湖北省武汉市2026-2027学年人教版八年级上册数学期中模拟试卷（五）

湖北省武汉市2026-2027学年度第一学期人教版八年级期中模拟（五） 一．选择题（共10小题） 1．国产人工智能大模型DeepSeek横空出世，其低成本、高性能的特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．已知三角形的两边长分别为1和4，则第三边长可能是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 3．如图，AB＝AD，CB＝CD，∠BAD＝64°，则∠DAC＝（　　） A．46° B．44° C．38° D．32° 4．已知三角形的三边长分别是3、8、x，若x的值为偶数，则x可取的值有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 5．如图，已知AE＝CF，∠AFD＝∠CEB，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ADF≌△CBE的是（　　） A．∠A＝∠C B．AD＝CB C．BE＝DF D．AD∥BC 6．点（﹣2，6）关于y轴对称的点的坐标是（　　） A．（2，6） B．（﹣2，﹣6） C．（2，﹣6） D．（6，2） 7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BC＝15，且BD：DC＝3：2，则D到边AB的距离是（　　） A．4 B．6 C．9 D．12 8．如图，AC＝AB＝BD，AB⊥BD，BC＝10，则△BCD的面积为（　　） A．15 B．25 C．20 D．50 9．如图，A、B是6×8网格中的格点，网格中的每个小正方形边长都为1，以A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形的格点C的位置有（　　） A．8个 B．11个 C．12个 D．14个 10．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线与∠ACB的外角平分线交于点D，DE⊥AC于点E，DF⊥BC交BC的延长线于点F，则下列结论： ①△ADE≌△BDF； ②； ③∠BAC＝∠CDB； ④若AE＝10，CE＝4，则BC＝6，其中一定成立的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二．填空题（共6小题） 11．点A（1，﹣3）关于x轴的对称点A′的坐标是 __________ ． 12．在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则∠C＝_______ 度． 13．如图，在△ABC和△DCB中，AB＝DC，若不添加任何字母与辅助线，要使△ABC≌△DCB，则还需增加的一个条件是____________________ ． 14．如图，在∠AOB的边OA、OB上取点M、N，连接MN，MP平分∠AMN，NP平分∠MNB，若MN＝1，△PMN的面积是1，△OMN的面积是4，则OM+ON的长是 _____ ． 15．下列说法中正确的是： ①如果两个三角形全等，则这两个三角形对应边上的中线一定相等； ②如果两个直角三角形有一条边和这条边所对的角对应相等，那么这两个直角三角形全等； ③三角形两条角平分线的交点到这个三角形三边的距离相等； ④如果两个三角形有两条边和其中一边上的高对应相等，那么这两个三角形全等． 其中正确的是 _______ .（只填序号） 16．如图，△ABC中，∠C＝2∠BAC，BD平分∠ABC交AC于点D，过点A作AE⊥BD交BD的延长线于点E．若AB＝18cm，△BDC的周长为24cm，△ABD的面积为12cm2，则AE＝_____ cm． 三．解答题（共8小题） 17．用一条长为20cm的细绳围成一个等腰三角形，能围成一边长是6cm的等腰三角形吗？为什么？ 18．如图，在四边形ABCD中，E是BC的中点，延长AE、DC相交于点F，∠BEF＝∠B+∠F．求证：AB＝CF． 19．如图，AD与BC相交于点O，OA＝OC，∠A＝∠C，BE＝DE．求证：OE垂直平分BD． 20．已知：射线CP是△ABC的外角∠ACD的平分线． （1）如图1，延长BA交射线CP于点E，若∠B＝35°，∠BEC＝29°，求∠BAC的度数． （2）如图2，射线BF交CP于点G，若∠BAC＝2∠BGC，求证：BF平分∠ABC． 21．如图，在5×5的正方形网格中，请仅用无刻度直尺完成下列画图问题（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）． （1）在图1中，画出线段AB的中点M； （2）在图2中，线段AC与第3条，第5条水平网格线分别相交于D、E两点，在直线l上画一点P，连接PD和PE，使得PD+PE最小； （3）在图3中的直线l上画一点F，使∠CAF＝45°； （4）在图4中，线段AC与第3条水平网格线相交于D点，过D点画DH⊥AG于H点． 22．定义：如果两条线段将一个三角形分成3个小等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线． （1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC边上，且AD＝BD＝BC，求∠A的大小； （2）在图1中过点C作一条线段CE，使BD，CE是△ABC的三分线；在图2中画出顶角为45°的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数； （3）在△ABC中，∠B＝30°，AD和DE是△ABC的三分线，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD＝BD，DE＝CE，请直接写出∠C所有可能的值． 23．△ABE 和△ACF 始终有公共角∠A，连接BC，EF，BE、CF相交于点O． （1）如图1，若∠ABE＝∠ACF，BE＝CF，求证：△ABE≌△ACF； （2）如图2，若∠ABE＝∠ACF＝α，且CE＝CF，求∠CBE的度数；（用含α的式子表示） （3）如图3，若BE＝CF，过点C作CD∥AB且CD＝AB，连接DO并延长交AC于点G，过点G作GH⊥CF于点H，请直接写出∠OGH与∠COE的关系为：____________________ ． 24．已知：如图，在平面直角坐标系中，点A，C分别为坐标轴x轴，y轴上的点，且OA＞OC，AB是△OAC的角平分线． （1）如图1，在x轴负半轴上有一点M，∠COM的平分线与AB的延长线交于点P，连OP． ①证：∠ACO＝2∠P． ②若点A（x，0），C（0，y）满足，且AC＝OA+2，求点P的坐标． （2）如图2，点D为线段OA上的一点，点G为线段AC上的一点，且BD＝BG，将△DOB沿直线BD折叠，折叠后的三角形中，OD对应边的延长线交AC于H点（点H在线段CG上），求的值． 湖北省武汉市2026-2027学年度第一学期人教版八年级期中模拟（五） 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．国产人工智能大模型DeepSeek横空出世，其低成本、高性能的特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据轴对称图形的定义逐项判断即可得． 【解答】解：A，B，D选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； C选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 故选：C． 【点评】本题考查了轴对称图形“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形”，熟记轴对称图形的定义是解题关键． 2．已知三角形的两边长分别为1和4，则第三边长可能是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】设第三边的长为x，再由三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边，列出不等式，求解即可得出结论． 【解答】解：设第三边的长为x， ∵三角形两边的长分别是1和4， ∴4﹣1＜x＜1+4，即3＜x＜5． 故选：B． 【点评】本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解答此题的关键． 3．如图，AB＝AD，CB＝CD，∠BAD＝64°，则∠DAC＝（　　） A．46° B．44° C．38° D．32° 【分析】由AB＝AD，CB＝CD，AC＝AC，根据全等三角形的判定定理“SSS”证明△ABC≌△ADC，则∠BAC∠BAD＝32°，于是得到问题的答案． 【解答】解：在△ABC和△ADC中， ， ∴△ABC≌△ADC（SSS）， ∵∠BAD＝64°， ∴∠BAC＝∠DAC∠BAD＝32°， 故选：D． 【点评】此题重点考查全等三角形的判定与性质、角平分线的定义等知识，适当选择全等三角形的判定定理证明△ABC≌△ADC是解题的关键． 4．已知三角形的三边长分别是3、8、x，若x的值为偶数，则x可取的值有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【分析】根据三角形的三边关系“第三边应大于两边之差，而小于两边之和”，求得第三边的取值范围；再根据第三边是偶数这一条件，求得第三边的值． 【解答】解：根据三角形的三边关系，得： 第三边x的取值范围：5＜x＜11， 又∵第三边的长是偶数， 则第三边的长为6、8或10，有3种情况． 故选：A． 【点评】本题主要考查了三角形的三边关系，考查三角形的边时，要注意三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．还要注意偶数这一条件． 5．如图，已知AE＝CF，∠AFD＝∠CEB，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ADF≌△CBE的是（　　） A．∠A＝∠C B．AD＝CB C．BE＝DF D．AD∥BC 【分析】根据等式的性质由AE＝CF可得AF＝CE，然后利用全等三角形的判定方法逐一判断即可解答． 【解答】解：∵AE＝CF， ∴AE+EF＝CF+EF， ∴AF＝CE， A、在△ADF和△CBE中，∠A＝∠C，AF＝CE，∠AFD＝∠CEB， ∴△ADF≌△CBE（ASA）， 故A不符合题意； B、在△ADF和△CBE中，AD＝BC，AF＝CE，∠AFD＝∠CEB， ∴△ADF与△CBE不一定全等， 故B符合题意； C、在△ADF和△CBE中，AF＝CE，∠AFD＝∠CEB，DF＝BE， ∴△ADF≌△CBE（SAS）， 故C不符合题意； D、∵AD∥BC， ∴∠A＝∠C， 在△ADF和△CBE中，∠A＝∠C，AF＝CE，∠AFD＝∠CEB， ∴△ADF≌△CBE（ASA）， 故D不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查全等三角形的判定，熟记判定三角形全等的方法是解题的关键． 6．点（﹣2，6）关于y轴对称的点的坐标是（　　） A．（2，6） B．（﹣2，﹣6） C．（2，﹣6） D．（6，2） 【分析】根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，即可得出答案． 【解答】解：点（﹣2，6）关于y轴对称的点的坐标是（2，6）． 故选：A． 【点评】此题主要考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标规律，比较容易，关键是熟记规律：（1）关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．（2）关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变． 7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BC＝15，且BD：DC＝3：2，则D到边AB的距离是（　　） A．4 B．6 C．9 D．12 【分析】首先由线段的比求得CD＝6，然后利用角平分线的性质可得D到边AB的距离． 【解答】解：∵BC＝15，BD：DC＝3：2， ∴CD＝6， ∵∠C＝90°， ∵AD平分∠BAC， ∴D到边AB的距离＝CD＝6． 故选：B． 【点评】此题主要考查角平分线的性质：角平分线上的任意一点到角的两边距离相等．做题时要由已知中线段的比求得线段的长，这是解答本题的关键． 8．如图，AC＝AB＝BD，AB⊥BD，BC＝10，则△BCD的面积为（　　） A．15 B．25 C．20 D．50 【分析】作AM⊥BC，垂足为M，作DN⊥BC，交BC的延长线于点N，利用全等求出高DN，三角形面积就很好算了． 【解答】解：如图，作AM⊥BC，垂足为M，作DN⊥BC，交BC的延长线于点N， 在△ABM和△BDN中， ， ∴△ABM≌△BDN（AAS）， ∴DN＝BM， ∵AC＝AB，AM⊥BC， ∴BM＝CM5， ∴DN＝5， ∴S△BCD． 故选：B． 【点评】本题考查了三角形面积的计算，利用全等求高是解答本题的关键． 9．如图，A、B是6×8网格中的格点，网格中的每个小正方形边长都为1，以A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形的格点C的位置有（　　） A．8个 B．11个 C．12个 D．14个 【分析】分三种情况：当AB＝AC时；当BA＝BC时；当CA＝CB时；即可解答． 【解答】解：如图： 分三种情况： 当AB＝AC时，以点A为圆心，以AB长为半径作圆，交正方形网格中的格点为点C1，C2，C3，C4，C5，C6； 当BA＝BC时，以点B为圆心，以BA长为半径作圆，交正方形网格中的格点为点C7，C8，C9，C10，C11，C12； 当CA＝CB时，作AB的垂直平分线，与正方形网格中的格点没有交点； 综上所述：以A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形的格点C的位置有12个， 故选：C． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定，分三种情况讨论是解题的关键． 10．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线与∠ACB的外角平分线交于点D，DE⊥AC于点E，DF⊥BC交BC的延长线于点F，则下列结论： ①△ADE≌△BDF； ②； ③∠BAC＝∠CDB； ④若AE＝10，CE＝4，则BC＝6，其中一定成立的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】①根据角平分线的性质与线段垂直平分线的性质，可得DE＝DF，∠F＝∠AED＝90°，AD＝BD，然后利用HL，即可判定①正确； ②利用三角形的外角的性质与全等三角形的对应角相等的知识，可证得∠DCF＝∠ABD，但不能证得∠DCF+∠ABD＝90°； ③利用全等三角形的对应角相等与等腰三角形的性质，即可求得∠ADB＝∠ACB； ④首先在EA上截取EM＝EC，然后利用AAS即可判定△AMD≌△ACD，根据全等三角形的对应边相等，即可判定AE＝CE+CB． 【解答】解：①∵DC是∠ACB的外角平分线，DE⊥AC，DF⊥BC， ∴DE＝DF，∠F＝∠AED＝90°， ∵D在AB的垂直平分线上， ∴AD＝BD， ∴Rt△ADE≌Rt△BDF（HL）， 故①正确； ②在EA上截取EM＝EC， ∠EMD＝∠MAD+∠MDA， ∵∠BAC＝∠MDA， ∴∠EMD＝∠MAD+∠BAC＝∠DAB， ∵AD＝BD，DM＝CD， ∴∠ABD＝∠DAB，∠CMD＝∠MCD， ∴∠MCD＝∠ABD， ∵∠DCF＝∠MCD， ∴∠FCD＝∠ABD， ∴∠ECF+∠FCD＝∠ABD+∠FCD， 能得出∠DCF＝90°∠BDA， 故②正确； ③∵DM＝DC， ∴∠DMC＝∠DCM＝∠DCF， ∵∠ACB+∠ECD+∠DCF＝180°，∠DMC+∠DCM+∠MDC＝180°， ∴∠MDC＝∠ACB， ∵∠ADM＝∠BDC， ∴∠ADB＝∠ADM+∠MDB＝∠MDB+∠CDB＝∠MDC， ∴∠ADB＝∠ACB； 故③正确； ④在EA上截取EM＝EC， ∵DE⊥AC，∠MDE＝∠CDE， ∴DM＝DC， ∵∠CDE＝∠CDF， ∴∠CDF＝∠EDM， ∵Rt△ADE≌Rt△BDF， ∴∠DAM＝∠DBC，∠ADE＝∠BDF， ∴∠ADM＝∠CDB， ∴△AMD≌△ACD（AAS）， ∴AM＝BC， ∴AE＝AM+ME＝BC+EC， ∴AE＝10＝BC+EC＝4+6， 故④正确． 故选：D． 【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质以及线段垂直平分线的性质等知识．此题综合性较强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法． 二．填空题（共6小题） 11．点A（1，﹣3）关于x轴的对称点A′的坐标是 　（1，3）　 ． 【分析】关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数． 【解答】解：点A（1，﹣3）关于x轴的对称点A′的坐标为（1，3）． 故答案为：（1，3）． 【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数． 12．在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则∠C＝　90　 度． 【分析】根据比例，分别设三个角为k、2k、3k，再根据三角形的内角和定理解答． 【解答】解：根据题意，设∠A、∠B、∠C为k、2k、3k． 则k+2k+3k＝180°， 解得k＝30°． ∴∠C＝3k＝90°． 【点评】本题主要考查设“k”法的运用． 13．如图，在△ABC和△DCB中，AB＝DC，若不添加任何字母与辅助线，要使△ABC≌△DCB，则还需增加的一个条件是　∠ABC＝∠DCB或AC＝DB ． 【分析】本题是三角形全等知识点常见考题，应注意的一点是“不添加任何字母与辅助线”，已知条件中已经具备一对应边相等和一公共边，所以只能加的是已知两边的夹角相等或第3边对应相等． 【解答】解：∵AB＝DC，BC＝BC， ∴当∠ABC＝∠DCB（SAS）或AC＝DB（SSS）时，△ABC≌△DCB． 故填∠ABC＝∠DCB或AC＝DB． 【点评】判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、AAS、ASA、HL，不论是哪个判定定理，都必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 14．如图，在∠AOB的边OA、OB上取点M、N，连接MN，MP平分∠AMN，NP平分∠MNB，若MN＝1，△PMN的面积是1，△OMN的面积是4，则OM+ON的长是 　5　 ． 【分析】过点P作PE⊥OB，垂足为E，过点P作PF⊥MN，垂足为F，过点P作PG⊥OA，垂足为G，连接OP，利用角平分线的性质可得PF＝PG＝PE，然后根据三角形的面积求出PF＝PE＝PG＝2，再利用△OMP的面积+△ONP的面积﹣△PMN的面积＝4，进行计算即可解答． 【解答】解：过点P作PE⊥OB，垂足为E，过点P作PF⊥MN，垂足为F，过点P作PG⊥OA，垂足为G，连接OP， ∵P是△MON外角平分线的交点， ∴PF＝PG＝PE， ∵MN＝1，△PMN的面积是1， ∴MN•PF＝1， ∴PF＝2， ∴PG＝PE＝2， ∵△OMN的面积是4， ∴△OMP的面积+△ONP的面积﹣△PMN的面积＝4， ∴OM•PGON•PE﹣1＝4， ∴OM+ON＝5． 故答案为：5． 【点评】本题考查了角平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 15．下列说法中正确的是： ①如果两个三角形全等，则这两个三角形对应边上的中线一定相等； ②如果两个直角三角形有一条边和这条边所对的角对应相等，那么这两个直角三角形全等； ③三角形两条角平分线的交点到这个三角形三边的距离相等； ④如果两个三角形有两条边和其中一边上的高对应相等，那么这两个三角形全等． 其中正确的是 　①③　 .（只填序号） 【分析】根据全等三角形的判定与性质求解即可． 【解答】解：①如果两个三角形全等，则这两个三角形对应边上的中线一定相等，故符合题意； ②如果两个直角三角形有一条边和这条边所对的角对应相等，那么这两个直角三角形不一定全等，故不符合题意； ③三角形两条角平分线的交点到这个三角形三边的距离相等，故符合题意； ④如果两个三角形有两条边和其中一边上的高对应相等，那么这两个三角形不一定全等，故不符合题意． 故答案为：①③． 【点评】此题考查了直角三角形全等的判定，全等三角形的性质，熟记直角三角形全等的判定，全等三角形的性质是解题的关键． 16．如图，△ABC中，∠C＝2∠BAC，BD平分∠ABC交AC于点D，过点A作AE⊥BD交BD的延长线于点E．若AB＝18cm，△BDC的周长为24cm，△ABD的面积为12cm2，则AE＝　4　 cm． 【分析】在AB上截取BF＝BC，连接DF，证明△FBD≌△CBD，得FD＝CD，∠BFD＝∠C，由∠BFD＝∠BAC+∠FDA，∠C＝2∠BAC，得∠BAC+∠FDA＝2∠BAC，所以∠FDA＝∠BAC，得FD＝FA，则FD+BF+BD＝CD+BC+BD＝24cm，于是得18+BD＝24，求得BD＝6，由6AE＝12，求得AE＝4，于是得到问题的答案． 【解答】解：在AB上截取BF＝BC，连接DF， ∵BD平分∠ABC， ∴∠FBD＝∠CBD， 在△FBD和△CBD中， ， ∴△FBD≌△CBD（SAS）， ∴FD＝CD，∠BFD＝∠C， ∵∠BFD＝∠BAC+∠FDA，∠C＝2∠BAC， ∴∠BAC+∠FDA＝2∠BAC， ∴∠FDA＝∠BAC， ∴FD＝FA， ∴FD+BF＝FA+BF＝AB＝18cm， ∵△BDC的周长为24cm， ∴FD+BF+BD＝CD+BC+BD＝24cm， ∴18+BD＝24， 解得BD＝6， ∵△ABD的面积为12cm2，AE⊥BD， ∴6AE＝12， 解得AE＝4， 故答案为：4． 【点评】此题重点考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、三角形的周长、三角形的面积公式等知识，正确地作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 三．解答题（共8小题） 17．用一条长为20cm的细绳围成一个等腰三角形，能围成一边长是6cm的等腰三角形吗？为什么？ 【分析】题中没有指明6cm所在边是底还是腰，故应该分情况进行分析，注意利用三角形三边关系进行检验． 【解答】解：能构成有一边长为6cm的等腰三角形，理由如下： ①当6cm为底时，腰长＝7cm； ②当6cm为腰时，底边＝8cm； 故能构成有一边长为6cm的等腰三角形． 【点评】此题主要考查等腰三角形的性质及三角形三边关系的综合运用，关键是分情况进行分析解答． 18．如图，在四边形ABCD中，E是BC的中点，延长AE、DC相交于点F，∠BEF＝∠B+∠F．求证：AB＝CF． 【分析】证明△AEB≌△FEC（AAS），即可得出结论． 【解答】证明：∵∠BEF＝∠B+∠F，∠BEF＝∠B+∠BAE， ∴∠BAE＝∠F， ∵E是BC的中点， ∴BE＝CE， 在△AEB和△FEC中， ， ∴△AEB≌△FEC（AAS）， ∴AB＝CF． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质以及三角形的外角性质等知识，证明三角形全等是解题的关键． 19．如图，AD与BC相交于点O，OA＝OC，∠A＝∠C，BE＝DE．求证：OE垂直平分BD． 【分析】先利用ASA证明△AOB≌△COD，得出OB＝OD，根据线段垂直平分线的判定可知点O在线段BD的垂直平分线上，再由BE＝DE，得出点E在线段BD的垂直平分线上，即O，E两点都在线段BD的垂直平分线上，从而可证明OE垂直平分BD． 【解答】证明：在△AOB与△COD中， ， ∴△AOB≌△COD（ASA）， ∴OB＝OD， ∴点O在线段BD的垂直平分线上， ∵BE＝DE， ∴点E在线段BD的垂直平分线上， ∴OE垂直平分BD． 【点评】本题考查了线段垂直平分线的判定：到一条线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，同时考查了全等三角形的判定与性质． 20．已知：射线CP是△ABC的外角∠ACD的平分线． （1）如图1，延长BA交射线CP于点E，若∠B＝35°，∠BEC＝29°，求∠BAC的度数． （2）如图2，射线BF交CP于点G，若∠BAC＝2∠BGC，求证：BF平分∠ABC． 【分析】（1）由三角形的外角性质可求得∠PCD＝64°，再由角平分线的定义可得∠ACD＝128°，再次利用三角形的外角性质即可求∠BAC； （2）由三角形的外角性质可得∠PCD＝∠CBG+∠BGC，∠ACD＝∠ABC+∠BAC，再由角平分线的定义得∠ACD＝2∠PCD＝2（∠CBG+∠BGC），从而可求解． 【解答】（1）解：∵∠B＝35°，∠BEC＝29°，∠PCD是△BCE的外角， ∴∠PCD＝∠B+∠BEC＝64°， ∵CP平分∠ACD， ∴∠ACD＝2∠PCD＝128°， ∵∠ACD是△ABC的外角， ∴∠BAC＝∠ACD﹣∠B＝93°； （2）证明：∵∠PCD是△BCG的外角，∠ACD是△ABC的外角， ∴∠PCD＝∠CBG+∠BGC，∠ACD＝∠ABC+∠BAC， ∵CP平分∠ACD， ∴∠ACD＝2∠PCD＝2（∠CBG+∠BGC）， ∴∠ABC+∠BAC＝2（∠CBG+∠BGC）， ∠ABC+∠BAC＝2∠CBG+2∠BGC， ∵∠BAC＝2∠BGC， ∴∠ABC＝2∠CBG， ∴BF平分∠ABC． 【点评】本题主要考查三角形的外角性质，解答的关键是明确三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和． 21．如图，在5×5的正方形网格中，请仅用无刻度直尺完成下列画图问题（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）． （1）在图1中，画出线段AB的中点M； （2）在图2中，线段AC与第3条，第5条水平网格线分别相交于D、E两点，在直线l上画一点P，连接PD和PE，使得PD+PE最小； （3）在图3中的直线l上画一点F，使∠CAF＝45°； （4）在图4中，线段AC与第3条水平网格线相交于D点，过D点画DH⊥AG于H点． 【分析】（1）取格点E，F，连接EF交AB于点M，点M即为所求； （2）作点D关于直线l的对称点D′，连接ED′交直线l于点P，连接DP，点P即为所求； （3）取格点E，G，M，N，连接MN，EG交于点T，连接AT交直线l于点F，点F即为所求； （4）作线段A′C′交网格线于点D′，连接DD′交直线l于点P，连接DD′交AG于点H，直线DH即为所求． 【解答】 解：（1）如图1中，点M即为所求； （2）如图2中，点P即为所求 （3）如图3中，点F即为所求； （4）如图4中，直线DH即为所求． 【点评】本题考查了复杂作图，掌握轴对称的性质是解题的关键． 22．定义：如果两条线段将一个三角形分成3个小等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线． （1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC边上，且AD＝BD＝BC，求∠A的大小； （2）在图1中过点C作一条线段CE，使BD，CE是△ABC的三分线；在图2中画出顶角为45°的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数； （3）在△ABC中，∠B＝30°，AD和DE是△ABC的三分线，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD＝BD，DE＝CE，请直接写出∠C所有可能的值． 【分析】（1）利用等边对等角得到三对角相等，设∠A＝∠ABD＝x，表示出∠BDC与∠C，列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可确定出∠A的度数． （2）根据（1）的解题过程作出△ABC的三等分线；45°自然想到等腰直角三角形，过底角一顶点作对边的高，发现形成一个等腰直角三角形和直角三角形．直角三角形斜边的中线可形成两个等腰三角形；第二种情形以一底角作为新等腰三角形的底角，则另一底角被分为45°和22.5°，再以22.5°分别作为等腰三角形的底角或顶角，易得其中作为底角时所得的三个三角形恰都为等腰三角形； （3）用量角器，直尺标准作30°角，而后确定一边为BA，一边为BC，根据题意可以先固定BA的长，而后可确定D点，再分别考虑AD为等腰三角形的腰或者底边，兼顾A、E、C在同一直线上，易得2种三角形ABC；根据图形易得∠C的值； 【解答】解：（1）∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C， ∵BD＝BC＝AD， ∴∠A＝∠ABD，∠C＝∠BDC， 设∠A＝∠ABD＝x，则∠BDC＝2x，∠C， 可得2x， 解得：x＝36°， 则∠A＝36°； （2）如图所示： （3）如图所示： ①当AD＝AE时， ∵2x+x＝30°+30°， ∴x＝20°； ②当AD＝DE时， ∵30°+30°+2x+x＝180°， ∴x＝40°； 综上所述，∠C为20°或40°的角． 【点评】主要考查了三角形内角、外角间的关系及等腰三角形知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 23．△ABE 和△ACF 始终有公共角∠A，连接BC，EF，BE、CF相交于点O． （1）如图1，若∠ABE＝∠ACF，BE＝CF，求证：△ABE≌△ACF； （2）如图2，若∠ABE＝∠ACF＝α，且CE＝CF，求∠CBE的度数；（用含α的式子表示） （3）如图3，若BE＝CF，过点C作CD∥AB且CD＝AB，连接DO并延长交AC于点G，过点G作GH⊥CF于点H，请直接写出∠OGH与∠COE的关系为：　∠COE＝2∠OGH或∠OGH∠COE ． 【分析】（1）利用AAS即可证得结论； （2）过点C作CM⊥BE于M，CN⊥AB于N，利用AAS可证明△CEM≌△CFN，可得CM＝CN，再由角平分线的判定定理可得∠EBC＝∠NBC，再运用三角形内角和定理即可求得答案； （3）连接BD，DF，DE，过点D作DM⊥BE于M，DN⊥CF于N，由CD∥AB且CD＝AB，可得AC∥BD，再利用面积法可得DM＝DN，运用角平分线判定定理可得DO平分∠BOC，∠BOD＝∠DOC∠BOC，再运用三角形内角和定理即可得出答案． 【解答】（1）证明：在△ABE和△ACF中， ， ∴△ABE≌△ACF（AAS）； （2）解：过点C作CM⊥BE于M，CN⊥AB于N，如图2， 则∠CME＝∠CNF＝90°， ∵∠BOC＝∠BFC+∠ABE＝∠BEC+∠ACF，∠ABE＝∠ACF， ∴∠BFC＝∠BEC， 在△CEM和△CFN中， ， ∴△CEM≌△CFN（AAS）， ∴CM＝CN， ∵CM⊥BE，CN⊥AB， ∴BC平分∠EBN， ∴∠EBC＝∠NBC， ∵∠ABE＝α， ∴∠CBE90°； （3）解：如图3，连接BD，DF，DE，过点D作DM⊥BE于M，DN⊥CF于N， ∵CD∥AB且CD＝AB， ∴四边形ABDC是平行四边形， ∴AC∥BD， ∴S△CDFS▱ABDC，S△BDES▱ABDC， ∴S△CDF＝S△BDE， ∵S△CDFCF•DN，S△BDEBE•DM，CF＝BE， ∴DM＝DN， ∵DM⊥BO，DN⊥CO， ∴DO平分∠BOC， ∴∠BOD＝∠DOC∠BOC， ∵GH⊥CF， ∴∠GHO＝90°， ∴∠OGH+∠GOH＝90°， ∴2∠GOH+2∠OGH＝180°， ∵∠GOH＝∠DOC，∠GOE＝∠BOD， ∴2∠GOH＝∠DOC+∠BOD， ∴∠DOC+∠BOD+2∠OGH＝180°， ∵∠COE+∠DOC+∠BOD＝180°， ∴∠COE＝2∠OGH或∠OGH∠COE． 故答案为：∠COE＝2∠OGH或∠OGH∠COE． 【点评】本题属于三角形综合题，考查了三角形内角和定理，角平分线的性质和判定，全等三角形的判定和性质，三角形的面积等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件，属于中考常考题型． 24．已知：如图，在平面直角坐标系中，点A，C分别为坐标轴x轴，y轴上的点，且OA＞OC，AB是△OAC的角平分线． （1）如图1，在x轴负半轴上有一点M，∠COM的平分线与AB的延长线交于点P，连OP． ①证：∠ACO＝2∠P． ②若点A（x，0），C（0，y）满足，且AC＝OA+2，求点P的坐标． （2）如图2，点D为线段OA上的一点，点G为线段AC上的一点，且BD＝BG，将△DOB沿直线BD折叠，折叠后的三角形中，OD对应边的延长线交AC于H点（点H在线段CG上），求的值． 【分析】（1）①利用三角形外角的性质和角平分线定义即可推出结论； ②解二元一次方程组即可得到点A，点C的坐标，求出AC的长，再根据角平分线的性质，得到点P到轴、y轴及射线AC的距离相等，用“等面积法”即可求出点P的坐标； （2）过点分别作BM⊥AC于M，BN⊥DH于N，连接BH，由折叠得△BOD≌△BND，故DO＝DN，BO＝BN，易证△BMH≌△BNH，再通过证△BMG≌△BND，可得OD＝DN＝MG，HM＝HN，利用等量代换即可求出结果． 【解答】（1）①证明：∵∠POM为△AOP的外角， ∴∠POM＝∠P+∠PAO， ∴2∠POM＝2∠P+2∠PAO， ∵AB为∠CAO的平分线，OP为∠COM的平分线， ∴∠COM﹣∠CAO＝2∠P， ∵∠COM为△AOC的外角， ∴∠ACO＝2∠P； ②解：∵点A（x，0），C（0，y）满足， 解之得：， ∴OA＝8，OC＝6， ∴AC＝OA+2＝10， 如图1，连接PC， ∵AB为∠CAO的角平分线，OP为∠COM的平分线， ∴点P到x轴y轴及射线AC的距离相等， 设这个距离为h， ∴S△AOC＝S△APO+S△APC﹣S△POC， ∴8×68•h10•h6•h， ∴h＝4， ∴点P的坐标为（﹣4，4）； （2）解：如图2，过B点分别作BM⊥AC于M，BN⊥DH于N，连接BH， ∵△DOB沿直线BD折叠， ∴△BOD≌△BND， ∴DO＝DN，BO＝BN， ∵AB为∠CAO的平分线， ∴BO＝BM， ∴BN＝BM， 又∵BH＝BH，∠BMH＝∠BNH＝90°， ∴Rt△BMH≌Rt△BNH（HL）， ∴HM＝HN， ∵BD＝BG，BN＝BM，∠BMG＝∠BND＝90°， ∴Rt△BMG≌Rt△BND（HL）， ∴MG＝ND， ∴OD＝DN＝MG，HM＝HN， ∴． 【点评】本题考查平面直角坐标系与三角形的综合，熟练掌握三角形外角的性质、二元一次方程组的解法、角平分线的性质、“等面积法”、全等三角形的判定与性质等知识点是解题的关键． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/10/27 8:58:33；用户：狼的诱惑；邮箱：UID_B6F2C37AC4BC0A081F64DF52B2C648C2@qq.jyeoo.com；学号：24278983 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $