三角形相似 类比全等“边边边”，猜想：三边成比例的两个三角形相似，这个猜想成立吗？怎么证明这个猜想？ 参考已学的相似判定方法的证明思路 ——在大三角形内部构造一个与小三角形全等的三角形，转化证明构造的三角形与大三角形相似，形成 “A”字型模型 已知：如图，在△ABC和△A′B′C′中， ， 求证：△ABC∽△A′B′C′. A B C A′ B′ C′ 证明：在线段A′B′(或它的延长线)上截取A′D=AB， 过点D作DE∥B′C′，交A′C′于点E. 可得△A′DE∽△A′B′C′. ∴ ， 又 ，A′D=AB， ∴ ，， ∴ DE=BC，A′E=AC ∴ △A′DE≌△ABC (SSS) ∴ △ABC∽△A′B′C′ 新知探究 探究点1 三边成比例，两三角形相似 A B C A′ B′ C′ D E 已知：如图，在△ABC和△A′B′C′中，， 求证：△ABC∽△A′B′C′. 探 究 三边成比例的两个三角形相似. 新知探究 探究点1 三边成比例，两三角形相似(SSS相似判定) 几何语言： 在△ABC与△A'B'C'中， 若 ， 则 △ABC ∽ △A'B'C'。 三角形相似判定定理3 A B C A′ B′ C′ 结论 新知探究 探究点1 三边成比例，两三角形相似 使用三边对应成比例判定相似时，需要注意什么？ ►必须三组对应边的比全部相等； ►要找准对应边：大边对大边，小边对小边，排序后再求比值，避免对应错误。 ——在大三角形内部作一个与小三角形全等的三角形， 相似判定定理3的证明思路点拨： 采用“构造全等、转化相似” 的策略 证明方法提炼： 用"构造全等三角形"把未知的相似判定问题，转化为全等（SSS）＋相似（AA）两个已学结论，这正是转化思想的体现。 典例分析 探究点1 三边成比例，两三角形相似 例1如图，点B、D、E在一条直线上，与相交于点F， (1)求证：； (2)若，的周长等于，求的周长． （1）证明： ， ， ， ， ； （2）解： ， ， 又 ， ， ， ， 的周长等于， 的周长为． 新知探究 探究点2 直角三角形相似的判定 已知：Rt△ABC和Rt△A'B'C'，∠C = ∠C' = 90°，。 求证：Rt△ABC ∽ Rt△A'B'C'。 两个直角三角形全等，可以用HL（斜边、一条直角边相等）； 如果两个直角三角形斜边和一条直角边成比例，是否相似？ A B C A′ B′ C′ 问题分析 已知条件是两边成比例，一边的对角相等，不是夹角相等，所以不能判两个直角三角形相似 ②已知条件有两边成比例，再加上一个什么条件可以判三角形相似？ ①已知条件:“∠C = ∠C‘ = 90°，”能直接判三角形相似吗？ 如果 、的值相等即可， ③直角三角形边长计算用什么定理？ ——勾股定理 ∟ ∟ 证明 ：设 ， ∴ AB = k·A'B'，AC = k·A'C'。 由勾股定理： BC = B'C' = ∴ ∴Rt△ABC ∽ Rt△A'B'C’。 （三边对应成比例，两三角形相似） 新知探究 探究点2 直角三角形相似的判定 已知：Rt△ABC和Rt△A'B'C'，∠C = ∠C' = 90°，。 求证：Rt△ABC ∽ Rt△A'B'C'。 A B C A′ B′ C′ 规范解答 ∟ ∟ 新知探究 探究点2 直角三角形相似的HL判定 斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似。 直角三角形相似判定定理 几何语言： 在Rt△ABC与Rt△A'B'C’中， ∠C = ∠C' = 90°， ∵ ， ∴ Rt△ABC ∽ Rt△A'B'C'。 结论 A B C ∟ A′ B′ C′ ∟ 新知探究 探究点3 三角形相似判定方法总结 1.全等判定与相似判定对比 判定依据 全等三角形（比值 = 1） 相似三角形（比值相等即可） 边边边 三边对应相等（SSS） 三边成比例（SSS型） 边角边 两边及夹角对应相等（SAS） 两边成比例且夹角相等（SAS型） 角边角／角角边 两角及夹边／两角及一边对应相等（ASA／AAS） 两角分别相等（AA型） 斜边直角边 斜边与一条直角边对应相等（HL，仅直角△） 斜边与一条直角边成比例（HL型，仅直角△） 网格、坐标、数值计算类问题 → 常先用勾股定理求各边，再用三边成比例 ①条件中若有平行线，可考虑用平行线直接推出相似三角形； ②两个三角形中若有一组等角，可再找一组等角，或再找夹这组等角的两边成比例； ③两个三角形中若有两边成比例，可找这两边的夹角相等，或再找第三边成比例； ④条件中若有一组直角，可再找一组等角或证明斜边、直角边对应成比例； ⑤条件中若有等腰三角形，可找顶角相等，或找底角相等，或找底和腰对应成比例. 新知探究 探究点3 三角形相似判定方法总结 2、判定两个三角形相似需要根据条件选择方法． 有时条件不具备，需从以下几个方面探求： 新知探究 探究点3 三角形相似判定方法总结 3、直角三角形相似判定方法的选择 已知一个锐角相等 → 用 “两角分别相等的两三角形相似” ； 已知两条直角边成比例，因为夹角为直角 → 用 “两边成比例且夹角相等的两三角形相似” ； 已知斜边与一条直角边成比例 → 用 “斜边和一条直角边成比例的直角三角形相似” 易错提示： “斜边和一条直角边成比例”中直角边是要对应的，即 或 A B C ∟ A′ B′ C′ ∟ 典例分析 例2如图31.2-12，在由相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D、E都在格点上。求证：△ABC ∽ △CED。 证明：设小正方形的边长为a，根据勾股定理： AB = ·a，BC = 3a，AC = 2·a； CE = 2 ·a，ED = 6a，CD = 4 ·a。 ∴ △ABC ∽ △CED（三边成比例的两个三角形相似）。 方法点拨：网格三角形证明相似，优先计算各边长度与对应比值，用三边成比例判定，注意对应边匹配。 典例分析 例3．如图，四边形为圆内接四边形，平分，与相交于点E． (1)求证：； (2)若，求线段的长度． （1）证明：∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 典例分析 例3．如图，四边形为圆内接四边形，平分，与相交于点E． (1)求证：； (2)若，求线段的长度． （2）解：∵ ， ∴ ， ∴， ∴, ∴设， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）可知：， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴线段的长度为． 新知巩固 教材P14 1、在△ABC与△A'B'C'中，AB = 4，BC = 6，AC = 8，A'B' = 12，B'C' = 18， A'C' = 24。这两个三角形相似吗？请说明理由。如果相似，相似比是多少？ 解：相似。 ∵ ∴ ∴ △ABC ∽ △A'B'C'（三边成比例的两个三角形相似） 相似比：△ABC : △A'B'C' = 1 : 3。 A B C A′ B′ C′ 新知巩固 教材P14 2.如果Rt△ABC的一条直角边和斜边长分别为3，5，那么一条直角边和斜边长分别为3k和5k（k是正数）的直角三角形一定与Rt△ABC相似吗？为什么？ 解：一定相似。 在Rt△ABC中，一条直角边为3，斜边为5，由勾股定理， 另一条直角边 = = 4。 设新直角三角形为Rt△A′B′C′，斜边5k，一条直角边3k， 另一条直角边 = = 4k。 ∴ ∴ Rt△ABC ∽ Rt△A′B′C′ （三边成比例的两三角形相似 ） 方法二：直接用HL判定：斜边与直角边的比值 ， 斜边和一条直角边成比例，两直角三角形相似。 A B C ∟ A′ B′ C′ ∟ 拓展提升 1.如图，中，，点D、E分别是边上的动点，折叠得到，且点落在BC边上，若恰好与相似，则的长为 ． 解：由折叠的性质可得， ∵， ∴互不相等， ∵恰好与相似， ∴只存在和 两种情况， 设， 则， 当时， 则， ∴， 解得， ∴； 或 当时， 则， ∴， 解得， ∴； 综上所述，的长为或， 拓展提升 2.如图，是正方形对角线上一点，，，E在上，结论：①；②；③；④若，，则，其中正确结论的个数是（   ) A．1 B．2 C．3 D．4 解：∵正方形， ∴， ∴四点共圆， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴；故②正确； ∵ ， ∴，∴， ∴；故③正确； ∵， ∴， 在中，， 在中，；故④正确； D 真题感知 1.（2026•上海）如图，菱形ABCD中，点E为CD上一点，满足∠EBC＝∠CAB，BE交AC于点F． （1）若AF＝2CF，求证：点E是CD的中点； （2）若∠ABE的角平分线BH交AC于点G，交AD于点H， 求证：CD•BG＝BH•BF． （1）证明：∵四边形ABCD为菱形， ∴AB＝CD，AB∥CD， ∵CE∥AB， ∴△CEF∽△ABF， ∴， ∴CEABCD， ∴点E是CD的中点； 真题感知 1.（2026•上海）如图，菱形ABCD中，点E为CD上一点，满足∠EBC＝∠CAB，BE交AC于点F． （1）若AF＝2CF，求证：点E是CD的中点； （2）若∠ABE的角平分线BH交AC于点G，交AD于点H， 求证：CD•BG＝BH•BF． （2）∵四边形ABCD为菱形， ∴∠CAB＝∠HAG＝∠ACB， ∵∠EBC＝∠CAB， ∴∠CAB＝∠HAG＝∠ACB＝∠EBC， ∵∠AFB＝∠EBC+∠ACB， ∠BAH＝∠CAB+∠HAG， ∴∠BAH＝∠AFB， ∵BH平分∠ABE， ∴∠ABH＝∠FBG， ∴△ABH∽△FBG， ∴AB：BF＝BH：BG， ∴AB•BG＝BH•BF． ∵AB＝CD， ∴CD•BG＝BH•BF． 本节课学习并证明了两个相似三角形判定定理 ►三角形相似判定定理3：三边成比例的两个三角形相似。 几何语言： 在△ABC与△A'B'C'中，若 ，则△ABC ∽ △A'B'C'。 ►直角三角形相似判定：斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似。 几何语言： 在Rt△ABC与Rt△A'B'C'中，∠C = ∠C' = 90°， 若 ，则Rt△ABC ∽ Rt△A'B'C'。 ►直角三角形相似判定共三种：① 一个锐角相等；② 两组直角边对应成比例；③ 斜边与一条直角边对应成比例。 课堂小结 知识点总结 课堂小结 方法思想总结 类比思想：由全等三角形的判定（SSS、SAS、ASA、AAS、HL）类比猜想得到相似的对应判定，借助旧知识猜想新结论，是发现数学规律的重要途径。 转化思想：证明三边成比例的两三角形相似时，在大三角形内构造小三角形，先证它与已知小三角形全等，再利用已学相似判定推出结论，把未知问题化归为已知问题。 数形结合：网格三角形证明相似，用勾股定理把几何位置关系转化为线段长度的数量关系，再用比值（代数运算）判断相似，体现数形结合。 分类讨论意识：直角三角形相似判定方法较多，解题时应根据已知条件灵活选择最简判定方法，不盲目套用。 课堂小结 易错提醒 对应边须排序：用三边成比例判定相似，必须把各边按大小排序后对应（大边对大边、小边对小边），再求三组比值，不能随意配对边长。 适用范围要分清：斜边直角边成比例判相似只适用于直角三角形，普通三角形不能用；SSS型、SAS型、AA型适用于一般三角形。 相似≠全等：全等要求对应比值等于1，相似只要求比值相等（可以为1，也可以不为1）；不要把相似比错写成1。 对应顶点字母对齐：书写“△ABC ∽ △A'B'C'” 时，对应顶点的字母必须一一对应，不能乱序。 课后练习 4.根据下列条件，判断△ABC 与△A′B′C′ 是否相似，并说明理由： （3）AB = 10，BC = 12，AC = 15；A'B' = 150，B'C' = 180，A'C' = 225。判断两个三角形是否相似。 解：∵ ∴ ∴ △ABC ∽ △A'B'C'（三边成比例两三角形相似） 教材P16 课后练习 7.如图，CD是△ABC的高，。求证：△ABC是直角三角形。 证明：∵ CD是高，∴ ∠CDA = ∠CDB = 90°。 在Rt△ACD和Rt△CBD中，， ∴ Rt△ACD ∽ Rt△CBD（HL相似判定）。 ∴ ∠ACD = ∠B。 ∵ Rt△CDB中，∠B + ∠BCD = 90°， ∴ ∠ACD + ∠BCD = 90°，即∠ACB = 90°。 ∴ △ABC是直角三角形。 教材P17 课后练习 15.如图，△ABC的中线AD，BE相交于点F。求 的值。 解：连接DE。 ∵ AD，BE是中线， ∴ D是BC中点，E是AC中点， ∴ DE是△ABC的中位线，DE ∥ AB，DE = AB。 ∵ DE ∥ AB， ∴ ∠ABF = ∠DEF，∠BAF = ∠EDF， ∴ △ABF ∽ △DEF。 ∴， ∴ 。 教材P18 谢谢聆听 $