湖北省武汉市2026-2027学年人教版数学上册八年级期中模拟试卷（六）

湖北省武汉市2026-2027学年度第一学期人教版八年级期中模拟试卷（六） 一．选择题（共10小题） 1．中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录．下面四幅作品分别代表“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”，其中是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．下列长度的三条线段能组成三角形的是（　　） A．3，4，8 B．5，6，11 C．5，6，10 D．1，2，3 3．在平面直角坐标系中，点A（8，﹣4）与点B关于x轴对称，则点B的坐标是（　　） A．（8，﹣4） B．（8，4） C．（﹣8，4） D．（﹣8，﹣4） 4．如图，AB和CD相交于点O，则下列结论正确的是（　　） A．∠DOB＜∠B B．∠DOB＝∠D C．∠AOC＞∠C+∠B D．∠DOB＝∠B+∠C 5．一个三角形三个内角的度数之比为2：5：7，这个三角形一定是（　　） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 6．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，AB＝10，则AB边上的高的长度是（　　） A．5 B．5.6 C．4.8 D．4.6 7．如图，在△ABC中，∠A＝α，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点P，则∠P的度数为（　　） A． B． C． D．180°﹣α 8．阅读以下作图步骤： ①在OA和OB上分别截取OC，OD，使OC＝OD； ②分别以C，D为圆心，以大于CD的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点M； ③作射线OM，连接CM，DM，如图所示． 根据以上作图，一定可以推得的结论是（　　） A．∠1＝∠2且CM＝DM B．∠1＝∠3且CM＝DM C．∠1＝∠2且OD＝DM D．∠2＝∠3且OD＝DM 9．如图，在等腰Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点A（0，a），B（b，0），C（﹣4，4），其中b＜a＜0，则a，b之间的数量关系是（　　） A．a+b＝﹣4 B．a﹣b＝4 C．a+b＝﹣8 D．a﹣b＝8 10．如图，已知△ABC，AB和AC的垂直平分线交于点D，连接AD，BD，CD，下列角度关系正确的是（　　） A．∠ABC+∠ADC＝180° B．2∠ABC+∠ADC＝360° C．∠ABC＝2∠ADC D．∠ABC﹣∠ADC＝90° 二．填空题（共6小题） 11．如图，人字梯中间一般会设计一个“拉杆”，以增加使用梯子时的稳定性和安全性，其依据的数学基本事实是 _____________ ． 12．若等腰三角形的两边长分别为5和11，则这个等腰三角形的周长为 _______ ． 13．如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于AC长为半径画弧，两弧相交于点M、N；作直线MN分别交BC、AC于点D、点E，若AE＝3cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长为 _________ ． 14．如图，D在AB上，E在AC上，BE和CD交于点F，AB＝AC，在不添加辅助线的情况下，添加一个条件，可以推理证明△CFE≌△BFD，则添加的条件是 _________________ （只填一种情形）． 15．如图，BD是等边△ABC的中线，过点D作AB的垂线FE，交AB于F，交BC的延长线于E，过点F作FH∥BD交AD于点H，若AH＝1，，则AD的长是 _____ ，△BDE的面积是 _________________ ． 16．如图，BD是等腰△ABC的角平分线，AB＝AC＝6，BC＝8，则的值是 __________________ ；E为线段BD（端点除外）上的动点，连接AE，作∠EAF＝∠BAC，且AE＝AF，连接DF，当△ADF的周长最小时，则的值是 __________________ ． 三．解答题（共8小题） 17．如图，点C是AB的中点，AD＝CE，CD＝BE．求证：△ACD≌△CBE． 18．如图，点E、F在BC上，BE＝FC，AB＝DC，∠B＝∠C．求证：∠A＝∠D． 19．在△ABC中，∠B＝∠A+10°，∠C＝∠B+10°，求∠C的度数． 20．如图，在△ABC中，D在AB边上，E在AC边上，AD＝ED，AE＝BD＝BE，∠BCE＞∠BEC． （1）求∠A的大小； （2）F在线段BE上，连接CF，若△CEF为等腰三角形，直接写出∠CFE的大小． 21．如图是由小正方形组成的9×9网格，每个小正方形的顶点叫做格点．△ABC三个顶点都是格点，仅用无刻度直尺在给定的网格中完成画图，画图的过程用虚线表示． （1）在图1中完成下列画图： ①画△ABC的中线CD； ②画△ABC的高AE； ③在AC上画点F，并连接BF，使∠ABF＝45°． （2）如图2，已知M在AB上，先画△ABC的角平分线BG；再在BC上画点N，使BN＝BM． 22．在 Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，过直角顶点A作直线MN，BD⊥MN于点D，CE⊥MN于点E． （1）如图1，当MN与BC边不相交时，判断BD，CE，DE之间的数量关系，并说明理由； （2）当MN与边BC相交时，请在图2中画出图形，并直接写出BD，CE，DE之间的数量关系． 23．问题情境 如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE，求证：△ABD≌△ACE． 迁移应用 如图2，△ABC和△ADE都是等边三角形，A，B，E三点在同一条直线上，M是AD的中点，N是AC的中点，P在BE上，△MNP是等边三角形，求证：P是BE的中点． 拓展创新 如图3，P是线段BE的中点，BE＝7，在BE的下方作等边△PFH（P，F，H三点按逆时针顺序排列，△PFH的大小和位置可以变化），连接EF，BH．当EF+BH的值最小时，直接写出等边△PFH边长的最小值． 24．在平面直角坐标系中，A，P分别是x轴、y轴正半轴上的点，B是线段OA上一点，连接PB． （1）如图1，CA⊥x轴于点A，BC⊥PB，D是OP上一点，且∠BDO＝∠PBO； ①求证：∠DBO＝∠CBA； ②若OP＝OA，求证：BD+BC＝BP； （2）如图2，A（5，0），B（2，0），G是PB的中点，连接AG，M是x轴负半轴上一点，PM＝2AG，当点P在y轴正半轴上运动时，点M的坐标是否会发生变化？若不变，求点M的坐标；若改变，求出其变化的范围． 湖北省武汉市2026-2027学年度第一学期人教版八年级期中模拟试卷（六） 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录．下面四幅作品分别代表“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”，其中是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据轴对称图形的知识求解． 【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D、是轴对称图形，故本选项符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合． 2．下列长度的三条线段能组成三角形的是（　　） A．3，4，8 B．5，6，11 C．5，6，10 D．1，2，3 【分析】根据三角形三边关系定理进行判断即可． 【解答】解：3+4＜8，则3，4，8不能组成三角形，A不符合题意； 5+6＝11，则5，6，11不能组成三角形，B不合题意； 5+6＞10，则5，6，10能组成三角形，C符合题意； 1+2＝3，则1，2，3不能组成三角形，D不合题意， 故选：C． 【点评】本题考查的是三角形三边关系定理，掌握三角形两边之和大于第三边是解题的关键． 3．在平面直角坐标系中，点A（8，﹣4）与点B关于x轴对称，则点B的坐标是（　　） A．（8，﹣4） B．（8，4） C．（﹣8，4） D．（﹣8，﹣4） 【分析】根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答． 【解答】解：∵点A（8，﹣4）与点B关于x轴对称， ∴点B的坐标是（8，4）． 故选：B． 【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律： （1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数； （2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数； （3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． 4．如图，AB和CD相交于点O，则下列结论正确的是（　　） A．∠DOB＜∠B B．∠DOB＝∠D C．∠AOC＞∠C+∠B D．∠DOB＝∠B+∠C 【分析】利用三角形的外角性质进行分析即可． 【解答】解：∵∠DOB是△BOC的外角， ∴∠DOB＝∠B+∠C，故D说法正确，符合题意； ∴∠DOB＞∠B，故A说法错误，不符合题意； ∵∠AOC是△BOC的外角， ∴∠AOC＝∠B+∠C，故C说法错误，不符合题意； 已有条件无法说∠DOB＝∠D，故B不符合题意； 故选：D． 【点评】本题主要考查三角形的外角性质，解答的关键是明确三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和． 5．一个三角形三个内角的度数之比为2：5：7，这个三角形一定是（　　） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 【分析】设三个内角的度数分别为2x，5x，7x，再根据三角形内角和定理求出x的值，进而可得出结论． 【解答】解：∵一个三角形三个内角的度数之比为2：5：7， ∴设三个内角的度数分别为2x，5x，7x， ∴2x+5x+7x＝180°，解得x＝（）°， ∴7x＝7×（）°＝90°， ∴此三角形是直角三角形． 故选：B． 【点评】本题考查的是三角形的内角和定理，熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键． 6．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，AB＝10，则AB边上的高的长度是（　　） A．5 B．5.6 C．4.8 D．4.6 【分析】过点C作CD⊥AB于D，根据三角形的面积得S△ABCAB•CDAC•BC，由此可求出CD的长． 【解答】解：过点C作CD⊥AB于D，如图所示： ∵∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，AB＝10， ∴S△ABCAB•CDAC•BC， ∴CD4.8． 故选：C． 【点评】此题主要考查了直角三角形的面积，熟练掌握直角三角形的面积计算公式是解决问题的关键． 7．如图，在△ABC中，∠A＝α，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点P，则∠P的度数为（　　） A． B． C． D．180°﹣α 【分析】在△ABC中，利用三角形内角和定理，可求出∠ABC+∠ACB的度数，结合角平分线的定义，可求出∠PBC+∠PCB的度数，再在△PBC中，利用三角形内角和定理，即可求出∠P的度数． 【解答】解：在△ABC中，∠A＝α， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣α， ∵∠ABC，∠ACB的平分线相交于点P， ∴∠PBC∠ABC，∠PCB∠ACB， ∴∠PBC+∠PCB∠ABC∠ACB（∠ABC+∠ACB）（180°﹣α）＝90°α． 在△PBC中，∠PBC+∠PCB＝90°α， ∴∠P＝180°﹣∠PBC﹣∠PCB＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣（90°α）＝90°α． 故选：B． 【点评】本题考查了三角形内角和定理以及角平分线的定义，牢记“三角形内角和是180°”是解题的关键． 8．阅读以下作图步骤： ①在OA和OB上分别截取OC，OD，使OC＝OD； ②分别以C，D为圆心，以大于CD的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点M； ③作射线OM，连接CM，DM，如图所示． 根据以上作图，一定可以推得的结论是（　　） A．∠1＝∠2且CM＝DM B．∠1＝∠3且CM＝DM C．∠1＝∠2且OD＝DM D．∠2＝∠3且OD＝DM 【分析】由△OCM≌△ODM（SSS）推出∠1＝∠2；OC和CM不一定相等，因此∠1不一定等于∠3；OD和DM不一定相等；CM和OB不一定平行，因此∠2不一定等于∠3． 【解答】解：A、以C，D为圆心画弧的半径相等，因此CM＝DM，又OC＝OD，OM＝OM，因此△OCM≌△ODM（SSS）得到∠1＝∠2，故A符合题意； B、因为OC、CM的长在变化，所以OC和CM不一定相等，因此∠1不一定等于∠3，故B不符合题意； C、因为OD、DM的长在变化，所以OD和DM不一定相等，故C不符合题意； D、CM的位置在变化，所以CM和OB不一定平行，因此∠2不一定等于∠3，故D不符合题意． 故选：A． 【点评】本题考查作图—基本作图，全等三角形的判定和性质，关键是由作图得到△OCM≌△ODM（SSS）． 9．如图，在等腰Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点A（0，a），B（b，0），C（﹣4，4），其中b＜a＜0，则a，b之间的数量关系是（　　） A．a+b＝﹣4 B．a﹣b＝4 C．a+b＝﹣8 D．a﹣b＝8 【分析】过点C分别作坐标轴的垂线，构造全等即可解决问题． 【解答】解：过点C作x轴和y轴的垂线，垂足分别M和N， ∵∠CMO＝∠CNO＝∠MON＝90°， ∴四边形CMON是矩形， ∴∠MCN＝90°， ∴∠ACN+∠ACM＝90°． 又∵∠ACB＝90°， ∠BCM+∠ACM＝90°， ∴∠BCM＝∠ACN． 在△BCM和△ACN中， ， ∴△BCM≌△ACN（AAS）． ∴BM＝CN． 又∵点C坐标为（﹣4，4）， ∴点M坐标为（﹣4，0），点N坐标为（0，4）． ∴BM＝﹣4﹣b，AN＝4﹣a． ∴﹣4﹣b＝4﹣a． 即a﹣b＝8． 故选：D． 【点评】本题考查坐标与图形性质，过点C作坐标轴的垂线构造全等三角形是解题的关键． 10．如图，已知△ABC，AB和AC的垂直平分线交于点D，连接AD，BD，CD，下列角度关系正确的是（　　） A．∠ABC+∠ADC＝180° B．2∠ABC+∠ADC＝360° C．∠ABC＝2∠ADC D．∠ABC﹣∠ADC＝90° 【分析】根据线段垂直平分线的性质得DA＝DB＝DC，设∠DAB＝∠DBA＝α，∠DBC＝∠DCB＝β，则∠ADB＝180°﹣2α，∠BDC＝180°﹣2β，可得∠ADC＝360°﹣2（α+β），即可得2∠ABC+∠ADC＝360°． 【解答】解：∵AB和AC的垂直平分线交于点D， ∴DA＝DB＝DC， ∴∠DAB＝∠DBA，∠DBC＝∠DCB， 设∠DAB＝∠DBA＝α，∠DBC＝∠DCB＝β， ∴∠ADB＝180°﹣2α，∠BDC＝180°﹣2β， ∴∠ADC＝∠ADB+∠BDC＝180°﹣2α+180°﹣2β＝360°﹣2（α+β）， ∵∠ABC＝∠ABD+∠DBC＝α+β， ∴∠ADC＝360°﹣2∠ABC， ∴2∠ABC+∠ADC＝360°． 故选：B． 【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质和三角形内角和定理，熟练掌握线段垂直平分线的性质和三角形内角和定理是关键． 二．填空题（共6小题） 11．如图，人字梯中间一般会设计一个“拉杆”，以增加使用梯子时的稳定性和安全性，其依据的数学基本事实是 　三角形具有稳定性　 ． 【分析】根据三角形具有稳定性作答即可． 【解答】解：由题意知，这样设计蕴含的数学依据是三角形具有稳定性， 故答案为：三角形具有稳定性． 【点评】本题考查了三角形的稳定性．解题的关键在于对知识的熟练掌握． 12．若等腰三角形的两边长分别为5和11，则这个等腰三角形的周长为 　27　 ． 【分析】分5是腰长和底边长两种情况讨论求解，再利用三角形的任意两边之和大于第三边进行判断，然后根据周长公式列式计算即可得解． 【解答】解：5是腰长时，三角形的三边分别为5、5、11， ∵5+5＝10＜11， ∴不能组成三角形， 5是底边时，三角形的三边分别为5、11、11， 能组成三角形， 周长＝5+11+11＝27， 综上所述，这个等腰三角形的周长为27． 故答案为：27． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，难点在于要分情况讨论并利用三角形的三边关系判断是否能组成三角形． 13．如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于AC长为半径画弧，两弧相交于点M、N；作直线MN分别交BC、AC于点D、点E，若AE＝3cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长为 　19cm ． 【分析】根据尺规作图得到MN是线段AC的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DC，AC＝2AE＝6，根据三角形的周长公式计算即可． 【解答】解：由尺规作图可知，MN是线段AC的垂直平分线， ∴DA＝DC，AC＝2AE＝6， ∵△ABD的周长为13， ∴AB+AD+BD＝AB+DC+BD＝AB+BC＝13， 则△ABC的周长＝AB+BC+AC＝13+6＝19（cm）， 故答案为：19cm． 【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 14．如图，D在AB上，E在AC上，BE和CD交于点F，AB＝AC，在不添加辅助线的情况下，添加一个条件，可以推理证明△CFE≌△BFD，则添加的条件是 AD＝AE（答案不唯一）　 （只填一种情形）． 【分析】由SAS证明△ACD≌△ABE，得到∠C＝∠B，由AAS即可证明△CFE≌△BFD． 【解答】解：添加的条件是AD＝AE（答案不唯一），理由如下： 在△ACD和△ABE中， ， ∴△ACD≌△ABE（SAS）， ∴∠C＝∠B， ∵AC＝AB，AE＝AD， ∴CE＝BD， 在△CFE和△BFD中， ， ∴△CFE≌△BFD（AAS）， ∴添加的条件是AD＝AE（答案不唯一）． 故答案为：AD＝AE（答案不唯一）． 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，关键是由SAS证明△ACD≌△ABE，得到∠C＝∠B，由AAS即可证明问题． 15．如图，BD是等边△ABC的中线，过点D作AB的垂线FE，交AB于F，交BC的延长线于E，过点F作FH∥BD交AD于点H，若AH＝1，，则AD的长是 　4　 ，△BDE的面积是 　12　 ． 【分析】利用等边三角形的性质可得∠A＝∠ABC＝∠ACB＝60°，AB＝BC＝AC，从而利用等腰三角形的三线合一性质可得∠ABD＝∠CBD＝30°，∠ADB＝∠CDB＝90°，再利用平行线的性质可得∠AHF＝∠ADB＝90°，从而可得∠AFH＝30°，然后在Rt△AFH中，利用含30度角的直角三角形的性质可得AF＝2，再根据垂直定义可得∠AFD＝90°，从而可得∠ADF＝30°，进而可得AD＝2AF＝4，再在Rt△ABD中，利用含30度角的直角三角形的性质可得BD＝4，从而利用三角形的中线定义可得AB＝AC＝8，进而可得BF＝6，最后利用对顶角相等可得∠ADF＝∠CDE＝30°，从而可得∠BDE＝120°，进而可得∠CBD＝∠E＝30°，再利用等角对等边可得BD＝DE＝4，从而利用三角形的面积公式进行计算，即可解答． 【解答】解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠A＝∠ABC＝∠ACB＝60°，AB＝BC＝AC， ∵BD是等边△ABC的中线， ∴∠ABD＝∠CBD∠ABC＝30°，∠ADB＝∠CDB＝90°， ∵FH∥BD， ∴∠AHF＝∠ADB＝90°， ∴∠AFH＝90°﹣∠A＝30°， ∴AF＝2AH＝2， ∵EF⊥AB， ∴∠AFD＝90°， ∴∠ADF＝90°﹣∠A＝30°， ∴AD＝2AF＝4， 在Rt△ABD中，∠ABD＝30°， ∴BDAD＝4， ∵BD是等边△ABC的中线， ∴AC＝2AD＝8， ∴AB＝AC＝8， ∴BF＝AB﹣AF＝8﹣2＝6， ∵∠ADF＝∠CDE＝30°， ∴∠BDE＝∠BDC+∠CDE＝120°， ∴∠E＝180°﹣∠BDE﹣∠CBD＝30°， ∴∠CBD＝∠E＝30°， ∴BD＝DE＝4， ∴△BDE的面积DE•BF46＝12， 故答案为：4；12． 【点评】本题考查了等边三角形的性质，含30度角的直角三角形，平行线的性质，熟练掌握等边三角形的性质，以及含30度角的直角三角形的性质是解题的关键． 16．如图，BD是等腰△ABC的角平分线，AB＝AC＝6，BC＝8，则的值是 　　 ；E为线段BD（端点除外）上的动点，连接AE，作∠EAF＝∠BAC，且AE＝AF，连接DF，当△ADF的周长最小时，则的值是 　　 ． 【分析】过点D作DM⊥BC于M，DN⊥AB于N，先根据DN＝DM得S△ABC：S△CBD＝AB：BC，再根据△ABD和△CBD边AD，CD上的高相同，得S△ABC：S△CBD＝AD：CD，由此得出AD：CD＝AB：BC，据此可得出的值；连接CF，作点A关于直线CF的对称点K，连接CK，FK，DK，设DK与直线CF交于点H，由点A，K关于直线CF对称，得AC＝CK＝6，AF＝KF，∠ACH＝∠KCH，再由，可求出AD，CD，由于△ADF的周长为AD+AF+DF，因此要求△ADF的周长的最小值，只需求出AF+DF的最小值即可，由于AF＝KF，只需求出KF+DF的最小值即可，根据“两点之间线段最短”得：当D，F，K在同一条直线上时，KF+DF为最小，此时点F与点H重合，AF：DF＝KF：DF＝KH：DH＝CK：CD，据此可得出的值． 【解答】解：过点D作DM⊥BC于M，DN⊥AB于N，如图1所示： ∴BD是等腰△ABC的角平分线， ∴DN＝DM， 即△ABD和△CBD边AB，BC上的高相等， ∴S△ABC：S△CBD＝AB：BC， 又∵△ABD和△CBD边AD，CD上的高相同， ∴S△ABC：S△CBD＝AD：CD， ∴AD：CD＝AB：BC， ∵AB＝AC＝6，BC＝8， ∴； 连接CF，作点A关于直线CF的对称点K，连接CK，FK，DK，设DK与直线CF交于H，如图2所示： ∵点A，K关于直线CF对称， ∴AC＝CK＝6，AF＝KF，∠ACH＝∠KCH， ∵， ∴设AD＝3k，CD＝4k， ∴AC＝AD+CD＝7k＝6， ∴k， ∴AD＝3k，CD＝4k， ∵△ADF的周长为：AD+AF+DF，且AD， ∴要求△ADF的周长的最小值，只需求出AF+DF的最小值即可， ∵AF＝KF， ∴要求AF+DF为最小，只需求出KF+DF的最小值即可， 根据“两点之间线段最短”得：当D，F，K在同一条直线上时，KF+DF为最小， 此时点F与点H重合， ∴AF：DF＝KF：DF＝KH：DH， ∵∠ACH＝∠KCH， ∴CK：CD＝KH：DH， 即AF：DF＝CK：CD ∵CK＝6，CD， ∴AF：DF＝6：7：4， 即． 故答案为：；． 【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，角平分线的性质，轴对称的性质及应用，正确地作出辅助线，灵活运用“两点之间线段最短”求最小值是解决问题的关键． 三．解答题（共8小题） 17．如图，点C是AB的中点，AD＝CE，CD＝BE．求证：△ACD≌△CBE． 【分析】由已知条件AD＝CE，CD＝BE，和AC＝CB，根据三角形全等的判定定理SSS可证得△ACD≌△CBE． 【解答】证明：∵点C是AB的中点， ∴AC＝CB． 在△ACD和△CBE中，，（5分） ∴△ACD≌△CBE（SSS）．（6分） 【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL． 注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 18．如图，点E、F在BC上，BE＝FC，AB＝DC，∠B＝∠C．求证：∠A＝∠D． 【分析】先根据等式性质证明BF＝EC，再利用SAS证明△ABF≌△DCE即可． 【解答】证明：∵BE＝FC， ∴BE+EF＝FC+EF， 即BF＝EC， 在△ABF和△DCE中， ∵， ∴△ABF≌△DCE（SAS）， ∴∠A＝∠D． 【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是关键，全等三角形的判定方法有：SAS、AAS、ASA、SSS． 19．在△ABC中，∠B＝∠A+10°，∠C＝∠B+10°，求∠C的度数． 【分析】先用含∠A的代数式表示∠C，再利用三角形的内角和定理得关于∠A的方程并求出∠A，最后代入求出∠C． 【解答】解：∵∠C＝∠B+10°，∠B＝∠A+10°， ∴∠C＝∠A+10°+10°＝∠A+20°，∠B＝∠A+10°． ∵∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠A+∠A+10°+∠A+20°＝180°． ∴∠A＝50°． ∴∠B＝50°+10°＝60°，∠C＝50°+20°＝70°． 答：∠C的度数是70°． 【点评】本题主要考查了三角形的内角和，掌握“三角形的内角和是180°”是解决本题的关键． 20．如图，在△ABC中，D在AB边上，E在AC边上，AD＝ED，AE＝BD＝BE，∠BCE＞∠BEC． （1）求∠A的大小； （2）F在线段BE上，连接CF，若△CEF为等腰三角形，直接写出∠CFE的大小． 【分析】（1）设∠A＝x，利用等腰三角形的性质可得∠A＝∠AED＝x，再利用三角形的外角性质可得∠BDE＝2x，从而利用等腰三角形的性质可得∠BDE＝∠BED＝2x，然后再利用等腰三角形的性质可得∠A＝∠ABE＝x，再利用三角形内角和定理可得∠BDE+∠BED+∠ABE＝180°，进行计算即可解答； （2）利用（1）的结论可得：∠AED＝36°，∠BED＝72°，从而利用平角定义可得∠CEB＝72°，然后分三种情况：当CF＝CE时；当FE＝FC时；当EF＝EC时；分别利用等腰三角形的性质进行计算，即可解答． 【解答】解：（1）设∠A＝x， ∵DA＝DE， ∴∠A＝∠AED＝x， ∵∠BDE是△ADE的一个外角， ∴∠BDE＝∠A+∠AED＝2x， ∵BD＝BE， ∴∠BDE＝∠BED＝2x， ∵EA＝EB， ∴∠A＝∠ABE＝x， ∵∠BDE+∠BED+∠ABE＝180°， ∴2x+2x+x＝180°， 解得：x＝36°， ∴∠A＝36°， ∴∠A的度数为36°； （2）若△CEF为等腰三角形，∠CFE的度数为72°，36°或54°， 理由：如图： 由（1）可得：∠AED＝x＝36°，∠BED＝2x＝72°， ∴∠CEB＝180°﹣∠AED﹣∠BED＝72°， 分三种情况： 当CF＝CE时， ∴∠CFE＝∠CEB＝72°； 当FE＝FC时， ∴∠FCE＝∠CEB＝72°， ∴∠CFE＝180°﹣∠FCE﹣∠CEB＝36°； 当EF＝EC时， ∴∠CFE＝∠ECF54°； 综上所述：若△CEF为等腰三角形，∠CFE的度数为72°，36°或54°． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，分三种情况讨论是解题的关键． 21．如图是由小正方形组成的9×9网格，每个小正方形的顶点叫做格点．△ABC三个顶点都是格点，仅用无刻度直尺在给定的网格中完成画图，画图的过程用虚线表示． （1）在图1中完成下列画图： ①画△ABC的中线CD； ②画△ABC的高AE； ③在AC上画点F，并连接BF，使∠ABF＝45°． （2）如图2，已知M在AB上，先画△ABC的角平分线BG；再在BC上画点N，使BN＝BM． 【分析】（1）①取AB的中点D，连接CD即可． ②过点A作BC的垂线即可． ③取格点P，连接BP，AP，使BP＝AB且BP⊥AB，取AP的中点Q，连接BQ并延长，交AC于点F，则∠ABF＝45°． （2）在BC上取H，使BH＝AB，连接AH，再取AH的中点D，作射线BD交AC于点G，则BG即为所求；连接MH，交BG于点K，连接AK并延长，交BC于点N，则点N即为所求． 【解答】解：（1）①如图1，CD即为所求． ②如图1，AE即为所求． ③如图1，取格点P，连接BP，AP，使BP＝AB且BP⊥AB， ∴△ABP为等腰直角三角形， 再取AP的中点Q，连接BQ并延长，交AC于点F， 则BQ为∠ABP的平分线， ∴∠ABQ＝45°， 即∠ABF＝45°， 则点F即为所求． （2）如图2，在BC上取H，使BH＝AB，连接AH， 再取AH的中点D，作射线BD交AC于点G， 则BG即为所求． 连接MH，交BG于点K，连接AK并延长，交BC于点N， 则点N即为所求． 【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图、三角形的中线、高、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 22．在 Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，过直角顶点A作直线MN，BD⊥MN于点D，CE⊥MN于点E． （1）如图1，当MN与BC边不相交时，判断BD，CE，DE之间的数量关系，并说明理由； （2）当MN与边BC相交时，请在图2中画出图形，并直接写出BD，CE，DE之间的数量关系． 【分析】（1）由BD⊥MN于点D，CE⊥MN于点E，得∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝90°，则∠DAB＝∠ECA＝90°﹣∠EAC，而AB＝CA，即可证明△DAB≌△ECA，得BD＝AE，AD＝CE，则BD+CE＝AE+AD＝DE； （2）分两种情况讨论，一是MN与边BC相交且∠BAD＜45°，同理可证△DAB≌△ECA，得BD＝AE，AD＝CE，则CE﹣BD＝AD﹣AE＝DE；二是 MN与边BC相交且∠BAD＞45°，同理可证△DAB≌△ECA，得BD＝AE，AD＝CE，则BD﹣CE＝AE﹣AD＝DE． 【解答】解：（1）BD+CE＝DE， 理由：∵BD⊥MN于点D，CE⊥MN于点E， ∴∠BDA＝∠AEC＝90°， ∵∠BAC＝90°， ∴∠DAB＝∠ECA＝90°﹣∠EAC， 在△DAB和△ECA中， ， ∴△DAB≌△ECA（AAS）， ∴BD＝AE，AD＝CE， ∴BD+CE＝AE+AD＝DE． （2）CE﹣BD＝DE或BD﹣CE＝DE， 理由：如图2，MN与边BC相交且∠BAD＜45°， ∵BD⊥MN于点D，CE⊥MN于点E， ∴∠BDA＝∠AEC＝90°， ∵∠BAC＝90°， ∴∠DAB＝∠ECA＝90°﹣∠EAC， 在△DAB和△ECA中， ， ∴△DAB≌△ECA（AAS）， ∴BD＝AE，AD＝CE， ∴CE﹣BD＝AD﹣AE＝DE． 如图3，MN与边BC相交且∠BAD＞45°， ∵BD⊥MN于点D，CE⊥MN于点E， ∴∠BDA＝∠AEC＝90°， ∵∠BAC＝90°， ∴∠DAB＝∠ECA＝90°﹣∠EAC， 在△DAB和△ECA中， ， ∴△DAB≌△ECA（AAS）， ∴BD＝AE，AD＝CE， ∴BD﹣CE＝AE﹣AD＝DE． 【点评】此题重点考查直角三角形的两个锐角互余、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质等知识，证明△DAB≌△ECA是解题的关键． 23．问题情境 如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE，求证：△ABD≌△ACE． 迁移应用 如图2，△ABC和△ADE都是等边三角形，A，B，E三点在同一条直线上，M是AD的中点，N是AC的中点，P在BE上，△MNP是等边三角形，求证：P是BE的中点． 拓展创新 如图3，P是线段BE的中点，BE＝7，在BE的下方作等边△PFH（P，F，H三点按逆时针顺序排列，△PFH的大小和位置可以变化），连接EF，BH．当EF+BH的值最小时，直接写出等边△PFH边长的最小值． 【分析】（1）证出∠BAD＝∠CAE．根据SAS证明△ABD≌△ACE； （2）在AE上取点K，使得AK＝AM，连接KM，证明△AMN≌△KMP（SAS），由全等三角形的性质得出AN＝KP，证出EP＝BP，则可得出结论； （3）作∠EPQ＝60°，使PQ＝PE，连接QE，QB，QH，证明△EPF≌△QPH（SAS），由全等三角形的性质得出EF＝QH，则EF+BH＝QH+BH，当点H在线段QB上时，EF+BH的值最小．由直角三角形的性质可得出答案． 【解答】（1）证明：∵△ABC 和△ADE都是等边三角形， ∴∠BAC＝∠DAE＝60°，AB＝AC，AD＝AE． ∴∠BAC﹣∠ACD＝∠DAE﹣∠ACD， ∴∠BAD＝∠CAE． 在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）； （2）证明：在AE上取点K，使得AK＝AM，连接KM， ∵△ABC和△ADE都是等边三角形， ∴∠DAE＝60°，AD＝AE，AC＝AB， ∴△AMK是等边三角形， ∴AM＝MK＝AK，∠AMK＝60°， ∵△MPN是等边三角形， ∴MN＝MP，∠PMN＝60°， ∴∠PMN＝∠KMA， ∴∠PMN﹣∠AMP＝∠KMA﹣∠AMP， 即∠AMN＝∠KMP． 在△AMN和△KMP中， ， ∴△AMN≌△KMP（SAS）， ∴AN＝KP， ∴AM＝AK＝AP+AN， ∵M为AD的中点，点N为AC的中点， ∴AE＝AD＝2AM，AB＝AC＝2AN， 设AP＝x，AN＝y，则AK＝x+y，AB＝2y， ∴AE＝2AK＝2x+2y，BP＝AB+AP＝x+2y， ∴EP＝AE﹣AP＝x+2y， ∴EP＝BP， ∴点P为BE的中点． （3）解：作∠EPQ＝60°，使PQ＝PE，连接EQ，QB，QH， ∵△PFH是等边三角形， ∴PF＝PH，∠FPH＝60°， ∴∠EPF＝∠QPH， ∴△EPF≌△QPH（SAS）， ∴EF＝QH， ∴EF+BH＝QH+BH， 当点H在线段QB上时，EF+BH的值最小． 此时PH⊥BQ，PH的值最小， ∵PQ＝PE，PE＝PB， ∴PQ＝PB， ∴∠PBQ＝∠PQB， ∵∠PBQ+∠PQB＝∠EPQ＝60°， ∴∠PBQ＝∠PQB＝30°， 在Rt△PBH中，， 即当EF+BH的值最小时，△PFH边长的最小值为． 【点评】本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形性质，全等三角形判定和性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握“手拉手”模型及其变形． 24．在平面直角坐标系中，A，P分别是x轴、y轴正半轴上的点，B是线段OA上一点，连接PB． （1）如图1，CA⊥x轴于点A，BC⊥PB，D是OP上一点，且∠BDO＝∠PBO； ①求证：∠DBO＝∠CBA； ②若OP＝OA，求证：BD+BC＝BP； （2）如图2，A（5，0），B（2，0），G是PB的中点，连接AG，M是x轴负半轴上一点，PM＝2AG，当点P在y轴正半轴上运动时，点M的坐标是否会发生变化？若不变，求点M的坐标；若改变，求出其变化的范围． 【分析】（1）①由直角三角形的性质可得出结论； ②延长CB交y轴于点E，过点E作EF⊥CA，交CA的延长线于点F，证明△PBO≌△ECF（AAS），由全等三角形的性质得出PB＝CE＝BD+BC； （2）延长AG到点H，使GH＝AG，连接PH，过点H作HN⊥x轴于点N，证明△ABG≌△HPG（SAS），由全等三角形的性质得出PH＝AB＝3，∠BAG＝∠PHG，证明Rt△POM≌Rt△HNA（HL），由全等三角形的性质得出OM＝NA，则可得出答案． 【解答】（1）证明：①∵∠BOD＝90°， ∴∠DBO+∠BDO＝90°， ∵BC⊥PB， ∴∠PBO+∠CBA＝90°， 又∵∠BDO＝∠PBO， ∴∠DBO＝∠CBA； ②延长CB交y轴于点E，过点E作EF⊥CA，交CA的延长线于点F， 由①得∠DBO＝∠CBA＝∠EBO， ∴∠BDE＝∠BED， ∴BD＝BE， ∴BD+CD＝CE， ∵∠PBO+∠ABC＝90°，∠ABC+∠C＝90°， ∴∠C＝∠PBO， ∵∠POB＝∠CFE，EF＝OA＝OP， ∴△PBO≌△ECF（AAS）， ∴PB＝CE＝BD+BC； （2）解：不变，点M的坐标为（﹣8，0）． 理由：延长AG到点H，使GH＝AG，连接PH，过点H作HN⊥x轴于点N， ∵G为PB的中点， ∴PG＝BG， ∵∠PGH＝∠AGB， ∴△ABG≌△HPG（SAS）， ∴PH＝AB＝3，∠BAG＝∠PHG， ∴PH∥AB， ∴HN＝PO， ∵PM＝2AG＝AH， ∴Rt△POM≌Rt△HNA（HL）， ∴OM＝NA， ∵NA＝NO+OA＝PH+OA＝3+5＝8， ∴OM＝8， 即M（﹣8，0）． 【点评】本题考查了坐标与图形的性质，全等三角形判定和性质，直角三角形的性质等，解题关键是正确添加辅助线构造全等三角形． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/10/27 9:03:49；用户：狼的诱惑；邮箱：UID_B6F2C37AC4BC0A081F64DF52B2C648C2@qq.jyeoo.com；学号：24278983 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $